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【冲刺2024数学】中考真题（2022山东菏泽）及变式题（山东菏泽中考专用）解答题部分
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【2022菏泽真题及变式题第15】
1．计算：．
2．（1）计算；
（2）在中，若和满足，求的度数．
3．计算：．
4．（1）计算：．
（2）解分式方程：．
5．（1）计算：；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
6．（1）计算：．
（2）解不等式组：．
【2022菏泽真题及变式题第16】
7．解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．
8．解不等式组，并把解集在是数轴上表示出来．
9．（1）解方程组；
（2）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
10．（1）解不等式：
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
11．（1）计算： ；
（2）解不等式组：
12．解下列不等式（组）：
(1)，并把解集在数轴上表示出来；
(2)．
【2022菏泽真题及变式题第17】
13．如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
14．（1）计算：．
（2）如图，在中，，，E，D分别是BC，AC上的点，且，求证：．
15．如图，是的边上的一点，，，，求证：．
16．如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
17．如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出，的周长；
(3)在（2）的条件下，求的长．
18．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
(1)求证：．(2)若，，求的长．
【2022菏泽真题及变式题第18】
19．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：）
20．鹏鹏在端午假期和父母一起出去游玩，如图,他走到景点处发现景点位于北偏东65度方向，他沿正东方向走了900米到达景点处时发现景点位于北偏东方向（点在同一平面内）．你能求出景点与景点之间的距离吗（结果精确到1米）？（参考数据：，）
21．宋家州主题公园拟修建一座柳宗元塑像，如图所示，柳宗元塑像（塑像中高者）在高的假山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求柳宗元塑像的高度.
（精确到.参考数据：，，，）
22．天柱塔，又名天中塔，驻马店市标志性建筑，是一个地方的文化象征．如图，某校兴趣小组想测量天中塔的高度，塔前有一段斜坡，已知的长为12米，它的坡度．在离C点60米的D处，用测角仪测得塔顶端A的仰角为，测角仪的高为米，求塔的高度约为多少米？（结果精确到米）（参考数据：，，，）
23．综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．
如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上．
某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌．
(1)求点到地面距离的长；
(2)设建筑物的高度为（单位：）；
①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）；
②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数）
24．图1是巴中市巴城地标建筑回风亭，它始建于1926年，占地面积210平方米，它不仅是红色巴中独具特色的标志性建筑之一，还是四川省第七批省级文物保护单位，具有重要的研究价值．九年级的浩文同学也十分喜爱回风亭，在学习了相关数学知识后，他与同学进行了“测量回风亭高度”的综合实践活动．如图2所示，浩文和同学在斜坡底处测得该亭的亭顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡走行了13米，在坡顶处又测得该亭的亭顶的仰角为．求：
(1)坡顶到地的距离；
(2)回风亭的高度．（参考数据：，，）
【2022菏泽真题及变式题第19】
25．某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
(1)篮球、排球的进价分别为每个多少元?
(2)该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?
