甘肃省金昌市金川区龙门学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）
1. 4平方根是（ ）
A. 16B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根的定义即可得解．
【详解】解：∵，
∴4的平方根是，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方根，如果，那么x叫做a的平方根，熟记平方根的定义是解题的关键．
2. 点P（﹣2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）．
【详解】解：∵点P（﹣2，1）的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点P位于第二象限．
故选B．
3. 下列各数中是无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】A、是无理数，符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、 是有理数，不符合题意；
故选A．
4. 如图，已知直线a、b被直线c所截，下列条件不能判断的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解．
详解】解：A、，能判断两直线平行，故该选项不符合题意；
B、，能判断两直线平行，故该选项不符合题意；
C、∵,,
∴，能判断两直线平行，故该选项不符合题意；
D、，是邻补角互补，不能判断两直线平行，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握两直线平行的判定方法是解题的关键．
5. 估计的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据，即可得到．
【详解】解；∵，
∴，
故选：D．
6. 一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）
A. 30°B. 45°C. 55°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及直角三角板的各角度数，解答关键是根据利用平行线的性质找到相应角度之间的关系.
7. 如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到ab，理由是（ ）
A. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C. 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】三条直线AB、a、b位于同一平面内，且直线a与直线b都垂直于AB，即可根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出ab．
详解】∵直线AB、a、b位于同一平面内，且AB⊥a、AB⊥b
∴ab（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
故答案为B．
【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且同时垂直于一条直线是本题的关键．
8. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系每一象限点的坐标特征是解题的关键．根据平面直角坐标系中点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据第四象限内点的坐标特征，即可解答．
【详解】解：在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为，
故选：B．
9. 若，，则的值等于（ ）
A. 5B. 1C. -1D. -5
【答案】C
【解析】
【分析】将两整式相加即可得出答案．
【详解】∵，，
∴，
∴的值等于，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10. 如图，在中，，将沿直线向右平移2个单位得到，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是16．其中结论正确的个数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．根据平移的性质逐一判定即可．
【详解】解：∵将沿直线向右平移2个单位得到，
∴，，，，，，
∴．
四边形的周长．
即结论正确的有3个．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点关于轴对称点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12. 若是关于的二元一次方程，则m的值为_________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐个判断即可．
【详解】解：∵是关于的二元一次方程，
∴且，
解得，
故答案为：0．
13. 计算：= _____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，先去括号，然后计算加减法即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为__________．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可．
【详解】把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
15. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．
【详解】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于．

