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2024年湖北省武汉市中考二模数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年湖北省武汉市中考二模数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年湖北省武汉市中考二模数学试题原卷版docx、2024年湖北省武汉市中考二模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
1. ﹣6的相反数是（ ）
A. ﹣6B. ﹣C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【详解】解：相反数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．据此逐项判定即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 打开电视机，正在播放《新闻联播》B. 任意画一个三角形，其内角和是
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D. 买一张彩票，一定不会中奖
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、打开电视机，正在播放《新闻联播》，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项不符合题意；；
D、买一张彩票，一定不会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图是从物体的上面看的图形即可解答．
【详解】解：∵从砚台上面看到的图形是
故选．
【点睛】本题考查了俯视图的概念，理解俯视图的概念是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式逐项分析即可.
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：C．
6. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
7. 随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”这四种课程分别为A、B、C、D．
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、、，
∴小红和小明两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球）的概率为．
故选：A．
8. 某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据：
设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当x=3.8千克时，t的值约为（ ）
A 140B. 160C. 170D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】观察表格可知，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，由此求出质量x千克与烤制时间t分钟的关系式，再将x＝3.8千克代入即可求出烤制时间．
【详解】从表中可以看出，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制的时间增加20分钟，由此可知烤制时间是烤鸭质量的一次函数．
设烤制时间为t分钟，烤鸭的质量为x千克，t与x的一次函数关系式为：t＝kx+b，
，
解得，
所以t＝40x+20．
当x＝3.8千克时，t＝40×3.8+20＝172，约为170，
故选：C．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，解题的关键根据表格信息判断是一次函数并熟练运用待定系数法求解析式．
9. 如图，在中，，斜边是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接与交于点E，若时，弧的长为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】该题主要考查了圆周角定理和弧长的计算公式，解题的关键是掌握以上知识点．
已知，据此求出，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴弧的长为，
故选：B．
10. 已知点在反比例函数（为常数）图像上，．若，则的值为（ ）．
A. 0B. 负数C. 正数D. 非负数
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．
根据反比例函数可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答．
【详解】解：∵
∴反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵
∴或，
假设且，则，
∴，，
∴，
同理：当且时，．
故选B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 据中国青年报报道：“中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》为海内外受众奉上了一道除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142 亿人次，较去年增长29%, …．”将数据142亿用科学记数法表示为：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：142亿，
故答案：
12. 已知一次函数的图象过一、三象限，请写出符合上述条件的一个解析式：__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象、性质与系数的关系，已知一次函数的图象过一、三象限，根据一次函数性质特点即可知即可．
【详解】解：一次函数的图象过一、三象限，
由一次函数性质可得：，
当，图象经过一、二、三象限；
当，图象经过一、三象限；
当，图象经过一、三、四象限；
为使图象经过一、三象限只需使即可，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 化简分式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先通分，再利用分式减法计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是注意通分和约分．
14. 图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于，两点，灯臂与支架交于点，已知，，，则支架的长为_______cm．（结果精确到lcm，参考数据：，，）
【答案】49
【解析】
【分析】过点C作CD⊥MN于点D，在Rt△ADC中，根据正弦的定义，可求得DC的长，根据已知可得△DBC是等腰直角三角形，从而由勾股定理可得BC的长．
【详解】如图，过点C作CD⊥MN于点D
在Rt△ADC中，∠MAC=60°，AC=40cm
∴
∵∠ABC=∠MAC-∠ACB=60°-15°=45°，CD⊥MN
∴△DBC是等腰直角三角形
∴BD=DC
∴BC=
故答案为：49
【点睛】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，关键是根据题目条件作适当的辅助线，得到直角三角形，问题转化为解直角三角形．
