2023-2024学年北京市海淀区中央民族大学附中高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年北京市海淀区中央民族大学附中高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了135∘化为弧度等于，函数f=3cs−2的对称中心为等内容，欢迎下载使用。

A. π3B. π2C. 3π4D. π6
2.已知角α的终边经过点P(3,−4)，则tanα=( )
A. −34B. −43C. 43D. 34
3.在四边形ABCD中，AB−AD+CD=( )
A. BCB. CBC. ADD. DA
4.下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是( )
A. y=cs(2x+π2)B. y=|sinx|C. y=tanxD. y=cs3x
5.已知sinα<0且csα>0，则α的终边落在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.函数y=sinx，x∈[π3,5π6]的值域是( )
A. [12, 32]B. [12, 22]C. [ 32,1]D. [12,1]
7.在△ABC中，“sinA= 22”是“A=π4”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.函数f(x)=3cs(π3−2x)−2的对称中心为( )
A. (5π12,2)B. (5π12,−2)C. (5π6,−2)D. (5π6,2)
9.2024年2月4日，“龙行中华——甲展龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案.出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”(图1)就是这样一件珍宝.玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8cm，AD≈2cm，AO≈5cm，若sin37∘≈35，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为( )
A. 6.8cm2B. 9.8cm2C. 14.8cm2D. 22.4cm2
10.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF=xAB+yAD，则x−y=( )
A. −13
B. −12
C. 1− 3
D. −1
11.已知向量a=(−1,2)，b=(2,6)，则2a+b=______.
12.cs23π3=______.
13.将函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位，得到的图象对应的解析式是______.
14.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=Acs[π6(x−6)]+B(x=1,2,⋯,12)来表示.已知6月份的平均气温最高为30∘，12月份的月平均气温最低为20∘，此函数的最小正周期为______，10月份的平均气温为______ ∘.
15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图A，B是直线y= 32与曲线y=f(x)的两个交点，f(2π3)=0且|AB|=π12，则f(2024π)=______.
16.已知α是第三象限角，且f(α)=sin(π−α)cs(π−α)tan(π−α)sin(π2−α)tan(π+α).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)=−13，求csα的值.
17.已知向量a=(1,2)，b=(−1,3)，c=(4,3).
(1)求|a|；
(2)求满足c=ma+nb的实数m，n的值；
(3)若(a+kc)//(b−a)，求实数k的值.
18.已知函数f(x)=csx+sin2x.
(1)求f(π6)的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值，并写出取最值时x的值.
19.如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足AO=2OD，过点O的直线分别与射线AB，射线AC交于M，N两点.
(1)若AO=λAB+μAC，求λ，μ的值；
(2)设AM=mAB，AN=nAC，m>0，n>0，求1m+1n的值.
20.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<π2)的一段图象如图所示：
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)若f(α)=23，α∈(0,π2)，求f(α−π4)的值.
21.已知函数f(x)的定义域为D，若存在实数a，使得对于任意x1∈D都存在x2∈D满足x1+f(x2)2=a，则称函数f(x)为“自均值函数”，其中a称为f(x)的“自均值数”.
(1)判断定义域为[0,+∞)的三个函数y=x，y=−x，y=1−x是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；
(2)判断函数f(x)=2x是否为“自均值函数”，并说明理由；
(3)若函数g(x)=sin(ωx+π6)(ω>0),x∈[0,1]为“自均值函数”，求ω的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：135∘化为弧度等于3π4.
故选：C.
结合角度与弧度转化公式，即可求解．
本题主要考查弧度制，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵已知角α的终边经过点P(3,−4)，
∴x=3，y=−4，则
tanα=yx=−43=−43，
故选：B.
根据角α的终边经过点P(3,−4)，可得x=3，y=−4，再根据tanα=yx计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：在四边形ABCD中，AB−AD+CD=CD+DB=CB.
故选：B.
利用向量的三角形法则即可得出．
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：对于A，y=cs(2x+π2)=−sin2x为奇函数，不符合题意；
对于B，作出y=|sinx|的图象如图：
可知函数y=|sinx|的最小正周期为π，且为偶函数，符合题意；
对于C，y=tanx为奇函数，不符合题意；
对于D，y=cs3x的最小正周期为2π3，不符合题意．
故选：B.
