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【冲刺2024】中考真题（2023山东淄博）及变式题（山东淄博2024中考专用）解答题部分
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【2023淄博真题及变式题第16】
1．先化简，再求值：，其中，．
2．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
3．先化简，再求值：
(1)，其中．
(2)，其中．
4．先化简，再求值：
(1)，其中
(2)，其中，．
5．先化简，再求值：已知满足．
(1)求；
(2)求．
6．先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)，其中，．
【2023淄博真题及变式题第17】
7．如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：
(1)；
(2)．
8．如图，在▱ABCD中，M为AD的中点，BM＝CM．
求证：（1）△ABM≌△DCM；
（2）四边形ABCD是矩形．
9．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是AB上一点（不与点A，B重合），线段CE的垂直平分线交CE于点F，交BD于点G，连接AG，EG．
(1)根据题意补全图形，并证明AG＝EG；
(2)用等式表示线段AG与CE之间的数量关系，并证明．
10．如图，在中，点E，F分别在，上，且，．
求证：．
11．如图，，，与相交于点．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
12．如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF．
（1）求证：△ABG≌△ADF；
（2）求证：AG⊥AF；
（3）当EF＝BE+DF时：
①求m的值；
②若F是CD的中点，求BE的长．
13．若实数，分别满足下列条件：
（1）；
（2）．
试判断点所在的象限．
14．已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点P为“新奇点”．
(1)判断点是否为“新奇点”，并说明理由；
(2)若点是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
15．已知当，都是实数，且满足时，称为“好点”．
(1)判断点，是否为“好点”，并说明理由；
(2)若点是“好点”，请判断点在第几象限？并说明理由．
16．已知点满足当a，b满足时，称为开心点．
(1)若点A为开心点，且点A的横坐标为﹣4，则点A坐标是 ，点A到原点的距离是 ．
(2)若点是开心点，判断点M在第几象限？并说明理由．
17．已知，点．
（1）若点在轴上，点的坐标为______；
（2）若点的纵坐标比横坐标大6，求点在第几象限？
18．已知当m，n都是实数，且满足时，称为“柘城点”
(1)请任意写出一个“柘城点”：______；
(2)判断点是否为“柘城点”，并说明理由；
(3)若点是“柘城点”，请通过计算判断点C是第几象限？
【2023淄博真题及变式题第18】
19．举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京成功召开．为弘扬党的二十大精神，某学校举办了“学习二十大，奋进新征程”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分），分为，，，四组，绘制了如下不完整的统计图表：
学生成绩频数分布直方图
学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答以下问题：
(1)直接写出统计表中的________，________；
(2)学生成绩数据的中位数落在________内；在学生成绩扇形统计图中，组对应的扇形圆心角是________度；
(3)将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整；
(4)若全校有1500名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数．
20．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：
(1)本次共抽查学生______ 人，并将条形统计图补充完整；
(2)文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数是______ ；
(3)若该校有名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？
21．为提高学生的身体素质，某学校开设了足球、篮球和排球三个球类兴趣班．老师们为了解八年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如下两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)本次抽样调查的八年级的学生人数为__________；
(2)参与调查的学生中，喜爱排球运动的学生人数是__________；
(3)若该中学八年级共有480名学生，请你估计该中学八年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少名？
(4)若从喜爱排球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为该校排球运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．
22．为了解七年级学生的身体素质情况，体育老师对该年级部分学生进行了一分钟跳绳次数的测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校七年级部分学生一分钟跳绳次数测试的频数表
（1）参加测试的学生有多少人？
（2）求a，b的值，并把频数直方图补充完整．
（3）若该年级共有320名学生，估计该年级学生一分钟跳绳次数不少于120次的人数．
23．我市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取我市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)______，______；
(2)根据以上信息补全条形统计图；
(3)扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为______度．
(4)根据抽样调查的结果，请你估计我市3000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
24．落实“双减”要求，丰富学生日常生活，提高学生综合表养，我市某小学开展了课外活动．该学校随机抽取了部分学生对课外活动中最喜欢的活动进行了调查：A．踢毽子；B．打篮球；C．剪纸；D．花式跳绳．并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