15. 在中，，点D在内部，且满足，若的面积为13，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作的垂线段，交的延长线于点，根据题意证明，即可得，根据三角形的面积公式，即可解答．
【详解】
解：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点，
，，
，
设的度数为，则的度数为，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
设，
，
可得方程：，
解得，（舍去），
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，角度的等量代换，作出辅助线是解题的关键．
16. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝6；②若点C（﹣5，y1）、D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2；③对于任意实数t，总有at2＋bt≥4a＋2b；④对于a的每一个确定值（a＞0），若一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p为常数）有根，则p≥1﹣16a，其中正确的结论是_____．（填写序号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的根为x1＝﹣2，x2＝6，故①错误；
该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，函数图象开口向上，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②正确；
当x＝2时，函数取得最小值y＝4a＋2b＋c，故对于任意实数t，总有at2＋bt＋c≥4a＋2b＋c，即对于任意实数t，总有at2＋bt≥4a＋2b，故③正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
∴，
②﹣①得，32a＋8b＝0，即b＝﹣4a，
①×3＋②得，48a＋4c＝4，即c＝1﹣12a，
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p为常数）有根，则p≥，
∴p≥1﹣16a，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数各系数与函数图象的关系．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解不等式组：，并写出它的正整数解．
【答案】，正整数解为1，2，3
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组并求出其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的方法是解答此题的关键．再求出每个不等式的解，再求出解集，然后再找到对应的整数解即可．
【详解】解：
解不等式①：
解不等式②：
故不等式组的解集为：，
正整数解为：1，2，3．
18. 如图，已知E、F分别是的边上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】该题主要考查了平行四边形的判定与性质和菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用平行四边形的性质得出，从而得出，进而求解即可．
（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出，可求得，再利用直角三角形的性质得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
，且，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19. 为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计表：
身高情况分组表
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）抽取的样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组；
（2）抽取的样本中，女生身高在组的人数有多少人？
（3）已知该校共有男生840人，女生820人，请估计身高在组的学生人数．
【答案】（1）
（2）2人 （3）估计身高在组的学生约有415人
【解析】
【分析】本题考查的是频数分布直方图以及扇形统计图的应用，掌握用样本估计总体的方法，正确读懂扇形统计图的信息，理解中位数和众数的概念是解此题的关键．
（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
（2）先求出女生身高在组的百分比，再求出总人数然后计算即可；
（3）确定男、女学生身高在之间的百分比即可．
【小问1详解】
解：∵直方图中，组的人数为12，最多，
∴男生的身高的众数在组，
男生总人数为：，按照从低到高的顺序，第20，两人都在组，
∴男生的身高的中位数在组，
故答案为：；
【小问2详解】
解：女生身高在组的百分比为：，
∵抽取的样本中，男生、女生人数相同，
∴样本中，女生身高在组的人数有：（人）；
【小问3详解】
解：，
∴估计身高在组的学生约有415人．
20. 如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等．
（1）连接，由，得，而得到，由平行线的性质可得，从而即可得证；
（2）由圆周角定理可得，由勾股定理可得，从而得到，再由进行计算即可．
【小问1详解】
证明：连接，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
【小问2详解】
解：为的直径，
，
，，
，
，
由（1）得，
，
图中阴影部分的面积是．
21. 如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均为格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
（1）在图1中，先将线段绕点C顺时针旋转，画出旋转后的对应线段；再在线段上画点F，连接，使；
（2）在图2中，M，N分别是网格线上和网格内的一点．先过点M画与平行的直线l；再在直线l上画一点P，使．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查作图−旋转变换，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）取格点E，连接，在上截取，使得，连接即可；
（2）取格点G，连接交于点K，连接，延长交与点T，作直线即可，作点N关于的对称点，作直线，交直线l于点P，点P，直线l即为所求．
【小问1详解】
解：如图1中，点F即为所求；
【小问2详解】
解：如图2中，直线l，点P即为所求．
22. 春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____，花卉B的种植面积是______，花卉C的种植面积是_______．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
【答案】（1）；；
（2）10m （3）168000元
【解析】
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；
（2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：，
花卉B的面积为：，
花卉C的面积为：，
故答案为：；；；
【小问2详解】
