2023-2024学年北京161中高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年北京161中高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={α|α=kπ+π2,k∈Z}，集合B={α|α=2kπ±π2,k∈Z}，则A与B的关系为( )
A. A=BB. A⫋BC. A⫌BD. A∩B=⌀
2.如图，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为35，则sin(π2+α)的值为( )
A. −35B. 35C. −45D. 45
3.在△ABC中，若a2−b2+c2+ac=0，则B=( )
A. π6B. π4C. π3D. 2π3
4.已知a=tan1，b=tan2，c=tan3，则( )
A. a5.要得到函数y=sin(12x−π4)的图象，只需将函数y=sinx图象上的所有点( )
A. 先向右平移π4个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍
B. 先向右平移π4个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12
C. 先向右平移π8个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍
D. 先向右平移π8个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12
6.下列四个函数中，最小正周期为2π，且为偶函数的是( )
A. y=|csx|B. y=cs2x
C. y=cs(x+π4)D. y=csx+cs2x
7.函数y= 3sin2x+cs2x的图象的一个对称中心是( )
A. (π6,0)B. (−π6,0)C. (π12,0)D. (−π12,0)
8.设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m⋅n<0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知角α为第一象限角，且sinα2>csα2，则sinα2的取值范围是( )
A. (− 22,0)B. (−1,− 22)C. (0, 22)D. ( 22,1)
10.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为( )
A. 4β+4csβB. 4β+4sinβC. 2β+2csβD. 2β+2sinβ
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=1,A=π4,B=π6，则b=______.
12.设a、b均为单位向量，且a⋅b=14，则|a+2b|=______.
13.已知角α，β的终边关于直线y=x对称，且sin(α−β)=12，则α，β的一组取值可以是α=______，β=______.
14.如图，正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点E，P是EB的中点，Q为AC上任
意一点，则PQ⋅BD=__________.
15.若函数f(x)=2xsinx−1(0①x1x2>π2
②x1+x2<3π4
③cs(x1+x2)<0
④csx1−sinx2<0
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
在△ABC中，AC= 6，BC= 3，sin(A+B)=13.
(1)求△ABC的面积；
(2)求边AB的长.
17.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，已知向量m=(1,−1)，n=(sinx,csx).
(1)若m⊥n，求x的值；
(2)若m与n的夹角为π3，求sin2x的值.
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)由下列四个条件中的三个来确定：
①最小正周期为π；②最大值为2；③f(−π6)=0；④f(0)=−2.
(1)写出能确定f(x)的三个条件，说明理由，并求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈[−π3,π12]时，求证：f(x)≥− 3.
19.(本小题15分)
已知tan(α+π4)=3，其中π<α<3π2.
(1)求tanα的值；
(2)求sin2(−α)+sin(π+2α)sin2(3π2−α)的值；
(3)设β∈(−π,0)，且cs(α+β)= 1010，求β的值.
20.(本小题14分)
已知函数f(x)=asinx−3a，其中a∈R且a≠0.
(1)若对任意x∈R，方程f(x)=0有解，求a的取值范围；
(2)若对任意x∈R，都有f(x)≤12cs2x−a−12，求a的取值范围.
21.(本小题15分)
对于集合A={θ1,θ2,⋯,θn}和常数θ0，定义：μ=cs2(θ1−θ0)+cs2(θ2−θ0)+⋯+cs2(θn−θ0)n为集合A相对的θ0的“余弦方差”.
(1)若集合A={π3,π4},θ0=0，求集合A相对θ0的“余弦方差”；
(2)若集合A={π4,α,β}，是否存在α∈[3π4,π),β∈[3π2,74π),使得相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，则说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题集合间的包含关系，属于基础题．
对于集合A，可分k为奇数和偶数两种情况讨论，从而可解．
【解答】
解：当对于集合A，当k取奇数时，令k=2n−1，α=2nπ−π2，n∈Z，
当k取偶数时，令k=2n，α=2kπ+π2，n∈Z，、
则A=B，
故选：A.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(π2+α)的值．
【解答】
解：角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，
且点P的横坐标为35，则sin(π2+α)=csα=35，
故选：B.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题．
直接利用余弦定理的应用求出结果．
【解答】
解：若a2−b2+c2+ac=0，
所以csB=c2+a2−b22ac=−12，
由于B∈(0,π)，
所以B=2π3.
故选：D.
4.【答案】C
【解析】解：∵已知a=tan1>1，b=tan2=−tan(π−2)<0，c=tan3=−tan(π−3)<0.
再根据π2>π−2>π−3>0，∴tan(π−2)>tan(π−3)>0，∴−tan(π−2)<−tan(π−3)<0.
综上可得，a>0>c>b，
故选C.
