2024年湖北省中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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（本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列实数中，在数轴上表示这个数的点到原点的距离最小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义以及实数的大小比较，先根据绝对值的意义求出各自的绝对值，然后比较大小即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
，
∵
∴到原点的距离最小，
故选∶C．
2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，据此来分析判断即可得解．
【详解】解：A选项，中心对称图形，故本选项符合题意；
B选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是求解关键．
3. 函数的自变量的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：中，，
，
故在数轴上表示为：

故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，要注意，不等式的解集包括1．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，同底数幂相乘，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据二次根式的运算法则计算并判定A、B；根据同底数幂相乘运算法则计算并判定C；根据幂的乘方运算法则计算并判定D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，计算正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
5. 在一次读书活动中，统计了20名学生的读书册数，结果如下表：
则这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A. 6，3B. 3，6C. 3，3D. 3，4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．找到出现次数最多的数据，即为众数；求出第10、11个数据的平均数即可得这组数据的中位数，从而得出答案．
【详解】解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为（册，
故选：C．
6. 如图，“箭头”是一个轴对称图形，，，，则图中∠G的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是通过作辅助线，由平行线的性质，得到，由三角形外角的性质求出、的度数，即可解决问题．
延长交于，延长交于，过作，得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可求出的度数．
【详解】解：延长交于，延长交于，过作，

∵“箭头”是一个轴对称图形，
∴，，
∵，，
∴，
，，
，
，
，，
，
同理：，
．
故选：C．
7. 在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，将线段绕点A顺时针旋转，点B的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质和直角坐标系中点的表示，点B的对应点记为点，过点B作轴于点C，过点作轴于点D，根据性质可证明，有和，结合点A和点B得坐标即可求得点．
【详解】解：点B的对应点记为点，过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图，
则，
∴，
由旋转的性质可得出：，
即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵A，B两点的坐标分别为，，
∴，
∴，，
即点．
故选∶A．
8. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．甲车比乙车先出发，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（单位：km）与甲车行驶的时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．则两车途中相遇时乙车行驶的时间是（ ）
A. 2.5hB. 2.75hC. 3hD. 3.25h
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用．先分别运用待定系数法求得甲、乙两车离A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式，然后确定交点的横坐标即可．
【详解】解：设甲所在的直线为，乙所在的直线为，
将代入，得：，解得，
∴甲所在的直线的表达式：；
将，代入可得：，
解得：．
∴乙所在直线的表达式为：；
当两车相遇时有：，解得：，
∴当时，两车相遇．
此时乙车行驶的时间是．
故选：A．
9. 如图，在中，是直径，点C是圆上一点．在的延长线上取一点D，是的切线，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，由切线的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理求得，在中，解直角三角形得，然后利用即可解答．
【详解】解：连接，

∵是的切线，
∴，即，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积，解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．
10. 已知抛物线经过点，，下列四个结论：
① 抛物线的对称轴是；
② b与c同号：
③ 关于x的一元二次方程的两根是，；
④ 当，抛物线上的两个点，且时，．其中结论正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查抛物线的性质，根据题意将点代入抛物线得到a和b的关系即可得到对称轴是；将点代入并结合即可得到b和c的关系式；结合点和对称轴即可得到与x轴的另一个交点3，即可判定关于x的一元二次方程的两根；将已知点代入得到关系式，结合整理得到，由得到a的正负，即可求得m的范围．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，解得，
则，故①正确；
∵抛物线经过点，
∴，
∵，
∴，解得，
则b与c同号，故②正确；
∵抛物线经过点，且对称轴是，
∴抛物线与x轴的交点为3，
则关于x的一元二次方程的两根是，，故③正确；
∵抛物线上的两个点，且，
∴，
整理得
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，解得，故④正确；
故选：D．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 正八边形的一个内角的度数是____ 度．
【答案】135
【解析】
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.
【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为： 1080°÷8=135°，
故答案为135.
12. 分解因式的结果为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为；．
13. 有四张完全一样正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率．正确的画树状图是解题的关键．
根据题意画树状图，然后求概率即可．
【详解】解：由题意画树状图如下；
∴共有种等可能的结果，抽取的两张卡片上的汉字相同共有4种等可能的结果，
∵，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是，
故答案为：．
14. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数系数K的几何意义是解题的关键．
设，在中，令得，进而得出，，，根据矩形ABCD面积是得到，即可得到答案．
【详解】解：设，在中，令得，
令得，
，，
∵矩形，
∴，，
，
设矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为，，，，如图，
∴，，，
，
，
，．
故答案为：2或．
15. 如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是________．
【答案】
【解析】
【详解】解：如图，延长交于点．

