2023-2024学年北京二十二中高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年北京二十二中高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共16页。

2.如图，四边形ABCD是平行四边形，那么AB−AD等于( )
A. DB
B. CB
C. AC
D. DC
3.已知tanα=3,β=π4，则tan(α−β)=( )
A. 2B. 12C. −12D. −2
4.已知复数z=−2+i，则z+z−=( )
A. −4B. −2C. 2iD. 0
5.在三角形ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=3，a=2，sinA=13，则角sinC的值为( )
A. 16B. 29C. 12D. 1
6.如果平面向量a=(2,0)，b=(1,1)，那么下列结论中正确的是( )
A. |a|=|b|B. a⋅b=2 2C. (a−b)⊥bD. a//b
7.在△ABC中，已知AB=2，AC=2 3，且△ABC的面积为3，则A=( )
A. π6B. π3C. π3或2π3D. π6或5π6
8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式的值为( )
A. f(x)=2sin(2x+π6)B. f(x)=2sin(2x+π3)
C. f(x)=2sin(x+π6)D. f(x)=2sin(x+π3)
9.已知a，b∈R，则“a=0”是“a+bi为纯虚数”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既非充分也非必要条件
10.已知在△ABC中，bcsA=acsB，则△ABC为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形
11.已知函数f(x)=1−2sin2(x+π4)，则( )
A. f(x)是偶函数B. 函数f(x)的最小正周期为2π
C. 曲线y=f(x)关于x=−π4对称D. f(1)>f(2)
12.如图，在6×6的方格中，已知向量a，b，c的起点和终点均在格点，且满足向量a=xb+yc(x,y∈R)，那么x−y=( )
A. 0
B. −2
C. 1
D. 2
13.将函数f(x)=sinx的图象向右平移π3个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
A. g(x)=sin(x2−π3)B. g(x)=sin(x2−π6)
C. g(x)=sin(2x−π3)D. g(x)=sin(2x−2π3)
14.已知等边△ABC边长为3.点D在BC边上，且BD>CD，AD= 7.下列结论中错误的是( )
A. BDCD=2B. S△ABDS△ACD=2C. cs∠BADcs∠CAD=2D. sin∠BADsin∠CAD=2
15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现(即P0时的位置)时开始计算时间，设盛水筒M从P0运动到点P时所用时间为t(单位：s)，且此时点P距离水面的高度为h(单位：m).若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图2)，则h与t的函数关系式为( )
A. h=2sin(πt+π6)+1,t∈[0,+∞)B. h=2sin(π15t+π6)+1,t∈[0,+∞)
C. h=2sin(πt−π6)+1,t∈[0,+∞)D. h=2sin(π15t−π6)+1,t∈[0,+∞)
16.已知复数z1=i，z2=2+i，那么z1⋅z2=______.
17.若θ是向量a和b的夹角，已知a=(1,2)，b=(3,−4)，则csθ=______.
18.在△ABC中，a2− 2ac+c2=b2.则B=______.
19.在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么AC⋅AB= (1) ；若E为线段AC上的动点，则AC⋅BE的取值范围是 (2) .
20.已知函数f(x)=sinωx(ω>0)在[−π4,2π3]上单调递增，那么常数ω的一个取值__________.
21.对于非零向量m、n，定义运算“*”：m*n=|m|⋅|n|sinθ.其中θ为m,n的夹角.有两两不共线的三个向量a,b,c，下列结论不一定成立的是______.(只需写出序号)
①若a*b=a*c，则b=c
②(a*b)c=a(b*c)
③a*b=(−a)*b
④(a+b)*c=a*c+b*c
22.已知α∈(π2,π)，且sinα=35.
(1)求cs(α+π4)的值；
(2)求sin2α−csα1+cs2α的值．
23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，b=2 3，csB=13.
(Ⅰ)求c的值；
(Ⅱ)求△ABC的面积．
24.如图，在平行四边形ABCD中，AE=2AB，DF=13DE.设AB=a，AD=b.
