广东省惠州市龙门县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟．
2．本试卷采用网阅形式阅卷，请将答题信息与答题过程在配套的答题卡上完成．试卷上答题无效．
3．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在本试卷配套答题卡的相应的位置里．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 27的立方根是( )
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根．由，可得答案．
【详解】解：根据立方根定义，因为，所以27的立方根是3．
故选A
【点睛】本题考查的是求解一个数的立方根． 解题关键点：熟记立方根的定义，求出立方等于27的数．
2. 实数的倒数是（ ）
A. B. 24C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，
根据乘积为1的两个数互为倒数，即可解答
【详解】解：的倒数是，
故选：A
3. 如图所示，某同学的家在处，他想尽快赶到附近处搭顺风车．他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 两点之间，线段最短
C. 垂线段最短D. 经过一点有无数条直线
【答案】B
【解析】
【分析】依据线段的性质进行判断即可．两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
【详解】解：他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是：两点之间，线段最短．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段的性质，简单说成：两点之间，线段最短．
4. 如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则( )
A. 乙比甲先到B. 甲和乙同时到C. 甲比乙先到D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移可得出两蚂蚁行程相同，结合二者速度相同即可得出结论．
【详解】如图：根据平移可得两只蚂蚁的行程相同，
∵甲、乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的速度相同，
∴两只蚂蚁同时到达．
故选B.
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，结合图形找出甲、乙两只蚂蚁的行程相等是解题的关键．
5. 平方根等于它本身的数是（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根的定义解答： 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．任何正数a的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根仍旧是零；负数没有平方根．
【详解】解：根据平方根的定义， 平方根等于它本身的数只有0．
故选：A．
【点睛】本题考查平方根，熟知平方根的定义是解题的关键．
6. 将一副三角板按如图所示的方式放置，和两个角的顶点重合，等腰直角三角板的斜边与另一个三角板的较长直角边平行，且直角顶点在较长直角边上，则图中等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质；由平行线的性质推出，由三角形外角的性质求出．
【详解】解：如图所示
，
，
，
．
故选：C．
7. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解题，四个象限的符号特征为：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-） ．
【详解】小手盖住的是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数，
故选：D．
【点睛】本题考查象限及点的坐标的有关性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8. 已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（ ）
A. 16B. 28C. 32D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】利用给出的交点个数，推导出规律，再将8代入计算即可．
【详解】解：∵条直线最多有个交点，
条直线最多有个交点，
条直线最多有个交点，
……
∴条直线最多有个交点，
∴时，（个），
∴条直线最多有个交点．
故选：B．
【点睛】本题考查直线的交点个数，也就是数字规律题，解题的关键是找到数字规律，把特殊值代入求值．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 对顶角相等，相等的角是对顶角
B. 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 任何一个锐角的余角比它的补角小90°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了对顶角、点到直线的距离、垂线的定义、余角与补角等知识点，解题的关键是熟知相关概念．
根据对顶角、点到直线的距离、垂线、余角与补角等相关定义逐项进行判断即可．
【详解】A、对顶角相等是成立的，但相等的角不一定是对顶角，比如：等腰三角形的两个底角相等，却不是对顶角．此选项错误；
B、点到直线的距离指的是从直线外一点到该直线的垂线段的长度，此选项错误；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此选项错误；
D、设一个锐角为α，则它的余角比它的补角小：，此选项正确．
故选：D．
10. 如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．关键是掌握平行线的判定定理．
【详解】解：，
，故选项A不合题意；
，
，不能判定，故选项B符合题意；
，
，故选项C不合题意；
∵，
，故选项D不合题意．
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 如图，与是同位角的角是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同位角的定义，同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，是一道基础题，比较简单．依题意，根据同位角的定义解答，在截线的两旁找同位角，即可得出答案．据此解答即可．
【详解】解：根据图形可知：
与的同位角是，
故答案为：．
12. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，这是真命题，
故答案为：真．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，写出一个命题的逆命题，三角形内角和定理，正确写出原命题的逆命题是解题的关键．
13. 在实数中，最大的无理数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数以及实数的大小比较，理解无理数的定义是解题关键．先找出实数中的无理数，再根据实数大小比较法则，即可得出答案．
【详解】解：在实数中，无理数有，
，
最大的无理数是，
故答案为：．
14. 点A（﹣2，3）到x轴的距离是 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】求得A的纵坐标的绝对值即可求得P点到x轴的距离．
【详解】解：∵点A的纵坐标为3，
∴A点到x轴的距离是|3|=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟练掌握点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．
15. 如图，将沿着点B到C的方向平移到的位置．，,平移距离为8，则阴影部分面积为__________．
【答案】80
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，根据平移的性质得出，则，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解．
【详解】解：由平移的性质知，，
∴，
∴．
故答案为：80．
三、解答题（一）（共3小题，第16题10分，每小题5分，第17、18题各7分，共24分）
16. （1）计算：．
（2）若和是数的两个不同的平方根，求的值．
【答案】（1）6；（2）
【解析】
【分析】本题考查了立方根、平方根、绝对值、正整数指数幂等知识点，解题的关键是熟知相关定义与运算法则．
（1）根据立方根、绝对值、正整数指数幂等运算法则进行计算即可；
（2）根据一个非负数的两个平方根互为相反数求得a的值，然后计算出其中一个平方根，最后即可求得m的值．
