2023-2024学年北京市房山区高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市房山区高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.将300°化为弧度为( )
A. 5π3B. 7π6C. 7π4D. 11π6
2.已知sinθ>0且csθ<0，则角θ的终边所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知向量a=(−5,6)，b=(6,5)，则a与b( )
A. 平行且同向B. 不垂直也不平行C. 垂直D. 平行且反向
4.要得到函数y=sin(4x−π3)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象( )
A. 向左平移π12个单位B. 向右平移π12个单位C. 向左平移π3个单位D. 向右平移π3个单位
5.下列函数中，最小正周期为π且为奇函数的是( )
A. y=tan2xB. y=tan(x+π3)C. y=cs2xD. y=sinxcsx
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )
A. ω=12，φ=π3
B. ω=12，φ=−π3
C. ω=2，φ=π3
D. ω=2，φ=−π3
7.设a，b是非零向量，“a⋅b=|a||b|”是“a//b”的
( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知平面向量a，b满足|a|= 3，|b|=2，且(a−b)⊥a，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
9.已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
10.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)在区间[0,π3]上是单调函数，f(−π3)=f(0)=−f(π3)=12，则f(2024π)=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.sin7π6=______．
12.函数y=tan(2x−π6)的定义域为______．
13.已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a，b的夹角的余弦值为______．
14.已知向量a=(1,2)，b为单位向量，a⋅b=0，则向量b的坐标为______.(写出一个即可)
15.在平面直角坐标系xOy中，角α的终边过点A(4,3)，则tanα= ______；将射线OA绕原点O沿逆时针方向旋转π2到角β的终边，则sinβ= ______．
16.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12sin2x(x∈R)，给出下列四个结论：
①f(x)的一个周期为2π；
②f(x)的图象关于原点对称；
③f(x)的最大值为32；
④f(x)在区间[0,2π]上有3个零点．
其中所有正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知向量a，b满足|a|=|b|=2，且a与b的夹角为2π3．
(Ⅰ)求a⋅b；
(Ⅱ)求|a−b|；
(Ⅲ)若(a−2b)⊥(ka+b)，求实数k的值．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)= 3sin2x+2cs2x．
(Ⅰ)求f(π3)；
(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．
19.(本小题14分)
设函数f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφ(ω>0,0<φ<π2)由下列三个条件中的两个来确定：
①f(0)=−2；
②最小正周期为π；
③f(−π6)=0．
(Ⅰ)写出能确定函数f(x)的两个条件，并求出f(x)的解析式；
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最小值及相应的x的值．
20.(本小题14分)
将图(1)所示的摩天轮抽象成图(2)所示的平面图形.摩天轮直径为40米，中心O距地面21米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点A处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点．
(Ⅰ)游客登上摩天轮4分钟后到达B处，求该游客距离地面的高度；
(Ⅱ)求该游客距离地面的高度h(单位：米)与他登上摩天轮的时间x(单位：分钟)的函数关系式；
(Ⅲ)当该游客登上摩天轮2分钟时，他的朋友在摩天轮最低点A处登上摩天轮.求他和他的朋友距离地面的高度之差的绝对值的最大值．
21.(本小题14分)
已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，若存在实数m，n使h(x)=mf(x)+ng(x)对任意x∈R都成立，则称h(x)为f(x)，g(x)在R上生成的函数．
(Ⅰ)判断函数y=sin(x+π3)是否为f(x)=sinx，g(x)=csx在R上生成的函数，说明理由；
(Ⅱ)判断函数y=sin2x是否为f(x)=sinx，g(x)=cs2x在R上生成的函数，说明理由；
(Ⅲ)若h(x)为f(x)=sinx，g(x)=cs2x在R上的一个生成函数，且m>0，n>0，h(x)的最小值为−2，h(π2)=1，求h(x)的解析式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：300°=300×π180=5π3．
故选：A．
根据角度制与弧度制的相互转化，计算即可．
本题考查了角度制化为弧度制的应用问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据三角函数的定义，
sinθ=yr>0，csθ=xr<0，
∵r>0，
∴y>0，x<0；
∴θ在第二象限．
故选：B．
利用三角函数的定义，可确定y>0且x<0，进而可知θ所在的象限．
本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵向量a=(−5,6)，b=(6,5)，
∴a⋅b=(−5)×6+6×5=0，
∴a⊥b．
故选：C．
利用向量垂直的性质求解．
本题考查两个平面向量的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．
4.【答案】B
【解析】解：要得到函数y=sin(4x−π3)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象向右平移π12个单位，
即：y=sin[4(x−π12)]=sin(4x−π3).
