高中数学1.2 空间向量基本定理课时训练

1.2　空间向量基本定理

 基 础 练                                                                                 

巩固新知    夯实基础

1.以下四个命题中正确的是(　　)

A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量

C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0

D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

2.长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则(　　)

A．i＋j＋k　　　 B.i＋j＋k     C．3i＋2j＋5k       D．3i＋2j－5k

3.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:

①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c},则其中可以作为空间的基底的向量组有(   )

A.1个         B.2个         C.3个             D.4个

4.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是 (　　)

A．a     B．b     C．a＋2b     D．a＋2c

5.(多选)下列说法正确的是(  )

A．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线

B．空间的基底有且仅有一个

C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底

D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等

6.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设向量=a,=b,=c,则=              (　　)

A.c

C.

7.如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．

(1)试用，，表示向量；

(2)若，，，，，求的值．

8.若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．

能 力 练                                                                                

综合应用   核心素养

9.给出下列两个命题：

①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；

②O，A，B，C为空间四点，且向量， ，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．

其中正确的命题是(　　)

A．仅①     B．仅②       C．①②       D．都不正确

10. (多选)已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是(  )

A．2a，a－b，a＋2b   B．2b，b－a，b＋2a    C．a,2b，b－c       D．c，a＋c，a－c

11. (多选)如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（       ）

A．                    B．

C． D．

12.化学中,将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中,可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位,这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子均在顶点位置,O原子位于棱的中点).则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为　　　　. 

13.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．

14.在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC、AB的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________，异面直线DM与CN所成角的余弦值为______.

15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.

(1)求证:B1D⊥平面ABD;

(2)求证:平面EFG∥平面ABD.

【参考答案】

1.B 解析：使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.

2.C

3.C解析：借助长方体进行判断,如图,可知向量a,b,x共面,x,y,z不共面,b,c,z不共面,x,y,a+b+c也不共面,故选C.

4.D 解析　能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝p－q.

∴A、B、C都不合题意．因为{a，b，c}为基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．

5. AC解析　A项中若a，b不共线，则任意与a，b不共面的向量就可以和a，b构成空间的一个基底，A对；B项中空间基底有无数个，B错；C项显然正确；D项中因为基底不唯一，所以D错．

6.C 解析：(+,故选C.

7.(1)解：，

，

又

(2)解：由（1）可得知

8.解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c．

∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．

∴此方程组无解．

即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，

∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．

故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．

9.B 解析　①对空间任意向量c，都有c与a、b共面，则必有a与b共线，∴①错；②∵、、不能构成空间的基底，∴、、必共面，故存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，∴O、A、B、C四点共面，∴②正确．

10.ABD解析　对于A，因为2a＝34(a－b)＋32(a＋2b)，得2a、a－b、a＋2b三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B，因为2b＝34(b－a)＋32(b＋2a)，得2b、b－a、b＋2a三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C，因为找不到实数λ、μ，使a＝λ·2b＋μ(b－c)成立，故a、2b、b－c三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D，因为c＝21(a＋c)－21(a－c)，得c、a＋c、a－c三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.

11.AB 解析：对于A选项，，A对；

对于B选项，，B对；

对于C选项，由图可知、不共线，则，C错；

对于D选项，，D错.

故选：AB.

12. 解析：设该立方体的棱长为a,取{,,}为空间向量的一个基底,

其中<,>=90°,<,>=90°,<,>=90°.

∵=---,=+=,

设BF与B1E所成角为θ,

则cos θ=|cos<,==,

∴BF与B1E所成角的余弦值为.

13.0 解析　∵A，B，C三点共线，∴存在唯一实数k使＝k，即－＝k(－)，

∴(k－1)＋－k＝0.又λ＋m－n＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.

14. (a＋b－2c)；　解析：画出对应的正四面体，设棱长均为1，

则＝＋＝－c＋(a＋b)＝(a＋b－2c).

由＝(a＋b－2c)，又＝－＝a－b＝(a－2b).

又a·b＝a·c＝b·c＝.设异面直线DM与CN所成角为θ，

则cos θ＝＝＝

＝＝.

15.证明：(1)易得=+=,=+=,

∵··=0,

··==0,

∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA∩BD=B,

∴B1D⊥平面ABD.

(2)连接B1G.∵=-(+,

=-(+,

∴·=()·=0,

··=0,

∴B1D⊥EG,B1D⊥FG,又EG∩FG=G,

∴B1D⊥平面EFG,又B1D⊥平面ABD,平面ABD与平面EFG不重合,

∴平面EFG∥平面ABD.