26．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少．
，两种型号车的进货和销售价格如下表：
(1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
(2)该车行计划新进一批型车和新款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
27．某水果店老板市场调研发现，口感无敌的无核沃柑和面甜多汁的罗曼西红柿，物美价廉，走红市场，每斤罗曼西红柿比无核沃柑进价多元，用元购进罗曼西红柿的数量是用元购进无核沃柑数量的倍．
(1)求罗曼西红柿、无核沃柑每斤进价分别为多少元？
(2)罗曼西红柿每斤售价为元，无核沃柑每斤售价为元，水果店老板决定，购进无核沃柑的数量比购进罗曼西红柿的数量的倍还多斤，两种水果全部售出后，可使总的获利不低于元，则最少购进罗曼西红柿多少斤？
28．某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多．
(1)每件衬衫原来的进价是多少元？
(2)根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？
29．2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少10ml，无人机用药300ml喷洒的农田面积与常规喷药壶用药450ml喷洒的农田面积相同．
(1)求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量 ．
(2)该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台，已知A型号喷药无人机每台15000元，B型号喷药无人机每台20000元，若采购资金不超过360000元，则最少需采购A型号喷药无人机多少台？
30．生活需要仪式感，随着人们生活质量的提高和品位的提升，鲜花深受广大消费者喜爱．某鲜花店为了满足消费者的需要，准备购进一批玫瑰花和康乃馨．已知购买玫瑰花花费1800元，购买康乃馨花费1380元，每枝玫瑰花的价格是每枝康乃馨的倍，购买玫瑰花的数量比康乃馨的数量少30枝．
(1)玫瑰花和康乃馨的单价分别是多少元？
(2)两种鲜花到店后很快售馨，鲜花店老板准备再次购进玫瑰花和康乃馨共600枝，且玫瑰花的数量不低于康乃馨的3倍，则玫瑰花和康乃馨各购买多少枝花费最少？最少费用是多少元？
【2022菏泽真题及变式题第20】
31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积．
32．如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为，顶点在轴上，延长至点．使，过点作交轴于点，反比例函数，经过点交于点，反比例函数经过点．
(1)求反比例函数，的解析式；(2)连接，，计算的面积．
33．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知．
(1)求k的值；(2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积．
34．如图所示，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于P，Q两点，已知点的坐标为．
(1)求函数与的解析式；(2)求点的坐标；(3)求的面积．
35．如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；(2)若点是轴上的一个动点，连接，，当最小时，求点的坐标．
36．如图，一次函数的图象与y轴相交于点，与反比例函数的图象交于点，B．
(1)求反比例函数和直线的解析式．
(2)C为线段延长线上一点，作，与反比例函数交于点D，连接．当四边形为平行四边形时，求点C的坐标．
【2022菏泽真题及变式题第21】
37．为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
(1)本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
(2)C组所对应的扇形圆心角为_______度；
(3)若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
(4)现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
38．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“.书画类、.文艺类、.社会实践类、.体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
(1)本次被抽查的学生共有______名；
(2)请你将条形统计图补全；
(3)若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“.社会实践类”的学生共有多少名？
(4)本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
39．本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量” ）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图；
（2）填出本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为________．
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为4本以上（含4本）的学生人数．
40．为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：第一组；第二组；第三组；第四组；第五组，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；
(2)若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D”，分评为“C”，分评为“B”，分评为“A”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B”的学生大约有多少名？
(3)如果第一组只有一名是女生，第五组只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．
