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【冲刺2024】中考真题（2020山东淄博）及变式题（山东淄博2024中考专用）解答题部分
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【2020淄博真题及变式题第18】
1．解方程组：
2．解方程组：
(1)
(2)
3．解方程组．
4．解下列方程组：
（1）；（2）；（3）.
5．解方程（组）
（1）
（2）
6．解方程组：
(1)
(2)
【2020淄博真题及变式题第19】
7．已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．
8．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，，求证：．
9．如图，在▱ABCD中，点F在边BC上，点E在边CB的延长线上，且∠EAB＝∠FDC，求证：EF＝AD．
10．如图，是平行四边形的一条对角线，E是的中点，连接并延长交的延长线于F．
(1)求证：．
(2)当时，求证：四边形是矩形．
11．如图所示，平行四边形中，平分交于F，交于E．求证：．
12．如图，在平行四边形中，点E，F分别是边的中点，分别连接交对角线于点G，H，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【2020淄博真题及变式题第20】
13．某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝ ，话题D所在扇形的圆心角是 度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
14．某中学七年级在开展课后服务时，调查了部分同学的兴趣爱好（每位同学只能选择其中的一项），并根据调查数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)本次调查的同学人数是 ；“书法”对应的扇形圆心角的度数为 ；
(2)请补全条形统计图；
(3)学校七年级共600人，由此估计其中喜爱足球的学生约有多少人？
15．某中学九年级3月15日举办“中考百日誓师”活动暨研学活动，为着力培养学生的核心素养，学校选取了四个研学基地举办此次活动．
A．“庙底沟博物馆” B．“黄河湿地公园”C．“函谷关景区”D．“红色教育基地”
为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)在本次调查中，一共抽取______名学生，扇形统计图中A所对应圆心角的度数为______；
(2)将上面的条形统计图补充完整；
(3)若该校共有4200名学生，请你估计选择C研学基地的学生人数；
(4)根据样本调查结果，请用不超过30字的一段话描述你对研学活动组织者的建议．
16．某校为了推动“双减”政策落地，强化对学生的德智体美劳全面培养，决定开设以下四种拓展课程：A(摄影)、B(舞蹈)、C(音乐)、D(足球)．为了解学生的选课情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果整理如下(每名学生必须且只能选择其中一种课程)．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为______名，______；
(2)补全条形统计图：
(3)求拓展课程D(足球)所对应的扇形的圆心角的度数；
(4)根据调查结果，请你估计该校1000名学生中，有多少名学生选择A(摄影)拓展课程．
17．某中学为了丰富学生的体育锻炼生活决定根据学生喜爱的运动项目展开校外体育活动实践体验课，因此学校随机抽取了部分同学就喜爱的运动项目进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题∶
(1)根据两个统计图所给数据， 这次活动一共调查了名学生，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，喜爱舞蹈的学生所在扇形的圆心角度数是 ；
(3)若全校初一共有 400 名学生，在校外体育活动实践体验日这一天，根据学生喜爱的运动项目，把学生分别送到不同的地点进行实践活动． 各活动场地与学校的位置关系及各地之间行程的大约用时(单位∶min)如图2所示现在学校组织10辆校车，每辆校车能坐40名学生，要求学生在 内到达活动场所，部分校车的行驶路线如表，请你合理去安排余下 4 辆校车的行驶路线及乘车人员．
18．2023春节档电影《满江红》票房突破40亿，成为中国影史票房榜第八名．之所以能大卖，除了出自著名导演张艺谋之外，一定还有其他亮点，为了解观众对电影的喜爱缘由，一网友在某平台邀请部分给出好评的观众填写如下调查表（要求每位观众只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
观众对电影的喜爱缘由情况条形统计图 观众对电影的喜爱缘由情况扇形统计图
根据图中信息，完成下列问题：
(1)共有__________位网友填写了调查表；
(2)补全条形统计图；
(3)计算扇形统计图中“C”所对应扇形的圆心角度数；
(4)若约40亿的票房共售出电影票亿张，其中给出好评的观众约占一半，请估计因为“其他”原因而给出好评的观众有多少；
(5)请你结合调查结果，对电影策划方向提出一条建议．
【2020淄博真题及变式题第20】
19．如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
20．如图，直线在平面直角坐标系中与轴交于点A，点B（－3，3）也在直线上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C也在直线上.
（1）求点C的坐标和直线的解析式；
（2）已知直线：经过点B，与轴交于点E，求△ABE的面积.
