2024年湖北省武汉市洪山区中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．
故选：A．
2. 下列校徽的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别；
根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，逐项判断即可．
【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；
B.不轴对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
3. 下列事件中，为必然事件的是（ ）
A. 明年农历“大雪”节气那天下雪
B. 经过有交通信号灯路口，遇到红灯
C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，正确掌握各事件的定义即可解题．
【详解】解：A、明年农历“大雪”节气那天下雪为随机事件，不符合题意．
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯为随机事件，不符合题意．
C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆为必然事件，符合题意．
D、掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7为不可能事件，不符合题意．
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单项式乘单项式，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A中，故符合要求；
B中，故不符合要求；
C中，故不符合要求；
D中，故不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项．熟练掌握单项式乘单项式，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项是解题的关键．
5. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题关键．注意：可见部分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线用虚线表示．根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得答案．
【详解】解：根据主视图可以发现，顶端是一个上宽下窄的梯形，
∴从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形，
故选：D．
6. 如图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面l平行，，，要使与平行，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由题意知，，则，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小卓购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“夏至”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小泉．小卓将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小泉从中随机抽取两张，则小泉抽到的两张邮票恰好抽到是“立春”和“秋分”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率；采用列表法求出所有可能情况数及抽到的两张邮票恰好抽到是“立春”和“秋分”的情况数，即可求得概率．
【详解】解：列表如下：
由表知，所有可能情况数有12种，抽到两张邮票恰好抽到是“立春”和“秋分”的情况数有2种，则抽到的两张邮票恰好抽到是“立春”和“秋分”的概率是；
故选：C．
8. 一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（ ）

A. 32B. 34C. 36D. 38
【答案】C
【解析】
【分析】设每分钟的进水量为，出水量为，先根据函数图象分别求出b、c的值，再求出时，y的值，然后根据每分钟的出水量列出等式求解即可．
【详解】设每分钟的进水量为，出水量为
由第一段函数图象可知，
由第二段函数图象可知，
即
解得
则当时，
因此，
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象的应用，理解题意，从函数图象中正确获取信息，从而求出每分钟的进水量和出水量是解题关键．
9. 如图，是的直径，点E在上，垂足为C，点G在上运动（不与E重合），点F为的中点，则的最大值为（ ）
A. B. 6C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点四点共圆是解本题的关键．
先判断出点四点共圆，判断出的最大值为，再求出即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
∴，
在中，，
根据勾股定理得，，
∴，
∴，
∴的最大值为6，
故选：B．
10. 在平面直角坐标系中，矩形的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的纵坐标为4，则符合条件的所有点C的纵坐标之和为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数的几何意义和性质， 过点C作轴，垂足为D，过点B作轴，垂足为F，过点A作轴，垂足为E，证明，运用反比例函数k的几何意义，相似三角形面积之比等于相似比的平方，确定相似比为3，过点C作，垂足为G，证明，得到，构造方程解答即可．熟练掌握矩形的性质，三角形相似的性质是解题的关键．
【详解】如图，过点C作轴，垂足为D，过点B作轴，垂足为F，过点A作轴，垂足为E，
由k的即可意义可知：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴，即，

设，
∴，，
过点C作，垂足为G，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得，，
解得，
所以其纵坐标分别为和，
其和为，
故选D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接填写在答题卡指定的位置上．
11. 为了加快构建清洁低碳，安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，到2030年我国新型储能装机容量达到3000万千瓦以上，其中数据3000万用科学记数法表示为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
将一个数表示成的形式，其中为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：3000万，
故答案为：．
12. 已知一次函数的图象经过第二、四象限，写出一个满足条件的函数解析式______．
【答案】y=-x+1(答案不唯一)
【解析】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k，b的取值范围，从而写出其解析式即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限，
∴k<0，
∴解析式为：y=-x+1(答案不唯一)，
故答案为：y=-x+1(答案不唯一) ．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=k+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限；b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．
13. 计算________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的加减，根据分式的加减运算法则结合因式分解求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，在热气球上的点C测得地面A，B两点的俯角分别为点C到地面的高度为100米，点A，B，D在同一直线上，则两点的距离是_________米．（结果保留根号）
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；利用解直角三角形的知识，可分别求得的长，进而求得．
【详解】解：由题意得，
，米，
米，（米），
米；
故答案为：．
15. 已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点和，且，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确的是___________．（填写序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时(即)，对称轴在轴左；当与异号时（即)，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于决定抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
利用图象信息即可判断①；根据时，即可判断②；根据是方程的根，结合两根之积，即可判断③；由题意可知函数与直线有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式即可判断④．
【详解】∵，
抛物线开口向下，
∵经过点和，且，
∴抛物线交轴于正半轴，抛物线对称轴在轴左侧，

