人教B版高中数学必修第三册第8章8-2-4第1课时半角的正弦、余弦和正切学案

这是一份人教B版高中数学必修第三册第8章8-2-4第1课时半角的正弦、余弦和正切学案，共10页。

8.2.4　三角恒等变换的应用第1课时　半角的正弦、余弦和正切同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节．事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符．问题　(1)任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？(2)半角公式是如何推导出来的？[提示]　(1)eq \f(α,2)是的半角，α是2α的半角．(2)半角公式的推导利用公式cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．知识点　半角公式Seq \s\do12(eq \f(α,2))：sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cos α,2))，Ceq \s\do12(eq \f(α,2))：coseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cos α,2))，Teq \s\do12(eq \f(α,2))：taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))．如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？[提示]　(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求角eq \f(α,2)所在范围，然后再根据角eq \f(α,2)所在象限确定符号．1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)cos eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cos α,2))． (　　)(2)对于任意α∈R，sin eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)sin α都不成立． (　　)(3)若α是第一象限角，则tan eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))． (　　)[提示]　(1)×．只有当－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(α,2)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cos α,2))．(2)×．当α＝2kπ(k∈Z)时成立，但一般情况下不成立．(3)√．若α是第一象限角，则eq \f(α,2)是第一、三象限角，此时tan eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))成立．[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．已知cos α＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，则sin eq \f(α,2)等于(　　)A．－eq \f(\r(10),10) B．eq \f(\r(10),10)C．eq \f(3\r(3),10) D．－eq \f(3,5)B　[因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，所以eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，所以sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cos α,2))＝eq \f(\r(10),10)．] 类型1　化简问题【例1】　已知π<α<eq \f(3π,2)，化简eq \f(1＋sin α,\r(1＋cos α)－\r(1－cos α))＋eq \f(1－sin α,\r(1＋cos α)＋\r(1－cos α))．[解]　原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)＋cos \f(α,2)))eq \s\up12(2),\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos \f(α,2)))－\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)－cos \f(α,2)))eq \s\up12(2),\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos \f(α,2)))＋\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2))))，因为π<α<eq \f(3π,2)，所以eq \f(π,2)<eq \f(α,2)<eq \f(3π,4)，所以cos eq \f(α,2)<0，sin eq \f(α,2)>0．所以原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)＋cos \f(α,2)))eq \s\up12(2),－\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)＋cos \f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)－cos \f(α,2)))eq \s\up12(2),\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)－cos \f(α,2))))＝－eq \f(sin \f(α,2)＋cos \f(α,2),\r(2))＋eq \f(sin \f(α,2)－cos \f(α,2),\r(2))＝－eq \r(2)cos eq \f(α,2)．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．eq \o([跟进训练])1．化简：eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－sin α－cos α))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)＋cos \f(α,2))),\r(2－2cos α))(－π<α<0)．[解]　原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin2\f(α,2)－2sin \f(α,2)cos \f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)＋cos \f(α,2))),\r(2×2sin2\f(α,2)))＝eq \f(2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)－cos \f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)＋cos \f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2))))＝eq \f(sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(α,2)－cos2\f(α,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2))))＝eq \f(－sin \f(α,2)cos α,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2))))．因为－π<α<0，所以－eq \f(π,2)<eq \f(α,2)<0，所以sin eq \f(α,2)<0，所以原式＝eq \f(－sin \f(α,2)cos α,－sin \f(α,2))＝cos α． 类型2　求值问题【例2】　已知|cos θ|＝eq \f(3,5)，且eq \f(5π,2)<θ<3π，求sin eq \f(θ,2)，cos eq \f(θ,2)，tan eq \f(θ,2)的值．[解]　由eq \f(5π,2)<θ<3π，且|cos θ|＝eq \f(3,5)可知，cos θ＝－eq \f(3,5)，eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))．由sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cos θ,2)＝eq \f(1＋\f(3,5),2)＝eq \f(4,5)，所以sin eq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(4,5))＝－eq \f(2\r(5),5)．由cos2eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cos θ,2)＝eq \f(1－\f(3,5),2)＝eq \f(1,5)，所以cos eq \f(θ,2)＝－eq \f(\r(5),5)．所以tan eq \f(θ,2)＝eq \f(sin \f(θ,2),cos \f(θ,2))＝eq \f(－\f(2\r(5),5),－\f(\r(5),5))＝2．