化简并判断y=cs(2x+π2)的奇偶性，判断A；利用图像可判断B；根据函数奇偶性判断C；根据函数的最小正周期可判断D.
本题主要考查了三角函数的周期性，考查数形结合思想及运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：sinα<0且csα>0，则α的终边落在第四象限．
故选：D.
利用三角函数值的符号，直接判断角所在象限即可．
本题考查三角函数值的符号，角所在象限，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：当x∈[π3,5π6]时，y=sinx∈[12,1].
故选：D.
由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：①在△ABC中，当sinA= 22时，则A=π4或3π4，∴充分性不成立，
②当A=π4时，则sinA= 22，∴必要性成立，
∴sinA= 22是A=π4的必要不充分条件，
故选：B.
利用三角形中知角的正弦值求出两角，再结合充要条件的定义判定即可．
本题考查了三角形中角的求法，充要条件的判定，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：f(x)=3cs(π3−2x)−2=3cs(2x−π3)−2，
函数f(x)的对称中心满足2x−π3=kπ+π2，k∈Z，即x=12kπ+5π12，k∈Z，
所以函数f(x)的对称中心为：(12kπ+5π12,−2)，k∈Z，
当k=0时，(5π12,−2)为函数f(x)的一个对称中心．
故选：B.
根据余弦函数的性质即可判断．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：过点O作OM⊥AB于点M，则OM垂直平分AB，
∴AM=BM=4，
又∵OA=5，∴OM=3，
∴sin∠OAM=OMOA=35，
∴∠OAM≈37∘，∴∠AOM≈53∘，
∴∠AOB=106∘，
∴璜身(即曲边四边形ABCD)面积S≈S扇形AOB−S扇形DOC=106∘360∘×3.14×52−106∘360∘×3.14×(5−2)2≈14.8(cm2).
故选：C.
过点O作OM⊥AB于点M，则AM=4，OA=5，OM=3，所以sin∠OAM=35，即∠OAM≈37∘，进而得到∠AOB=106∘，再利用扇形的面积公式求解即可．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：建立如图所示平面直角坐标系：
设DC=2a(a>0)，则EC=a,DE= 3a，
则A(0,0)，B(2a,0)，D(0,2a)，DF=( 3+1)a，
所以xF=( 3+1)a⋅cs30∘,yF=2a+( 3+1)a⋅sin30∘，即F(3+ 32a,5+ 32a)，
所以AF=(3+ 32a,5+ 32a),AB=(2a,0),AD=(0,2a)，
因为AF=xAB+yAD，
所以(3+ 32a,5+ 32a)=x(2a,0)+y(0,2a)，则3+ 32a=2ax5+ 32a=2ay，
则2ax−2ay=3+ 32a−5+ 32a=−a，化简得x−y=−12.
故选：B.
依题意，建立平面直角坐标系，设DC=2a，求得AF,AB,AD的坐标，再由AF=xAB+yAD列式求解即可．
本题主要考查了平面向量的坐标运算，考查了解析法的应用，属于中档题．
11.【答案】(0,10)
【解析】解：因为a=(−1,2)，所以2a=(−2,4)，结合b=(2,6)，可知2a+b=(−2,4)+(2,6)=(0,10).
故答案为：(0,10).
根据题意，利用平面向量的坐标运算法则加以计算，即可得到本题的答案．
本题主要考查了平面向量的坐标运算法则及其应用，属于基础题．
12.【答案】12
【解析】解：∵cs23π3=cs(8π−π3)=cs(−π3)=csπ3=12.
故答案为：12.
根据诱导公式和特殊角的函数值即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
13.【答案】y=sin(2x+π3)
【解析】解：将函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3).
故答案为：y=sin(2x+π3).
利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．
本题考查三角函数的图象变换，注意平移变换中x的系数为1，否则容易出错误．
14.【答案】1222.5
【解析】解：由函数y=Acs[π6(x−6)]+B知，最小正周期为T=2ππ6=12；
因为6月份的平均气温最高为30∘，12月份的月平均气温最低为20∘，
可得A+B=30且Acs[π6(12−6)]+B=B−A=20，解得A=5，B=25，
所以函数y=5cs[π6(x−6)]+25，
令x=10，可得y=5cs[π6(10−6)]+25=22.5，即为22.5∘.
