2022-2023学年北京重点中学（实验班）高一（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年北京重点中学（实验班）高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设，，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知是定义在上的奇函数，当时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知函数，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是(    )

 

A.  B.
C.  D.

7.  对任意实数，都有且，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，若在区间上单调递减，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数满足：定义域为；对任意，有；当时，则方程在区间内解的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”已知正整数的次方是一个位数，由下面表格中部分对数的近似值精确到，可得的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  函数的定义域是______ ．

12.  已知函数，则______；的最小值为______．

13.  已知函数，则不等式的解集为______ ．

14.  设函数
当时， ______ ；
若恰有个零点，则的取值范围是______ ．

15.  已知函数，对于实数，若存在，，满足：，使得，则记的最大值为．
当时，      ；
当且时，函数的值域为      ．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
函数，其中．
Ⅰ若，求的零点；
Ⅱ若函数有两个零点，，求的取值范围．

17.  本小题分
已知函数．
Ⅰ判断的奇偶性；
Ⅱ若，求的取值范围；
Ⅲ当时，求的值域．

18.  本小题分
已知函数．
Ⅰ判断函数的单调性，并用定义给出证明；
Ⅱ解不等式：；
Ⅲ若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围．

19.  本小题分
如图，在函数图象任取三点，，，满足，，，分别过、、三点作轴垂线交轴于、、．
Ⅰ当时，求梯形的周长；
Ⅱ用表示的面积，并求的最大值．

20.  本小题分
已知函数是定义域为的奇函数，且．
Ⅰ求实数和的值；并判断在上单调性；不用写出单调性证明过程；
Ⅱ若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
Ⅲ对于任意的，存在，使成立，求实数的取值范围．

21.  本小题分
设全集，集合是的真子集．设正整数，若集合满足如下三个性质，则称为的子集：
；
，，若，则；
，，若，则．
Ⅰ当时，判断是否为的子集，说明理由；
Ⅱ当时，若为的子集，求证：；
Ⅲ当时，若为的子集，求集合．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，因此D正确．
时，不正确；时，不正确；取，，不正确．
故选：．
利用不等式的基本性质即可判断出结论．
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为是定义在上的奇函数，
当时，，
所以．
故选：．
根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，由题意可知的定义域为，，
所以是偶函数且在上不是单调递减，不符合题意；故A错误；
对于，由题意可知的定义域为，，所以是偶函数且在上单调递减，符合题意；故B正确；
对于，由题意可知的定义域为，，所以是偶函数且在上单调递增；不符合题意；故C错误；
对于，的定义域为，不是偶函数，不符合题意；故D错误；
故选：．
利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可．
本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，；
又，，
，
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查了三个数大小比较的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为定义域为，，
所以为奇函数，且为上的增函数，
当时，，所以，
即“”是“”的充分条件，
当时，，由的单调性知，，即，
所以“”是“”成立的必要条件．
综上，“”是“”的充要条件．
故选：．
由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由已知的图象，在此坐标系内作出的图象，如图
满足不等式的范围是；所以不等式的解集是；
故选：．
在已知坐标系内作出的图象，利用数形结合得到不等式的解集．
本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
若，则恒成立，，此时，
若，则恒成立，，此时无解，
综上所述，，
即实数的取值范围是．
故选：．
根据对数函数的单调性转化为参数恒成立进行求解即可．
本题主要考查对数函数的性质，讨论的取值，利用对数函数的单调性是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为存在常数，使得对任意，都有，
所以函数的周期为，
当时，函数在单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，
因为在区间上单调递减，
所以，
故，
所以，
所以的最小值为．
故选：．
根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可．
本题主要考查了函数的单调性及周期性在不等式求解中的应用，据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在同一坐标系中画出满足条件：
定义域为；
，有；
当时，，
的函数与函数的图象：

观察图象可得：两个函数的图象共有个交点，
则方程在区间内的解的个数是：．
故选：．
欲判断方程在区间内的解个数，利用图解法，在同一坐标系中画出函数与函数的图象，利用图象的交点情况研究解的个数来解答本题．
本小题主要考查根的存在性及根的个数判断、函数图象的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题可知，
，即，
，
，
，
．
故选：．
利用，计算可得结论．
本题考查归纳推理，考查运算求解能力，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，，
解得．
故答案为：．
根据开偶次方根被开方数大于等于，对数函数的真数大于，列出不等式求出定义域．
本题考查求函数的定义域的求法，属于基础题．
 

12.【答案】   

【解析】解：函数，则；
，为减函数，故，
，为增函数，故，
，
的最小值为．
故答案为：；．
根据函数解析式，将，代入即可求解第一空，分和两种情况，求出最小值，最后比较，即可求得第二空．
本题考查分段函数的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为函数，且不等式，
所以，
则，
解得．
故答案为：
直接求解不等式即可得到结论．
本题主要考查对数不等式的解法，考查计算能力，属于中档题．
 

14.【答案】   

【解析】解：当时，，
；
令，得或，
又，
当，即时，，
此时恰有个零点，，；
当时，易知恰有个零点，，；
当，即时，要使恰有个零点，
则，，
综合可得的取值范围是．
故答案为：；．
代值计算，即可求解；
分类讨论，根据二次函数的性质，对数函数的性质，不等式思想，即可求解．
本题考查函数值的求解，二次函数的性质，对数函数的性质，分类讨论，不等式思想，属中档题．
 

