2024版高考数学微专题专练52双曲线理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练52双曲线理（附解析），共6页。

[基础强化]
一、选择题
1．平面内到两定点F1(－5，0)，F2(5，0)距离差的绝对值等于8的动点P的轨迹方程为( )
A．eq \f(x2,25)－eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1
C．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1D．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
2．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( )
A．19 B．26 C．43 D．50
3．[2022·四川省高三“二诊模拟”]已知双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,b2)＝1，其焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \f(2\r(3),3)B．eq \r(3)C．2eq \r(3)D．eq \f(\r(3),3)
4．若a>1，则双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(eq \r(2)，＋∞) B．(eq \r(2)，2)
C．(1，eq \r(2)) D．(1，2)
5．[2021·全国甲卷]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A．eq \f(\r(7),2)B．eq \f(\r(13),2)C．eq \r(7)D．eq \r(13)
6．[2020·全国卷Ⅲ]设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \r(5).P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A．1B．2C．4D．8
7．设双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为( )
A．eq \f(19,2)B．11C．12D．16
8．[2022·江西省高三模拟]已知F1(－3，0)，F2(3，0)分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为eq \f(π,6)，则双曲线的标准方程为( )
A．eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1B．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1
C．x2－eq \f(y2,8)＝1D．eq \f(x2,8)－y2＝1
9．[2022·江西省南昌模拟]已知中心在原点的双曲线E的离心率为2，右顶点为A，过E的左焦点F作x轴的垂线l，且l与E交于M, N两点，若△AMN的面积为9，则E的标准方程为( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1B．eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1
C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1D．x2－eq \f(y2,4)＝1
二、填空题
10．[2021·全国乙卷]已知双曲线C：eq \f(x2,m)－y2＝1(m>0)的一条渐近线为eq \r(3)x＋my＝0，则C的焦距为__________．
11．[2022·全国甲卷(理)，14]若双曲线y2－eq \f(x2,m2)＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
12．[2022·陕西省西安中学四模]已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[能力提升]
13．[2022·陕西省西安中学模拟]第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例(如图)：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为( )
A．eq \f(\r(290),13)B．eq \f(\r(290),11)
C．eq \f(13,11)D．2
14．[2020·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4B．8C．16D．32
15．[2022·江西省高三摸底]已知F1，F2是双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1的两个焦点，过F1作C的渐近线的垂线，垂足为P.若△F1PF2的面积为eq \r(3)，则C的离心率为________．
16．[2022·江西省高三模拟]已知F1、F2分别是双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，F2也是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若|PF1|＝|F1F2|，则双曲线E的离心率为________．
专练52 双曲线
1．D 由题意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦点落在x轴上，∴其双曲线方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
2．B x2－y2＝9可化为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1，
∴a＝3，由双曲线的定义知
|PF2|＝2a＋|PF1|，|QF2|＝2a＋|QF1|，
∴△F2PQ的周长L＝|PQ|＋|PF2|＋|QF2|
＝|PQ|＋2a＋|PF1|＋2a＋|QF1|
＝2|PQ|＋4a＝2×7＋4×3＝26.
3．A 不妨设焦点为F(c，0)，渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
则焦点到渐近线的距离为eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc,c)＝b＝1，
又a＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(3＋1)＝2，
所以该双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3).
4．C ∵c2＝a2＋1，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋1,a2)＝1＋eq \f(1,a2)，
又a2>1，∴0∴1<1＋eq \f(1,a2)<2，∴15．A 设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝eq \r(m2＋9m2－2×3m×m×cs60°)＝eq \r(7)m，所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq \f(\r(7)m,2m)＝eq \f(\r(7),2).
6．A 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则|r1－r2|＝2a，∴r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －2r1r2＝4a2.
由于F1P⊥F2P，则r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝4c2，∴4c2－2r1r2＝4a2，
∴r1r2＝2b2.
∵S△PF1F2＝eq \f(1,2)r1r2＝eq \f(1,2)×2b2＝b2＝4，∴e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(4,a2))＝eq \r(5)，解得a2＝1，即a＝1.故选A.
7．B 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|AF2|－|AF1|＝2a＝4，,|BF2|－|BF1|＝2a＝4，))所以|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8＋|AB|，显然，当AB为通径时，其长度最短，|AB|min＝2·eq \f(b2,2)＝3，故(|BF2|＋|AF2|)min＝11.