故答案为：12；22.5.
根据函数解析式求出最小正周期，根据最大、最小值求出A、B，再计算x=10时的函数值即可．
本题考查了余弦函数在实际问题中的应用，是基础题．
15.【答案】− 32
【解析】解：设A(x1, 32),B(x2, 32)，
则sin(ωx1+φ)=sin(ωx2+φ)= 32，sin(2π3ω+φ)=0，
由图可知点A,B,(2π3,0)在一个周期内，
则ωx1+φ=π3+2kπ,ωx2+φ=2π3+2kπ，2π3ω+φ=2π+2kπ,k∈Z，
又|AB|=π12，则x2−x1=π12，可得ωx2−ωx1=π12ω=π3，解得ω=4，
则2π3×4+φ=2π+2kπ,k∈Z，解得φ=−2π3+2kπ,k∈Z，
所以f(x)=sin(4x−2π3+2kπ)=sin(4x−2π3),k∈Z，
所以f(2024π)=sin(4×2024π−2π3)=sin(−2π3)=− 32.
故答案为：− 32.
设A(x1, 32),B(x2, 32)，根据图象以及点A,B,(2π3,0)在一个周期内，先计算出ω，然后利用sin(2π3ω+φ)=0求出φ，则函数解析式可求，代入x=2024π计算即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)f(α)=sin(π−α)cs(π−α)tan(π−α)sin(π2−α)tan(π+α)=sinα(−csα)(−tanα)csαtanα=sinα；
(2)f(α)=−13，即sinα=−13，
又α是第三象限角，
可得csα=− 1−sin2α=−2 23.
【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简f(α)，可得结果．
(2)由条件求得sinα=−13，根据角α是第三象限角，求得csα的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)a=(1,2)，
则|a|= 12+22= 5；
(2)由c=ma+nb，得(4,3)=m(1,2)+n(−1,3)，则有4=m−n3=2m+3n，解得m=3n=−1，
所以m=3，n=−1.
(3)依题意，a+kc=(1+4k,2+3k)，b−a=(−2,1)，
由(a+kc)//(b−a)，得1+4k+2(2+3k)=0，解得k=−12，
所以k=−12.
【解析】(1)结合复数模公式，即可求解；
(2)利用向量线性运算的坐标表示，结合向量相等求解即得．
(3)利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求解即得．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(π6)=csπ6+sin2π6= 32+(12)2=2 3+14；
(2)f(x)=csx+1−cs2x=−(csx−12)2+54，
因为−1≤csx≤1，
所以当csx=12时，f(x)max=54，
此时x=2kπ+π3(k∈Z)或x=2kπ−π3(k∈Z)
当csx=−1时，f(x)min=−1，
此时x=(2k+1)π，k∈Z.
【解析】(1)将x=π6代入函数解析式求解；
(2)由f(x)=csx+1−cs2x=−(csx−12)2+54，利用二次函数的性质求解．
本题主要考查三角函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因AO=2OD，
所以AO=23AD，
又因D为BC的中点，
所以AD=12(AB+AC)，
所以AO=23AD=13AB+13AC，又AO=λAB+μAC，
所以λ=13,μ=13；
(2)因AM=mAB，AN=nAC，m>0，n>0，
所以AB=1mAM，AC=1nAN，又因AO=13AB+13AC，
所以AO=13mAM+13nAN，
又因M，O，N三点共线，
所以13m+13n=1，即1m+1n=3.
【解析】(1)利用向量的线性运算的几何表示，将AO用AB,AC表示，进而即得；
(2)由AO=13AB+13AC，将AO用AM,AN表示，利用M，O，N三点共线即得．
本题主要考查了平面向量的线性运算，考查了三点共线定理，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由图知，T=11π12−(−π12)=π，则ω=2ππ=2，
由图可得，函数f(x)的图象经过(−π12,0)，故f(−π12)=2sin(−π6+φ)=0，
所以−π6+φ=2kπ，k∈Z，故φ=π6+2kπ,k∈Z，
又因为|φ|<π2，所以φ=π6，
所以函数f(x)的表达式为f(x)=2sin(2x+π6).
