北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 空间向量基本定理精品课后复习题

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1．如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由空间向量线性运算即可求解.
【详解】由题意可得
.
故选：A.
2．已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用基底的性质进行求解.
【详解】因为，所以是共面向量，不能构成基底，A不正确；
因为不是共面向量，所以可以构成基底，B正确；
因为与平行，所以不能构成基底，C不正确；
因为，所以共面，不能构成基底，D不正确.
故选：B.
3．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.
【详解】因为点P为平面ABC上的一点，，则，
于是，即，显然选项BCD都不满足，A选项满足.
故选：A
4．对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（ ）
A．四点必共面B．四点必共面
C．四点必共面D．五点必共面
【答案】B
【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.
【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.
而，其中，所以四点共面.
故选：B.
5．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
6．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.
【详解】在平行六面体中，M为与的交点，
.
故选：B
7．三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的共面定理计算即可.
【详解】
如图所示，因为点M在平面BCD内，可设，
则有，
即用向量，，表示，三个基向量的系数之和为1，显然A符合题意．
故选：A．
8．如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】因为P是的中点，
所以，
又因为点Q在上，且，
所以
，
所以，
故选：C.
二、多选题
9．如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（ ）
A．单位向量有8个
B．与相等的向量有3个
C．与的相反向量有4个
D．向量共面
【答案】ABC
【分析】根据单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得.
【详解】由题可知单位向量有共8个，故A正确；
与相等的向量有共3个，故B正确；
向量的相反向量有共4个，故C正确；
因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误.
故选：ABC.
10．下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
【答案】AC
【分析】根据基底、直线的方向向量等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A正确，B错误；
对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；
对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.
故选：AC
三、填空题
11．如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则______.

【答案】
【分析】由空间向量的线性运算即可求解.
【详解】，
故答案为：
12．若空间向量不共面，且，其中，为实数，则______．
【答案】0
【分析】根据空间向量基本定理求得，即可得解.
【详解】因为空间向量不共面，且，
所以，
所以.
故答案为：.
13．平行六面体的底面是菱形，，，，线段的长度为，则______．
【答案】/0.5
【分析】利用空间向量基本定理得到，平方后，利用数量积公式列出方程，求出.
【详解】因为，
所以
因为，，，，
所以，
解得：.
故答案为：
14．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________．
【答案】/-0.5
【分析】，，两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.
【详解】
根据题意ABCD为正四面体，
，，两两成角，,
由，
，
所以
．
故答案为：
四、解答题
15．如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.
(1)用，，表示；
(2)计算.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出；
（2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积.
【详解】（1）；
（2）
.
16．如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线．
(1)若AB＝2，求圆柱的侧面积；
(2)设AB与CD是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC与所成角的大小．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知得到底面半径以及母线的值，代入公式即可求出；
（2）用向量、、来表示出、，进而求出它们的夹角，即可求出结果.
【详解】（1）由已知可得，底面半径，母线，
所以圆柱的侧面积.
（2）由已知可得，两两垂直，且相等，
设，则，，.
又， ，
则.
所以，
又，所以，
所以异面直线AC与所成角的大小为.