故答案为．
【点睛】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．
16. 已知满足，则的值为________．
【答案】2025
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的性质，代数式求值，根据实数的性质可得，进而得到，则可求出．
【详解】解；∵有意义，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：2025．
三、解答题（本大题共6小题，共35分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程组：．
【答案】．
【解析】
【分析】把方程组整理后再运用加减法进行求解即可．
【详解】解：，
原方程组可化为：，
得，，
把代入①得，，
解得，
所以，方程组解是．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，方法主要有：加减消元法和代入消元法．
18. 已知一个正数的两个不同的平方根分别为和，求a和这个正数．
【答案】，81
【解析】
【分析】本题考查平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得出相关的方程，计算即可．解题关键是明确一个正数的两个平方根互为相反数．
【详解】∵一个正数的两个平方根分别为和，
∴，
解得：．
∴．
∴这个数为81．
19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．
【答案】（1）答案见解析；（2）A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．
【解析】
【分析】(1)、关于x轴的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别画出各点，然后顺次进行连接得出图形；
(2)、根据平移的法则画出图形，得出各点的坐标.
【详解】解：(1)、如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)、如图所示：△A2B2C2，即为所求，
点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）
【点睛】本题主要考查关于平面直角坐标系中点的对称和平移，解题的关键是要熟练地掌握点关于坐标轴对称的点的特点以及点的平移规律.
20. 已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab＋＋e2＋的值．
【答案】6.5
【解析】
【分析】由题意可得：ab＝1，c＋d＝0，e＝±，f＝64，所以e2＝(±)2＝2，＝=4，再将已知数值代入要求的式子即可．
【详解】解：由题意可知：ab＝1，c＋d＝0，e＝±，f＝64，
∴e2＝(±)2＝2，＝=4.
∴ab＋＋e2＋＝＋0＋2＋4＝6．
【点睛】本题主要考查了倒数，相反数，绝对值，算术平方根和立方根，熟知相关知识是解题的关键．
21. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求实数m的值.
【答案】
【解析】
【分析】解方程组得到，将其代入即可求出m的值.
【详解】解关于x，y的方程组得
因为，所以，解得.
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．
22. 如图，已知，，，试说明直线AD与BC垂直（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．
理由：C，（已知）
，（ ）
．（ ）
又，（已知）
=180°．（等量代换）
，（ ）
．（ ）
，（已知）
，
．
【答案】GD；AC；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；AD；EF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AD；BC
【解析】
【分析】结合图形，根据平行线的判定和性质逐一进行填空即可．
【详解】解：，已知
，同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
又，（已知）
（等量代换）
，同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
四、解答题（本大题共5小题，共37分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23. 已知第一个正方体纸盒的棱长是6厘米，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大127立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
【答案】第二个正方体纸盒的棱长是7厘米.
【解析】
【详解】【分析】设第二个正方体纸盒的棱长是x厘米，根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解即可．
【详解】设第二个纸盒的棱长为x厘米，
∵已知第一个正方体纸盒的棱长为6厘米，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127厘米3，
∴x3-63=127，
∴x3=127+216=343，
x3=343=73,
∴x=7厘米，
答：第二个正方体纸盒的棱长是7厘米.
【点睛】本题考查立方根的应用，读懂题意，根据题意找到等量关系列出方程求解是关键.
24. 如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．求∠AGD的度数．
【答案】∠AGD的度数为110°．
【解析】
【分析】此题要注意由EF∥AD，可得∠2=∠3，由等量代换可得∠1=∠3，可得DG∥BA，根据平行线的性质可得∠BAC+∠AGD=180°，即可求解．
【详解】∵EF∥AD(已知)
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)；
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠3(等量代换)；
∴DG∥AB(内错角相等，两直线平行).
∴(两直线平行，同旁内角互补) ，
∵
∴
【点睛】考查平行线的判定与性质，常见的平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
25. 在大长方形中，放入九个相同的小长方形，数据如图所示，请求出小长方形的长和宽．
【答案】小长方形长为8，宽为3
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设小长方形长为x，宽为y，根据长加宽的3倍等于17，长加宽的4倍等于20列出方程组求解即可．
【详解】解：设小长方形长为x，宽为y，
由题意得，，
解得：，
答：小长方形长为8，宽为3．
26. 如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B在第一象限内
（1）如图1，写出点B的坐标；
（2）如图2，若过点C的直线CD交AB于点D，且把长方形OABC的周长分为3:1两部分，求点D坐标；
（3）如图3，将（2）中的线段CD向下平移2个单位，得到C′D′，试计算四边形OAD′C′面积．
【答案】（1）B（3，5）；（2）（3，4）；（3）7.5．
【解析】
【详解】解：（1）根据题意可知，点B（3，5）
（2）由题意可知，OC=AB=3
∴
∴（5-AD+3）：（5+3+AD）=1：3 ∴ 8+AD=3（8-AD）
∴ AD=4
∴点D的坐标为（3，4）
（3）由题意知：C´（0，3），D´（3，2）
由图可知：OA=3，AD´=2，OC´=3
∴S四边形
=7.5．
27. （本题满分10分）综合与实践课上，同学们以“ 一个含 角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线a，b，且，三角形是直角三角形，，，．
操作发现：
（1）如图1，若，求 的度数；
（2）如图 2，创新小组的同学把直线a 向上平移，并把 的位置改变，发现，请说明理由．
实践探究：
（3）缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图 2 中的图形继续变化得到图 3 ， 平分，此时发现与又存在新的数量关系．请写出 与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）；（2）见分析；（3），理由见分析．
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质与判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理．
（1）根据、及的和为可求出，根据平行线的性质解答；
（2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论；
（3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可．
【详解】（1）解：如答图1，

，，
，
，
；
（2）解：理由如下：
如答图2，过点B作，

，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
如答图3，过点C作，

，
平分，，
，
，
，，
，
，
，
，
．