15.【答案】

【解析】解：根据题意，当时，存在，，满足：
，使得，
即，
，
即，
解得；
令，
解得；
的最大值为；
根据题意，当且时，
不等式可化为，
，
即；
又，，；
，
，
；
解不等式组得或；
函数的值域为．
故答案为：，．
根据题意，当时，不等式化为，求出解集，得出的最大值；
根据题意，当且时，不等式化为，利用不等式的性质求出的取值范围，从而求得函数的值域．
本题考查了新定义函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合题．
 

16.【答案】解：Ⅰ当时，令，解得，
所以函数的零点为；
Ⅱ结合已知条件得，，
当时，有两个零点，，
则，所以，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以． 

【解析】本题考查函数零点的概念以及基本不等式在求函数值域中的应用，属于综合题．
Ⅰ利用对数的运算性质和绝对值的概念，直接解方程即可；
Ⅱ将两个零点都用来表示，然后进一步化简即可．
 

17.【答案】解：Ⅰ由，得，
所以 的定义域为，
又，
所以为奇函数．
Ⅱ由，得，解得，
所以不等式的解集为．
Ⅲ，
当时，，所以，
所以的值域为． 

【解析】Ⅰ由奇偶性的定义直接判断即可；
Ⅱ由对数函数性质解不等式即可；
Ⅲ将转化为，由对数函数性质求解即可．
本题考查了不等式的解法，函数的奇偶性和最值，属基础题．
 

18.【答案】解：根据题意，在上单调递增；
证明：任取，，且，则；
又由，则有，
故函数在上单调递增；
根据题意，函数则，
，
又函数在上单调递增，则有
故不等式的解集为．
Ⅲ根据题意，若关于的方程只有一个实根，
即方程有且只有一个实数解．
令，则，问题转化为：
方程有且只有一个正数根，
当时，，不合题意，
当时，
若，则或，
若，则，符合题意；
若，则，不合题意，
若，则或，
由题意，方程有一个正根和一个负根，即，解得；
综上，实数的取值范围是． 

【解析】Ⅰ根据题意，利用作差法分析可得结论；
Ⅱ由函数的解析式可得，则有，结合函数的单调性分析可得答案；
Ⅲ根据题意，原问题等价于方程有且只有一个实数解．利用换元法分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数与方程的关系，属于中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ由题意可知，，
，，，，
故梯形的周长为：；
Ⅱ由题意可知，，，
，
，
，
，
，，
，
，即三角形的面积的最大值为：． 

【解析】Ⅰ分别计算出点，的坐标，即可解出；
Ⅱ三角形的面积等于梯形和梯形的面积之和减去梯形的面积，即可解出．
本题考查了函数的性质，转化思想，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：Ⅰ由题意在中，函数是定义域为的奇函数，，
，解得，此时满足题意，
，
设，，，
，
在中，函数单调递增，
，
，
在上单调递增；
Ⅱ由题意及Ⅰ得在中，函数是奇函数，，
恒成立，
恒成立，
函数单调递增，
即恒成立，
当即时，
，解得：，
不恒成立，舍去；
当即时，恒成立，
在中，若则需开口向上，
，
解得，
综上，实数的取值范围为；
Ⅲ由题意及ⅠⅡ得在中，函数单调递增，
对于任意的，存在，使成立，
函数在单调递增，
，
则存在，使成立，
当时，在定义域内单调递减，
，
满足题意，
当时，在定义域内单调递增，
且，
解得：，
综上，实数的取值范围为，． 

【解析】Ⅰ根据奇函数和即可求出和的值，由定义法即可得出在上单调性；
Ⅱ根据奇函数和单调递增求出，分类讨论前的系数是否为，即可求出实数的取值范围；
Ⅲ根据函数的单调递增，得出等价条件，分类讨论的单调性即可求出实数的取值范围．
本题考查待定系数法求参数，定义法证单调性，考查分类讨论的思想，具有很强的综合性，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ当时，，，，
取，，则，但，不满足性质，
不是的子集；
Ⅱ证明：当时，为的子集，则，
假设，设，即，
取，，则，但，不满足性质，
，；
假设，
取，，，且，则，
再取，，，则，
再取，，，且，
但与性质矛盾，．
Ⅲ由Ⅱ得，当时，若为的子集，
，，，
当时，，
若为的子集，，，，
若，取，，，则，，
取，，，则，与矛盾，
则，；
若，取，，，则，与矛盾，则，；
若，取，，，则，与矛盾，则，；
若，取，，，则，与矛盾，则，；
取，，，，，，，，，，，，，
则，，，，，，，，，，，；
取，，，则；
取，，，，，，，，，，，，，
则，，，，，，，，，，，；
取，，，则；
取，，，，则，，，A.
综上所述，集合． 

【解析】本题考查集合中元素的性质、元素与集合的关系、为的子集等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
Ⅰ取，，由，不满足性质，可得不是的子集；
Ⅱ通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出；
Ⅲ由Ⅱ得，，，再分别假设，，，四种情况，可得出，，，，再根据性质和性质，依次凑出每个数值是否满足条件即可求出集合．