2023-2024学年山东省潍坊市高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年山东省潍坊市高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.半径为2，圆心角为π3的扇形的面积为( )
A. 4π3B. πC. 2π3D. π3
2.已知向量a,b满足|a|=4,|b|=2,|a+b|=2 5，则⟨a,b⟩=( )
A. π6B. π3C. π2D. 5π6
3.已知a,b是互相垂直的单位向量，则向量a−3b在向量b上的投影的数量为( )
A. −3B. −13C. 3D. 13
4.每一个音都是由纯音合成的，纯音可用函数y=Asin(ωx+φ)表示，某乐器产生的声音由三种不同的纯音构成，其函数模型为：f(x)=sinx+2sin(2x+π3)+3sin(3x+π6)，则f(x)的最小正周期为( )
A. 2π3B. πC. 4π3D. 2π
5.已知tan(3π−α)=−2，则sinαcsα=( )
A. −25B. 25C. 125D. ±25
6.要想得到函数f(x)=sin2x的图象，只需要将函数g(x)=cs(2x+π3)的图象上的所有点( )
A. 向左平移5π12个单位B. 向右平移5π12个单位
C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位
7.扇形OAB的圆心角∠AOB=120∘，D为OA中点，E为AB的中点，则DE=( )
A. OA−12OBB. 12OA−OBC. OA+12OBD. 12OA+OB
8.已知函数y=2cs(ωx+π6)−1(ω>0)在区间(0,2π3)内恰有两个零点，则实数ω的取值范围是( )
A. (52,3]B. (94,134]C. [52,3)D. [94,134)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知非零向量a,b,c，则以下说法正确的是( )
A. a(b⋅c)=(a⋅b)cB. 若a//b,b//c，则a//c
C. 若|a+b|=|a−b|，则a⊥bD. |a|+|b|≥|a+b|
10.已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(−3,4)为角α终边上一点，且角α的终边与角β的终边关于角π4的终边所在直线对称，则( )
A. sin(π−α)=−45B. cs(2π−α)=−35
C. csβ=45D. sin(3π2−β)=−35
11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)与g(x)=2cs(ωx+φ)，其中ω>0,|φ|<π2，当x∈[0,9 22]时，f(x)与g(x)的图象恰有三个不同的交点，分别记为点P，M，N且PM⋅NM=0，则( )
A. 点M的纵坐标为− 2B. ω= 22π
C. △PMN的面积为8D. φ∈[0,π4]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=tan2x+3的最小正周期为______.
13.已知函数f(x)=2sin(2x+φ−π6)为偶函数，写出满足条件的一个φ的值为______.
14.已知点A(1,−1)，B(2,0)，C(3,−3)，点P(x,y)，满足AP=λAB+μAC(1≤λ≤a,1≤μ≤b)，若所有满足条件的点P组成的平面区域的面积为16，则a+b的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a,b满足a=(1,−2),|b|= 10.
(1)若(2a+b)⊥b，求a与b的夹角；
(2)若a与b共线，求b的坐标.
16.(本小题15分)
已知4sin(α−3π2)−sin(α+2024π)sinα−2cs(α−π)=−tan(π−α).
(1)求tanα的值；
(2)求sinα−csα的值.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)(0<ω<3,0<φ<π)的图象过点(0, 3)，且关于点(π3,0)对称.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x∈[−π6,π3]时，函数g(x)=f(2x)+m的最大值为3，试求出函数g(x)的最小值并指出x取何值时，函数g(x)取得最小值.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)最小值为−2，两条相邻对称轴的距离为π2，对∀x∈R,f(x)≤f(−π12).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用五点法画出函数f(x)在x∈[0,π]上的图象；
(3)将函数f(x)图象上所有点先向右平移π6个单位长度，再向上平移3个单位长度，然后横坐标不变，纵坐标变为原来的12倍，得到函数g(x)的图象，若对任意x∈[0,π3]，g2(x)−(2+m)g(x)+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围.
19.(本小题17分)
已知在△ABC中，AN=2NB,AM=λMC，且BM，CN交于点P,AB⋅AC=34|AN||AC|.
(1)求∠A的大小；
(2)若点P恰为线段CN的中点，求λ；
(3)若λ=1，△ABC为锐角三角形，且其面积为 3，点G为△ABC重心，求线段GP的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：S扇形=12α⋅r2=12×π3×22=2π3.
故选：C.
利用扇形的面积计算公式即可得出．
本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为|a|=4,|b|=2,|a+b|=2 5，
所以|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=20，
即16+2a⋅b+4=20，
所以a⋅b=0，即a⊥b，
所以=π2.
故选：C.
