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北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 二项分布精品练习题
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这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 二项分布精品练习题，文件包含北师大版数学高二选择性必修第一册641二项分布分层练习原卷版docx、北师大版数学高二选择性必修第一册641二项分布分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
1．设某实验成功率是失败率的3倍，用随机变量描述3次实验成功的次数，则的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案.
【详解】由于成功率是失败率的倍，所以成功率是，失败率是，
所以.
故选：A
2．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一球，定义数列：如果为数列的前和，那么的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案.
【详解】第次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，
若，则中，
有个和个，
所以的概率为.
故选：B
3．在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设表示这10件产品中的次品数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由二项分布的定义判断.
【详解】有放回抽取，每次取到次品的概率都是，
相当于次独立重复的伯努利实验，
所以服从二项分布.
故选：B
4．设随机变量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得结果．
【详解】因为随机变量，
所以，
解得或（舍） ，
所以，
所以.
故选：D．
5．如果随机变量，那么等于（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】利用二项分布数学期望的公式计算即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
6．某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据二项分布的概率公式来解.
【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则，
故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为.
故选：B.
7．若随机变量，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的概率公式，即可得出答案.
【详解】根据二项分布的概率公式可得，.
故选：B.
8．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中．一般地，当而时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】理解泊松分布定义，根据新定义解题.
【详解】由题，，而，
所以泊松分布可作为二项分布的近似，，所以.
故选：B.
9．（多选）某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】BC
【详解】设命中目标的子弹数为X，则.根据题意，设有K发子弹击中目标的概率最大，则有且，
即 且，
解得，即有15发或16发子弹击中目标的可能性最大.故选BC.
10．若袋子中有个白球，个黑球，现从袋子中有放回地随机取球次，每次取一个球，取到白球记分，取到黑球记分，记次取球的总分数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】分析可知，可判断A选项；利用独立重复试验的概率可判断B选项；利用二项分布的期望公式可判断C选项；利用二项分布的方差公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知，每次摸到白球的概率为，则，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
11．设随机变量，若，则p的值为 .
【答案】
【分析】根据二项分布的概率公式，结合对立事件的概率即可求解.
【详解】，由于，
所以，
故答案为：
12．已知离散型随机变量服从二项分布，则 .
【答案】
【分析】利用二项分布的方差公式直接计算.
【详解】因为随机变量X服从二项分布，
所以.
故答案为：.
13．已知随机变量服从二项分布，则 ．
【答案】
【分析】利用二项分布期望公式求期望即可.
【详解】由二项分布期望公式得.
故答案为：
14．某射击运动员每枪击中目标的概率为0.5，记他首次击中目标的射击次数为X，则 ．
【答案】
【分析】利用独立事件概率乘法公式即可.
【详解】X=10表示该射击运动员前9次都没有击中目标，第10次击中目标，
因为他每枪击中目标的概率为0.5，所以.
故答案为：
15．某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并计算这200名市民评分的平均值；
(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)；平均分为分
(2)分布列答案见解析，期望为1
【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为1计算即可；（2）根据二项分布概率公式计算列的分布列，数学期望计算即可.
【详解】（1）由频率分布直方图知，
，
由，解得，
（分）.
（2）评分在90分以上的频率为，用频率作为概率的估计值，现从该城市中随机抽取4人可以看成二项分布，,
的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
.
16．受互联网技术发展的影响，某品牌电器实体专营店增加网络销售模式该店负责人计划在网络平台销售甲、乙两种型号的电器各a台，其单台成本价和销售价（其中销售价分原价、8折价、6折价三种）列表如下：
其中0.3a台甲型号电器以原价销售给非会员顾客，0.5a台甲型号电器以8折价销售给会员顾客，0.2a台乙型号电器以原价销售给非会员顾客，0.4a台乙型号电器以8折价销售给会员顾客，这两种型号电器的剩余量将在节假日均以6折价销售给顾客，假设这2a台电器能全部销售完.