∴，，
∴，
∴，故①正确，
∵时，，
∴时，，
∴，
即，故②正确，
∵经过点和，
∴，
由两边除以得，
∴，
∴，故③正确，
∵经过点和，
，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴函数与直线有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
，
∴，故④错误，
故答案为：①②③．
16. 如图，在中，，D，E分别为边，上两个动点，且，连接，，当最小时，的值为_________．

【答案】
【解析】
【分析】过点C作，使，连接，过点M作交的延长线于点N，证明得到，当点B、D、M三点在同一条直线上时，的值最小为线段的长即的最小值为线段的长，过点C作于点H，在和中求得、、，再证明，根据即可求出答案．
【详解】如图，过点C作，使，连接，过点M作交的延长线于点N，

，
，
在和中，
，
，
，
当点B、D、M三点在同一条直线上时，的值最小为线段的长，
即的最小值为线段的长，
过点C作于点H，
在中，，
，
在中，，
，
，
又，
，，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、两线段和得最小值问题，正确做出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17. 解不等式组：，并求不等式组的最小整数解．
【答案】，最小整数解为0
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出最小的整数解即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
则最小的整数解为0．
18. 如图，已知E、F分别是的边上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】该题主要考查了平行四边形的判定与性质和菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用平行四边形的性质得出，从而得出，进而求解即可．
（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出，可求得，再利用直角三角形的性质得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
，且，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19. 为改善民生；提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：表示“非常支持”，表示“支持”，表示“不关心”，表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：

（1）这次共抽取了________名居民进行调查统计，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角的大小是________；
（2）将条形统计图补充完整；
（2）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的类居民大约有多少人？
【答案】（1）60，；（2）图见解析；（3）该社区表示“支持”的类居民大约有1200人．
【解析】
【分析】（1）根据C类的条形统计图和扇形统计图的信息可得出总共抽取的人数，再求出D类居民人数的占比，然后乘以即可得；
（2）根据（1）的结论，先求出A类居民的人数，再补全条形统计图即可；
（3）先求出表示“支持”的类居民的占比，再乘以2000即可得．
【详解】（1）总共抽取的居民人数为（名）
D类居民人数的占比为
则类所对应的扇形圆心角的大小是
故答案为：60，；
（2）A类居民的人数为（名）
补全条形统计图如下所示：
（3）表示“支持”的类居民的占比为
则（名）
答：该社区表示“支持”的类居民大约有1200人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
20. 如图，为的直径，为上一点，，直线与直线相交于点，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）与的交点为，若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到，进而得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（）连接，设半径为，在中，由勾股定理得，解得，得到，，利用三角函数得，即得到，，进而得到，，，为等边三角形，得到，，据此得，，最后由计算即可求解；
本题考查了切线的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，不规则图形的面积计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，设半径为，
，
∴，
在中， ，
，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图1中，的三个顶点都是格点．F是与格线的交点．将绕点A顺时针旋转得到，并在上作点E，使得；
（2）在图2中，点A，C都是格点，点B在网格线上．以为直径的半圆的圆心为O，作的平分线交半圆O于点E，在线段上找一点P，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等：
（1）如图所示，取与格线的交点H，连接交于E，点E即为所求；
（2）如图，取与格线的交点D，连接并延长交于E，连接交于F，连接交于G，连接并延长交于P，点P即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，取与格线的交点H，连接交于E，点E即为所求；
可证明，由旋转的性质可得，则；
【小问2详解】
解：如图，取与格线的交点D，连接并延长交于E，延长交于F，连接交于G，连接并延长交于P，点P即为所求．
可证明是的中位线，则，再由，可得，则平分；
，则可证明得到，进而可得，则可证明，
证明，则．
22. 根据以下素材，完成探索任务．
问题提出：根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格之和）不高于5900元的情况系，如何设计最大饲养室面积的方案？
素材一：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有长的墙，中间用一道端隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为，开两个门，且门宽均为．

