2024版高考数学微专题专练53抛物线理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练53抛物线理（附解析），共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点到其准线的距离为( )
A．1 B．2
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,8)
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为( )
A．抛物线B．直线
C．线段D．射线
4．[2022·江西省赣州摸底]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，以F为圆心，半径为eq \r(6)的圆与l交于A，B两点，则|AB|＝( )
A．eq \r(2)B．2eq \r(2)
C．2eq \r(3)D．4
5．[2022·全国乙卷(理)，5]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A．2B．2eq \r(2)
C．3D．3eq \r(2)
6．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2B．3
C．4D．8
7．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8xB．y2＝4x
C．y2＝2xD．y2＝x
8．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))等于( )
A．eq \f(3,4)B．－eq \f(3,4)
C．3D．－3
9．[2022·江西省景德镇质检]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且|AB|＝eq \f(16,3).若eq \(AF,\s\up6(→))＝teq \(FB,\s\up6(→))(其中t＞1)，则t的值为( )
A．eq \f(3,2)B．eq \r(3)
C．2D．3
二、填空题
10．[2022·河南省六市联考]抛物线y＝ax2经过点M(2，1)，则M到焦点F的距离为________．
11．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|PQ|＝________.
12．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．
[能力提升]
13．[2022·成都石室中学“二诊模拟”]设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2x上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A．1B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(5),2)
14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( )
A．eq \f(71,12)＋eq \r(26)B．9＋eq \r(26)
C．9＋eq \r(10)D．eq \f(83,12)＋eq \r(26)
15．[2022·江西省赣州期末]抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A，B，C在E上，O是坐标原点，若点F为△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3.则S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝________．
16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则eq \f(|AF|,|BF|)＝________.
专练53 抛物线
1．B y＝eq \f(1,4)x2可化为x2＝4y，则焦点到准线的距离为eq \f(1,2)×4＝2.
2．B ∵y2＝2px的准线为x＝－eq \f(p,2)，又准线过点(－1，1)，∴－eq \f(p,2)＝－1，∴p＝2，故其焦点坐标为(1，0).
3．B ∵F(2，1)在直线l：3x＋4y－10＝0上，∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂直的直线．
4．B 因为y2＝4x，所以焦点F(1，0)到准线l：x＝－1的距离为2，又|AF|＝eq \r(6)，所以|AB|＝2eq \r(（\r(6)）2－22)＝2eq \r(2).
5．B 由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2eq \r(x0)).根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝eq \r(（1－3）2＋（2－0）2)＝2eq \r(2).故选B.
6．D 由题意，知抛物线的焦点坐标为(eq \f(p,2)，0)，椭圆的焦点坐标为(±eq \r(2p)，0)，所以eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，解得p＝8，故选D.
7．B
如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，
∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝eq \f(4,3)，∵AE∥FG，∴eq \f(FG,AE)＝eq \f(CF,AC)，即eq \f(p,4)＝eq \f(4,8)，得p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.故选B.
8．B 当AB与x轴垂直时，A(eq \f(1,2)，1)，B(eq \f(1,2)，－1)，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋1×(－1)＝－eq \f(3,4)；
当AB与x轴不垂直时，
设l：y＝k(x－eq \f(1,2))，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－\f(1,2)），,y2＝2x，))得k2x2－(k2＋2)x＋eq \f(k2,4)＝0
由韦达定理得x1＋x2＝eq \f(k2＋2,k2)，x1x2＝eq \f(1,4)，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝
x1x2＋k2(x1－eq \f(1,2))(x2－eq \f(1,2))
＝(1＋k2)x1x2－eq \f(1,2)k2(x1＋x2)＋eq \f(k2,4)＝－eq \f(3,4).
9．D 抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，依题意，直线AB不垂直于坐标轴，设直线AB：y＝k(x－1)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1）,y2＝4x))，消去y并整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，而k≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1x2＝1，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝eq \f(16,3)，即x1＋x2＝eq \f(10,3)，
因eq \(AF,\s\up6(→))＝teq \(FB,\s\up6(→))，且t＞1，即|AF|＞|BF|，则有x1＞x2，解得x1＝3，x2＝eq \f(1,3)，又(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，于是得1－x1＝t(x2－1)，t＝eq \f(x1－1,1－x2)＝eq \f(3－1,1－\f(1,3))＝3，所以t值为3.
10．2
解析：抛物线y＝ax2经过点M(2，1)，故1＝4a，解得a＝eq \f(1,4)，
∵抛物线y＝eq \f(x2,4)，
∴标准方程为x2＝4y.准线方程为y＝－1，
点M(2，1)到焦点F的距离即为M到准线的距离1＋1＝2.
11．8
解析：|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
12．0或1
解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
若k＝0，满足题意；若k≠0，则Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.综上得k＝0或k＝1.
13．C 因为F(eq \f(1,2)，0)，设M(x0，y0)，显然当y0＜0时，kOM＜0，当y0＞0时，kOM＞0，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时y0＞0，设P(m，n)，因为|PM|＝2|MF|，所以eq \(PM,\s\up6(→))＝2eq \(MF,\s\up6(→))，即(x0－m，y0－n)＝2(eq \f(1,2)－x0，－y0)，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝3x0－1,n＝3y0))，由于n2＝2m，所以9y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝2(3x0－1)，即eq \f(3,2)y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋eq \f(1,3)＝x0，由于y0＞0，则kOM＝eq \f(y0,x0)＝eq \f(y0,\f(3,2)y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋\f(1,3))＝eq \f(1,\f(3,2)y0＋\f(1,3y0))≤eq \f(1,2\r(\f(3,2)y0·\f(1,3y0)))＝eq \f(\r(2),2)，当且仅当eq \f(3,2)y0＝eq \f(1,3y0)，即y0＝eq \f(\r(2),3)时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为eq \f(\r(2),2).
14．B 令y＝1，得x＝eq \f(1,4)，即A(eq \f(1,4)，1).
由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x.
消去y，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.则xAxB＝1，所以xB＝eq \f(1,xA)＝4.
|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(25,4).
将x＝4代入y2＝4x得y＝±4，故B(4，－4).
故|MB|＝eq \r(（4－3）2＋（－4－1）2)＝eq \r(26).
故△ABM的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|＝(3－eq \f(1,4))＋eq \r(26)＋eq \f(25,4)＝9＋eq \r(26).故选B.
15．3
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，所以有y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝4x1，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝4x2，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝4x3，抛物线的焦点坐标为F(1，0)，△ABC的重心坐标为(eq \f(x1＋x2＋x3,3)，eq \f(y1＋y2＋y3,3))，由题意可知eq \f(x1＋x2＋x3,3)＝1，即x1＋x2＋x3＝3，
S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝(eq \f(1,2)×|OF|·|y1|)2＋(eq \f(1,2)×|OF|·|y2|)2＋(eq \f(1,2)×|OF|·|y3|)2
＝eq \f(1,4)(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) )＝x1＋x2＋x3，
所以S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝x1＋x2＋x3＝3.
16．3
解析：
如图所示，由题意得准线l：x＝－eq \f(p,2).作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，BH⊥AC于点H，则|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，|AH|＝|AC|－|BD|＝|AF|－|BF|，因为在Rt△AHB中，∠HAB＝60°，所以cs60°＝eq \f(|AH|,|AB|)＝eq \f(|AF|－|BF|,|AF|＋|BF|)，
即eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝|AF|－|BF|，得eq \f(|AF|,|BF|)＝3.