(1)请通过计算比较单台甲、乙型号电器利润的平均值的大小；
(2)因店内资金周转困难，该专营店针对甲、乙型号电器举办一天促销活动，所有甲、乙型号电器均以8折价在网络平台销售，每位顾客限购一台，已知促销当天售出甲、乙型号电器共5台，设促销当天售出甲型号电器X台，每位顾客购买甲型号电器的概率为p.
①当时，求X的分布列；
②若促销活动当天获得的总利润为Y，且Y的数学期望至少为7200元，求p的最大值.
【答案】(1)甲型号电器利润的平均值小于单台乙型号电器利润的平均值
(2)①分布列见解析；②0.4
【分析】(1)计算并比较甲、乙型号电器利润的平均值即可得到结论；(2)利用二项分布求分布列或比较二项分布的期望大小即可求解.
【详解】（1）设单台甲、乙型号电器利润的平均值分别为，，则（元），
（元）.
因为，所以单台甲型号电器利润的平均值小于单台乙型号电器利润的平均值.
（2）①由题意可知，，且，1，2，3，4，5，
则，，
，，
，.
故X的分布列为：
②由题意，得，所以.
由，
得，解得，即，
得，故p的最大值为0.4.
1．某人把一枚硬币抛掷100次，出现50次正面的概率（ ）（参考数据）
A．小于50%B．等于50%
C．大于50%D．以上都有可能
【答案】A
【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.
【详解】设，
则，
即出现50次正面的概率小于.
故选：A
2．若，且，则（ ）
A．a的最小值为4B．的最小值为4
C．a的最大值为4D．的最大值为4
【答案】B
【分析】根据二项分布方差的性质得到方程，得到，由基本不等式求出.
【详解】因为，所以，
则，因为（当且仅当时，等号成立），
所以，则的最小值为4．
故选：B
3．某批产品正品率为，次品率为，抽取5件产品恰有3次抽到正品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二项分布独立重复试验的概率求出所求事件的概率．
【详解】由题意可知，5件产品恰有3次正品，则有2次测到次品，
根据独立重复试验的概率公式可知，所求事件的概率为，
故选：B．
4．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设事件发生一次的概率为，根据独立重复试验概率公式求出随机事件恰好发生1次的概率，和恰好发生2次的概率，建立的不等式关系，求解即可.
【详解】设事件发生一次的概率为，则事件的概率可以构成二项分布，
根据独立重复试验的概率公式可得，
解得，又，故.
故选：A.
5．设随机变量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二项分布的方差公式求出的值，再利用方差的性质可求得的值.
【详解】因为随机变量，则，
又因为，则.
故选：D.
6．“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象.根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为.假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用独立重复试验的概率求解.
【详解】解：因为长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为，且每天是否下雨互不影响，
所以该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为：，
故选：A
7．（多选）甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是（ ）
A．若从甲盒中一次性取出2个球，记表示取出白球的个数，则
B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为
C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概率为
D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记：从乙盒中取出的1球为白球，则
【答案】BCD
【分析】A选项，选一个白球，一个黑球，利用古典概型求解；B选项，分从甲盒取出的是白球和从乙盒取出的白球，利用古典概型求解；C选项，设抽到白球个数为，则，利用二项分布求概率公式求解；D选项，分从甲盒中取出1球为黑球和白球两种情况的概率，相加即可求解.
【详解】A选项，由题意得，故错误；
B选项，由题意得取出1个白球的概率为，故正确；
C选项，若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，设抽到白球个数为，则，
则恰好得到2个白球的概率为，故正确；
D选项，从甲盒中取出白球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为，
从甲盒中取出黑球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为，
故，故正确.
故选：BCD
8．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．已知事件A与B的概率均不为0，如果，则事件与相互独立
B．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；
C．若随机变量，则方差
D．若将一组数据的每个数都加上一个相同的正数，则平均数和方差都会发生变化.
【答案】AB
【分析】根据事件的独立性的定义判断A，互斥、对立的定义判断B，利用二项分布的方差公式求解C，根据一组数的平均数和方差公式判断D.