【详解】解：（1）原式；
（2）∵与是m的两个不同的平方根，
∴，
解得，
∴，
∴．
17. 已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标．
（1）若点P在y轴上，则点P的坐标为__________．
（2）若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为__________．
（3）若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为__________．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据y轴上点横坐标为0即可求解；
（2）根据相反数的意义即可求解；
（3）根据通过原点的第一、三象限角平分线上横纵坐标相同即可求解．
【小问1详解】
∵点在y轴上，
∴，则，
∴点P的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意得：，
解得：，则
∴点P的坐标为．
故答案为：；
【小问3详解】
∵点P在一、三象限角平分线所在直线上，
∴，
解得：．则．
∴点P的坐标为．
故答案为：．
18. 完成下面的证明．
如图，已知，，求证：．
证明：
（__________）
又
__________（__________）
（__________）
【答案】两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质及判定，还涉及等量代换等，解题的关键是正确区分同位角、内错角等概念．
根据平行线的判定和性质进行填空与注释即可．
【详解】证明：∵
∴（两直线平行 同位角相等）
又
∴ （等量代换）
∴（内错角相等 两直线平行）
故答案依次是：两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平行
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，把的点A平移到点，点B、C的对应点分别是点、．
（1）在图中画出
（2）写出点、的坐标： __________， __________；
（3）若内部一点P的坐标为，则点P平移后的对应点的坐标是__________．
【答案】（1）见详解 （2）；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了图形与坐标，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据平移前后图形的大小，形状不发生变化，描出点、，然后连接，即可作答．
（2）直接读取平面直角坐标系的信息，进行作答即可；
（3）先得出平移的规律，结合（1）的结论作答即可．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：由（1）的平面直角坐标系得出；
【小问3详解】
解：∵，
∴平移规律为向右平移4个单位， 平移1个单位，
∴内部一点P的坐标为，则点P平移后的对应点的坐标是．
20. 估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算．
信息一：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
信息二：2.5整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成得来的；
信息三：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻整数之间，如，是因为，根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分__________，小数部分是__________．
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为：，求的值；
（3）已知，其中x是整数，，求的值．
【答案】（1）3，
（2）23 （3）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的整数部分以及无理数的大小比较，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据，即可得出的整数部分和小数部分；
（2）因为，所以，结合“也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为：”，即可作答．
（3）结合（1），得出，则，再代入进行运算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，小数部分是；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为：，
∴；
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，其中x是整数，，
∴，
则．
21. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．
（1）求，的值及；
（2）若点在轴上，且，试求点的坐标．
【答案】（1），，
（2）点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）由非负数的性质可求得a与b的值，则可得点A与B的坐标，从而求得AB的长，由已知可得CO的长，因此可求得△ABC的面积；
（2）设点的坐标为，则可得AM的长度，由题目中的面积关系可得关于x的方程，解方程即可求得x的值，从而求得点M的坐标．
【小问1详解】
∵，
∴，，
∴，，
∴点，点．
又∵点，
∴，，
∴．
【小问2详解】
设点的坐标为，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：或，
故点的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，绝对值与算术平方根非负性质的应用，三角形的面积计算，涉及方程思想与数形结合思想的应用．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为__________；
图2中与数量关系为__________；
因此得出一个真命题（用文字叙述）：__________．
②请选择其中一幅图证明结论．
（2）根据①所得的结论，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请直接写出这两个角的度数．
【答案】（1）①；；如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；②见解析
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用；解题的关键是熟知平行线的性质．
（1）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等，同旁内角互补）进行推导与证明即可．
（2）根据结论：若两个角的两边互相平行，则这两个角相等或者互补，可以分别列出方程求解即可．
【小问1详解】
①图1中与数量关系为；
图2中与数量关系为 ；
因此得出一个真命题（用文字叙述）：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
②选择图1：
∵
∴（两直线平行 内错角相等）
∵
∴（两直线平行同旁内角互补）
∴
选择图2： ∵
∴（两直线平行 内错角相等）
∵
∴（两直线平行 内错角相等）
∴（等量代换）
【小问2详解】
对于图1，因为两个角互补，故设，则，
根据题意得：
解得，即．
对于图2，因为两个角相等，故设，
根据题意得：．
解得：，即．
综合以上两种情况可知，这两个角分别是、或、
23. 【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，，点P在与之间，可得结论：．
理由如下：过点P作．∴．
∵，∴．∴．∴．
【问题解决】
（1）如图②，，点P在与之间，求证：；
（2）如图③，，点P在与之间，平分，平分，写出与间等量关系，并写出理由；
（3）如图④，，点P，E在与之间，，，可得与间等量关系是______（只写结论）
【答案】（1）见解析 （2），见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过点P作．由平行线的性质可得，，进而可得；
（2）由题意可设，，则，，由（1）可知：，同理可得，可得，，证得；
（3）由（2）可知，由，，可得，由题意可知，进而可得；
【小问1详解】
证明：过点P作．
∵，
∴；
∵，
∴．
∴，
∴；
【小问2详解】
结论：．
理由：如图中，∵平分，平分，
∴，．
设，，则，，
由（1）可知：，
同理可得：，
，，
∴；
【小问3详解】
．
理由如下：由（2）可知，
∵，，
∴，即：，
由题意可知：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理的推论，等量代换等相关知识．解题的关键是熟练运用平行线的判定与性质，难点是作辅助线构建平行线．