2024版高考数学微专题专练32数列求和理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练32数列求和理（附解析），共4页。

[基础强化]
一、选择题
1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )
A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2
2．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C．eq \f(n（n＋1）,2)D．eq \f(n（n－1）,2)
3．数列1，eq \f(1,1＋2)，eq \f(1,1＋2＋3)，…，eq \f(1,1＋2＋3＋…＋n)，…的前n项和为( )
A．eq \f(n,n＋1)B．eq \f(2n,n＋1)
C．eq \f(4n,n＋1)D．eq \f(n,2（n＋1）)
4．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))))的前2018项的和为( )
A．eq \r(2018)＋1B．eq \r(2018)－1
C．eq \r(2019)＋1D．eq \r(2019)－1
5．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为( )
A.250B．200
C．150D．100
6．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2018＝( )
A．3B．2
C．1D．0
7．[2022·陕西省西安中学三模]数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，n∈N*，则{bn}的前10项之和为( )
A．eq \f(4,13)B．eq \f(5,13)
C．eq \f(8,39)D．eq \f(10,39)
8．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an＋2，n是奇数，,2an，n是偶数，))则数列{an}的前20项和为( )
A．1121B．1122
C．1123D．1124
9．[2022·江苏模拟]已知等差数列{an}的前9项和为18，函数f(x)＝(x－2)3＋1，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝( )
A．7B．8
C．9D．10
二、填空题
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，则S9＝________．
11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前10项的和为________．
12．在等差数列{an}中，已知a1＋a3＝0，a2＋a4＝－2，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n－1)))的前10项和是________.
[能力提升]
13．已知数列{an}满足2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N)，且a1＝1，a5＝9，bn＝C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(99)) ·an，则数列{bn}的前100项的和为( )
A．100×299B．100×2100
C．50×299D．50×2101
14．[2022·安徽省示范高中联考]已知数列{an}为等比数列，公比q≠1，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，将数列{an}中的项按一定顺序排列成a1，a1，a2，a1，a2，a3，a1，a2，a3，a4，…的形式，记此数列为{bn}，数列{bn}的前n项和为Sn，则S24的值是( )
A．1629B．1641
C．1668D．1749
15．[2022·安徽省滁州市质检]已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝4，4an＋1－3an－an＋2＝0，设bn＝eq \f(1,lg3（2an＋1）lg3（2an＋1＋1）)，n∈N*.则b1＋b2＋…＋b2022＝________．
16．[2022·江西省赣州市一模]数列{an}满足an＋an＋1＝n2·sineq \f(nπ,2)(n∈N*)，若数列{an}前n项和为Sn，则S40＝________．
专练32 数列求和
1．C Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝eq \f(2（1－2n）,1－2)＋eq \f(（1＋2n－1）n,2)＝2n＋1－2＋n2.
2．A ∵a2，a4，a8成等比数列，∴a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝a2a8，
∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，得a1＝d＝2，
∴Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＝n(n＋1).
3．B ∵eq \f(1,1＋2＋3＋…＋n)＝eq \f(2,（1＋n）n)＝2(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1))，
∴Sn＝2(1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1))
＝2(1－eq \f(1,n＋1))＝eq \f(2n,n＋1).
4．D ∵eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)，
∴S2018＝eq \r(2)－1＋eq \r(3)－eq \r(2)＋…＋eq \r(2019)－eq \r(2018)＝eq \r(2019)－1.
5．D 当n＝2k－1时，a2k＋a2k－1＝2，∴{an}的前100项和S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝50×2＝100，故选D.
6．A ∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，
∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2018＝336×0＋a2017＋a2018＝a1＋a2＝3.故选A.
7．D 因为anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，故bn＝eq \f(1,n2＋5n＋6)＝eq \f(1,n＋2)－eq \f(1,n＋3)，
故{bn}的前10项之和为eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,5)＋…＋eq \f(1,12)－eq \f(1,13)＝eq \f(1,3)－eq \f(1,13)＝eq \f(10,39).
8．C 由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为eq \f(1×（1－210）,1－2)＋10×1＋eq \f(10×9,2)×2＝1123.选C.
9．C 由题意知，S9＝eq \f(9（a1＋a9）,2)＝18，所以a1＋a9＝4，a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝4，a5＝2，又f(x)＝(x－2)3＋1，则f(x)＋f(4－x)＝(x－2)3＋1＋(4－x－2)3＋1＝2，所以f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝[f(a1)＋f(a9)]＋[f(a2)＋f(a8)]＋[f(a3)＋f(a7)]＋[f(a4)＋f(a6)]＋f(a5)＝4×2＋1＝9.