41．某校为了解九年级学生的学习状况，对本校九年级学生在本学期的学习是否有详细的学习 计划进行了调研，并将调研结果分为：A．已制定详细的学习计划；B．已制定部分学习计划； C．有学习计划但尚未制定；D．无任何学习计划四种类型．现选取部分的调查结果，并绘制了如下不完整的统计图．
请根据统计图中的相关信息，解答下列问题．
(1)共选取了 名学生；在扇形统计图中，C 类所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
(2)若本校九年级的学生人数是700，请估计无任何学习计划的学生人数．
(3)若在选取的已制定详细的学习计划的4名同学中，有1名男同学和3名女同学，现从这4 名同学中随机选择2人来给其他同学做分享，求恰好选择的都是女同学的概率．
42．某校把一分钟跳绳列为学生大课间的运动项目，为了解跳绳运动效果，学校分别在学期初和学期末对九年级共名学生进行了一分钟跳绳测试，学生成绩均为整数，满分分，大于分为优秀，现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析，成绩得分用表示，共分成五组：．，．，．，．，．．学期初抽取学生的成绩在D组中的数据是：，，，，，，，学期末抽取学生的成绩满分分有人．
学期末抽取学生成绩统计表
分析数据：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出图表中，，的值，并补全条形统计图；
(2)假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比学期初成绩优秀的学生人数增加了多少人？
(3)已知学期末测试成绩组中得满分分的共有名男同学，名女同学，从这个组中任意抽取名同学，请用画树状图法或列表法，求含有一名女同学的概率．
【2022菏泽真题及变式题第22】
43．如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是的切线；(2)若，求CG的长．
44．如图，内接于，为的直径，点E在上，连接、，且，延长到点D，连接，．
(1)求证：是的切线；(2)连接，，，求的长．
45．如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长；
(3)若，，，求的长．
46．如图，是的直径，C，D是上的两点，且，交于点E，点F在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
47．如图，在中，，为边上的点，以为直径作，交于点，连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
48．如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，于点，延长至点，连接，，
(1)求证：是的切线；
(2)若点是上的一点，连接、，，．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
【2022菏泽真题及变式题第23】
49．如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
(3)如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长．
50．如图1，将一只含角的直角三角板按如图摆放，其中，顶点A，C分别在直线上（），此时恰好平分，交直线于D点，过D点作交于E点，连接，在上取一点F，使，的角平分线交于G点．
(1)_______°；
(2)求证：平分；
(3)现将三角板绕顶点A逆时针旋转一定的度数（如图2），的延长线交于点K，连接，过D点作交于E点，在上取一点F，使得相等，的角平分线交于G点，若，求此时的度数．
51．【材料阅读】《论语·述而》说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”后人则以“举一反三”主张在学习和解决问题中要做到触类旁通．南宋朱熹说过：“读书，始读，未知有疑；其次，则渐渐有疑；中则节节是疑．过了这一番，疑渐渐释，以至融会贯通，都无所疑，方始是学．”从读书阶段的提升，可以引申到数学深度学习的不同层次．
【课本回顾】在上，中线交于点P，点P叫做的重心．
【知识探究】
（1）如图Ⅰ，的中线交于点P，探究与的数量关系．
解：取的中点H，连接．
……
请接着上述思路，完成探究过程．
【问题解决】
（2）在中，为直径，点C是上一点（不与点A，B重合）．
①如图Ⅱ，若点M是弦的中点，交于点E，则的值为 ；（直接写结果）
②如图Ⅲ，在①的条件下，若，求的值；
③如图Ⅳ，若，D为弦上一动点，过D作，交于点H，交于点F．设，求y与x的函数关系式．
52．如图1，在中，，，．将绕点顺时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），延长与交于点，且点始终在边上（不与，重合），连接，，设．
(1)求证：；
(2)当时，如图，求的值；
(3)如图，在旋转过程中，设与交于点．
①当时，求的值；
②直接写出点到直线的距离（用含的式子表示）．
53．如图1，在中，，，点D、E在边上，，过点B作的垂线交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)当，时，求的长；
(3)如图2，过点F作射线的垂线，垂足为点G，设，，求y关于x的函数关系式．
54．如图：已知，点O是的中点，过A、C两点向经过点O的直线作垂线，垂足分别为E、F．
(1)当时（如图1），求证：；
(2)当时（如图2），探究线段之间数量关系为_________；
(3)在（2）的条件下，，，连接并延长与的延长线相交于点M，求线段的长．
【2022菏泽真题及变式题第24】
55．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．
56．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点、，当时，总有．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接．
(1)求b的值；
(2)请求出四边形的面积；
(3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段交于点P，点P与点A、B不重合，点M为线段的中点．
①过点P作于点E，于点F，连接，在旋转的过程中的大小是否发生变化，若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由；
②在①的条件下，连接，直接写出线段的最小值．
57．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线交轴于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，求的最大值；