故选：B．
直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换的应用，主要考察学生对函数图象的变换能力，属于基础题型．
5.【答案】D
【解析】解：由于y=tan2x的周期为π2，不满足条件，排除A；
由于y=tan(x+π3)不是奇函数，不满足条件，排除B；
由于y=cs2x为偶函数，故不满足条件，排除C；
由于y=sinxcsc=12sin2x为奇函数，且它的周期为2π2=π，故满足条件．
故选：D．
利用三角函数的周期性和奇偶性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查三角函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由图象可得34T=13π12−π3=3π4，所以T=π，
即T=2π|ω|=π，又ω>0，所以ω=2，
又f(π3)=0，所以2sin(2π3+φ)=0，即sin(2π3+φ)=0，
因为|φ|<π2，所以φ=π3．
故选：C．
由图象可得函数的最小正周期，由周期公式可得ω的值，由f(π3)=0，结合|φ|<π2，即可求解φ的值．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分条件，必要条件的判断，向量的数量积，向量共线的定义，属于中档题．
分别讨论充分性和必要性，即可得到答案．
【解答】
解：(1)a⋅b=|a||b|cs，
∴a⋅b=|a||b|时，cs=1，
∴=0，
∴a/​/b，
∴“a⋅b=|a||b|”是“a/​/b”的充分条件；
(2)a/​/b时，a,b的夹角为0或π，
∴a⋅b=|a||b|，或−|a||b|，
即a/​/b得不到a⋅b=|a||b|，
∴“a⋅b=|a||b|”不是“a/​/b”的必要条件，
∴综上可得，“a⋅b=|a||b|”是“a/​/b”的充分不必要条件．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：由于|a|= 3，|b|=2，且(a−b)⊥a，
则(a−b)⋅a=0，即有a⋅b=a2=3，
cs=a⋅b|a|⋅|b|=32 3= 32，
由于∈[0,π]，
则a与b的夹角为π6．
故选A．
运用向量垂直的条件即为数量积为0，再由向量夹角公式和范围，即可得到夹角．
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查夹角公式及运用，考查运算能力，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：对函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B而言，|A|=f(x)max−f(x)min2,B=f(x)max+f(x)min2，
观察选项可知，选项C的最小正周期大于2π，即2π|a|>2π，则|a|<1，
而又由选项C图象可知，|a|=f(x)max−f(x)min2>22=1，与|a|<1矛盾，故选项C错误，而对比可知选项A正确．
当a=0时，选项B正确；
对选项D而言，易知周期小于2π，则|a|>1，由前面分析可知，符合函数图象．
故选：C．
由函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的性质结合选项即可得解．
本题主要考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的图象及性质，考查数形结合思想，记住常见结论是解题关键，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：由题意知，函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=2πω≥π3×2，解得0<ω≤3，
又因为f(−π3)=f(0)=−f(π3)=12，由f(0)=f(−π3)知，f(x)图象的一条对称轴为x=−π6，
由f(x)在[0,π3]上是单调函数，且f(0)=−f(π3)，所以f(x)图象的一个对称中心为(π6,0)，
因为x=−π6和(π6,0)是f(x)的对称轴与对称中心，
令T4=π6−(−π6)=π3，解得T=4π3，所以ω=2πT=32，
由f(0)=Asinφ=12，f(π3)=Asin(π2+φ)=Acsφ=−12，f(−π3)=Asin(−π2+φ)=−Acsφ=12；
解得A= 22，φ=π4；所以f(x)= 22sin(32x+π4)，
所以f(2024π)= 22sin(3×1012π+π4)= 22× 22=12．
故选：A．
根据题意求出f(x)的最小正周期和对称轴，对称中心，确定ω、φ和A，即可求出f(x)的解析式与f(2024π)的值．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
11.【答案】−12
【解析】解：sin7π6
=sin(π+π6)
=−sinπ6
=−12．
故答案为：−12
将所求式子中的角7π6变形为π+π6，然后利用诱导公式sin(π+α)=−sinα化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
12.【答案】{x|x≠π3+kπ2,k∈Z}
【解析】解：解2x−π6≠π2+kπ得，x≠π3+kπ2，k∈Z，
∴原函数的定义域为：{x|x≠π3+kπ2,k∈Z}．
故答案为：{x|x≠π3+kπ2,k∈Z}．
根据正切函数的定义域，解2x−π6≠π2+kπ，k∈Z，即可得出原函数的定义域．