根据a=tan1>1，b=tan2=−tan(π−2)<0，c=tan3=−tan(π−3)<0.再根据π2>π−2>π−3>0，可得tan(π−2)>tan(π−3)>0，从而得到a、b、c的大小关系．
本题主要考查诱导公式、正切函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：要得到函数y=sin(12x−π4)的图象，
只需将函数y=sinx图象上的所有点先向右平移π4个单位长度，
再把横坐标伸长到原来的2倍即可，
故选：A.
由题意，根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：对于A：令h(x)=|csx|，则h(x+π)=|cs(x+π)|=|csx|=h(x)，
所以π为y=|csx|的周期，故A错误；
对于B：令y=f(x)=cs2x=12cs2x+12，
则f(−x)=12cs(−2x)+12=12cs2x+12=f(x)，
所以y=cs2x为偶函数，且最小正周期T=2π2=π，故B错误；
对于C：y=cs(x+π4)为非奇非偶函数，故C错误；
对于D：令y=g(x)=csx+cs2x，
则g(−x)=cs(−x)+cs(−2x)=csx+cs2x=g(x)，
所以y=csx+cs2x为偶函数，
又y=csx的最小正周期为2π，y=cs2x的最小正周期为π，
所以y=csx+cs2x的最小正周期为2π，故D正确．
故选：D.
根据余弦型函数的奇偶性与周期性一一判断即可．
本题主要考查余弦型函数的奇偶性与周期性，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为y= 3sin2x+cs2x=2( 32sin2x+12cs2x)=2sin(2x+π6)，
令2x+π6=kπ,k∈Z，解得x=−π12+kπ2,k∈Z，
所以函数的对称中心为(−π12+kπ2,0)，k∈Z，
当k=0可得其一个对称中心为(−π12,0).
故选：D.
利用两角和的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得．
本题考查三角函数的性质，考查辅助角公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
从充分性和必要性两方面分别分析即可.
【解答】
解：m，n为非零向量，存在负数λ，使得m=λn，则向量m，n共线且方向相反，可得m⋅n<0.
反之不成立，非零向量m，n的夹角为钝角，满足m⋅n<0，而m=λn不成立．
∴m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是m⋅n<0”的充分不必要条件．
故选A.
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角函数值的符号和三角函数线，是中档题．
由已知可得α2的范围，结合sinα2>csα2，可得sinα2的取值范围．
【解答】
解：∵角α为第一象限角，∴2kπ<α<π2+2kπ，k∈Z，
则kπ<α2<π4+kπ，k∈Z，又sinα2>csα2，
∴π+2kπ<α2<5π4+2kπ,k∈Z，
∴sinα2的取值范围是(− 22,0)，
故选：A.
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．
由题意可得∠AOB=2∠APB=2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB时，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．
【解答】
解：设圆心为O，由题意可得∠AOB=2∠APB=2β，
要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB时，
即有QO=2，Q到线段AB的距离为2+2csβ，
AB=2⋅2sinβ=4sinβ，
扇形AOB的面积为12⋅2β⋅4=4β，
△ABQ的面积为12(2+2csβ)⋅4sinβ
=4sinβ+4sinβcsβ=4sinβ+2sin2β，
S△AOQ+S△BOQ=S△ABQ−S△ABO
=4sinβ+2sin2β−12⋅2csβ⋅4sinβ=4sinβ，
即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ.
故选B.
11.【答案】 22
【解析】解：由正弦定理asinA=bsinB，即1 22=b12，解得b= 22.
故答案为： 22.
由题意利用正弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
12.【答案】 6
【解析】解：因为a、b均为单位向量，且a⋅b=14，
所以|a+2b|= (a+2b)2= a2+4a⋅b+4b2= 12+4×14+4×12= 6.
故答案为： 6.
根据|a+2b|= (a+2b)2及数量积的运算律计算可得．
本题考查平面向量的数量积运算与模的求法，属于基础题．
13.【答案】π3 π6
【解析】解：因为角α，β的终边关于直线y=x对称，可得α+β=2⋅(π4+kπ)=π2+2kπ，k∈Z，
又因为sin(α−β)=12，可得α−β=π6+2k1π或α−β=5π6+2k1π，k1∈Z，
所以α=π3+(k+k1)πβ=π6+(k+k1)πk∈Z,k1∈Z，或α=2π3+(k+k1)πβ=−π6+(k+k1)πk∈Z,k1∈Z，
取α=π3，β=π6.
故答案为：π3；π6.
角α，β的终边关于直线y=x对称，可得α，β的关系，再由sin(α−β)=12，由可得α，β的关系，进而求出α，β的一组值．
本题考查三角函数的求值，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的求法，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
利用已知条件，结合向量的数量积公式求解即可．
【解答】
解：正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点E，P是EB的中点，
Q为AC上任意一点，|BD|=2 2，
PQ⋅BD=|BD||PQ|cs∠QPD=|BD|⋅|PE|=2 2×2 24=2.