(3)如图2，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标．
58．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C，D是线段上一动点．
(1)直接写出点A，B，C的坐标和直线的解析式；
(2)如图1，过动点D作，交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积之和为S．求S的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，过动点D作轴于点E，交抛物线于点F，连接．试探究：点D在运动过程中与能否相似？若能相似，直接写出点D的横坐标t的取值；若不能相似，请说明理由．
59．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m．
(1)直接写出b，c的值；
(2)如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l右侧时，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段．当点D恰好落在直线l上时，求m的值；
(3)直线与直线相交于点M，的值记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
60．已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标；
(3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
型车
型车
进货价格（元）
1100
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2000
学生成绩
组
组
组
组
组
人数
平均数
中位数
众数
学期初抽取学生成绩
学期末抽取学生成绩
【2022菏泽真题及变式题第15】
1．计算：．
2．（1）计算；
（2）在中，若和满足，求的度数．
3．计算：．
4．（1）计算：．
（2）解分式方程：．
5．（1）计算：；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
6．（1）计算：．
（2）解不等式组：．
【2022菏泽真题及变式题第16】
7．解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．
8．解不等式组，并把解集在是数轴上表示出来．
9．（1）解方程组；
（2）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
10．（1）解不等式：
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
11．（1）计算： ；
（2）解不等式组：
12．解下列不等式（组）：
(1)，并把解集在数轴上表示出来；
(2)．
【2022菏泽真题及变式题第17】
13．如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
14．（1）计算：．
（2）如图，在中，，，E，D分别是BC，AC上的点，且，求证：．
15．如图，是的边上的一点，，，，求证：．
16．如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
17．如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出，的周长；
(3)在（2）的条件下，求的长．
18．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
(1)求证：．(2)若，，求的长．
【2022菏泽真题及变式题第18】
19．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：）
20．鹏鹏在端午假期和父母一起出去游玩，如图,他走到景点处发现景点位于北偏东65度方向，他沿正东方向走了900米到达景点处时发现景点位于北偏东方向（点在同一平面内）．你能求出景点与景点之间的距离吗（结果精确到1米）？（参考数据：，）
21．宋家州主题公园拟修建一座柳宗元塑像，如图所示，柳宗元塑像（塑像中高者）在高的假山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求柳宗元塑像的高度.
（精确到.参考数据：，，，）
22．天柱塔，又名天中塔，驻马店市标志性建筑，是一个地方的文化象征．如图，某校兴趣小组想测量天中塔的高度，塔前有一段斜坡，已知的长为12米，它的坡度．在离C点60米的D处，用测角仪测得塔顶端A的仰角为，测角仪的高为米，求塔的高度约为多少米？（结果精确到米）（参考数据：，，，）
23．综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．
如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上．
某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌．
(1)求点到地面距离的长；
(2)设建筑物的高度为（单位：）；
①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）；
②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数）
24．图1是巴中市巴城地标建筑回风亭，它始建于1926年，占地面积210平方米，它不仅是红色巴中独具特色的标志性建筑之一，还是四川省第七批省级文物保护单位，具有重要的研究价值．九年级的浩文同学也十分喜爱回风亭，在学习了相关数学知识后，他与同学进行了“测量回风亭高度”的综合实践活动．如图2所示，浩文和同学在斜坡底处测得该亭的亭顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡走行了13米，在坡顶处又测得该亭的亭顶的仰角为．求：
(1)坡顶到地的距离；
(2)回风亭的高度．（参考数据：，，）
【2022菏泽真题及变式题第19】
25．某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
(1)篮球、排球的进价分别为每个多少元?
(2)该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?