解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为百元和百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴，
∴，
解方程得（舍去）或，
∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
【小问3详解】
解：∵花卉A与B的种植面积之和为：，
∴，
∴，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴，
∴，
∴，
∴当时，y随x的增加而减小，
∴当时，y最大，且（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式．
23. 在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到．
（1）【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为 ；
（2）【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）不发生变化，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）当时，，可得，由，得出，可得，推出，即可得出答案；
（2）通过证明，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
【小问1详解】
当时，，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
不发生变化，理由如下：
当时，，
则，
，，
由勾股定理可得：，
，
，
，，
，
由旋转得：，
即，
，
，
，
；
【小问3详解】
，，
，，
由勾股定理可得：，，
绕点顺时针旋转至，，三点共线，
，，
，
，
当旋转至直线上方时，如图，
则；
当旋转至直线下方时，如图，
则；
综上所述，线段的长为或．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
24. 已知，在以为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，与轴分别交于、两点．
（1）求该抛物线函数表达式；
（2）如图（1），点是抛物线上的一个动点，且在直线的下方，过点作轴的平行线与直线交于点，求的最大值；
（3）如图（2），过点的直线交轴于点，且轴，点是抛物线上、之间的一个动点，直线、与分别交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）为定值8
【解析】
【分析】（1）根据顶点式设二次函数的解析式为，结合点，求得即可；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式为，设，，则的横坐标为，纵坐标为，利用平行可得，得到即可求得最值；
（3）过点作轴交轴于点，求得，，设，则，，，利用平行得，有，求得，同理得，化简得即可．
【小问1详解】
解：根据抛物线的顶点为，设二次函数的解析式为，
抛物线经过点，
，
解得，
则；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，过点，则，
解得，
那么直线的解析式为，
设，，
则的横坐标为，纵坐标为，
由轴，得，
解得，
当时，有最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：为定值．理由如下，
如图，过点作轴交轴于点，
在中，令解得或，
故，，
设，则，，，
，
，
，
同理，，
，
，
故是定值，且为8．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离、求二次函数的最值以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练二次函数的性质和相似三角形的性质．鸭的质量千克
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
烤制时间分钟
40
60
80
100
120
140
160
180
组别
身高（）
1. ﹣6的相反数是（ ）
A. ﹣6B. ﹣C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【详解】解：相反数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．据此逐项判定即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 打开电视机，正在播放《新闻联播》B. 任意画一个三角形，其内角和是
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D. 买一张彩票，一定不会中奖
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、打开电视机，正在播放《新闻联播》，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项不符合题意；；
D、买一张彩票，一定不会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图是从物体的上面看的图形即可解答．
【详解】解：∵从砚台上面看到的图形是
故选．
【点睛】本题考查了俯视图的概念，理解俯视图的概念是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式逐项分析即可.
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：C．
6. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
7. 随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”这四种课程分别为A、B、C、D．
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、、，
∴小红和小明两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球）的概率为．
故选：A．
8. 某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据：
设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当x=3.8千克时，t的值约为（ ）
A 140B. 160C. 170D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】观察表格可知，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，由此求出质量x千克与烤制时间t分钟的关系式，再将x＝3.8千克代入即可求出烤制时间．
【详解】从表中可以看出，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制的时间增加20分钟，由此可知烤制时间是烤鸭质量的一次函数．
设烤制时间为t分钟，烤鸭的质量为x千克，t与x的一次函数关系式为：t＝kx+b，
，
解得，
所以t＝40x+20．
当x＝3.8千克时，t＝40×3.8+20＝172，约为170，
故选：C．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，解题的关键根据表格信息判断是一次函数并熟练运用待定系数法求解析式．