素材二：每个门的价格为250元．
素材三：与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．
问题解决：
任务1：设，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式．
任务2：探究自变量x的取值范围．
任务3：确定设计方案：当 ， 时，S的最大值为 ．（直接填写结果）
【答案】任务1：；任务2：；任务3：
【解析】
【分析】本题主要考查的是二次函数的实际应用，解题关键：一是列出关于的函数表达式，二是配成顶点式．
任务一：先根据题中条件写的长，即可求出关于的函数表达式；
任务二：先根据，解出，写出新墙建筑费用的代数式，然后分选用型号门和型号C门两种情况，利用总费用不高于6400元，分别求出的取值范围即可；
任务三：先把函数表达式配成顶点式，然后根据的取值范围和图象开口方向即可求出面积的最大值．
【详解】解：任务1：根据题意可得，
，
任务2：由题意得，，
即，
解得：，
根据题意可得：新墙建筑费用元，
则总费用元，
∵总费用不高于5900元，
∴，解得：，
；
任务3：由任务1知，
∵，图象开口向下，且，
∴当时，面积有最大值，最大值为，此时，
∴设计方案是的最大值为，
故答案为：．
23. （1）如图1，在正方形中，E为线段上一点，连接，F为射线上一点，，试判断，的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，将（1）中的正方形改为矩形，其他条件不变，若，，试探究，的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）条件下，连接，，若，，则 ．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）过点E作于点H，作于点G，根据是正方形的对角线，可得，从而，进而，得到，再证矩形得到，从而，即可得证；
（2）如图，过点E作于点H，作于点G，证得，得到，证明四边形是矩形得到，由得到，从而，因此，即可求；
（3）过点F作与点H，则，证得四边形为矩形，得到，，进而，由，，得到，从而，得到，即可解答．
【详解】解：（1），理由如下：
如图，过点E作于点H，作于点G，
∴
∵在正方形中，点E在对角线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
又，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，过点E作于点H，作于点G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点F作与点H，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判断及性质，相似三角形的判定及性质，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
24. 如图1，抛物线．经过点，与y轴负半轴交于点C，且，D为抛物线的顶点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，连，点Q在抛物线上，且，求Q点坐标；
（3）如图2， 过点的直线l与抛物线相交于E，F两点，与抛物线的对称轴相交于N点，直线l上另有一点M，且四个点M，E，N，F在直线l上，自下而上依此排列，若恒成立，求M点的纵坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了求抛物线与直线的解析式、勾股定理、三角函数、解一元二次方程、根与系数的关系等知识点，数形结合思想的综合运用是解题的关键．
（1）将点C的坐标代入所设的两点式，即可求得抛物线的解析式．
（2）延长交y轴于点H，过点H作交的延长线于点N，
在构造的直角中设法求得，从而得到，则得到直线的解析式，再联立抛物线方程可锝点Q的坐标．
（3）设点E、F、M的横坐标分别m、n、x，而，
设直线的表达式为：，联立抛物线方程得到关于x的二次方程，由根与系数的关系可得到与的值，再由
得即则，
最后得到．
【小问1详解】
∵，则点，
由题意得：
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：
【小问2详解】
延长交y轴于点H，过点H作交的延长线于点N，
由点B、C的坐标得，，则
故设，则
抛物线的顶点坐标，又点
设直线的解析式为：，则，解得
∴直线的表达式为：，
则点，
∴则
∴，
则直线的表达式为：
因点Q既在直线上，又在抛物线上，故联立直线的表达式和抛物线的表达式得：
或
解得：（舍去）或或，
则点Q的坐标为：或；
【小问3详解】
设点E、F、M的横坐标分别m、n、x，而，
设直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：
则
点M、E、N、F在同一直线上，
则，
即
整理得：
而
则，
∴
即点M的纵坐标为．
立春
夏至
秋分
大寒
立春
夏至 立春
秋分 立春
大寒 立春
夏至
立春 夏至
秋分 夏至
大寒 夏至
秋分
立春 秋分
夏至 秋分
大寒 秋分
大寒
立春 大寒
夏至 大寒
秋分 大寒