(1)本次共调查了__________名学生，扇形统计图中的值是__________；扇形统计图中喜欢“剪纸”的学生所对应的扇形圆心角的度数是__________；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)已知该学校有800名学生，估计喜欢“花式跳绳”的学生约有多少名？
【2023淄博真题及变式题第19】
25．如图，直线与双曲线相交于点，．
(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
26．直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
27．如图，直线y＝k1x+5（k为常数，并且k≠0）与双曲线y＝交于A（﹣2，4），B两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）若直线y＝k1x+m与双曲线y＝有且只有一个公共点，求m的值．
28．如图，在直角坐标系中，直线与双曲线在第一象限交于，C两点，过点B作轴于点A，连接，．
(1)求直线与y轴的交点E的坐标；
(2)若，求双曲线的解析式．
29．如图，直线与双曲线交于点和点，与轴、轴的交点分别为点，点的坐标是，点是轴上一个动点．
（1）填空：① ， ；
②B点的坐标是 ．
（2）若，求此时点的坐标．
30．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，与y轴交于点C，轴于点B，且．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）若在y轴上有一点E，使为等腰三角形，求的长；
（3）在反比例函数图象上是否存在点D，使四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标：若不存在，请说明理由．
【2023淄博真题及变式题第20】
31．某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：
*题中的团队人数均不少于10人
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．
(1)如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？
(2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？
32．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，共435名师生，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表：
(1)如果恰好一次性将435名师生送往劳动实践基地，应安排租用甲、乙两种车各几辆？
(2)设租用甲种客车m辆，租车总费用为w元．
①求出w（元）与m（辆）之间的函数表达式；
②当甲种客车有多少辆时，能保障全体师生都能被送往劳动实践基地且租车费用最少，最少费用是多少元？
33．8月初，某超市购进了10箱A款酱油和若干箱B款酱油进行销售，每箱12瓶，其中A款酱油的进价为每箱60元，售价为每瓶9元，B款酱油的进价为每箱96元，售价为每瓶18元，第1周，这两款酱油均未售完，售出部分的销售额为2340元，利润为1220元．
(1)求第1周A、B两款酱油各售出多少瓶？
(2)第2周，这两款酱油剩下的部分很快售完，且这些剩下的酱油总利润不高于280元，请通过计算求出该超市8月初购进了多少箱B款酱油．
34．在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
35．某市部分地区遭受了罕见的旱灾，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共310件，其中饮用水比蔬菜多90件．
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学，已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
(3)在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费500元，乙种货车每辆需付运费450元，运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
36．工厂工人小李生产A、B两种产品．若生产A产品10件，生产B产品10件，共需时间350分钟，若生产A产品30件，生产B产品20件，共需时间850分钟．
(1)小李每生产一件A种产品和每生产一件B种产品分别需要多少分钟；
(2)小李每天工作8个小时，每月工作25天．如果小李四月份生产A种产品a件（a为正整数）．
①用含a的代数式直接表示小李四月份生产B种产品的件数；
②已知每生产一件A产品可得1.40元，每生产一件B种产品可得2.80元，某天公司财务告知小李四月份生产A、B两种产品的工资为1500元，小李说不可能，你知道为什么吗？
【2023淄博真题及变式题第22】
37．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．
试判断：的形状为________．
(2)深入探究
小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，．
探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．
探究二：连接，取的中点，连接，如图③．
求线段长度的最大值和最小值．
38．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：
（1）如图1，△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
（2）如图2，△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD，∠EAB＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，若AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45゜，求BD的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，连接AC，CD＝BC，∠BCD＝60°，∠BAD＝30°，AB＝15，AC＝25，求AD的长．
39．（1）【问题背景】如图1，已知和都是等腰直角三角形，，连接、，则、的数量关系为_____________；
（2）【迁移应用】将绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点A恰好在边上时，则、与满足数量关系为_________________；
②当点A，B，C在同一条直线上时，若，，请写出线段的长．
（3）【拓展延伸】如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，点P为线段MN外一动点，且，，，则线段长的最大值为___________．
40．已知，在平面直角坐标系中，点，，过点作直线与轴互相垂直，为轴上的一个动点，且．
(1)如图1，若点是第二象限内的一个点，且时，则点的坐标为___________；___________．