【详解】对A,因为，所以事件相互独立，
所以事件与相互独立，A正确；
对B，互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B正确；
对C，因为随机变量，所以，
则方差，C错误；
对D，将一组数据的每个数都加上一个相同的正数，则平均数会发生变化，
方差无变化，D错误；
故选:AB.
9．一个质地均匀的正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，现连续抛掷该正方体n次，发现落地后向上数字大于4的平均次数不小于3，则抛掷次数n的最小值为 ．
【答案】9
【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望公式列式求解作答.
【详解】依题意，每次抛掷正方体落地后出现向上数字大于4的概率为，
设X表示抛掷n次，落地向上数字大于4的次数，则，
因此，解得，
所以抛掷次数n的最小值为9.
故答案为：9
10．如果随机变量，且，，则等于 .
【答案】0.2/
【分析】根据二项分布的期望和方差公式可得出关于n、p的方程组，即可求得p的值.
【详解】由题意得，，
解得.
故答案为：0.2.
11．某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从道备选题中一次性随机抽取题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中题才可提交通过．已知道备选题中考生甲有道题能正确完成，道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；
(2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成题的概率方面比较两位考生的实验操作能力．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)答案见解析
【分析】（1）利用超几何分布直接求解即可得出结果.
（2）利用二项分布求出考生乙分布列，比较甲乙操作题数的均值和方差及至少正确完成题的概率即可得出结论.
【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，
则的取值范围是．
，，，
所以的分布列为：
．
（2）设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，
所以，，
，．
所以的分布列为：
．
则，，
，，．
所以，，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；
从至少正确完成题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．
因此甲的实验操作能力较强．
12．某商场对，两类商品实行线上销售（以下称“渠道”）和线下销售（以下称“渠道”）两种销售模式．类商品成本价为120元/件，总量中有40%将按照原价200元/件的价格走渠道销售，有50%将按照原价8.5折的价格走渠道销售；类商品成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格走渠道销售，有40%将按照原价7.5折的价格走渠道销售．这两种商品剩余部分促销时按照原价6折的价格销售，并能全部售完．
(1)通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高（收益＝售价－成本）；
(2)某商场举行让利大甩卖活动，全场，两类商品走渠道销售，假设每位线上购买，商品的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买商品的顾客中购买类商品的概率为．已知该商场当天这两类商品共售出5件，设为该商场当天所售类商品的件数，为当天销售这两类商品带来的总收益，求和的期望．
【答案】(1)类商品单件收益的均值更高；
(2)，306.25元
【分析】（1）计算出类，类商品单件收益平均值，比较后得到结论；
（2）得到，计算出，且，计算出，从而得到.
【详解】（1）设类，类商品单件收益分别为元，元，
则元，
元，
，故类商品单件收益的均值更高；
（2）由题意可知，，
，，
∴，
元，
又元，
∴元．
1．（多选）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 (例如10 100)，其中的各位数中，出现的概率为，出现的概率为，记，则当程序运行一次时，下列选项正确的是（ ）
A．服从二项分布B．
C．的均值D．的方差
【答案】AC
【分析】分别写出的可能取值，并计算其概率，推导出，再根据二项分布的性质求出结果即可．
【详解】由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填，，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的位数中后位的所有结果有类：
①后个数位出现4个0，，记其概率为；
②后个数位出现1个1，，记其概率为；
③后个数位出现2个1，，记其概率为，
④后个数位出现3个1，，记其概率为，
⑤后4个数位出现4个1，，记其概率为，
所以，故A正确；
又，故B错误；
，，故C正确；
，的方差，故D错误．
故选：AC．
2（多选）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
B．数据的第60百分位数为9
C．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8
D．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
【答案】BC
【分析】根据二项分布方差公式、百分位数、平均数、古典概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，易知，而，
所以，A错误；
对于B，共有7个数据，而，故第60百分位数为9，B正确；
对于C，若样本数据的平均数为2，
则的平均数为，C正确；
对于D，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，
每个个体被抽到的概率都是，错误.