本题考查了函数定义域的定义及求法，正切函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】− 1010
【解析】解：设小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则：a=(−2,1),b=(1,2)−(0,1)=(1,1)，
∴cs=a⋅b|a||b|=−2+1 5× 2=− 1010．
故答案为：− 1010．
可设小正方形的边长为1，然后建立坐标系，得出向量a,b的坐标，根据向量夹角的余弦公式即可得解．
本题考查了通过建立坐标系解决向量问题的方法，向量夹角的余弦公式，是基础题．
14.【答案】(2 55,− 55)(答案不唯一)
【解析】解：设b=(x,y)，
因为a=(1,2)，b为单位向量，a⋅b=0，
所以|a|= x2+y2=1a⋅b=x+2y=0，解得x=−2 55y= 55或x=2 55y=− 55，
所以b=(−2 55, 55)或(2 55,− 55)．
故答案为：(2 55,− 55)(答案不唯一)．
设b=(x,y)，由题意建立方程，求解即可．
本题考查平面向量的数量积与模，属于基础题．
15.【答案】34 45
【解析】解：角α的终边过点A(4,3)，
则tanα=34，csα=4 42+32=45，
将射线OA绕原点O沿逆时针方向旋转π2到角β的终边，
则β=π2+α，
sinβ=sin(π2+α)=csα=45．
故答案为：34；45．
结合三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，属于基础题．
16.【答案】①②④
【解析】解：因为f(x+2π)=sin(x+2π)+12sin(2x+4π)=sinx+12sinx=f(x)，即2π为函数的一个周期，①正确；
因为f(−x)=sin(−x)+12sin(−2x)=−sinx−12sin2x=−f(x)，即f(x)为奇函数，图象关于原点对称，②正确；
f′(x)=csx+cs2x=2cs2x+csx−1=(csx+1)(2csx−1)，
因为csx+1≥0恒成立，
故f(x)在(−π3+2kπ,π3+2kπ)，k∈Z上单调递增，在(π3+2kπ,5π3+2kπ)，k∈Z上单调递减，
故x=π3+2kπ时，f(x)取得最大值 32+ 34=3 34，③错误；
易得，f(x)在[0,π3)，(5π3,2π)上单调递增，在(π3,5π3)上单调递减，
又f(0)=0，f(π3)=3 34>0，f(5π3)=−3 34<0，f(2π)=0，
结合零点存在定理可知，f(x)在区间[0,2π]上有3个零点，④正确．
故答案为：①②④．
结合函数的周期性检验①；结合函数的奇偶性检验②；结合导数与单调性及最值关系检验③；结合单调性及零点存在定理检验④．
本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，单调性的判断，还考查了函数的性质在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)已知向量a，b满足|a|=|b|=2，且a与b的夹角为2π3，
则a⋅b=2×2×(−12)=−2；
(Ⅱ)|a−b|= a2−2a⋅b+b2= 4−2×(−2)+4=2 3；
(Ⅲ)因为(a−2b)⊥(ka+b)，
则(a−2b)⋅(ka+b)=0，
则ka2−2b2+(1−2k)a⋅b=0，
即4k−2×4−2(1−2k)=0，
即k=54，
即实数k的值为54．
【解析】(Ⅰ)结合平面向量数量积的运算求解；
(Ⅱ)结合平面向量模的运算求解；
(Ⅲ)结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属中档题．
18.【答案】解：(I)依题意f(x)= 3sin2x+2⋅cs2x+12 (2 分)
= 3sin2x+cs2x+1.(3分)
=2sin(2x+π6)+1.(5分)
∴f(π3)=2sin(2π3+π6)+1=2.(7分)
(II)设函数f(x)的最小正周期为T，则T=π.(9分)
由 2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得 kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，
∴函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)，k∈z.(13分)
【解析】(I)利用两角和差的正弦公式的应用，二倍角公式，化简函数f(x)的解析式为2sin(2x+π6)+1，由此求得f(π3)的值．
(II)根据函数f(x)的解析式求出周期，由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得x的范围，即得函数的单调递增区间．
本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，化简函数f(x)的解析式为2sin(2x+π6)+1，是解题的关键．
19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφ=sin(ωx+φ)，
函数f(x)∈[−1,1]，
而①f(0)=−2∉[−1,1]，所以f(x)不能满足条件①，
所以能确定f(x)的两个条件是②③，
由条件②可得T=2π|ω|=π，因为ω>0，所以ω=2，
由条件③可得f(−π6)=sin[2×(−π6)+φ]=sin(−π3+φ)=0，
因为0<φ<π2，所以φ=π3，
所以f(x)=sin(2x+π3).
综上，能确定函数f(x)的两个条件是②③，f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+π3).