将|a+b|=2 5两边同时平方后再代值即可求得a⋅b=0，从而可得=π2.
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为a,b是两个互相垂直的单位向量，
所以a⋅b=0，且|a|=|b|=1，
所以(a−3b)⋅b=a⋅b−3b2=a⋅b−3|b|2=−3，
∴a−3b在b方向上的投影的数量是(a−3b)⋅b|b|=−3.
故选：A.
依题意可得a⋅b=0，进行数量积的运算即可求出(a−3b)⋅b的值，然后根据投影的数量的计算公式即可求得答案．
本题考查了数量积的运算和投影的数量的计算公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=sinx+2sin(2x+π3)+3sin(3x+π6)
而y=sinx，y=sin(2x+π3)，y=sin(3x+π6)的最小正周期分别为2π，π，2π3，
则f(x)的最小正周期为2π.
故选：D.
由已知结合正弦函数的周期公式即可求解．
本题主要考查了正弦函数的周期公式的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵tan(3π−α)=−2，∴tanα=2，sinαcsα=sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=24+1=25.
故选：B.
根据同角函数关系，诱导公式即可求值．
本题考查同角函数关系，考查诱导公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：将函数g(x)=cs(2x+π3)的图象上的所有点向右平移5π12个单位可得，y=cs(2x+π3−5π6)=sin2x=f(x).
故选：B.
由已知结合三角函数的平移变换即可求解．
本题主要考查了三角函数的平移变换，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意，扇形OAB的圆心角∠AOB=120∘，
E为AB的中点，则OE=OA+OB，
又D为OA中点，则OD=12OA，
故DE=AE−AD=OA+OB−12OA=12OA+OB.
故选：D.
根据向量加法的几何意义可得OE=OA+OB，再利用向量线性运算即可求得．
本题考查平面向量基本定理，属基础题．
8.【答案】B
【解析】解：令f(x)=0，∴cs(ωx+π6)=12，
∵x∈(0,23π)，∴ωx+π6∈(π6,ω⋅2π3+π6)，
∵f(x)在(0,23π)上恰有两个零点，
故5π3<ω⋅2π3+π6≤7π3，∴94<ω≤134，
即实数ω的取值范围为(94,134].
故选：B.
令f(x)=0，结合余弦函数的性质即可求得结论．
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A，(a⋅b)c表示与c共线的向量，a(b⋅c)表示与a共线的向量，因此向量的数量积不满足结合律，所以A错误；
对于B，当b为零向量时，a，c两向量不一定平行，所以B错误；
对于C，将|a+b|=|a−b|两边平方得，a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2，
整理得a⋅b=0，所以a⊥b，所以C正确；
对于D，由向量的三角不等式，得|a|+|b|≥|a+b|，所以D正确．
故选：CD.
利用平面向量数量积的结合律可判断A；当b为零向量时可判断B；将|a+b|=|a−b|两边平方可判断C；由向量的三角不等式可判断D.
本题考查了平面向量数量积的结合律、向量的垂直和向量的三角不等式，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：P(−3,4)为角α终边上一点，
则sinα=4 (−3)2+42=45，csα=−3 (−3)2+42=−35，
角α的终边与角β的终边关于角π4的终边所在直线对称，
则α+β=π2，即α=π2−β，
对于A，sin(π−α)=sinα=45，故A错误；
对于B，cs(2π−α)=csα=−35，故B正确；
对于C，csβ=cs(π2−α)=sinα=45，故C正确；
对于D，sin(3π2−β)=−csβ=−cs(π2−α)=−sinα=−45，故D错误．
故选：BC.
根据已知条件，结合三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：根据题意可知△PMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，
设ωx+φ=t，∵x∈[0,9 22]，∴t∈[φ,9 2ω2+φ]，
∴f(x)=2sin(ωx+φ)=2sint，
g(x)=2cs(ωx+φ)=2cst，
易知当t=π4，5π4，9π4时，f(x)=g(x)，
且当t=π4，5π4时，两函数交点的纵坐标分别为2× 22= 2与−2× 22=− 2，又|φ|<π2，
结合具体图象，
可知M点的纵坐标为− 2，∴A选项正确；
∴等腰直角三角形PMN的斜边PN上的高为2 2，又ω>0,|φ|<π2，
∴|PN|=4 2，∴T=4 2，∴ω=2πT= 24π，∴B选项错误；
∴△PMN的面积为12×4 2×2 2=8，∴C选项正确；
又|φ|<π2，且f(x)=2sin(ωx+φ)=2sint与g(x)=2cs(ωx+φ)=2cst在t∈[φ,9π4+φ]上有三个不同交点，
∴−π2<φ≤π49π4≤9π4+φ≤9π4+π，∴φ∈[0,π4]，∴D选项正确．
故选：ACD.