(Ⅰ)用a，b表示AC，DE；
(Ⅱ)用向量的方法证明：A，F，C三点共线．
25.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为π.
(Ⅰ)若A=1，f(0)= 22，求φ的值；
(Ⅱ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定f(x)的解析式，并求函数h(x)=f(x)−2cs2x的单调递增区间.
条件①：f(x)的最大值为2；
条件②：f(x)的图象关于点(5π12,0)中心对称；
条件③：f(x)的图象经过点(π12, 3).
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
26.设n(n≥2)为正整数，若α=(x1,x2,…，xn)满足：
①xi∈{0,1,…，n−1}，i=1，2，…，n；
②对于1≤i则称a具有性质E(n).
对于α=(x1,x2,…，xn)和β=(y1,y2,…，yn)，定义集合T(α,β)={t|t=|xi−yi|,i=1,2,…，n}.
(1)设α=(0,1,2)，若β=(y1,y2,y3)具有性质E(3)，写出一个β及相应的T(α,β)；
(2)设α和β具有性质E(6)，那么T(α,β)是否可能为{0,1,2,3,4,5}，若可能，写出一组α和β，若不可能，说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：复数z=1−i在复平面内对应的点为(1,−1)，该点所在象限为第四象限，
故选：D.
复数z=1−i在复平面内对应的点为(1,−1)，得到答案．
本题主要考查了复数集合意义的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为四边形ABCD是平行四边形，
那么AB−AD=DB.
故选：A.
由已知结合向量减法的三角形法则即可求解．
本题主要考查了向量减法的三角形法则，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为tanα=3,β=π4，
则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=3−11+3=12.
故选：B.
由已知结合两角差的正切公式即可求解．
本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的运算法则、共轭复数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义直接求解．
【解答】解：∵z=−2+i，
∴z+z−=(−2+i)+(−2−i)=−4.
故选：A.
5.【答案】C
【解析】解：由正弦定理可得，asinA=csinC，
则sinC=csinAa=3×132=12.
故选：C.
由正弦定理结合已知数据直接得解．
本题考查正弦定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由平面向量a=(2,0)，b=(1,1)，知：
在A中，|a|=2，|b|= 2，∴|a|≠|b|，故A错误；
在B中，a⋅b=2，故B错误；
在C中，∵a−b=(1,−1)，∴(a−b)⋅b=0，∴(a−b)⊥b，故C正确；
在D中，∵21≠01，∴a与b不平行，故D错误．
故选：C.
在A中，|a|=2，|b|= 2；在B中，a⋅b=2；在C中，(a−b)⋅b=0，从而(a−b)⊥b；在D中，21≠01，从而a与b不平行．
本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算法则的合理运用．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB=2，AC=2 3，且△ABC的面积为3，
∴12×AB×AC×sinA=3，
∴sinA= 32，
又∵A∈(0,π)，
∴A=π3或2π3.
故选：C.
由三角形的面积公式求得sinA= 32，再结合A∈(0,π)求出A的值即可．
本题主要考了三角形的面积公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．
根据图象求出ω和φ，即可求函数f(x)的解析式；
【解答】
解：(1)由题设图象知，周期T=2×(x0+π2−x0)=π，即ω=2ππ=2.
∵点(0, 3)在函数图象上，
可得：2sin(2×0+φ)= 3，
得：sinφ= 32，
∵|φ|<π2，
∴φ=π3.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π3).
故选：B.
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键．
根据复数的有关概念，以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：当a=0，b=0时，a+bi为实数，不是纯虚数，充分性不成立，
若a+bi为纯虚数，则a=0，且b≠0，则必要性成立，
故“a=0”是“a+bi为纯虚数”的必要不充分条件，
故选C.
10.【答案】B
【解析】解：因为在△ABC中，bcsA=acsB，由正弦定理可知，sinBcsA=sinAcsB，
所以sin(A−B)=0，所以A−B=π，或A=B，因为A，B是三角形内角，所以A=B，三角形是等腰三角形．
故选：B.