10．18
解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1＋a3＋a11＝6，
∴3a1＋12d＝6，即a1＋4d＝2，∴a5＝2，
∴S9＝eq \f(（a1＋a9）×9,2)＝eq \f(2a5×9,2)＝18.
11.eq \f(20,11)
解析：∵an＋1－an＝n＋1，∴当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，
∴an－a1＝eq \f(（2＋n）（n－1）,2)，∴an＝1＋eq \f(（n＋2）（n－1）,2)＝eq \f(n2＋n,2)(n≥2)
又当n＝1时a1＝1符合上式，
∴an＝eq \f(n2＋n,2)
∴eq \f(1,an)＝eq \f(2,n2＋n)＝2(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1))，
∴S10＝2(1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,10)－eq \f(1,11))＝2(1－eq \f(1,11))＝eq \f(20,11).
12.eq \f(5,256)
解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a3＝2a2＝0，
∴a2＝0，a2＋a4＝2a3＝－2，
∴a3＝－1，∴d＝a3－a2＝－1，∴an＝a2＋(n－2)d＝2－n，
∴Sn＝eq \f(1,20)＋eq \f(0,21)＋…＋eq \f(2－n,2n－1)，
∴eq \f(1,2)Sn＝eq \f(1,21)＋eq \f(0,22)＋…＋eq \f(3－n,2n－1)＋eq \f(2－n,2n)，
∴eq \f(1,2)Sn＝eq \f(1,20)＋(eq \f(－1,21)＋eq \f(－1,22)＋…＋eq \f(－1,2n－1))－eq \f(2－n,2n)＝eq \f(n,2n)，
∴Sn＝eq \f(n,2n－1)，S10＝eq \f(10,29)＝eq \f(5,256).
13．A 由2an＝an＋1＋an－1知{an}为等差数列，又a1＝1，a5＝a1＋4d，∴d＝2，｀∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴{bn}的前100项的和S100满足：
S100＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(99)) a1＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(99)) a2＋…＋C eq \\al(\s\up1(99),\s\d1(99)) a100，
∴S100＝C eq \\al(\s\up1(99),\s\d1(99)) a100＋C eq \\al(\s\up1(98),\s\d1(99)) a99＋…＋C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(99)) a1＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(99)) a100＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(99)) a99＋…＋C eq \\al(\s\up1(99),\s\d1(99)) a1，
∴2S100＝(a1＋a100)(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(99)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(99)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(99)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(99),\s\d1(99)) )＝200×299，
∴S100＝100×299.
14．C 因为数列{an}为等比数列，公比q≠1，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，
所以4a2＝3a1＋a3，即4q＝3＋q2，解得q＝1或q＝3，
因为q≠1，所以q＝3.
所以an＝a1qn－1＝3n，其前n项和为Tn＝eq \f(3（1－3n）,1－3)＝eq \f(3n＋1,2)－eq \f(3,2)，
所以S24＝T1＋T2＋…＋T6＋T3＝(eq \f(32,2)－eq \f(3,2))＋(eq \f(33,2)－eq \f(3,2))＋…＋(eq \f(37,2)－eq \f(3,2))＋(eq \f(34,2)－eq \f(3,2))
＝eq \f(1,2)(32＋33＋…＋37)＋eq \f(34,2)－eq \f(3,2)×7＝1638＋eq \f(34,2)－eq \f(3,2)×7＝1668.
15.eq \f(2022,2023)
解析：依题意a1＝1，a2＝4，4an＋1－3an－an＋2＝0，
an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，
所以数列{an＋1－an}是首项a2－a1＝3，公比为3的等比数列，
所以an＋1－an＝3n，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝eq \f(1－3n,1－3)＝eq \f(3n－1,2)，a1＝1也满足，
所以an＝eq \f(3n－1,2)，
bn＝eq \f(1,lg33nlg33n＋1)＝eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，所以b1＋b2＋…＋b2022＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2022)－eq \f(1,2023)＝1－eq \f(1,2023)＝eq \f(2022,2023).
16．－800
解析：由已知可得an＋an＋1＝n2·sineq \f(nπ,2)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n2·sin\f(nπ,2)，n为奇数,0，n为偶数))
S40＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋…＋(a39＋a40)
＝12×sineq \f(π,2)＋32×sineq \f(3π,2)＋52×sineq \f(5π,2)＋…＋392×sineq \f(39π,2)
＝12－32＋52－…－392
＝(1－3)(1＋3)＋(5－7)(5＋7)＋…＋(37－39)(37＋39)
＝－2×(1＋3＋5＋7＋…＋37＋39)
＝－2×eq \f(1＋39,2)×20＝－800.