(2)如图2，若点是第三象限内的一个点，设点的坐标，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若发生变化，请说明理由．
(3)如图3，连接，作的平分线，点分别是射线与边上的两个动点，连接，当时，试求的最小值．
41．【基础巩固】（1）如图1，中，点D，E在边上，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，中，点E，F在对角线上，且，求证：；
【拓展提高】（3）在（2）的基础上，若，，，求的值．
42．完成下列各题：
(1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．请直接写出和的数量关系．
(2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．
①求的值；
②延长交于点，交于点．求的值．
【2023淄博真题及变式题第23】
43．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
44．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求出线段EF的最大值及此时E点的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点，连接，，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上、两点之间的距离是 ；
(3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；
(4)点在抛物线对称轴上，平面内存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标．
46．如图所示是某游乐场“极速飞车”的一部分轨道示意图．它可以看成抛物线的一段：，然后连接一段下坡线段，再连接缓冲抛物线的一段：．其中与开口方向相反，形状相同，点B为的顶点，的顶点在x轴上．其中：米，B点坐标为，点C到x轴的距离为30米，D、E两点到x轴距离相等且为5米．（轨道厚度忽略不计）
(1)求抛物线的解析式，并求出自变量x的取值范围；
(2)现对轨道部分进行加固，在下方安装两根竖直支架、（P、Q都在上），垂直于x轴于点M，垂直于x轴于点N，且要求．求当为何值时，两根支架与的长度之和最大，并求出最大值；
(3)若线段与直线平行，直接写出E点横坐标______________．
47．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，得到矩形，求矩形的周长最大值及此时点的坐标；
(3)点是直线上一动点，点是在平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．（参考数据：）
．如图，抛物线与轴交于、两点，点为抛物线第一象限抛物线上一点，点的坐标为，连接交轴与点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第二象限抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，点在上，过点作轴的垂线交射线于点，连接，在上截取，过点作轴的平行线交射线于点，若，，求点的坐标．
组别
成绩（：分）
频数
20
60
组别（次）
频数
频率
80~100
5
0.125
100~120
8
0.2
120~140
a
0.225
140~160
12
b
160~180
6
0.15
购票人数（人）
每人门票价（元）
60
50
40
甲种客车
乙种客车
载客量（座/辆）
60
45
租金（元/辆）
1080
900
班 级
人数
捐款总额（元）
人均捐款额（元）
（1）班
（2）班
合计
80
900
11.25
【2023淄博真题及变式题第16】
1．先化简，再求值：，其中，．
2．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
3．先化简，再求值：
(1)，其中．
(2)，其中．
4．先化简，再求值：
(1)，其中
(2)，其中，．
5．先化简，再求值：已知满足．
(1)求；
(2)求．
6．先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)，其中，．
【2023淄博真题及变式题第17】
7．如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：
(1)；
(2)．
8．如图，在▱ABCD中，M为AD的中点，BM＝CM．
求证：（1）△ABM≌△DCM；
（2）四边形ABCD是矩形．
9．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是AB上一点（不与点A，B重合），线段CE的垂直平分线交CE于点F，交BD于点G，连接AG，EG．
(1)根据题意补全图形，并证明AG＝EG；
(2)用等式表示线段AG与CE之间的数量关系，并证明．
10．如图，在中，点E，F分别在，上，且，．
求证：．
11．如图，，，与相交于点．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
12．如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF．
（1）求证：△ABG≌△ADF；
（2）求证：AG⊥AF；
（3）当EF＝BE+DF时：
①求m的值；
②若F是CD的中点，求BE的长．
13．若实数，分别满足下列条件：
（1）；
（2）．
试判断点所在的象限．
14．已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点P为“新奇点”．
(1)判断点是否为“新奇点”，并说明理由；
(2)若点是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
15．已知当，都是实数，且满足时，称为“好点”．
(1)判断点，是否为“好点”，并说明理由；
(2)若点是“好点”，请判断点在第几象限？并说明理由．
16．已知点满足当a，b满足时，称为开心点．
(1)若点A为开心点，且点A的横坐标为﹣4，则点A坐标是 ，点A到原点的距离是 ．
(2)若点是开心点，判断点M在第几象限？并说明理由．
17．已知，点．
（1）若点在轴上，点的坐标为______；
（2）若点的纵坐标比横坐标大6，求点在第几象限？
18．已知当m，n都是实数，且满足时，称为“柘城点”
(1)请任意写出一个“柘城点”：______；
(2)判断点是否为“柘城点”，并说明理由；
(3)若点是“柘城点”，请通过计算判断点C是第几象限？
【2023淄博真题及变式题第18】
19．举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京成功召开．为弘扬党的二十大精神，某学校举办了“学习二十大，奋进新征程”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分），分为，，，四组，绘制了如下不完整的统计图表：
学生成绩频数分布直方图
学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答以下问题：
(1)直接写出统计表中的________，________；