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点．
(1)求m的值；
(2)过点A作x轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数的图象交于点C，与x轴交于点D．
①当点C是线段的中点时，求b的值；
②当时，直接写出b的取值范围．
22．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图像交于、两点，点的坐标是，点的坐标是．
(1)求出两个函数解析式；
(2)求出的面积；
(3)直接写出满足的的取值范围．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于点，．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)将直线沿着y轴向下平移5个单位长度，与x轴、y轴分别交于D、E两点，P是直线上的一动点，求的面积．
24．如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于，两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点是轴上一点，若，求点的坐标；
(3)若是以为斜边的直角三角形，点是的中点，点的坐标为，求线段的最小值．
【2020淄博真题及变式题第21】
25．如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
26．如图是某款篮球架的示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为米，篮板顶端点到篮框的距离米，篮板底部支架与支架所成的角．（参考数据：，，，，）
(1)求支架的顶端到地面的距离的高度．（精确到米）；
(2)求篮框D到地面的距离（精确到米）．
27．某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度．
【测量方案】在地面上选一点，垂直地面竖立标杆，后退2m到处，此时在一直线上；另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4m到处，此时三点也在一直线上．
【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为m，且在同一直线上．
请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度．
28．如图1，这是码头上的一种起重机，它是码头上用于装卸集装箱的重要工具，图2是它的简易示意图．为了计算该起重机悬索的长，某数学研究小组测量得到如下数据：，，．请你帮助他们求出悬索的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
29．为积极响应绿色出行的环保号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．如图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离BE为．
(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据体验综合分析，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的0.8倍时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长．（参考数据：，，
30．2023年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图．若舞者上半身为1.1米，下半身为0.6米，下半身与水平面的夹角，与上半身的夹角．（参考数据：，，）
(1)此时舞者的垂直高度约为多少米．
(2)如图3，下半身与水平面的夹角不变，当与在同一直线上时，舞者的垂直高度增加了多少米？
【2020淄博真题及变式题第22】
31．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．
32．如图，为外一点，为的切线，切点分别为，直线交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
(3)若，求的长．
33．如图，的半径是3，点P是上一点，弦垂直平分线段，点M是上的任意一点（不与A，B重合），于点N，以M为圆心，为半径作，分别过A，B两点作的切线，切点分别为D，E，两切线交于点C．
(1)求弦的长；(2)求的大小；(3)设的面积为S，若，求的半径．
34．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
(1)求证：是切线；
(2)如图1，若，，求的半径和的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，若，求图中阴影部分的面积．
35．如图，是的内接三角形，是直径，D是上的一点，且．连接，过点B作，交于点E，交于点G，交于点F．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，求的值．
36．如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．
(1)在图1中连结，求证：；
(2)若的半径为，求的值；
(3)如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
【2020淄博真题及变式题第23】
37．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．
38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D，连接AD．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图①，若点P是线段AD上一个动点，过点P作PE⊥y轴于点E，求△PAE面积S的最大值；
（3）如图②，若点M是x轴上一个动点，过M作直线MQ∥BC交抛物线于点Q，问抛物线上是否存在点Q，使以点B、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
39．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且面积为60．
(1)求点C的坐标及直线的表达式；
(2)若为线段上一点，直线把的面积分成两部分，这两部分的面积之比为，求的坐标；
(3)当的面积为20时，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、、B、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
40．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；
(2)直线与抛物线交于，两点，与直线交于点，若点为的中点，求的值；
(3)点为抛物线上一点，当时，请求出点的坐标．
41．综合与探究：如图，二次函数图象与一次函数的图象相交于两点，与轴交于另一点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式及点的坐标；
(2)如图1，点是线段上一个动点，过点作交于点．设点的横坐标为．若的面积是四边形面积的．求的值；
(3)如图2，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
42．已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第四象限内抛物线上的点，连接，如图1，若的面积为1，求P点坐标；
(3)设点M为抛物线上的一点，若时，求M点坐标．
1号校车
学校→足球学校
6号校车
学校→综合体育场馆
2号校车
学校→足球学校
7号校车
3号校车
学校→舞蹈学校
8号校车
4号校车
学校→舞蹈学校
9号校车
5号校车
学校→综合体育场馆
10号校车
你喜欢电影《满江红》的主要原因是：
A．题材．关涉岳飞、秦桧等历史人物，故事虽是虚构，但体现的精神无异．
B．剧情．悬疑推理与喜剧相结合，极具观赏吸引力．
C．配乐．河南豫剧与电子音乐相结合，分段呈现，层次感强．
D．演技．全员演技在线，压抑、恐惧、愤怒完美呈现，拉动观众共情．
E．其他．
【2020淄博真题及变式题第18】
1．解方程组：
2．解方程组：
(1)
(2)
3．解方程组．
4．解下列方程组：
（1）；（2）；（3）.
