2024版高考数学微专题专练59变量的相关关系统计案例理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练59变量的相关关系统计案例理（附解析），共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y线性相关，u与v非线性相关
B．变量x与y线性相关，u与v不相关
C．变量x与y线性相关，u与v线性相关
D．变量x与y不相关，u与v不相关
2．[2022·江西省南昌模拟]根据分类变量x与y的观察数据，计算得到K2＝2.974，依据下表给出的K2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是( )
A.有95%的把握认为变量x与y独立
B．有95%的把握认为变量x与y不独立
C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
3．[2022·宝鸡模拟]蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.25x＋k，则下列说法不正确的是( )
A.k的值是20
B．变量x，y呈正相关关系
C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25
D．当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预测值为33.5℃
4．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表：
附表：
经计算K2的观测值k＝10，则下列选项正确的是( )
A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
5．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
根据以上样本数据，她建立的身高y(cm)与年龄x(周岁)的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.96，给出下列结论：
①y与x具有正的线性相关关系；
②回归直线过样本点的中心(42，117.1)；
③儿子10岁时的身高是145.86cm；
④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm.
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.8x－155，后因某未知原因使第5组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m(如下表所示)，则利用回归方程可求得实数m的值为( )
A.8.3 B．8.2 C．8.1 D．8
二、填空题
7．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘法估计公式计算，y与x之间的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋1，则eq \(b,\s\up6(^))＝________．
8．为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H0：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用2×2列联表计算所得的K2≈3.918.经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学得出了以下结论：
①有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”；②若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能近视；③这套眼保健操预防近视的有效率为95%；④这套眼保健操预防近视的有效率为5%.
其中所有正确结论的序号是________．
9．为了解适龄公务员对放开生育三胎政策的态度，某部门随机调查了200位30～40岁之间的公务员，得到的情况如下表：
则________(填“有”或“没有”)99%以上的把握认为“生三胎与性别有关”．
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)
[能力提升]
10．[2020·全国卷Ⅰ]某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A．y＝a＋bxB．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bexD．y＝a＋blnx
11．[2022·青岛模拟]某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过________．
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d；
12.某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表：
由最小二乘法得到回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9，则a＝________.
专练59 变量的相关关系、统计案例
1．C 由散点图知，这些点都分布在条形区域内，具有相关关系．
2．D 因为K2＝2.974＞2.706，所以变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过10%.
3．D 由题意，得eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,5)×(25＋27.5＋29＋32.5＋36)＝30，
则k＝eq \x\t(y)－0.25eq \x\t(x)＝30－0.25×40＝20，
故A正确；
由线性回归方程可知，eq \(b,\s\up6(^))＝0.25>0，
变量x，y呈正相关关系，故B正确；
若x的值增加1，则y的值约增加0.25，
故C正确；
当x＝52时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.25×52＋20＝33，故D不正确．
4．A 由于K2的观测值k＝10>7.879，其对应的值0.005＝0.5%，
据此结合独立性检验的思想可知：有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．
5．B 由于线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.96，7.19>0，即y随x的增大而增大，y与x具有正的线性相关关系，①正确；由计算可得，样本点的中心为(6，117.1)，②错误；当x＝10时，eq \(y,\s\up6(^))＝145.86，此为估计值，所以儿子10岁时的身高的估计值是145.86cm，而不一定是实际值，③错误；由于回归直线的斜率为7.19，则儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm，④正确，故应选B.
6．D 由题意可得
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(196＋197＋200＋203＋204,5)＝200，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1＋3＋6＋7＋m,5)＝eq \f(17＋m,5)，
回归方程过样本中心点，则
eq \f(17＋m,5)＝0.8×200－155，解得m＝8.
7．0.8
解析：eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(0＋1＋3＋4,4)＝2，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(0.9＋1.9＋3.2＋4.4,4)＝2.6，
又eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋1过(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))，
∴2.6＝2eq \(b,\s\up6(^))＋1，eq \(b,\s\up6(^))＝0.8.
8．①
解析：根据查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”，即①正确；95%仅指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的可信程度，所以②③④错误．
9．没有
解析：由于K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq \f(200×（80×40－40×40）2,120×80×120×80)＝eq \f(50,9)<6.635，故没有99%以上的把握认为“生三胎与性别有关”．
10．D 观察散点图可知，散点图用光滑曲线连接起来比较接近对数型函数的图像．故选D.
11．0.025
解析：由题意可得列联表如下，
K2＝eq \f(105×（45×20－10×30）2,55×50×75×30)≈6.109>5.024.
故犯错误的概率不超过0.025.
12．68
解析：计算可得，eq \(x,\s\up6(－))＝30，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(307＋a,5)，所以eq \f(307＋a,5)＝0.67×30＋54.9，解得a＝68.
P(K2≥k)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x(次数/分钟)
20
30
40
50
60
y(℃)
25
27.5
29
32.5
36
使用智能手机
不使用智能手机
总计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
总计
20
10
30
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年龄/周岁
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
94.8
104.2
108.7
117.8
124.3
130.8
139.1
x
196
197
200
203
204
y
1
3
6
7
m
男公务员
女公务员
生三胎
80
40
不生三胎
40
40
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
10.828
产品数x个
10
20
30
40
50
产品总成本(元)
62
a
75
81
89
集中培训
分散培训
总计
一次考过
45
30
75
一次未考过
10
20
30
总计
55
50
105