9. 如图，在中，，斜边是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接与交于点E，若时，弧的长为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】该题主要考查了圆周角定理和弧长的计算公式，解题的关键是掌握以上知识点．
已知，据此求出，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴弧的长为，
故选：B．
10. 已知点在反比例函数（为常数）图像上，．若，则的值为（ ）．
A. 0B. 负数C. 正数D. 非负数
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．
根据反比例函数可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答．
【详解】解：∵
∴反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵
∴或，
假设且，则，
∴，，
∴，
同理：当且时，．
故选B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 据中国青年报报道：“中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》为海内外受众奉上了一道除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142 亿人次，较去年增长29%, …．”将数据142亿用科学记数法表示为：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：142亿，
故答案：
12. 已知一次函数的图象过一、三象限，请写出符合上述条件的一个解析式：__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象、性质与系数的关系，已知一次函数的图象过一、三象限，根据一次函数性质特点即可知即可．
【详解】解：一次函数的图象过一、三象限，
由一次函数性质可得：，
当，图象经过一、二、三象限；
当，图象经过一、三象限；
当，图象经过一、三、四象限；
为使图象经过一、三象限只需使即可，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 化简分式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先通分，再利用分式减法计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是注意通分和约分．
14. 图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于，两点，灯臂与支架交于点，已知，，，则支架的长为_______cm．（结果精确到lcm，参考数据：，，）
【答案】49
【解析】
【分析】过点C作CD⊥MN于点D，在Rt△ADC中，根据正弦的定义，可求得DC的长，根据已知可得△DBC是等腰直角三角形，从而由勾股定理可得BC的长．
【详解】如图，过点C作CD⊥MN于点D
在Rt△ADC中，∠MAC=60°，AC=40cm
∴
∵∠ABC=∠MAC-∠ACB=60°-15°=45°，CD⊥MN
∴△DBC是等腰直角三角形
∴BD=DC
∴BC=
故答案为：49
【点睛】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，关键是根据题目条件作适当的辅助线，得到直角三角形，问题转化为解直角三角形．
15. 在中，，点D在内部，且满足，若的面积为13，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作的垂线段，交的延长线于点，根据题意证明，即可得，根据三角形的面积公式，即可解答．
【详解】
解：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点，
，，
，
设的度数为，则的度数为，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
设，
，
可得方程：，
解得，（舍去），
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，角度的等量代换，作出辅助线是解题的关键．
16. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝6；②若点C（﹣5，y1）、D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2；③对于任意实数t，总有at2＋bt≥4a＋2b；④对于a的每一个确定值（a＞0），若一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p为常数）有根，则p≥1﹣16a，其中正确的结论是_____．（填写序号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的根为x1＝﹣2，x2＝6，故①错误；
该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，函数图象开口向上，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②正确；
当x＝2时，函数取得最小值y＝4a＋2b＋c，故对于任意实数t，总有at2＋bt＋c≥4a＋2b＋c，即对于任意实数t，总有at2＋bt≥4a＋2b，故③正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
∴，
②﹣①得，32a＋8b＝0，即b＝﹣4a，
①×3＋②得，48a＋4c＝4，即c＝1﹣12a，
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p为常数）有根，则p≥，
∴p≥1﹣16a，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数各系数与函数图象的关系．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解不等式组：，并写出它的正整数解．
【答案】，正整数解为1，2，3
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组并求出其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的方法是解答此题的关键．再求出每个不等式的解，再求出解集，然后再找到对应的整数解即可．
【详解】解：
解不等式①：
解不等式②：
故不等式组的解集为：，
正整数解为：1，2，3．
18. 如图，已知E、F分别是的边上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】该题主要考查了平行四边形的判定与性质和菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用平行四边形的性质得出，从而得出，进而求解即可．
（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出，可求得，再利用直角三角形的性质得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
，且，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19. 为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计表：
身高情况分组表
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）抽取的样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组；