故答案为：2.
15.【答案】②③④
【解析】解：分别令f(x)=0，g(x)=0，得sinx=(12)x，csx=(12)x，
所以函数f(x)的零点等价于y=sinx与y=(12)x图象交点的横坐标，
函数g(x)的零点等价于y=csx与y=(12)x图象交点的横坐标，
作出函数y=sinx、y=csx和y=(12)x在(0,π2)上的图象，如图所示：
因为函数y=sinx与y=csx在(0,π2)上的图象关于y=π4对称，y=(12)x单调递减，
所以x1∈(0,π4),x2∈(π4,π2)，π4−x1所以x1x2∈(0,π28),x1+x2∈(π2,3π4)，
则π28<4π8=π2，cs(x1+x2)<0，故①错误，②③正确，
又sinx1=(12)x1>(12)x2=csx2>0，
所以csx1= 1−sin2x1故答案为：②③④．
将函数f(x)和g(x)的零点问题转化成函数图象交点问题，再数形结合研究分析即可．
本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，考查了三角函数的图象与性质、指数函数的图象与性质，属于中档题．
16.【答案】解：(1)sinC=sin(A+B)=13…(1分)
△ABC的面积为12⋅AC⋅BC⋅sinC=12× 6× 3×13= 22…(4分)
(2)由(1)可知csC=2 23或csC=−2 23…(6分)
①当csC=2 23时，AB= ( 6)2+( 3)2−2 6⋅ 3⋅2 23=1…(9分)
②当csC=−2 23时，AB= ( 6)2+( 3)2−2 6⋅ 3⋅(−2 23)= 17…(12分)
【解析】(1)直接利用已知条件和三角关系式的转化求出三角形的面积．
(2)利用(1)的结论直接利用余弦定理求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用，余弦定理的应用．
17.【答案】解：(1)因为m=(1,−1)，n=(sinx,csx)，且m⊥n，
所以m⋅n=sinx−csx=0，所以sinx=csx，即tanx=1，
所以x=π4+kπ,k∈Z；
(2)因为m=(1,−1)，n=(sinx,csx)，
所以|m|= 12+(−1)2= 2，|n|= sin2x+cs2x=1，
又因为m与n的夹角为π3，所以m⋅n=|m|⋅|n|csπ3= 22，
又因为m⋅n=sinx−csx，所以sinx−csx= 22，
两边同时平方化简可得：sin2x−2sinxcsx+cs2x=12，
即1−sin2x=12，所以sin2x=12.
【解析】(1)依题意可得m⋅n=0，根据数量积的坐标表示得到tanx=1，从而求出x；
(2)首先求出|m|，|n|，由数量积的定义得到m⋅n= 22，从而得到sinx−csx= 22，将两边平方即可得解．
本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)若选②③④，则A=2，又f(0)=2sinφ=−2，所以sinφ=−1，
则φ=3π2+2kπ,k∈Z，又0<φ<π2，所以φ无解，故不符合题；
若选①③④，则T=2πω=π，解得ω=2，由f(−π6)=Asin(−π3+φ)=0，又0<φ<π2，所以φ=π3，
又f(0)=Asinπ3=−2，解得A=−4 33，与A>0矛盾，故不符合题意；
若选①②④，则A=2，T=2πω=π，解得ω=2，又f(0)=2sinφ=−2，
所以sinφ=−1，
则φ=3π2+2kπ,k∈Z，又0<φ<π2，所以φ无解，故不符合题；
所以只能选①②③．
由条件①②③，则A=2，T=2πω=π，解得ω=2，则f(x)=2sin(2x+φ)，
由f(−π6)=2sin(−π3+φ)=0，又0<φ<π2，得φ=π3，
所以f(x)=2sin(2x+π3)；
(2)令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z.
(3)证明：当x∈[−π3,π12]时2x+π3∈[−π3,π2]，
则sin(2x+π3)∈[− 32,1]，
当2x+π3=−π3，即x=−π3时f(x)取得最小值，即f(x)min=f(−π3)=− 3，
当2x+π3=π2，即x=π12时f(x)取得最大值，即f(x)max=f(π12)=2，
所以f(x)∈[− 3,2]，
所以f(x)≥− 3.