根据题意可知△PMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，再根据三角函数的性质，化归转化思想，针对各个选项分别求解即可．
本题考查三角函数的性质，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】π2
【解析】解：f(x)=tan2x+3的最小正周期为T=π2.
故答案为：π2.
根据正切函数的性质即可得．
本题考查求函数的周期，属于基础题．
13.【答案】2π3(答案不唯一)
【解析】解：因为函数f(x)=2sin(2x+φ−π6)为偶函数，
所以φ−π6=π2+kπ，k∈Z，
即φ=2π3+kπ，k∈Z.
故答案为：2π3(答案不唯一).
由已知结合三角函数的奇偶性即可求解．
本题主要考查了三角函数的奇偶性的应用，属于基础题．
14.【答案】6
【解析】解：如图所示，以AB、AC为邻边作平行四边形ABCD，分别作CE=λCD=λAB，BF=μBD=μAC，
满足AP=λAB+μAC(1<λ≤a,1<μ≤b)的点P的轨迹对应的图形为平行四边形DEQF及其内部．
其中DE=(λ−1)AB，DF=(μ−1)AC，AB=(1,1)，AC=(2,−2)，AB⋅AC=2−2=0，
可知AB⊥AC，|AB|= 2，|AC|=2 2，SDEQF=(λ−1)|AB|⋅(μ−1)|AC|=16，
即 2(λ−1)⋅2 2(μ−1)=16，整理得(λ−1)(μ−1)=4，
可得λμ=λ+μ+3≤(λ+μ2)2，整理得(λ+μ)2−4(λ+μ)−12≥0，解得λ+μ≥6，当且仅当λ=μ=3时取等号．
根据1<λ≤a，1<μ≤b，可知a+b≥λ+μ≥6，当a+b=λ+μ且λ=μ=3时，a+b的最小值为6.
故答案为：6.
根据题意作出示意图，可知满足AP=λAB+μAC(1<λ≤a,1<μ≤b)的点P的轨迹对应的图形为平行四边形DEQF及其内部，根据该平面区域的面积为16，列式算出(λ−1)(μ−1)=4，然后利用基本不等式证出λ+μ≥6，由此算出a+b的最小值．
本题主要考查坐标法表示平面向量及平面向量的运算、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)a=(1,−2)，
则|a|= 1+4= 5，
设a与b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
(2a+b)⊥b，|b|= 10，
则(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=2× 5× 10×csθ+10=0，解得csθ=− 22，
故θ=3π4；
(2)a与b共线，a=(1,−2)，
则b=(λ,−2λ)，
|b|= 10，
故λ2+(−2λ)2=10，解得λ=± 2，
故b=( 2,−2 2)或(− 2,2 2).
【解析】(1)结合向量垂直的性质，以及平面向量的夹角公式，即可求解；
(2)根据已知条件，结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵4sin(α−3π2)−sin(α+2024π)sinα−2cs(α−π)=−tan(π−α)，
∴4sin(α−3π2+2π)−sinαsinα−2cs(α−π+2π)=tanα，
∴4csα−sinαsinα+2csα=tanα，∴4−tanαtanα+2=tanα，∴tanα=−4或tanα=1；
(2)当tanα=−4，sinαcsα=−4，sinα=−4csα，代入sin2α+cs2α=1，
∴csα= 1717，则sinα=−4 1717，sinα−csα=−5 1717，
csα=− 1717，则sinα=4 1717，sinα−csα=5 1717.
当tanα=1，sinα=csα，则sinα−csα=0.
综上所述，sinα−csα=±5 1717或0.
【解析】(1)利用诱导公式，同角函数关系即可求值；(2)利用诱导公式，同角函数关系即可求值．
本题考查同角函数关系，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由函数f(x)=2cs(ωx+φ)的图象过点(0, 3)，
得f(0)=2csφ= 3，解得csφ= 32，
又因为0<φ<π，所以φ=π6；
又f(x)的图象关于点(π3,0)对称，所以f(π3)=2cs(π3ω+π6)=0，
解得π3ω+π6=π2+kπ，k∈Z；所以ω=1+3k，k∈Z；
又因为0<ω<3，所以ω=1，
所以f(x)=2cs(x+π6).
(2)x∈[−π6,π3]时，2x+π6∈[−π6,5π6]，函数g(x)=f(2x)+m=2cs(2x+π6)+m，
由g(x)的最大值为3，得2+m=3，解得m=1，所以g(x)=2cs(2x+π6)+1，
令2x+π6=π+2kπ，k∈Z；解得x=5π12+kπ，k∈Z，
所以当x=5π12+kπ，k∈Z时，g(x)取得最小值为−2+1=−1.