直接利用正弦定理，化简表达式，通过两角和与差的三角函数化简，即可判断三角形的形状．
本题考查正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
11.【答案】C
【解析】【分析】
利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角公式进行化简，结合三角函数的性质是解决本题的关键．是基础题．
【解答】
解：f(x)=1−2sin2(x+π4)=cs2(x+π4)=cs(2x+π2)=−sin2x，
则函数f(x)为奇函数，函数的周期T=2π2=π，
当x=−π4时，f(x)=−sin[2×(−π4)]=−sin(−π2)=1为最大值，则x=−π4是对称轴，
f(1)=−sin2，f(2)=−sin4，则f(1)故正确的是C，
故选：C.
12.【答案】A
【解析】解：如图所示，作单位向量i，j，
则：a=2i−j，b=2i+2j，c=2i−4j；
∴xb+yc=(2x+2y)i+(2x−4y)j，
又a=xb+yc，
∴2i−j=(2x+2y)i+(2x−4y)j，
∴2=2x+2y−1=2x−4y，
解得x=12y=12，
∴x−y=0.
故选：A.
可作单位向量i，j，从而可用单位向量i，j表示向量a，b，c，根据平面向量基本定理可得出关于x，y的方程组，解出x，y的值，从而计算x−y.
该题考查平面向量的基本定理，利用实数λ1，λ2的唯一性解决问题，属于基础题型．
13.【答案】A
【解析】解：将函数f(x)=sinx的图象向右平移π3个单位长度，可得y=sin(x−π3)的图象；
再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=sin(x2−π3)的图象．
故选：A.
由题意利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换，属于基础题．
14.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查解三角形，主要是对余弦定理的考查，同角三角函数关系，解题的关键是先由余弦定理求出CD，BD的值，由此即可逐项判断，难度不大．
根据题设，容易求得CD=1，BD=2，再逐项判断即可得出答案．
【解答】
解：
在△ACD中，由余弦定理有，AD2=CD2+AC2−2CD⋅AC⋅cs60∘，即7=CD2+9−3CD，解得CD=1或CD=2，
又BD>CD，故CD=1，BD=2，
∴BDCD=2，即选项A正确；
S△ABDS△ACD=12BD⋅h12CD⋅h=BDCD=2，故选项B正确；
在△ABD中，由余弦定理有cs∠BAD=9+7−42×3× 7=2 77，在△ACD中，由余弦定理有cs∠CAD=9+7−12×3× 7=5 714，
∴cs∠BADcs∠CAD=2 775 714=45，故选项C错误；
sin∠BAD= 1−(2 77)2= 217，sin∠CAD= 1−(5 714)2= 2114，
∴sin∠BADsin∠CAD=2，故选项D正确．
综上，错误的是选项C.
故选：C.
15.【答案】D
【解析】解：因为∠xOP0=π6，所以−π6是以Ox为始边，OP0为终边的角，
由OP在ts内转过的角为2×2π60=π15t，
可知以Ox为始边，以OP为终边的角为π15t−π6，
则点P的纵坐标为2sin(515t−π6)，
所以点P距水面的高度hm表示为时间ts的函数关系是h=2sin(π15t−π6)+1，t∈[0,+∞).
故选：D.
根据题意得到以OP为终边的角为π15t−π6，得出点P的纵坐标为2sin(515t−π6)，从而得到点P距水面的高度hm表示为时间ts的函数关系．
本题主要考查了三角函数解析式的理解和应用，属于中档题．
16.【答案】−1+2i
【解析】解：因为复数z1=i，z2=2+i，
那么z1⋅z2=2i+i2=−1+2i.
故答案为：−1+2i.
由已知结合复数的四则运算即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
17.【答案】− 55
【解析】解：因为a=(1,2)，b=(3,−4)，
所以csθ=a⋅b|a||b|=−5 5×5=− 55.
故答案为：− 55.