26．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少．
，两种型号车的进货和销售价格如下表：
(1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
(2)该车行计划新进一批型车和新款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
27．某水果店老板市场调研发现，口感无敌的无核沃柑和面甜多汁的罗曼西红柿，物美价廉，走红市场，每斤罗曼西红柿比无核沃柑进价多元，用元购进罗曼西红柿的数量是用元购进无核沃柑数量的倍．
(1)求罗曼西红柿、无核沃柑每斤进价分别为多少元？
(2)罗曼西红柿每斤售价为元，无核沃柑每斤售价为元，水果店老板决定，购进无核沃柑的数量比购进罗曼西红柿的数量的倍还多斤，两种水果全部售出后，可使总的获利不低于元，则最少购进罗曼西红柿多少斤？
28．某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多．
(1)每件衬衫原来的进价是多少元？
(2)根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？
29．2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少10ml，无人机用药300ml喷洒的农田面积与常规喷药壶用药450ml喷洒的农田面积相同．
(1)求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量 ．
(2)该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台，已知A型号喷药无人机每台15000元，B型号喷药无人机每台20000元，若采购资金不超过360000元，则最少需采购A型号喷药无人机多少台？
30．生活需要仪式感，随着人们生活质量的提高和品位的提升，鲜花深受广大消费者喜爱．某鲜花店为了满足消费者的需要，准备购进一批玫瑰花和康乃馨．已知购买玫瑰花花费1800元，购买康乃馨花费1380元，每枝玫瑰花的价格是每枝康乃馨的倍，购买玫瑰花的数量比康乃馨的数量少30枝．
(1)玫瑰花和康乃馨的单价分别是多少元？
(2)两种鲜花到店后很快售馨，鲜花店老板准备再次购进玫瑰花和康乃馨共600枝，且玫瑰花的数量不低于康乃馨的3倍，则玫瑰花和康乃馨各购买多少枝花费最少？最少费用是多少元？
【2022菏泽真题及变式题第20】
31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积．
32．如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为，顶点在轴上，延长至点．使，过点作交轴于点，反比例函数，经过点交于点，反比例函数经过点．
(1)求反比例函数，的解析式；(2)连接，，计算的面积．
33．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知．
(1)求k的值；(2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积．
34．如图所示，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于P，Q两点，已知点的坐标为．
(1)求函数与的解析式；(2)求点的坐标；(3)求的面积．
35．如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；(2)若点是轴上的一个动点，连接，，当最小时，求点的坐标．
36．如图，一次函数的图象与y轴相交于点，与反比例函数的图象交于点，B．
(1)求反比例函数和直线的解析式．
(2)C为线段延长线上一点，作，与反比例函数交于点D，连接．当四边形为平行四边形时，求点C的坐标．
【2022菏泽真题及变式题第21】
37．为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
(1)本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
(2)C组所对应的扇形圆心角为_______度；
(3)若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
(4)现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
38．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“.书画类、.文艺类、.社会实践类、.体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
(1)本次被抽查的学生共有______名；
(2)请你将条形统计图补全；
(3)若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“.社会实践类”的学生共有多少名？
(4)本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
39．本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量” ）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图；
（2）填出本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为________．
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为4本以上（含4本）的学生人数．
40．为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：第一组；第二组；第三组；第四组；第五组，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；
(2)若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D”，分评为“C”，分评为“B”，分评为“A”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B”的学生大约有多少名？
(3)如果第一组只有一名是女生，第五组只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．
41．某校为了解九年级学生的学习状况，对本校九年级学生在本学期的学习是否有详细的学习 计划进行了调研，并将调研结果分为：A．已制定详细的学习计划；B．已制定部分学习计划； C．有学习计划但尚未制定；D．无任何学习计划四种类型．现选取部分的调查结果，并绘制了如下不完整的统计图．
请根据统计图中的相关信息，解答下列问题．
(1)共选取了 名学生；在扇形统计图中，C 类所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
(2)若本校九年级的学生人数是700，请估计无任何学习计划的学生人数．
(3)若在选取的已制定详细的学习计划的4名同学中，有1名男同学和3名女同学，现从这4 名同学中随机选择2人来给其他同学做分享，求恰好选择的都是女同学的概率．
42．某校把一分钟跳绳列为学生大课间的运动项目，为了解跳绳运动效果，学校分别在学期初和学期末对九年级共名学生进行了一分钟跳绳测试，学生成绩均为整数，满分分，大于分为优秀，现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析，成绩得分用表示，共分成五组：．，．，．，．，．．学期初抽取学生的成绩在D组中的数据是：，，，，，，，学期末抽取学生的成绩满分分有人．