【解析】(1)由f(x)的图象过点(0, 3)求出φ，根据f(x)的图象关于点(π3,0)对称求出ω，即可写出f(x)的解析式；
(2)根据x∈[−π6,π3]时g(x)的最大值求出m，再求g(x)的最小值以及对应x的值．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)由题意可知A=2，T2=π2，
所以ω=2ππ=2，
因为f(x)≤f(−π12)恒成立，即f(−π12)=2，
所以2sin(−π6+φ)=2,sin(−π6+φ)=1，
则−π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，则φ=2π3+2kπ,k∈Z，
由于0<φ<π，即φ=2π3，f(x)=2sin(2x+2π3)，
(2)
(3)由题意知g(x)=sin(2x+π3)+32，
因为x∈[0,π3]，所以π3≤2x+π3≤π，0≤(2x+π3)≤1，
所以32≤g(x)≤52，
若对任意x∈[0,π3]，g2(x)−(2+m)g(x)+2+m≤0恒成立，
即m≥1g(x)−1+g(x)−1恒成立，
令t=g(x)−1，则y=t+1t在[12,32]上先减后增，
故t=12时，函数取得最大值52，
所以m的取值范围为[52,+∞).
【解析】(1)结合最值先求出A，结合周期性性质求出ω，再由不等式恒成立与最值关系的转化及正弦函数取得最值的条件可求φ，进而可求函数解析式；
(2)结合五点作图法即可求解；
(3)结合函数图象的变换先求出g(x)，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求．
本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)解析式的求解，还考查了正弦函数性质的应用，不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为AB⋅AC=|AB||AC|csA，
AN=2NB，所以AN=23AB，
所以 32|AN|=|AB|，
所以 AB⋅AC=|AB||AC|csA=32|AN||AC|csA=34|AN||AC|，
所以 csA=12，所以∠A=π3；
(2)令BP=μBM，则AP=AB+BP=AB+μBM，
因为 BM=AM−AB=λ1+λAC−AB.
所以AP=AB+μ(λ1+λAC−AB)=(1−μ)AB+λμ1+λAC，
又因为AP=12(AC+AN)=12(AC+23AB)=12AC+13AB，
所以 1−μ=13λμ1+λ=12，解得 μ=23,λ=3；
所以λ=3.
(3)由题意可得 AN=23AB,AM=12AC，
所以AG=AB+BG=AB+23BM=AB+23(AM−AB)=AB+23(12AC−AB)=13AB+13AC，
因为C，N，P三点共线，故设 AP=λ′AN+(1−λ′)AC=23λ′AB+(1−λ′)AC，
同理M，B，P三点共线，故设 AP=μ′AB+(1−μ′)AM=μ′AB+12(1−μ′)AC，
则 23λ′=μ′1−λ′=12(1−μ′)，解得 λ′=34μ′=12，
所以AP=12AB+14AC，
则 GP=AP−AG=12AB+14AC−(13AB+13AC)=16AB−112AC=112(2AB−AC)，
又因为△ABC为锐角三角形，所以AB边上的高为csinA，
所以 S△ABC=12bcsinA= 3，所以bc=4，
当C为锐角，则AC−⋅BC−>0，即 AC⋅(AC−AB)=AC2−AC⋅AB=b2−12bc>0，
即 2b>c=4b，所以b> 2；
当B为锐角，则AB⋅CB>0，即 AB⋅(AB−AC)=AB2−AC⋅AB=c2−12bc>0，
则2c>b，即 2⋅4b>b，所以0综上可得 2又因为|GP|=112⋅|2AB−AC|，
则144|GP|2=(2AB−AC)2=4AB2−4AB⋅AC+AC2=4|AB|2−4AB⋅AC+|AC|2=4c2−2bc+b2=64b2−8+b2，
因为 2且f(x)=64x−8+x在(2,8)上单调递减，f(2)=26，f(8)=8.
所以f(x)∈(8,26)，144|GP|2=64b2−8+b2∈(8,26)，
所以|GP|∈( 26, 2612).
【解析】(1)由已知条件及向量的数量积公式直接求解；
(2)设BP=μBM，由平面向量基本定理，求出λ，μ的值；
(3)由平面向量基本定理将向量GP用基底AB，AC表示，再由锐角三角形解出b的取值范围，计算|GP|2表示成关于b的函数，由函数单调性即可求解．
本题考查了平面向量的基本定理的应用及数量积计算，考查了转化思想，属于中档题． x
0
π6
5π12
2π3
11π12
π
2x+2π3
2π3
π
3π2
2π
5π2
8π3
f(x)
3
0
−2
0
2
3