新高考数学一轮复习微专题专练47抛物线（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习微专题专练47抛物线（含详解），共6页。

一、选择题
1．抛物线y＝ eq \f(1,4) x2的焦点到其准线的距离为( )
A．1 B．2
C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,8)
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为( )
A．抛物线 B．直线
C．线段 D．射线
4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线 eq \f(x2,3) －y2＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
5．[2022·全国乙卷(文)，6] 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A.2 B．2 eq \r(2)
C．3 D．3 eq \r(2)
6．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 eq \f(x2,3p) ＋ eq \f(y2,p) ＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
7.
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
8．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) 等于( )
A． eq \f(3,4) B．－ eq \f(3,4)
C．3 D．－3
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为(3，y0)时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为( )
A． eq \f(4\r(3),3) B． eq \r(3)
C． eq \f(2\r(3),3) D． eq \f(\r(3),3)
二、填空题
10．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
11．[2023·全国乙卷(理)]已知点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\r(5))) 在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
12．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．
[能力提升]
13．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]设O为坐标原点，直线y＝－ eq \r(3) (x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝ eq \f(8,3)
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( )
A． eq \f(71,12) ＋ eq \r(26) B．9＋ eq \r(26)
C．9＋ eq \r(10) D． eq \f(83,12) ＋ eq \r(26)
15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，抛物线C有一点P，过点P作PM⊥l，垂足为M，若等边△PMF的面积为4 eq \r(3) ，则p＝________．
16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则 eq \f(|AF|,|BF|) ＝________.
专练47 抛物线
1．B y＝ eq \f(1,4) x2可化为x2＝4y，则焦点到准线的距离为 eq \f(1,2) ×4＝2.
2．B ∵y2＝2px的准线为x＝－ eq \f(p,2) ，又准线过点(－1，1)，∴－ eq \f(p,2) ＝－1，∴p＝2，故其焦点坐标为(1，0).
3．B ∵F(2，1)在直线l：3x＋4y－10＝0上，∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂直的直线．
4．B ∵ eq \f(x2,3) －y2＝1的右焦点为(2，0)，∴ eq \f(p,2) ＝2，p＝4.
5．B 由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2 eq \r(x0) ).根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝ eq \r(（1－3）2＋（2－0）2) ＝2 eq \r(2) .故选B.
6．D 由题意，知抛物线的焦点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)) ，椭圆的焦点坐标为(± eq \r(2p) ，0)，所以 eq \f(p,2) ＝ eq \r(2p) ，解得p＝8，故选D.
7．B
如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，
∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝ eq \f(4,3) ，∵AE∥FG，∴ eq \f(FG,AE) ＝ eq \f(CF,AC) ，即 eq \f(p,4) ＝ eq \f(4,8) ，得p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.故选B.
8．B 当AB与x轴垂直时，A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) ，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1)) ， eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＋1×(－1)＝－ eq \f(3,4) ；
当AB与x轴不垂直时，
设l：y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) ，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，,y2＝2x，)) 得k2x2－(k2＋2)x＋ eq \f(k2,4) ＝0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
由韦达定理得x1＋x2＝ eq \f(k2＋2,k2) ，x1x2＝ eq \f(1,4) ，
∴ eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,2)))
＝(1＋k2)x1x2－ eq \f(1,2) k2(x1＋x2)＋ eq \f(k2,4) ＝－ eq \f(3,4) .
9．A 不妨设点A在第一象限，
如图所示，过点F作AE的垂线，垂足为H，由题知当A的坐标为(3，y0)时△AEF为正三角形，此时H为AE的中点，|AE|＝3＋ eq \f(p,2) ，|EH|＝p，∴2p＝3＋ eq \f(p,2) ，解得p＝2，∴y2＝4x，A(3，2 eq \r(3) )，F(1，0)，∴kAF＝ eq \r(3) ，直线AF的方程为y＝ eq \r(3) (x－1)，代入抛物线方程得3(x－1)2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1＝3，x2＝ eq \f(1,3) ，此时y1＝2 eq \r(3) ，y2＝－ eq \f(2\r(3),3) ，∴S△AOB＝S△OFB＋S△OFA＝ eq \f(1,2) ×1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)＋2\r(3))) ＝ eq \f(4\r(3),3) ，故选A.
10．x＝－ eq \f(3,2)
解析：抛物线C：y2＝2px (p>0)的焦点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)) ，
∵P为C上一点，PF与x轴垂直，
所以P的横坐标为 eq \f(p,2) ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为±p，
不妨设P( eq \f(p,2) ，p)，
因为Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，所以Q在F的右侧，
又∵|FQ|＝6，
∴Q(6＋ eq \f(p,2) ，0)，∴ eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝(6，－p)
因为PQ⊥OP，所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(p,2) ×6－p2＝0，
∵p>0，∴p＝3，
所以C的准线方程为x＝－ eq \f(3,2) .
11. eq \f(9,4)
解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－ eq \f(5,4) ，所以A到准线的距离为1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4))) ＝ eq \f(9,4) .
12．0或1
解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,y2＝8x，)) 得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
若k＝0，满足题意；若k≠0，则Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.综上得k＝0或k＝1.
13．AC 由题意，易知直线y＝－ eq \r(3) (x－1)过点(1，0).
对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以 eq \f(p,2) ＝1，即p＝2，所以A选项正确．
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1对于C，由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为( eq \f(5,3) ，－ eq \f(2\r(3),3) )，半径r＝ eq \f(1,2) |MN|＝ eq \f(8,3) ＝ eq \f(5,3) ＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确．
对于D，由两点间距离公式可得|MN|＝ eq \f(16,3) ，|OM|＝ eq \f(\r(13),3) ，|ON|＝ eq \r(21) ，故D选项错误．综上，选AC.
14．B 令y＝1，得x＝ eq \f(1,4) ，即A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1)) .
由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x.
消去y，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.则xAxB＝1，所以xB＝ eq \f(1,xA) ＝4.
|AB|＝xA＋xB＋p＝ eq \f(25,4) .
将x＝4代入y2＝4x得y＝±4，故B(4，－4).
故|MB|＝ eq \r(（4－3）2＋（－4－1）2) ＝ eq \r(26) .
故△ABM的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,4))) ＋ eq \r(26) ＋ eq \f(25,4) ＝9＋ eq \r(26) .故选B.
15．2
解析：设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴，∠PMF＝∠MFN＝60°，由抛物线的定义得到|NF|＝p，故|MF|＝2p，故 eq \f(\r(3),4) (2p)2＝4 eq \r(3) ，∴p＝2.
16．3
解析：
如图所示，由题意得准线l：x＝－ eq \f(p,2) .作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，BH⊥AC于点H，则|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，|AH|＝|AC|－|BD|＝|AF|－|BF|，因为在Rt△AHB中，∠HAB＝60°，所以cs 60°＝ eq \f(|AH|,|AB|) ＝ eq \f(|AF|－|BF|,|AF|＋|BF|) ，
即 eq \f(1,2) (|AF|＋|BF|)＝|AF|－|BF|，得 eq \f(|AF|,|BF|) ＝3.