故选：BC
3．5G技术是未来信息技术的核心，而芯片是5G通信技术的关键之一.我国某科创企业要用新技术对一种芯片进行试生产.现对这种芯片进行自动智能检测，已知自动智能检测显示该种芯片的次品率为1.5%，且每个芯片是否为次品相互独立.该企业现有试生产的芯片10000个，给出下面两种检测方法：
方法1：对10000个芯片逐一进行检测.
方法2：将10000个芯片分为1000组，每组10个，把每组10个芯片串联起来组成一个芯片组，对该芯片组进行一次检测，如果检测通过，那么可断定该组10个芯片均为正品，如果不通过，那么再逐一进行检测.
(1)按方法2，求一组芯片中恰有1个次品的概率（结果保留四位有效数字）；
(2)从平均检测次数的角度分析，哪种方法较好？请说明理由.
参考数据：，，.
【答案】(1)
(2)方法2较好，理由见解析
【分析】（1）由题意根据二项分布的概率公式直接计算即可.
（2）对于方法一，其检测次数为10000，对于方法二，分析得出每组芯片需要被检测的X次数的所有可能取值为1，11，分别求出，再结合均值公式即可得解，比较大小即可判断.
【详解】（1）因为每个芯片是否为次品相互独立，
所以所求概率.
（2）方法1的检测次数为10000.
方法2：对于某组芯片，如果进行一次检测且通过，那么对这10个芯片只检测1次；
如果检测不通过，那么需对这10个芯片再逐一进行检测，这时共需进行11次检测.
每组芯片需要被检测的X次数的所有可能取值为1，11，
且若一组芯片均为正品，则；若含有次品，则.
因此.
，
所以，
所以1000组芯片的检验次数的均值为.
因此方法2较好.
0
1
2
3
4
型号
成本价/元
原价/元
8折价/元
6折价/元
甲
2000
4000
3200
2400
乙
3200
6000
4800
3600
X
0
1
2
3
4
5
P
1．设某实验成功率是失败率的3倍，用随机变量描述3次实验成功的次数，则的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案.
【详解】由于成功率是失败率的倍，所以成功率是，失败率是，
所以.
故选：A
2．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一球，定义数列：如果为数列的前和，那么的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案.
【详解】第次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，
若，则中，
有个和个，
所以的概率为.
故选：B
3．在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设表示这10件产品中的次品数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由二项分布的定义判断.
【详解】有放回抽取，每次取到次品的概率都是，
相当于次独立重复的伯努利实验，
所以服从二项分布.
故选：B
4．设随机变量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得结果．
【详解】因为随机变量，
所以，
解得或（舍） ，
所以，
所以.
故选：D．
5．如果随机变量，那么等于（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】利用二项分布数学期望的公式计算即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
6．某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据二项分布的概率公式来解.
【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则，
故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为.
故选：B.
7．若随机变量，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的概率公式，即可得出答案.
【详解】根据二项分布的概率公式可得，.
故选：B.
8．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中．一般地，当而时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】理解泊松分布定义，根据新定义解题.
【详解】由题，，而，
所以泊松分布可作为二项分布的近似，，所以.
故选：B.
9．（多选）某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】BC
【详解】设命中目标的子弹数为X，则.根据题意，设有K发子弹击中目标的概率最大，则有且，
即 且，
解得，即有15发或16发子弹击中目标的可能性最大.故选BC.
10．若袋子中有个白球，个黑球，现从袋子中有放回地随机取球次，每次取一个球，取到白球记分，取到黑球记分，记次取球的总分数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】分析可知，可判断A选项；利用独立重复试验的概率可判断B选项；利用二项分布的期望公式可判断C选项；利用二项分布的方差公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知，每次摸到白球的概率为，则，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
11．设随机变量，若，则p的值为 .
【答案】
【分析】根据二项分布的概率公式，结合对立事件的概率即可求解.