【解析】(1)根据所选条件求出参数A、ω、φ的值，推出矛盾，即可确定只能选①②③，从而求出函数解析式；
(2)根据正弦函数的性质计算可得；
(3)由x的取值范围求出2x+π3的范围，即可求出函数在[−π3,π12]上的值域，即可证明．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题tanα=tan[(α+π4)−π4]=tan(α+π4)−tanπ41+tan(α+π4)tanπ4=3−11+3×1=12，
(2)由(1)，原式=sin2α−sin2αcs2α=sin2α−2sinαcsαcs2α=tan2α−2tanα=(12)2−2×12=−34，
(3)由(1)tanα=12，即csα=2sinα，
又由sin2α+cs2α=1，π<α<3π2，
所以sinα=− 55，csα=−2 55，
又由β∈(−π,0)，α+β∈(0,3π2)，
又cs(α+β)= 1010，故α+β∈(0,π2)，sin(α+β)=3 1010，
所以csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα
= 1010×(−2 55)+3 1010×(− 55)=− 22，
故由β∈(−π,0)⇒β=−3π4.
【解析】(1)由α=(α+π4)−π4结合已知条件即可求出tanα.
(2)利用诱导公式和倍角公式化简即可计算求解．
(3)先由已知条件求出csα，sinα，sin(α+β)，再结合β=(α+β)−α求出csβ即可求出结果．
本题考查了两角和差的余弦和正切公式，同角三角函数的基本关系，是中档题．
20.【答案】解：(1)令f(x)=0，即asinx−3a=0，又a≠0，所以sinx=3a2，
又−1≤sin≤1，所以0<3a2≤1，解得a≥ 3或a≤− 3，
所以a的取值范围为(−∞,− 3]∪[ 3,+∞).
(2)因为对任意x∈R，都有f(x)≤12cs2x−a−12，
即对任意x∈R，都有asinx−3a≤12cs2x−a−12，
即对任意x∈R，都有asinx−3a≤12(1−2sin2x)−a−12，
即对任意x∈R，都有sin2x+asinx−3a+a≤0，
令t=sinx，则t∈[−1,1]，
所以对任意t∈[−1,1]，都有t2+at−3a+a≤0，
令g(t)=t2+at+a−3a，t∈[−1,1]，
则g(−1)=1−3a≤0g(1)=1+2a−3a≤0，解得0即a的取值范围为(0,1].
【解析】(1)令f(x)=0，可得sinx=3a2，结合正弦函数的性质得到0<3a2≤1，即可求出参数的取值范围；
(2)依题意对任意x∈R，都有sin2x+asinx−3a+a≤0，令t=sinx，则对任意t∈[−1,1]，都有t2+at−3a+a≤0，再g(t)=t2+at+a−3a，t∈[−1,1]，只需满足g(−1)≤0g(1)≤0，解得即可．
本题主要考查三角函数的最值，方程有解求参数范围问题，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为集合A={π3,π4},θ0=0，
所以μ=cs2π3+cs2π42=14+122=38.
(2)假设存在α∈[3π4,π),β∈[3π2,74π),使得相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值．
由“余弦方差”的定义得：μ=cs2(π4−θ0)+cs2(α−θ0)+cs2(β−θ0)3
=13[1+cs(π2−2θ0)2+1+cs(2α−2θ0)2+1+cs(2β−2θ0)2]
=13[32+12sin2θ0+12cs2αcs2θ0+12sin2αsin2θ0+12cs2βcs2θ0+12sin2βsin2θ0]
=13[32+(cs2α+cs2β)cs2θ02+(1+sin2α+sin2β)sin2θ02].
要使μ是一个θ0与无关的定值，应有cs2α+cs2β=0sin2α+sin2β=−1成立，
则(cs2α+cs2β)2+(sin2α+sin2β)2=1，
即2+2cs2αcs2β+2sin2αsin2β=1，
整理可得cs(2α−2β)=−12.
又因为α∈[3π4,π),β∈[3π2,74π),
则2α∈[3π2,2π),2β∈[3π,7π2),−2β∈(−7π2,−3π],
所以2α−2β∈(−2π,−π)，
所以2α−2β=−4π3，则2β=2α+4π3，
所以，cs2α+cs(2α+4π3)=0，
即cs2α+cs2αcs4π3−sin2αsin4π3=0，
整理可得cs2α+ 3sin2α=0，tan2α=− 33.
又因为2α∈[3π2,2π),所以2α=11π6，2β=2α+4π3=19π6，
所以，假设成立，当α=11π12,β=19π12时，相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值，定值为12.
【解析】(1)根据已知，代入公式计算求解，即可得出答案；
(2)假设存在，根据定义代入，结合三角恒等变换化简得出μ=13[32+(cs2α+cs2β)cs2θ02+(1+sin2α+sin2β)sin2θ02].即可得出当cs2α+cs2β=0sin2α+sin2β=−1成立时，满足．两式平方相加，整理得出cs(2α−2β)=−12.进而结合已知角的范围，得出2α−2β=−4π3，即有2β=2α+4π3.代入cs2α+cs2β=0，整理求解得出α的值，进而得出β的值．
本题以新定义为载体，主要考查了二倍角公式，和差角公式的应用，属于中档题．