2024版高考数学微专题专练49圆的方程理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练49圆的方程理（附解析），共5页。


[基础强化]
一、选择题
1．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0
2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．已知点A是直角△ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则△ABC外接圆的方程是( )
A．x2＋(y－3)2＝5
B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5
D．(x＋3)2＋y2＝5
4．已知方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，1)
5．点P(5a＋1，12a)在(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．|a|<1B．aC．|a|6．直线y＝kx－2k＋1恒过定点C，则以C为圆心，以5为半径的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝25
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝25
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
7．[2022·深圳模拟]已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
8．[2022·安徽省滁州市质检]已知A，B为圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0上的两个动点，P为弦AB的中点，若∠ACB＝90°，则点P的轨迹方程为( )
A.(x－1)2＋(y－2)2＝eq \f(1,4)
B．(x－1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝eq \f(1,4)
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝1
9．已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有( )
A．0个B．1个
C．2个 D．无数个
二、填空题
10．若a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(3,4)))，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为________．
11．[2022·全国乙卷(理)，14]过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为__________________．
12．直线l：eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．
[能力提升]
13．已知一个圆的圆心在曲线y＝eq \f(2,x)(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切，则当圆的面积最小时，该圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
14．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交B．相切
C．相离D．不确定
15．已知直线l：x－eq \r(3)y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________．
16．[2022·湘潭质检]设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0).则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
专练49 圆的方程
1．D 设所求的直线l的方程为x－y＋C＝0，∵直线l过圆心(0，3)，∴－3＋C＝0，C＝3，故所求的直线方程为x－y＋3＝0.
2．D 半径r＝eq \r(（1－0）2＋（1－0）2)＝eq \r(2)，
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．D ∵A为直角，∴AB⊥AC，∴2a＝－4，a＝－2，
∴△ABC外接圆的圆心(－3，0)，半径r＝eq \f(|BC|,2)＝eq \f(\r(（－4＋2）2＋（－2－2）2),2)＝eq \r(5)，
∴所求的圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.
4．C 由题意得D2＋E2－4F>0，∴4＋4－4a>0，
∴a<2.
5．D 由题意得25a2＋144a2<1，∴a2得|a|6．B ∵y＝kx－2k＋1可化为y＝k(x－2)＋1，恒过定点(2，1)，
则所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
7．C 3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离为d＝eq \f(|10－0|,\r(32＋（－4）2))＝2，显然圆的半径r＝eq \f(2,2)＝1，与3x－4y＝0和3x－4y＋10＝0的距离相等的直线为3x－4y＋5＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1，))
∴圆心(－3，－1)，
∴所求的圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
8．B
圆C即(x－1)2＋(y－2)2＝2，半径r＝eq \r(2)，
因为CA⊥CB，所以AB＝eq \r(2)r＝2.
又P是AB的中点，
所以CP＝eq \f(1,2)AB＝1，
所以点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.
9．B 连接OM，ON，则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，
∴四边形OMPN为正方形，∵r＝1，∴|OP|＝eq \r(2)，
又原点到直线x＋y－2＝0的距离d＝eq \f(|－2|,\r(12＋12))＝eq \r(2)，
∴符合条件的点P只有一个．
10．1
解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件是a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－211．(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－eq \f(4,3))2＋(y－eq \f(7,3))2＝eq \f(65,9)或(x－eq \f(8,5))2＋(y－1)2＝eq \f(169,25)
解析：设点A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2).(1)若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2，解得a＝3，则半径r＝eq \r(4＋a2)＝eq \r(13)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.(2)若圆过A，B，D三点，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2，解得a＝1，则半径r＝eq \r(4＋a2)＝eq \r(5)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)若圆过A，C，D三点，易求线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5.联立得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,y＝－2x＋5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(7,3)，))则半径r＝eq \r(\f(16,9)＋\f(49,9))＝eq \f(\r(65),3)，所以圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(65,9).(4)若圆过B，C，D三点，易求线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7.联立得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝1，,y＝5x－7，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝1，))则半径r＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)－4))\s\up12(2)＋（1－2）2)＝eq \f(13,5)，所以圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5)))eq \s\up12(2)＋(y－1)2＝eq \f(169,25).
12．(x－1)2＋(y－1)2＝1
解析：设△AOB内切圆的圆心为M(m，m)(m>0)，半径为m，直线eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1可化为3x＋4y－12＝0，由题意得eq \f(|3m＋4m－12|,\r(32＋42))＝m，得m＝1或m＝6(舍去).∴△AOB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
13．A 设圆心为(x，eq \f(2,x))(x>0)，r＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2,x)＋1)),\r(5))≥eq \f(5,\r(5))＝eq \r(5)，当且仅当x＝1时等号成立，所以当圆的面积最小时，即圆的半径最小时，此时圆心(1，2)，半径为eq \r(5)，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
14．A 圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0，可化为：(x＋2)2＋(y－1)2＝2，
∵直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，
∴eq \f(|－2k|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)(k<0)，∴k＝－1，
∴圆心D(2，0)到直线的距离d＝eq \f(|－2＋1|,\r(1＋1))＝eq \f(\r(2),2)∴直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3相交，故选A.
15．4
解析：如图：
∵y＝eq \f(\r(3),3)x＋2eq \r(3)，∴kAC＝－eq \r(3)，
∴∠ACD＝60°，过D作DE⊥AC于E，则|DE|＝|AB|.
∵圆心到直线l的距离d＝eq \f(6,\r(1＋3))＝3，
∴(eq \f(|AB|,2))2＝r2－d2＝12－9＝3.
∴|AB|2＝12，则|AB|＝2eq \r(3).
在Rt△DEC中，|CD|＝eq \f(|AB|,sin60°)＝eq \f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.
16．12
解析：由题意，得eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.