【详解】，由于，
所以，
故答案为：
12．已知离散型随机变量服从二项分布，则 .
【答案】
【分析】利用二项分布的方差公式直接计算.
【详解】因为随机变量X服从二项分布，
所以.
故答案为：.
13．已知随机变量服从二项分布，则 ．
【答案】
【分析】利用二项分布期望公式求期望即可.
【详解】由二项分布期望公式得.
故答案为：
14．某射击运动员每枪击中目标的概率为0.5，记他首次击中目标的射击次数为X，则 ．
【答案】
【分析】利用独立事件概率乘法公式即可.
【详解】X=10表示该射击运动员前9次都没有击中目标，第10次击中目标，
因为他每枪击中目标的概率为0.5，所以.
故答案为：
15．某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并计算这200名市民评分的平均值；
(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)；平均分为分
(2)分布列答案见解析，期望为1
【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为1计算即可；（2）根据二项分布概率公式计算列的分布列，数学期望计算即可.
【详解】（1）由频率分布直方图知，
，
由，解得，
（分）.
（2）评分在90分以上的频率为，用频率作为概率的估计值，现从该城市中随机抽取4人可以看成二项分布，,
的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
.
16．受互联网技术发展的影响，某品牌电器实体专营店增加网络销售模式该店负责人计划在网络平台销售甲、乙两种型号的电器各a台，其单台成本价和销售价（其中销售价分原价、8折价、6折价三种）列表如下：
其中0.3a台甲型号电器以原价销售给非会员顾客，0.5a台甲型号电器以8折价销售给会员顾客，0.2a台乙型号电器以原价销售给非会员顾客，0.4a台乙型号电器以8折价销售给会员顾客，这两种型号电器的剩余量将在节假日均以6折价销售给顾客，假设这2a台电器能全部销售完.
(1)请通过计算比较单台甲、乙型号电器利润的平均值的大小；
(2)因店内资金周转困难，该专营店针对甲、乙型号电器举办一天促销活动，所有甲、乙型号电器均以8折价在网络平台销售，每位顾客限购一台，已知促销当天售出甲、乙型号电器共5台，设促销当天售出甲型号电器X台，每位顾客购买甲型号电器的概率为p.
①当时，求X的分布列；
②若促销活动当天获得的总利润为Y，且Y的数学期望至少为7200元，求p的最大值.
【答案】(1)甲型号电器利润的平均值小于单台乙型号电器利润的平均值
(2)①分布列见解析；②0.4
【分析】(1)计算并比较甲、乙型号电器利润的平均值即可得到结论；(2)利用二项分布求分布列或比较二项分布的期望大小即可求解.
【详解】（1）设单台甲、乙型号电器利润的平均值分别为，，则（元），
（元）.
因为，所以单台甲型号电器利润的平均值小于单台乙型号电器利润的平均值.
（2）①由题意可知，，且，1，2，3，4，5，
则，，
，，
，.
故X的分布列为：
②由题意，得，所以.
由，
得，解得，即，
得，故p的最大值为0.4.
1．某人把一枚硬币抛掷100次，出现50次正面的概率（ ）（参考数据）
A．小于50%B．等于50%
C．大于50%D．以上都有可能
【答案】A
【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.
【详解】设，
则，
即出现50次正面的概率小于.
故选：A
2．若，且，则（ ）
A．a的最小值为4B．的最小值为4
C．a的最大值为4D．的最大值为4
【答案】B
【分析】根据二项分布方差的性质得到方程，得到，由基本不等式求出.
【详解】因为，所以，
则，因为（当且仅当时，等号成立），
所以，则的最小值为4．
故选：B
3．某批产品正品率为，次品率为，抽取5件产品恰有3次抽到正品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二项分布独立重复试验的概率求出所求事件的概率．
【详解】由题意可知，5件产品恰有3次正品，则有2次测到次品，
根据独立重复试验的概率公式可知，所求事件的概率为，
故选：B．
4．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设事件发生一次的概率为，根据独立重复试验概率公式求出随机事件恰好发生1次的概率，和恰好发生2次的概率，建立的不等式关系，求解即可.