(2)令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤kπ+π6，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,kπ+π6]，k∈Z.
(3)因为f(x)=2sin(2x+π6)，
所以f(α)=2sin(2α+π6)=23，即sin(2α+π6)=13，
又因为α∈(0,π2)，所以2α+π6∈(π6,7π6)，
由sin(2α+π6)=13<12，所以2α+π6∈(π2,π)，
所以cs(2α+π6)=− 1−19=−2 23，
所以f(α−π4)=2sin[2(α−π4)+π6]=−2cs(2α+π6)=4 23.
【解析】(1)通过三个连续零点的值可以求出函数f(x)的周期，根据最小正周期公式可以求出ω的值，将特殊点代入解析式中，可以求出φ，进而确定函数解析式；
(2)根据正弦函数的单调性即可得解；
(3)根据f(α)=23，可求出sin(2α+π6)=13，由此求出cs(2α+π6)，进而得到f(α−π4)的值．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)对于函数y=x定义域D=[0,+∞),若y=f(x)=x是“自均值函数”，
则存在实数a，使得对于任意x1∈[0,+∞)都存在x2∈[0,+∞)满足x1+f(x2)2=a，
则x1+x22=a，即x1=2a−x2，
因为x1∈[0,+∞),x2∈[0,+∞),
所以2a−x2∈(−∞,2a],不符合题意，
所以y=x，x∈[0,+∞)不是“自均值函数”；
对于函数y=−x定义域D=[0,+∞),
令a=0，
则对任意x1∈[0,+∞)都存在x2∈[0,+∞)满足x1+(−x2)2=0，
所以y=−x是“自均值函数”；
对于函数y=1−x定义域D=[0,+∞),
令a=12，
则对任意x1∈[0,+∞)都存在x2∈[0,+∞)满足x1+(1−x2)2=12，
所以y=1−x是“自均值函数”；
(2)函数f(x)=2x，定义域D=R，若f(x)=2x是“自均值函数”，
则存在实数a，使得对于任意x1∈R都存在x2∈R满足x1+f(x2)2=a，
即x1+2x22=a，即2x2=2a−x1，
又函数h(x1)=2a−x1的值域为R，
m(x2)=2x2的值域为(0,+∞)，不满足条件，
故函数f(x)=2x不是为“自均值函数”．
(3)存在a∈R，对于∀x1∈[0,1]，存在x2∈[0,1]，有x1+g(x2)2=a，
即sin(ωx2+π6)=2a−x1，
当x1∈[0,1]时，y=2a−x1的值域是[2a−1,2a]，
则g(x2)=sin(ωx2+π6)在x2∈[0,1]值域包含[2a−1,2a]，
当x2∈[0,1]时又ω>0，则π6≤ωx2+π6≤ω+π6，
若ω+π6≤π2，则g(x2)min=12，g(x2)≤1，
此时g(x2)值域的区间长度不超过12，而区间[2a−1,2a]长度为1，不符合题意，
于是得ω+π6>π2，g(x2)max=1，
要使g(x2)=sin(ωx2+π6)在x2∈[0,1]的值域包含[2a−1,2a]，
则g(x2)=sin(ωx2+π6)在x2∈[0,1]的最小值小于等于0，
又ωx2+π6∈[π2,3π2]时，g(x2)单调递减且sinπ=0，而有ω+π6≥π，解得ω≥5π6，
此时取a=12，y=2a−x1的值域是[0,1]，
而g(x2)min≤0，g(x2)max=1，
故g(x2)在x2∈[0,1]的值域包含[0,1]，
所以ω的取值范围是[5π6,+∞).
【解析】(1)根据所给定义判断即可；
(2)假设满足条件得到2x2=2a−x1，分别计算函数h(x1)=2a−x1，g(x2)=2x2的值域，不满足条件，得到答案；
(3)变换得到sin(ωx2+π6)=2a−x1，y=2a−x1的值域是[2a−1,2a]，根据值域关系排除ω+π6≤π2的情况，得到ω+π6>π2，计算函数最值得到ω+π6≥π，解得答案．
本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的关键，属于中档题．