5．解方程（组）
（1）
（2）
6．解方程组：
(1)
(2)
【2020淄博真题及变式题第19】
7．已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．
8．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，，求证：．
9．如图，在▱ABCD中，点F在边BC上，点E在边CB的延长线上，且∠EAB＝∠FDC，求证：EF＝AD．
10．如图，是平行四边形的一条对角线，E是的中点，连接并延长交的延长线于F．
(1)求证：．
(2)当时，求证：四边形是矩形．
11．如图所示，平行四边形中，平分交于F，交于E．求证：．
12．如图，在平行四边形中，点E，F分别是边的中点，分别连接交对角线于点G，H，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【2020淄博真题及变式题第20】
13．某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝ ，话题D所在扇形的圆心角是 度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
14．某中学七年级在开展课后服务时，调查了部分同学的兴趣爱好（每位同学只能选择其中的一项），并根据调查数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)本次调查的同学人数是 ；“书法”对应的扇形圆心角的度数为 ；
(2)请补全条形统计图；
(3)学校七年级共600人，由此估计其中喜爱足球的学生约有多少人？
15．某中学九年级3月15日举办“中考百日誓师”活动暨研学活动，为着力培养学生的核心素养，学校选取了四个研学基地举办此次活动．
A．“庙底沟博物馆” B．“黄河湿地公园”C．“函谷关景区”D．“红色教育基地”
为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)在本次调查中，一共抽取______名学生，扇形统计图中A所对应圆心角的度数为______；
(2)将上面的条形统计图补充完整；
(3)若该校共有4200名学生，请你估计选择C研学基地的学生人数；
(4)根据样本调查结果，请用不超过30字的一段话描述你对研学活动组织者的建议．
16．某校为了推动“双减”政策落地，强化对学生的德智体美劳全面培养，决定开设以下四种拓展课程：A(摄影)、B(舞蹈)、C(音乐)、D(足球)．为了解学生的选课情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果整理如下(每名学生必须且只能选择其中一种课程)．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为______名，______；
(2)补全条形统计图：
(3)求拓展课程D(足球)所对应的扇形的圆心角的度数；
(4)根据调查结果，请你估计该校1000名学生中，有多少名学生选择A(摄影)拓展课程．
17．某中学为了丰富学生的体育锻炼生活决定根据学生喜爱的运动项目展开校外体育活动实践体验课，因此学校随机抽取了部分同学就喜爱的运动项目进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题∶
(1)根据两个统计图所给数据， 这次活动一共调查了名学生，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，喜爱舞蹈的学生所在扇形的圆心角度数是 ；
(3)若全校初一共有 400 名学生，在校外体育活动实践体验日这一天，根据学生喜爱的运动项目，把学生分别送到不同的地点进行实践活动． 各活动场地与学校的位置关系及各地之间行程的大约用时(单位∶min)如图2所示现在学校组织10辆校车，每辆校车能坐40名学生，要求学生在 内到达活动场所，部分校车的行驶路线如表，请你合理去安排余下 4 辆校车的行驶路线及乘车人员．
18．2023春节档电影《满江红》票房突破40亿，成为中国影史票房榜第八名．之所以能大卖，除了出自著名导演张艺谋之外，一定还有其他亮点，为了解观众对电影的喜爱缘由，一网友在某平台邀请部分给出好评的观众填写如下调查表（要求每位观众只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
观众对电影的喜爱缘由情况条形统计图 观众对电影的喜爱缘由情况扇形统计图
根据图中信息，完成下列问题：
(1)共有__________位网友填写了调查表；
(2)补全条形统计图；
(3)计算扇形统计图中“C”所对应扇形的圆心角度数；
(4)若约40亿的票房共售出电影票亿张，其中给出好评的观众约占一半，请估计因为“其他”原因而给出好评的观众有多少；
(5)请你结合调查结果，对电影策划方向提出一条建议．
【2020淄博真题及变式题第20】
19．如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
20．如图，直线在平面直角坐标系中与轴交于点A，点B（－3，3）也在直线上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C也在直线上.