(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，
所以当2x+π3=4π3，即x=π2时，f(x)取得最小值为− 32．
【解析】(Ⅰ)由两角和的正弦公式化简f(x)，确定f(x)的取值范围，从而可得f(x)不能满足条件①，由条件②③，结合正弦函数的性质即可求解函数解析式；
(Ⅱ)由正弦函数的性质即可求解函数的最小值及对应的x的值．
本题主要考查三角函数解析式的求法，正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)游客从最低点A处登上摩天轮，此时游客离地面高度为1米，对应函数取得最小值1，即−20cs0+21=0
登上摩天轮6分钟到达最高点，此时游客离地面高度为41米，即−20csπ+21=41，
所以4分钟后到达B处，该游客距离地面的高度为h=−20cs2π3+21=31(米)；
(Ⅱ)由题意知，h(t)=20sin(ωt−π2)+21，t≥0，T=2×6=12，所以ω=2πT=π6，
所以h(t)=20sin(π6t−π2)+21=−20csπ6t+21，t≥0；
(Ⅲ)由h(t)=−20csπ6t+21，h(t−2)=−20csπ6(t−2)+21，
由h(t)−h(t−2)=20csπ6(t−2)−20csπ6t=20[csπ6(t−2)−csπ6t]=20( 32sinπ6t−12csπ6t)=20sin(π6t−π6)，
当sin(π6t−π6)=1时，|h(t)−h(t−2)|取得最大值为20，
即当该游客登上摩天轮2分钟时，他的朋友在摩天轮最低点A处登上摩天轮，
他和他的朋友距离地面的高度之差绝对值的最大值为20米．
【解析】(Ⅰ)游客从最低点A处登上摩天轮，游客离地面高度为1米，对应函数取得最小值1，登上摩天轮6分钟到达最高点，游客离地面高度为41米，函数取得最大值，从而求出4分钟该游客距离地面的高度；
(Ⅱ)由题意知h(t)=20sin(ωt−π2)+21，由周期求出ω即可；
(Ⅲ)由h(t)=h(t−2)，求出|h(t)−h(t−2)|的最大值即可．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了数学建模能力，是中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)函数y=sin(x+π3)是f(x)=sinx，g(x)=csx在R上生成的函数，
理由如下：因为sin(x+π3)=sinxcsπ3+csxsinπ3=12sinx+ 32csx，
存在实数m=12，n= 32，使h(x)=mf(x)+ng(x)，
所以函数y=sin(x+π3)是f(x)=sinx，g(x)=csx在R上生成的函数．
(Ⅱ)函数y=sin2x不是f(x)=sinx，g(x)=cs2x在R上生成的函数．
理由如下：假设函数y=sin2x是f(x)=sinx，g(x)=cs2x在R上生成的函数，
则存在实数m，n使得sin2x=msinx+ncs2x对任意x∈R都成立．
当x=0时，n=0；
当x=π2时，0=m−n，得m=0；
当x=π4时，左边=sinπ2=1，右边=0⋅sinπ4+0⋅csπ2=0，等式不成立，
与sin2x=msinx+ncs2x对任意x∈R都成立矛盾，
所以函数y=sin2x不是f(x)=sinx，g(x)=cs2x在R上生成的函数．
(Ⅲ)若h(x)为f(x)=sinx，g(x)=cs2x在R上的一个生成函数，
则存在实数m，n使得h(x)=msinx+ncs2x对任意x∈R恒成立．
因为h(π2)=1，所以m−n=1①．
因为−1≤sinx≤1，−1≤cs2x≤1，且m>0，n>0，
所以h(x)=msinx+ncs2x≥−m−n，
当x=3π2时取等号(当且仅当x=3π2+2kπ,k∈Z时取等号)．
h(x)的最小值为−m−n=−2，即m+n=2②，
由①②可得m=32n=12，
所以h(x)=32sinx+12cs2x．
【解析】(Ⅰ)利用两角和的正弦公式化简y=sin(x+π3)，结合生成函数的定义即可判断；
(Ⅱ)假设函数y=sin2x是f(x)=sinx，g(x)=cs2x在R上生成的函数，则存在实数m，n使得sin2x=msinx+ncs2x对任意x∈R都成立，取x=0，x=π2求出m，n的值，再由x=π4推出矛盾，判断即可；
(Ⅲ)由h(π2)=1，可得m−n=1，根据三角函数的有界限求出h(x)的最小值，可得−m−n=−2，联立即可求解m，n的值，从而可得h(x)的解析式．
本题主要考查函数的新定义，考查运算求解能力，属于难题．