利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cos α)＝eq \f(1－cos α,sin α)，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cos α,2)，cos2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cos α,2)计算．(4)下结论：结合(2)求值．eq \o([跟进训练])2．已知sin eq \f(α,2)－cos eq \f(α,2)＝－eq \f(\r(5),5)，450°<α<540°，求sin α及tan eq \f(α,2)的值．[解]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)－cos \f(α,2)))eq \s\up12(2)＝1－sin α＝eq \f(1,5)，所以sin α＝eq \f(4,5)，因为450°＜α＜540°；所以cos α＜0，cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(3,5)，所以tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq \f(2sin2\f(α,2),2sin\f(α,2)cos\f(α,2))＝eq \f(1－cos α,sin α)＝2． 类型3　三角恒等式的证明【例3】求证：(1)1＋2cos2θ－cos 2θ＝2．(2)eq \f(2sin xcos x,sin x＋cos x－1sin x－cos x＋1)＝eq \f(1＋cos x,sin x)．1．解决三角函数式的化简证明等问题一般从哪几个方面入手？[提示]　一角、二名、三结构，即一看角之间的联系；二看三角函数名称的变化；三看所给式与所求式的结构形式．2．解决三角函数化简、证明等问题的原则是什么？[提示]　原则：统一名称，统一角度．[证明]　(1)左边＝1＋2×eq \f(1＋cos 2θ,2)－cos 2θ＝2＝右边．所以原等式成立．(2)左边＝eq \f(2sin xcos x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(x,2)cos\f(x,2)－2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(x,2)cos\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))))＝eq \f(2sin xcos x,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(x,2)－sin2\f(x,2))))＝eq \f(sin x,2sin2\f(x,2))＝eq \f(cos \f(x,2),sin\f(x,2))＝eq \f(2cos2\f(x,2),2sin\f(x,2)cos\f(x,2))＝eq \f(1＋cos x,sin x)＝右边．所以原等式成立．三角恒等式证明的五种常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．eq \o([跟进训练])3．已知0<α<eq \f(π,4)，0<β<eq \f(π,4)，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan eq \f(α,2)＝1－tan2eq \f(α,2)，求证：α＋β＝eq \f(π,4)．[证明]　因为3sin β＝sin(2α＋β)，即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，所以2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α．又因为4tan eq \f(α,2)＝1－tan2eq \f(α,2)，所以tan α＝eq \f(2tan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1，因为α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α＋β＝eq \f(π,4)．1．设－3π<α<－eq \f(5π,2)，则化简eq \r(\f(1－cosα－π,2))的结果是(　　)A．sin eq \f(α,2) B．cos eq \f(α,2)C．－cos eq \f(α,2) D．－sin eq \f(α,2)C　[∵－3π<α<－eq \f(5,2)π，∴－eq \f(3,2)π<eq \f(α,2)<－eq \f(5,4)π，∴cos eq \f(α,2)<0，∴原式＝eq \r(\f(1＋cos α,2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos \f(α,2)))＝－cos eq \f(α,2)．]2．已知sin α－cos α＝－eq \f(5,4)，则sin 2α的值等于(　　)A．eq \f(7,16) B．－eq \f(7,16)C．－eq \f(9,16) D．eq \f(9,16)C　[由sin α－cos α＝－eq \f(5,4)，(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－sin 2α＝eq \f(25,16)，所以sin 2α＝－eq \f(9,16)．]3．下列各式与tan α相等的是(　　)A．eq \r(\f(1－cos 2α,1＋cos 2α)) B．eq \f(sin α,1＋cos α)C．eq \f(sin α,1－cos 2α) D．eq \f(1－cos 2α,sin 2α)D　[eq \r(\f(1－cos 2α,1＋cos 2α))＝eq \r(\f(2sin2α,2cos2α))＝eq \r(tan2α)＝|tan α|；eq \f(sin α,1＋cos α)＝eq \f(2sin \f(α,2)cos \f(α,2),2cos2\f(α,2))＝tan eq \f(α,2)；eq \f(sin α,1－cos 2α)＝eq \f(sin α,2sin2α)＝eq \f(1,2sin α)；eq \f(1－cos 2α,sin 2α)＝eq \f(2sin2α,2sin αcos α)＝tan α．]4．(1)sin eq \f(π,12)＝________；(2)tan eq \f(π,8)＝________．(1)eq \f(\r(6)－\r(2),4)　(2)eq \r(2)－1　[(1)sin eq \f(π,12)＝eq \r(\f(1－cos \f(π,6),2))＝eq \r(\f(2－\r(3),4))＝eq \r(\f(8－4\r(3),16))＝eq \f(\r(\r(6)－\r(2)2),4)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)．(2)tan eq \f(π,8)＝eq \r(\f(1－cos \f(π,4),1＋cos \f(π,4)))＝eq \r(\f(1－\f(\r(2),2),1＋\f(\r(2),2)))＝eq \r(2)－1．]5．已知cos α＝eq \f(\r(3),3)，α为第四象限角，则tan eq \f(α,2)的值为________．　eq \f(\r(2)－\r(6),2)　[因为α为第四象限角，所以sin α＜0，所以sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \r(1－\f(1,3))＝－eq \f(\r(6),3)，所以tan eq \f(α,2)＝eq \f(1－cos α,sin α)＝eq \f(1－\f(\r(3),3),－\f(\r(6),3))＝eq \f(\r(2)－\r(6),2)．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．何为升幂？何为降幂？[提示]　由C2α变形后得到公式：sin2α＝eq \f(1,2)(1－cos 2α)，cos2α＝eq \f(1,2)(1＋cos 2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，就是升幂．2．若三角函数式中有切、有弦，一般常如何处理？[提示]　当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan α＝eq \f(sin α,cos α)，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．3．三角恒等变换中，常见角的变换有哪些？[提示]　角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝eq \f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]，α＝eq \f(1,2)[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等．1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．(一般)2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．(重点、难点)1．通过半角的正弦、余弦和正切公式的推导，培养学生的逻辑推理的核心素养．2．借助半角的正弦、余弦和正切公式的应用，提升学生的数学运算和逻辑推理的核心素养．