（1）求点C的坐标和直线的解析式；
（2）已知直线：经过点B，与轴交于点E，求△ABE的面积.
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点．
(1)求m的值；
(2)过点A作x轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数的图象交于点C，与x轴交于点D．
①当点C是线段的中点时，求b的值；
②当时，直接写出b的取值范围．
22．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图像交于、两点，点的坐标是，点的坐标是．
(1)求出两个函数解析式；
(2)求出的面积；
(3)直接写出满足的的取值范围．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于点，．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)将直线沿着y轴向下平移5个单位长度，与x轴、y轴分别交于D、E两点，P是直线上的一动点，求的面积．
24．如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于，两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点是轴上一点，若，求点的坐标；
(3)若是以为斜边的直角三角形，点是的中点，点的坐标为，求线段的最小值．
【2020淄博真题及变式题第21】
25．如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
26．如图是某款篮球架的示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为米，篮板顶端点到篮框的距离米，篮板底部支架与支架所成的角．（参考数据：，，，，）
(1)求支架的顶端到地面的距离的高度．（精确到米）；
(2)求篮框D到地面的距离（精确到米）．
27．某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度．
【测量方案】在地面上选一点，垂直地面竖立标杆，后退2m到处，此时在一直线上；另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4m到处，此时三点也在一直线上．
【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为m，且在同一直线上．
请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度．
28．如图1，这是码头上的一种起重机，它是码头上用于装卸集装箱的重要工具，图2是它的简易示意图．为了计算该起重机悬索的长，某数学研究小组测量得到如下数据：，，．请你帮助他们求出悬索的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
29．为积极响应绿色出行的环保号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．如图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离BE为．
(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据体验综合分析，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的0.8倍时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长．（参考数据：，，
30．2023年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图．若舞者上半身为1.1米，下半身为0.6米，下半身与水平面的夹角，与上半身的夹角．（参考数据：，，）
(1)此时舞者的垂直高度约为多少米．
(2)如图3，下半身与水平面的夹角不变，当与在同一直线上时，舞者的垂直高度增加了多少米？
【2020淄博真题及变式题第22】
31．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．
32．如图，为外一点，为的切线，切点分别为，直线交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
(3)若，求的长．
33．如图，的半径是3，点P是上一点，弦垂直平分线段，点M是上的任意一点（不与A，B重合），于点N，以M为圆心，为半径作，分别过A，B两点作的切线，切点分别为D，E，两切线交于点C．
(1)求弦的长；(2)求的大小；(3)设的面积为S，若，求的半径．
34．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
(1)求证：是切线；
(2)如图1，若，，求的半径和的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，若，求图中阴影部分的面积．
35．如图，是的内接三角形，是直径，D是上的一点，且．连接，过点B作，交于点E，交于点G，交于点F．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，求的值．
36．如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．
(1)在图1中连结，求证：；
(2)若的半径为，求的值；
(3)如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
【2020淄博真题及变式题第23】
37．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．
38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D，连接AD．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图①，若点P是线段AD上一个动点，过点P作PE⊥y轴于点E，求△PAE面积S的最大值；
（3）如图②，若点M是x轴上一个动点，过M作直线MQ∥BC交抛物线于点Q，问抛物线上是否存在点Q，使以点B、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
39．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且面积为60．
(1)求点C的坐标及直线的表达式；
(2)若为线段上一点，直线把的面积分成两部分，这两部分的面积之比为，求的坐标；
(3)当的面积为20时，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、、B、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
40．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；
(2)直线与抛物线交于，两点，与直线交于点，若点为的中点，求的值；
(3)点为抛物线上一点，当时，请求出点的坐标．
41．综合与探究：如图，二次函数图象与一次函数的图象相交于两点，与轴交于另一点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式及点的坐标；
(2)如图1，点是线段上一个动点，过点作交于点．设点的横坐标为．若的面积是四边形面积的．求的值；
(3)如图2，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
42．已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第四象限内抛物线上的点，连接，如图1，若的面积为1，求P点坐标；
(3)设点M为抛物线上的一点，若时，求M点坐标．
1号校车
学校→足球学校
6号校车
学校→综合体育场馆
2号校车
学校→足球学校
7号校车
3号校车
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8号校车
4号校车
学校→舞蹈学校
9号校车
5号校车
学校→综合体育场馆
10号校车
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