∵，
∴．
∴，
∴，，
设，，则，，正方形边长为，
∴．
由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
在中，，
∴
解得：，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据立方根定义，负整数指数幂运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
17. 如图，在平行四边形中，点M，N分别在边，上，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，根据平行四边形的性质可得出，，再由线段的和差可得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可得出．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
又∵点M，N分别在边，上，
∴，
∴四边形 是平行四边形，
∴．
18. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔100的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．求这时B处距离灯塔P的距离（结果取整数）．（参考数据：，，，，，）
【答案】处距离灯塔约有
【解析】
【分析】本题主要考查方位角解直角三角形应用，过点 P 作 ，垂足为 C，根据题意得，即可求得和，在 中求得，在中求得即可．
【详解】解：过点 P 作 ，垂足为 C，如图，
由题意得，，
∴，，
在 中，，
∴．
在中，，
∴B 处距离灯塔 P 约有．
19. 为了解某校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从“篮球、排球、乒乓球、足球及其他”等五个方面调查了m名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下面问题
（1）直接写出m的值和扇形统计图中“其他”部分所对应的圆心角：
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校有名学生，请估计该校喜欢“乒乓球”的人数．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）该校喜欢“乒乓球”的人数约人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体．从统计图中获取正确的信息是解题的关键．
（1）由题意知，，则“其他”部分的人数为所对应的圆心角为，计算求解即可；
（2）由题意知，足球的人数为（人），然后补充统计图即可；
（3）由题意知，“其他”部分的占比为，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，
“其他”部分的人数为所对应的圆心角为，
∴m的值为，扇形统计图中“其他”部分所对应的圆心角为；
【小问2详解】
解：由题意知，足球的人数为（人），
补充统计图如下图：
【小问3详解】
解：由题意知，“其他”部分的占比为，
∴（人），
∴ 该校喜欢“乒乓球”的人数约人．
20. 如图，直线的与曲线交于点，B两点．
（1）求不等式的解集；
（2）直线 分别与l，双曲线交于C，D两点（点C与点D不重合），若，求a的值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，等腰三角形的性质，中点坐标，利用数形结合，用图象法求解是解题的关键．
（1）先把代入，求解得，再把代入，求解得，联立解析式，解方程组求得点B的坐标，然后观察图象即可求得不等式的解集；
（2）过点A作于E，根据等腰三角形的性质得点E是，利用中点坐标公式即可求解．
【小问1详解】
解：把代入，得
，
∴
把代入，得
，解得：，
联立，解得：，，
∴
由图象可得：不等式的解集或；
【小问2详解】
解：如图，过点A作于E，
∵，
∴，，
当时，则，
∴
∴，
∴
解得：，，
∵点C与点D不重合
∴不符合题意，舍去，
∴．
21. 如图，是的直径，弦交于点F，，垂足为E，，．

（1）求证：；
（2）若，求和的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角等于得出，由已知条件可知，由同弧所对的圆周角相等得出，即可证明．
（2）过点C作，垂足为G，由勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质得出，求出，由等腰三角形的性质得出，，即可求出,根据对顶角相等以及同弧所对的圆周角相进一步得出，进一步可求出，由（1）得结论得出即可求出．
【小问1详解】
证明：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵所对的圆周角为和，
∴，
∴．
小问2详解】
如图，过点C作，垂足为G，

∵，，，
∴，
∵，
∴，
又
∴，
∴
即，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
即
∴．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键．
22. 某超市用600元购买一种文具，若商品的进价上涨，则少买20件．在销售过程中发现：售价为6（元/件）时，当天的销售量为100件，售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．
（1）求该文具的进价；
（2）设当天销售单价统一为x（元/件）（，且x是0.5的倍数），当天销售利润为y元．求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）：
（3）若每件文具的利润不超过，要使当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
【答案】（1）该玩具的进价为5元/件
（2）
（3）每件文具售价为元时，最大利润为元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用研究，二次函数的应用．在实际生活中，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答．
（1）设该玩具的进价为x元/件，根据商品的进价上涨20%，则少买20件，列出方程求解即可；
（2）根据总利润每件利润销售量，列出函数关系式即可；
（3）由题意可知，利润不超过即为利润率（售价进价）进价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设该玩具的进价为x元/件，根据题意，得
解得：，
经检验：是原方程的解，也符合题意，
∴该玩具的进价为5元/件．
【小问2详解】
解：由题意，得，
故与的函数关系式为：．
【小问3详解】
解：每件文具利润不超过，
，得，
文具的销售单价为，
由（1）得，
对称轴为，
在对称轴的左侧，且随着的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．
23. 如图，，是正方形边，上点，．
（1）在图（1）中，延长至点，使，并连接，求证：；
（2）在图（2）中，若，求值；
（3）在图（1）中，连接分别交，于点，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用边角边的方法判定两三角形全等即可．
（2）截取，证明，求即可．
（3）目的是求的值，考虑，现已有，再多找一个角相等即可．找出可得，找出可得为等腰直角三角形、，最后找出即可求．
【小问1详解】
如图，延长至点，使，并连接
四边形是正方形，
，，
又，
．
【小问2详解】
截取
四边形是正方形，
，，
又，
，
，即，
，
又，
，
，
，
，
，
，
设，
则在中
，
．
【小问3详解】
如图，延长至点，使，并连接，连接分别交，于点，，连接．
由（1）可知，
，，
四边形是正方形，，
，
，
，
又，
，
又
、、、四点共圆
为等腰直角三角形，
，
又，(对顶角相等)，
．
，
，
又，
．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、三角函数的应用，勾股定理解直角三角形．准确画出辅助线是解题的关键．
24. 如图，抛物线经过原点和点，它对称轴交抛物线于点．两点在对称轴上（点在的上方），且关于点对称，直线交抛物线于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），若的面积为，求点的坐标；
（3）如图（2），若，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）设出直线的解析式，联立方程组，求出点坐标，再由三角形面积即可求点坐标；
（3）过点作的垂线，垂足为，直线交轴于点，设的解析式为，由(2)得，，通过证明来求点坐标即可．
【小问1详解】
将，分别代入，
可得，
解得．
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
，
∴抛物线的对称轴为，顶点的坐标是．
设的解析式为，
联立
解得（舍）
或
．
而
，
，
解得，
∵点在的下方，
．
【小问3详解】
过点作的垂线，垂足为，直线交轴于点．
设的解析式为，由（2）得．
，
，
，
，
，
又，
．
，
解得．
∵点在的下方，
，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的三角函数是解题的关键．册数/册
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