8．B 设点P为双曲线右支上一点，则|PF1|＞|PF2|，
因为|PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＋|PF2|＝6a，
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
由题，因为|F1F2|＝2c＝6，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2c＞2a,4a＞2a))，所以∠PF1F2为最小角，故∠PF1F2＝eq \f(π,6)，
所以在△PF1F2中，由余弦定理可得，eq \f(（4a）2＋（2c）2－（2a）2,2·4a·2c)＝eq \f(\r(3),2)，解得a＝eq \r(3)，
所以b＝eq \r(6)，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1.
9．A 设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则A(a，0)，F(－c，0)，
由离心率为2，得eq \f(c,a)＝2，则c＝2a，
因为直线l过点F(－c，0)且垂直于x轴交E于点M、N，
所以点M、N的横坐标都为－c，有eq \f(（－c）2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq \f(b2,a)，
所以M(－c，eq \f(b2,a))，N(－c，－eq \f(b2,a))所以|MN|＝eq \f(2b2,a)，
又AF＝a＋c，AF⊥MN，则
S△AMN＝eq \f(1,2)|AF||MN|＝eq \f(1,2)(a＋c)·eq \f(2b2,a)＝(a＋c)·eq \f(c2－a2,a)＝(a＋c)·eq \f(4a2－a2,a)＝9a＝9，
所以a＝1，故c＝2a＝2，得b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(3)，
所以双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
10．4
解析：双曲线eq \f(x2,m)－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±eq \f(1,\r(m))x，即x±eq \r(m)y＝0，又双曲线的一条渐近线为eq \r(3)x＋my＝0，即x＋eq \f(m,\r(3))y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2eq \r(a2＋b2)＝4.
11.eq \f(\r(3),3)
解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(x,m)，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得eq \f(|0－2m|,\r(m2＋1))＝1，解得m＝±eq \f(\r(3),3).又因为m＞0，所以m＝eq \f(\r(3),3).
12．9
解析：对于双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，则a＝2，b＝2eq \r(3)，c＝4，如图所示：
设双曲线的右焦点为M，则M(4，0)，
由双曲线的定义可得|PF|－|PM|＝4，
则|PF|＝4＋|PM|，
所以，|PF|＋|PA|＝|PM|＋|PA|＋4≥|AM|＋4＝eq \r(（1－4）2＋（4－0）2)＋4＝9，
当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立．
因此，|PF|＋|PA|最小值为9.
13．A 如图建立直角坐标系，过O4向x轴引垂线，垂足为A，易知|O4A|＝11，|O2A|＝13,
∴eq \f(b,a)＝eq \f(11,13)，
∴e＝eq \r(（\f(b,a)）2＋1)＝eq \f(\r(290),13).
14．B 直线x＝a与双曲线C的两条渐近线y＝±eq \f(b,a)x分别交于D、E两点，则|DE|＝|yD－yE|＝2b，所以S△ODE＝eq \f(1,2)·a·2b＝ab，即ab＝8.所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时取等号)，即cmin＝4，所以双曲线的焦距2c的最小值为8，故选B.
15．2
解析：由题，a＝1，焦点F1(－c，0)，渐近线方程为y＝－bx，根据点到直线距离公式得|PF1|＝eq \f(bc,\r(b2＋1))＝b，根据勾股定理得|PO|＝a，在Rt△F1PO中，利用等面积法可得，P到x轴的距离h＝eq \f(b,c)，所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)×2c×eq \f(b,c)＝b＝eq \r(3)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋（\f(b,a)）2)＝eq \r(1＋3)＝2.
16．2＋eq \r(3)
解析：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为点A，
则|PA|＝|PF2|，
因为|PF1|＝|F1F2|＝2c，则|PF2|＝|PF1|－2a＝2c－2a，则|PA|＝2c－2a，
因为PA⊥AF1，则cs∠APF1＝eq \f(|PA|,|PF1|)＝eq \f(c－a,c)，
由余弦定理可得cs∠PF1F2
＝eq \f(|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|2,2|PF1|·|F1F2|)＝eq \f(c2－a2＋2ac,2c2)，
因为PA∥F1F2，所以，∠APF1＝∠PF1F2，所以，eq \f(c－a,c)＝eq \f(c2－a2＋2ac,2c2)，
整理可得c2－4ac＋a2＝0，即e2－4e＋1＝0，因为e＞1，解得e＝2＋eq \r(3).