学期末抽取学生成绩统计表
分析数据：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出图表中，，的值，并补全条形统计图；
(2)假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比学期初成绩优秀的学生人数增加了多少人？
(3)已知学期末测试成绩组中得满分分的共有名男同学，名女同学，从这个组中任意抽取名同学，请用画树状图法或列表法，求含有一名女同学的概率．
【2022菏泽真题及变式题第22】
43．如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是的切线；(2)若，求CG的长．
44．如图，内接于，为的直径，点E在上，连接、，且，延长到点D，连接，．
(1)求证：是的切线；(2)连接，，，求的长．
45．如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长；
(3)若，，，求的长．
46．如图，是的直径，C，D是上的两点，且，交于点E，点F在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
47．如图，在中，，为边上的点，以为直径作，交于点，连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
48．如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，于点，延长至点，连接，，
(1)求证：是的切线；
(2)若点是上的一点，连接、，，．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
【2022菏泽真题及变式题第23】
49．如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
(3)如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长．
50．如图1，将一只含角的直角三角板按如图摆放，其中，顶点A，C分别在直线上（），此时恰好平分，交直线于D点，过D点作交于E点，连接，在上取一点F，使，的角平分线交于G点．
(1)_______°；
(2)求证：平分；
(3)现将三角板绕顶点A逆时针旋转一定的度数（如图2），的延长线交于点K，连接，过D点作交于E点，在上取一点F，使得相等，的角平分线交于G点，若，求此时的度数．
51．【材料阅读】《论语·述而》说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”后人则以“举一反三”主张在学习和解决问题中要做到触类旁通．南宋朱熹说过：“读书，始读，未知有疑；其次，则渐渐有疑；中则节节是疑．过了这一番，疑渐渐释，以至融会贯通，都无所疑，方始是学．”从读书阶段的提升，可以引申到数学深度学习的不同层次．
【课本回顾】在上，中线交于点P，点P叫做的重心．
【知识探究】
（1）如图Ⅰ，的中线交于点P，探究与的数量关系．
解：取的中点H，连接．
……
请接着上述思路，完成探究过程．
【问题解决】
（2）在中，为直径，点C是上一点（不与点A，B重合）．
①如图Ⅱ，若点M是弦的中点，交于点E，则的值为 ；（直接写结果）
②如图Ⅲ，在①的条件下，若，求的值；
③如图Ⅳ，若，D为弦上一动点，过D作，交于点H，交于点F．设，求y与x的函数关系式．
52．如图1，在中，，，．将绕点顺时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），延长与交于点，且点始终在边上（不与，重合），连接，，设．
(1)求证：；
(2)当时，如图，求的值；
(3)如图，在旋转过程中，设与交于点．
①当时，求的值；
②直接写出点到直线的距离（用含的式子表示）．
53．如图1，在中，，，点D、E在边上，，过点B作的垂线交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)当，时，求的长；
(3)如图2，过点F作射线的垂线，垂足为点G，设，，求y关于x的函数关系式．
54．如图：已知，点O是的中点，过A、C两点向经过点O的直线作垂线，垂足分别为E、F．
(1)当时（如图1），求证：；
(2)当时（如图2），探究线段之间数量关系为_________；
(3)在（2）的条件下，，，连接并延长与的延长线相交于点M，求线段的长．
【2022菏泽真题及变式题第24】
55．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．
56．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点、，当时，总有．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接．
(1)求b的值；
(2)请求出四边形的面积；
(3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段交于点P，点P与点A、B不重合，点M为线段的中点．
①过点P作于点E，于点F，连接，在旋转的过程中的大小是否发生变化，若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由；
②在①的条件下，连接，直接写出线段的最小值．
57．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线交轴于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，求的最大值；
(3)如图2，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标．
58．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C，D是线段上一动点．
(1)直接写出点A，B，C的坐标和直线的解析式；
(2)如图1，过动点D作，交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积之和为S．求S的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，过动点D作轴于点E，交抛物线于点F，连接．试探究：点D在运动过程中与能否相似？若能相似，直接写出点D的横坐标t的取值；若不能相似，请说明理由．
59．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m．
(1)直接写出b，c的值；
(2)如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l右侧时，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段．当点D恰好落在直线l上时，求m的值；
(3)直线与直线相交于点M，的值记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
60．已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标；
(3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
型车
型车
进货价格（元）
1100
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2000
学生成绩
组
组
组
组
组
人数
平均数
中位数
众数
学期初抽取学生成绩
学期末抽取学生成绩
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