【详解】设事件发生一次的概率为，则事件的概率可以构成二项分布，
根据独立重复试验的概率公式可得，
解得，又，故.
故选：A.
5．设随机变量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二项分布的方差公式求出的值，再利用方差的性质可求得的值.
【详解】因为随机变量，则，
又因为，则.
故选：D.
6．“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象.根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为.假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用独立重复试验的概率求解.
【详解】解：因为长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为，且每天是否下雨互不影响，
所以该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为：，
故选：A
7．（多选）甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是（ ）
A．若从甲盒中一次性取出2个球，记表示取出白球的个数，则
B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为
C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概率为
D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记：从乙盒中取出的1球为白球，则
【答案】BCD
【分析】A选项，选一个白球，一个黑球，利用古典概型求解；B选项，分从甲盒取出的是白球和从乙盒取出的白球，利用古典概型求解；C选项，设抽到白球个数为，则，利用二项分布求概率公式求解；D选项，分从甲盒中取出1球为黑球和白球两种情况的概率，相加即可求解.
【详解】A选项，由题意得，故错误；
B选项，由题意得取出1个白球的概率为，故正确；
C选项，若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，设抽到白球个数为，则，
则恰好得到2个白球的概率为，故正确；
D选项，从甲盒中取出白球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为，
从甲盒中取出黑球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为，
故，故正确.
故选：BCD
8．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．已知事件A与B的概率均不为0，如果，则事件与相互独立
B．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；
C．若随机变量，则方差
D．若将一组数据的每个数都加上一个相同的正数，则平均数和方差都会发生变化.
【答案】AB
【分析】根据事件的独立性的定义判断A，互斥、对立的定义判断B，利用二项分布的方差公式求解C，根据一组数的平均数和方差公式判断D.
【详解】对A,因为，所以事件相互独立，
所以事件与相互独立，A正确；
对B，互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B正确；
对C，因为随机变量，所以，
则方差，C错误；
对D，将一组数据的每个数都加上一个相同的正数，则平均数会发生变化，
方差无变化，D错误；
故选:AB.
9．一个质地均匀的正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，现连续抛掷该正方体n次，发现落地后向上数字大于4的平均次数不小于3，则抛掷次数n的最小值为 ．
【答案】9
【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望公式列式求解作答.
【详解】依题意，每次抛掷正方体落地后出现向上数字大于4的概率为，
设X表示抛掷n次，落地向上数字大于4的次数，则，
因此，解得，
所以抛掷次数n的最小值为9.
故答案为：9
10．如果随机变量，且，，则等于 .
【答案】0.2/
【分析】根据二项分布的期望和方差公式可得出关于n、p的方程组，即可求得p的值.
【详解】由题意得，，
解得.
故答案为：0.2.
11．某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从道备选题中一次性随机抽取题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中题才可提交通过．已知道备选题中考生甲有道题能正确完成，道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；
(2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成题的概率方面比较两位考生的实验操作能力．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)答案见解析
【分析】（1）利用超几何分布直接求解即可得出结果.
（2）利用二项分布求出考生乙分布列，比较甲乙操作题数的均值和方差及至少正确完成题的概率即可得出结论.