(2)学生成绩数据的中位数落在________内；在学生成绩扇形统计图中，组对应的扇形圆心角是________度；
(3)将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整；
(4)若全校有1500名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数．
20．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：
(1)本次共抽查学生______ 人，并将条形统计图补充完整；
(2)文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数是______ ；
(3)若该校有名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？
21．为提高学生的身体素质，某学校开设了足球、篮球和排球三个球类兴趣班．老师们为了解八年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如下两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)本次抽样调查的八年级的学生人数为__________；
(2)参与调查的学生中，喜爱排球运动的学生人数是__________；
(3)若该中学八年级共有480名学生，请你估计该中学八年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少名？
(4)若从喜爱排球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为该校排球运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．
22．为了解七年级学生的身体素质情况，体育老师对该年级部分学生进行了一分钟跳绳次数的测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校七年级部分学生一分钟跳绳次数测试的频数表
（1）参加测试的学生有多少人？
（2）求a，b的值，并把频数直方图补充完整．
（3）若该年级共有320名学生，估计该年级学生一分钟跳绳次数不少于120次的人数．
23．我市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取我市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)______，______；
(2)根据以上信息补全条形统计图；
(3)扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为______度．
(4)根据抽样调查的结果，请你估计我市3000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
24．落实“双减”要求，丰富学生日常生活，提高学生综合表养，我市某小学开展了课外活动．该学校随机抽取了部分学生对课外活动中最喜欢的活动进行了调查：A．踢毽子；B．打篮球；C．剪纸；D．花式跳绳．并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
(1)本次共调查了__________名学生，扇形统计图中的值是__________；扇形统计图中喜欢“剪纸”的学生所对应的扇形圆心角的度数是__________；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)已知该学校有800名学生，估计喜欢“花式跳绳”的学生约有多少名？
【2023淄博真题及变式题第19】
25．如图，直线与双曲线相交于点，．
(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
26．直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
27．如图，直线y＝k1x+5（k为常数，并且k≠0）与双曲线y＝交于A（﹣2，4），B两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）若直线y＝k1x+m与双曲线y＝有且只有一个公共点，求m的值．
28．如图，在直角坐标系中，直线与双曲线在第一象限交于，C两点，过点B作轴于点A，连接，．
(1)求直线与y轴的交点E的坐标；
(2)若，求双曲线的解析式．
29．如图，直线与双曲线交于点和点，与轴、轴的交点分别为点，点的坐标是，点是轴上一个动点．
（1）填空：① ， ；
②B点的坐标是 ．
（2）若，求此时点的坐标．
30．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，与y轴交于点C，轴于点B，且．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）若在y轴上有一点E，使为等腰三角形，求的长；
（3）在反比例函数图象上是否存在点D，使四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标：若不存在，请说明理由．
【2023淄博真题及变式题第20】
31．某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：
*题中的团队人数均不少于10人
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．
(1)如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？
(2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？
32．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，共435名师生，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表：
(1)如果恰好一次性将435名师生送往劳动实践基地，应安排租用甲、乙两种车各几辆？
(2)设租用甲种客车m辆，租车总费用为w元．
①求出w（元）与m（辆）之间的函数表达式；
②当甲种客车有多少辆时，能保障全体师生都能被送往劳动实践基地且租车费用最少，最少费用是多少元？
33．8月初，某超市购进了10箱A款酱油和若干箱B款酱油进行销售，每箱12瓶，其中A款酱油的进价为每箱60元，售价为每瓶9元，B款酱油的进价为每箱96元，售价为每瓶18元，第1周，这两款酱油均未售完，售出部分的销售额为2340元，利润为1220元．
(1)求第1周A、B两款酱油各售出多少瓶？
(2)第2周，这两款酱油剩下的部分很快售完，且这些剩下的酱油总利润不高于280元，请通过计算求出该超市8月初购进了多少箱B款酱油．
34．在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
35．某市部分地区遭受了罕见的旱灾，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共310件，其中饮用水比蔬菜多90件．
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学，已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