利用向量夹角的坐标运算求夹角余弦值．
本题考查平面向量数量积和夹角的坐标运算，属于基础题．
18.【答案】π4
【解析】解：由余弦定理，得b2=a2+c2−2accsB，
又b2=a2+c2− 2ac，
所以csB= 22，又0所以B=π4.
故答案为：π4.
由题意，结合余弦定理计算直接得出结果．
本题考查余弦定理，属于基础题．
19.【答案】4 ； [−4,1]
【解析】解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，则cs∠CAB=2 5，那么AC⋅AB=AC⋅AB⋅cs∠CAB= 5⋅2⋅2 5=4；
若E为线段AC上的动点，则AC⋅BE=AC⋅(AE−AB)=AC⋅AE−AC⋅AB=AC⋅AE−4；
当点E和点A重合时，AC⋅AE取得最小值为0，当点E和点C重合时，AC⋅AE取得最大值为 5⋅ 5=5，
故AC⋅BE的取值范围是[−4,1]，
故答案为：4；[−4,1].
利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，求得AC⋅BE=AC⋅(AE−AB)=AC⋅AE−4，求得AC⋅AE的范围，可得AC⋅BE的取值范围．
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于基础题．
20.【答案】34
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦函数的图像和性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
由正弦函数的性质可得[−π2ω,π2ω]是f(x)的一个单调递增区间，由已知可得−π2ω≤−π4，π2ω≥2π3，进而即可解得0<ω≤34，即可得解．
【解答】
解：因为函数f(x)=sinωx的最小正周期T=2πω，
所以[−π2ω,π2ω]是f(x)的一个单调递增区间，
又函数f(x)=sinωx(ω>0)在[−π4,2π3]上单调递增，
所以[−π4,2π3]⊆[−π2ω,π2ω]，
于是有，−π2ω≤−π4，π2ω≥2π3，
又ω>0，
解得0<ω≤34，故可得常数ω的一个取值为34.
故答案为：34.(答案不唯一)
21.【答案】④
【解析】解：∵两两不共线的三个向量a，b，c，∴b=c不可能成立，故①②不正确；
a*b=|a|⋅|b|sin，
(−a)*b=|−a|⋅|b|sin<−a，b>=|a|⋅|b|sin，故③正确．
(a+b)*c=|a+b|⋅|c|sin<(a+b)，c>，
a*c+b*c=|a||c|sin+|b||c|sin，故④不一定成立．
故答案为：④．
根据新定义运算，根据向量共线的性质即可逐项判断．
本题考查向量的新定义运算，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵sinα=35，cs2α=1−sin2α=1−925=1625，
又α∈(π2,π)，∴csα=−45，
∴cs(α+π4)=csαcsπ4−sinαsinπ4=−45⋅ 22−35⋅ 22=−7 210；
(2)由(1)可得sin2α−csα1+cs2α=2sinαcsα−csα1+2cs2α−1
=2sinα−12csα=2⋅35−12⋅(−45)=15−85=−18.
【解析】(1)根据三角函数的同角关系，两角和的余弦公式即可求解；
(2)根据二倍角公式即可求解．
本题考查三角函数的同角关系，两角和的余弦公式，二倍角公式，属基础题．
23.【答案】(本题满分为13分)
解：(Ⅰ)在△ABCD中，因为a=3，b=2 3，csB=13，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，………．(2分)
可得c2−2c−3=0，………．(4分)
所以c=3，或c=−1(舍).…………．(6分)
(Ⅱ)因为csB=13,B∈(0,π)，
所以sinB= 1−cs2B=2 23.