（2）抽取的样本中，女生身高在组的人数有多少人？
（3）已知该校共有男生840人，女生820人，请估计身高在组的学生人数．
【答案】（1）
（2）2人 （3）估计身高在组的学生约有415人
【解析】
【分析】本题考查的是频数分布直方图以及扇形统计图的应用，掌握用样本估计总体的方法，正确读懂扇形统计图的信息，理解中位数和众数的概念是解此题的关键．
（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
（2）先求出女生身高在组的百分比，再求出总人数然后计算即可；
（3）确定男、女学生身高在之间的百分比即可．
【小问1详解】
解：∵直方图中，组的人数为12，最多，
∴男生的身高的众数在组，
男生总人数为：，按照从低到高的顺序，第20，两人都在组，
∴男生的身高的中位数在组，
故答案为：；
【小问2详解】
解：女生身高在组的百分比为：，
∵抽取的样本中，男生、女生人数相同，
∴样本中，女生身高在组的人数有：（人）；
【小问3详解】
解：，
∴估计身高在组的学生约有415人．
20. 如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等．
（1）连接，由，得，而得到，由平行线的性质可得，从而即可得证；
（2）由圆周角定理可得，由勾股定理可得，从而得到，再由进行计算即可．
【小问1详解】
证明：连接，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
【小问2详解】
解：为的直径，
，
，，
，
，
由（1）得，
，
图中阴影部分的面积是．
21. 如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均为格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
（1）在图1中，先将线段绕点C顺时针旋转，画出旋转后的对应线段；再在线段上画点F，连接，使；
（2）在图2中，M，N分别是网格线上和网格内的一点．先过点M画与平行的直线l；再在直线l上画一点P，使．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查作图−旋转变换，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）取格点E，连接，在上截取，使得，连接即可；
（2）取格点G，连接交于点K，连接，延长交与点T，作直线即可，作点N关于的对称点，作直线，交直线l于点P，点P，直线l即为所求．
【小问1详解】
解：如图1中，点F即为所求；
【小问2详解】
解：如图2中，直线l，点P即为所求．
22. 春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____，花卉B的种植面积是______，花卉C的种植面积是_______．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
【答案】（1）；；
（2）10m （3）168000元
【解析】
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；
（2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：，
花卉B的面积为：，
花卉C的面积为：，
故答案为：；；；
【小问2详解】
解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为百元和百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴，
∴，
解方程得（舍去）或，
∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
【小问3详解】
解：∵花卉A与B的种植面积之和为：，
∴，
∴，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴，
∴，
∴，
∴当时，y随x的增加而减小，
∴当时，y最大，且（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式．
23. 在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到．
（1）【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为 ；
（2）【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）不发生变化，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）当时，，可得，由，得出，可得，推出，即可得出答案；
（2）通过证明，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
【小问1详解】
当时，，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
不发生变化，理由如下：
当时，，
则，
，，
由勾股定理可得：，
，
，
，，
，
由旋转得：，
即，
，
，
，
；
【小问3详解】
，，
，，
由勾股定理可得：，，
绕点顺时针旋转至，，三点共线，
，，
，
，
当旋转至直线上方时，如图，
则；
当旋转至直线下方时，如图，
则；
综上所述，线段的长为或．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
24. 已知，在以为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，与轴分别交于、两点．
（1）求该抛物线函数表达式；
（2）如图（1），点是抛物线上的一个动点，且在直线的下方，过点作轴的平行线与直线交于点，求的最大值；
（3）如图（2），过点的直线交轴于点，且轴，点是抛物线上、之间的一个动点，直线、与分别交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）为定值8
【解析】
【分析】（1）根据顶点式设二次函数的解析式为，结合点，求得即可；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式为，设，，则的横坐标为，纵坐标为，利用平行可得，得到即可求得最值；
（3）过点作轴交轴于点，求得，，设，则，，，利用平行得，有，求得，同理得，化简得即可．
【小问1详解】
解：根据抛物线的顶点为，设二次函数的解析式为，
抛物线经过点，
，
解得，
则；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，过点，则，
解得，
那么直线的解析式为，
设，，
则的横坐标为，纵坐标为，
由轴，得，
解得，
当时，有最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：为定值．理由如下，
如图，过点作轴交轴于点，
在中，令解得或，
故，，
设，则，，，
，
，
，
同理，，
，
，
故是定值，且为8．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离、求二次函数的最值以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练二次函数的性质和相似三角形的性质．鸭的质量千克
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
烤制时间分钟
40
60
80
100
120
140
160
180
组别
身高（）
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