(3)在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费500元，乙种货车每辆需付运费450元，运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
36．工厂工人小李生产A、B两种产品．若生产A产品10件，生产B产品10件，共需时间350分钟，若生产A产品30件，生产B产品20件，共需时间850分钟．
(1)小李每生产一件A种产品和每生产一件B种产品分别需要多少分钟；
(2)小李每天工作8个小时，每月工作25天．如果小李四月份生产A种产品a件（a为正整数）．
①用含a的代数式直接表示小李四月份生产B种产品的件数；
②已知每生产一件A产品可得1.40元，每生产一件B种产品可得2.80元，某天公司财务告知小李四月份生产A、B两种产品的工资为1500元，小李说不可能，你知道为什么吗？
【2023淄博真题及变式题第22】
37．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．
试判断：的形状为________．
(2)深入探究
小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，．
探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．
探究二：连接，取的中点，连接，如图③．
求线段长度的最大值和最小值．
38．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：
（1）如图1，△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
（2）如图2，△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD，∠EAB＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，若AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45゜，求BD的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，连接AC，CD＝BC，∠BCD＝60°，∠BAD＝30°，AB＝15，AC＝25，求AD的长．
39．（1）【问题背景】如图1，已知和都是等腰直角三角形，，连接、，则、的数量关系为_____________；
（2）【迁移应用】将绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点A恰好在边上时，则、与满足数量关系为_________________；
②当点A，B，C在同一条直线上时，若，，请写出线段的长．
（3）【拓展延伸】如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，点P为线段MN外一动点，且，，，则线段长的最大值为___________．
40．已知，在平面直角坐标系中，点，，过点作直线与轴互相垂直，为轴上的一个动点，且．
(1)如图1，若点是第二象限内的一个点，且时，则点的坐标为___________；___________．
(2)如图2，若点是第三象限内的一个点，设点的坐标，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若发生变化，请说明理由．
(3)如图3，连接，作的平分线，点分别是射线与边上的两个动点，连接，当时，试求的最小值．
41．【基础巩固】（1）如图1，中，点D，E在边上，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，中，点E，F在对角线上，且，求证：；
【拓展提高】（3）在（2）的基础上，若，，，求的值．
42．完成下列各题：
(1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．请直接写出和的数量关系．
(2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．
①求的值；
②延长交于点，交于点．求的值．
【2023淄博真题及变式题第23】
43．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
44．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求出线段EF的最大值及此时E点的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点，连接，，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上、两点之间的距离是 ；
(3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；
(4)点在抛物线对称轴上，平面内存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标．
46．如图所示是某游乐场“极速飞车”的一部分轨道示意图．它可以看成抛物线的一段：，然后连接一段下坡线段，再连接缓冲抛物线的一段：．其中与开口方向相反，形状相同，点B为的顶点，的顶点在x轴上．其中：米，B点坐标为，点C到x轴的距离为30米，D、E两点到x轴距离相等且为5米．（轨道厚度忽略不计）
(1)求抛物线的解析式，并求出自变量x的取值范围；
(2)现对轨道部分进行加固，在下方安装两根竖直支架、（P、Q都在上），垂直于x轴于点M，垂直于x轴于点N，且要求．求当为何值时，两根支架与的长度之和最大，并求出最大值；
(3)若线段与直线平行，直接写出E点横坐标______________．
47．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，得到矩形，求矩形的周长最大值及此时点的坐标；
(3)点是直线上一动点，点是在平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．（参考数据：）
．如图，抛物线与轴交于、两点，点为抛物线第一象限抛物线上一点，点的坐标为，连接交轴与点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第二象限抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，点在上，过点作轴的垂线交射线于点，连接，在上截取，过点作轴的平行线交射线于点，若，，求点的坐标．
组别
成绩（：分）
频数
20
60
组别（次）
频数
频率
80~100
5
0.125
100~120
8
0.2
120~140
a
0.225
140~160
12
b
160~180
6
0.15
购票人数（人）
每人门票价（元）
60
50
40
甲种客车
乙种客车
载客量（座/辆）
60
45
租金（元/辆）
1080
900
班 级
人数
捐款总额（元）
人均捐款额（元）
（1）班
（2）班
合计
80
900
11.25
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