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×3×3×2 23=3 2.…………．(13分)
【解析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理可得c2−2c−3=0，即可解得c的值．
(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
24.【答案】(Ⅰ)解：平行四边形ABCD中，AC=AB+AD=a+b，
由于AE=2AB，AB=a，则AE=2a，又AD=b，则在△ADE中，有DE=2a−b，
(Ⅱ)证明：∵DF=13DE.∴DF=13(2a−b)，
在△DFC中，CF=CD+DF=−a+13(2a−b)=−13(a+b)=−13AC，
即FC=13AC，又CF与AC有公共点C，则A，F，C三点共线．
【解析】本题考查向量的线性表示，考查平行四边形法则和三角形法则，属于基础题．
(Ⅰ)分别利用平行四边形法则和三角形法则可表示所求向量；
(Ⅱ)在△DFC中，把表示出来，可发现FC与AC的线性关系，从而证明三点共线．
25.【答案】解：由题意得，ω=2ππ=2，
故f(x)=Asin(2x+φ)，
(I)若A=1，则f(x)=sin(2x+φ)，f(0)=sinφ= 22，
因为0<φ<π2，
所以φ=π4；
(Ⅱ)因为f(x)=Asin(2x+φ)，
若选①②，由①得，f(x)=2sin(2x+φ)，
由②得2×5π12+φ=kπ，k∈Z，
因为0<φ<π2，
所以以φ=π6，f(x)=2sin(2x+π6)，
h(x)=f(x)−2cs2x= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得，−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
故函数h(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z；
若选①③，由①得，f(x)=2sin(2x+φ)，
由③得，f(π12)=2sin(π6+φ)= 3且0<φ<π2，
所以φ=π6，f(x)=2sin(2x+π6)，
h(x)=f(x)−2cs2x= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得，−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
故函数h(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z；
若选②③，f(x)=Asin(2x+φ)，
由②得，2×5π12+φ=kπ，k∈Z，
因为0<φ<π2，
所以以φ=π6，f(x)=Asin(2x+π6)，
由f(π12)=Asinπ3= 3，可得A=2，
所以f(x)=2sin(2x+π6)，
h(x)=f(x)−2cs2x= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得，−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
故函数h(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z.
【解析】(Ⅰ)由已知结合周期公式可求ω，结合A=1及f(0)= 22可求φ；
(Ⅱ)结合所选条件，结合最值与A的关系，正弦函数的对称性及函数图象所经过的点的坐标即可分别求出f(x)，然后结合和差角公式及辅助角公式求出h(x)，再由正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
26.【答案】解：(1)根据题意，令β=(0,1,2)，即y1=0，y2=1，y3=2，
则根据题意可得，t=|xi−yi|=0(i=1,2,3)|，则相应的一个T(α,β)={0}；
若β=(0,2,1)，即y1=0，y2=2，y3=1，
则根据题意可得，t=|xi−yi|=0,i=11,i=2,3，则相应的一个T(α,β)={0,1}；
若β=(1,0,2)，即y1=1，y2=0，y3=2，
则根据题意可得，t=|xi−yi|=1,i=1,20,i=3，则相应的一个T(α,β)={0,1}；
若β=(1,2,0)，即y1=1，y2=2，y3=0，
则根据题意可得，t=|xi−yi|=1,i=1,22,i=3，则相应的一个T(α,β)={1,2}；
同理可得，若β=(2,0,1)，则相应的一个T(α,β)={1,2}；
若β=(2,1,0)，则相应的一个T(α,β)={0,2}；
(2)假设存在α=(x1,x2,…，x6)，和β=(y1,y2,…，y6)均具有性质E{6}，且T(α,β)={0,1,2,3,4,5}，
则0+1+2+3+4+5=i=15|xi−yi|=15，因为|xi−yi|与xi−yi同奇同偶，
所以i=16|xi−yi|与i=16(xi−yi)同奇同偶，
而本题中由(1)中结论可知，i=16|xi−yi|=15，i=16(xi−yi)=0，可见奇偶不同，这与上述结论相矛盾，
因此假设不成立．
综上可得，不存在具有性质E{6}的α，β，满足T(α,β)={0,1,2,3,4,5}.
【解析】(1)本题属于新定义类型题，可根据题意举例进行直接进行求解；
(2)利用反证法进行求解即可．
本题是新定义型题目，求解时应紧扣定义及性质进行求解，求证时可使用反证法，结合简单合情推理得出结论，难度较大．