【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，
则的取值范围是．
，，，
所以的分布列为：
．
（2）设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，
所以，，
，．
所以的分布列为：
．
则，，
，，．
所以，，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；
从至少正确完成题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．
因此甲的实验操作能力较强．
12．某商场对，两类商品实行线上销售（以下称“渠道”）和线下销售（以下称“渠道”）两种销售模式．类商品成本价为120元/件，总量中有40%将按照原价200元/件的价格走渠道销售，有50%将按照原价8.5折的价格走渠道销售；类商品成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格走渠道销售，有40%将按照原价7.5折的价格走渠道销售．这两种商品剩余部分促销时按照原价6折的价格销售，并能全部售完．
(1)通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高（收益＝售价－成本）；
(2)某商场举行让利大甩卖活动，全场，两类商品走渠道销售，假设每位线上购买，商品的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买商品的顾客中购买类商品的概率为．已知该商场当天这两类商品共售出5件，设为该商场当天所售类商品的件数，为当天销售这两类商品带来的总收益，求和的期望．
【答案】(1)类商品单件收益的均值更高；
(2)，306.25元
【分析】（1）计算出类，类商品单件收益平均值，比较后得到结论；
（2）得到，计算出，且，计算出，从而得到.
【详解】（1）设类，类商品单件收益分别为元，元，
则元，
元，
，故类商品单件收益的均值更高；
（2）由题意可知，，
，，
∴，
元，
又元，
∴元．
1．（多选）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 (例如10 100)，其中的各位数中，出现的概率为，出现的概率为，记，则当程序运行一次时，下列选项正确的是（ ）
A．服从二项分布B．
C．的均值D．的方差
【答案】AC
【分析】分别写出的可能取值，并计算其概率，推导出，再根据二项分布的性质求出结果即可．
【详解】由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填，，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的位数中后位的所有结果有类：
①后个数位出现4个0，，记其概率为；
②后个数位出现1个1，，记其概率为；
③后个数位出现2个1，，记其概率为，
④后个数位出现3个1，，记其概率为，
⑤后4个数位出现4个1，，记其概率为，
所以，故A正确；
又，故B错误；
，，故C正确；
，的方差，故D错误．
故选：AC．
2（多选）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
B．数据的第60百分位数为9
C．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8
D．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
【答案】BC
【分析】根据二项分布方差公式、百分位数、平均数、古典概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，易知，而，
所以，A错误；
对于B，共有7个数据，而，故第60百分位数为9，B正确；
对于C，若样本数据的平均数为2，
则的平均数为，C正确；
对于D，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，
每个个体被抽到的概率都是，错误.
故选：BC
3．5G技术是未来信息技术的核心，而芯片是5G通信技术的关键之一.我国某科创企业要用新技术对一种芯片进行试生产.现对这种芯片进行自动智能检测，已知自动智能检测显示该种芯片的次品率为1.5%，且每个芯片是否为次品相互独立.该企业现有试生产的芯片10000个，给出下面两种检测方法：
方法1：对10000个芯片逐一进行检测.
方法2：将10000个芯片分为1000组，每组10个，把每组10个芯片串联起来组成一个芯片组，对该芯片组进行一次检测，如果检测通过，那么可断定该组10个芯片均为正品，如果不通过，那么再逐一进行检测.
(1)按方法2，求一组芯片中恰有1个次品的概率（结果保留四位有效数字）；
(2)从平均检测次数的角度分析，哪种方法较好？请说明理由.
参考数据：，，.
【答案】(1)
(2)方法2较好，理由见解析
【分析】（1）由题意根据二项分布的概率公式直接计算即可.
（2）对于方法一，其检测次数为10000，对于方法二，分析得出每组芯片需要被检测的X次数的所有可能取值为1，11，分别求出，再结合均值公式即可得解，比较大小即可判断.
【详解】（1）因为每个芯片是否为次品相互独立，
所以所求概率.
（2）方法1的检测次数为10000.
方法2：对于某组芯片，如果进行一次检测且通过，那么对这10个芯片只检测1次；
如果检测不通过，那么需对这10个芯片再逐一进行检测，这时共需进行11次检测.
每组芯片需要被检测的X次数的所有可能取值为1，11，
且若一组芯片均为正品，则；若含有次品，则.
因此.
，
所以，
所以1000组芯片的检验次数的均值为.
因此方法2较好.
0
1
2
3
4
型号
成本价/元
原价/元
8折价/元
6折价/元
甲
2000
4000
3200
2400
乙
3200
6000
4800
3600
X
0
1
2
3
4
5
P
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