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【冲刺2024数学】中考真题（2023山东滨州）及变式题（山东滨州中考专用）解答题部分
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一、解答题
1．中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：，B：，C：，D：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)此次调查，选项A中的学生人数是多少？
(2)在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？
(3)如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？
(4)请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议．
【答案】(1)8人
(2)
(3)9600人
(4)见解析
【分析】（1）用选项C中的学生人数除以其所占比例求出总人数，然后用总人数减去其它三个组的人数即可求出选项A的人数；
（2）用乘以其所占比例即可求出答案；
（3）利用样本估计总体的思想解答即可；
（4）答案不唯一，合理即可；如可以结合（3）小题的结果分析．
【详解】（1）解：此次调查的总人数是人，
所以选项A中的学生人数是（人）；
（2），
选项D所对应的扇形圆心角的大小为；
（3）；
所以估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有9600人；
（4）我的作业时间属于B选项；从调查结果来看：仅有的学生符合“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，还有的学生每天完成书面作业的时间超过了90分钟，所以布置的作业应该精简量少．（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及利用样本估计总体等知识，正确理解题意、从统计图中获取解题所需要的信息是解题的关键．
2．某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将获得的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题．
（1）这次活动一共调查了__________名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于__________度；
（4）若该学校有3000人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是多少人．
【答案】（1）250；（2）见解析；（3）108；（4）估计该学校选择足球项目的学生人数约是960人
【分析】（1）根据足球的人数所占的百分比可得总人数；
（2）根据总人数求得篮球的人数，再补充条形统计图；
（3）根据篮球的人数除以总人数乘以360度即可得到选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角；
（4）根据足球所占总人数的百分比乘以全校人数，即可估计全校选择足球项目的学生人数．
【详解】解：（1）
这次一共调查了250名学生，
故答案为：；
（2）选择篮球项目的人数为，条形统计图如图，
（3）
选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于108度，
故答案为：；
（4）（人）
答：估计该学校选择足球项目的学生人数约是960人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
3．为提高初中生的身体素质，教育行政部门规定：初中生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成图1、图2两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共调查了 名学生；
（2）补全条形图 1；
（3）在图2中表示户外活动时间为0.5小时的扇形圆心角的度数是 °；
（4）本次调查中学生参加户外活动时间的众数是 、中位数是 ；户外活动的平均时间是否符合要求?
【答案】（1）50 ；（2）补图见解析；（3）72；（4）1小时；1小时，符合要求．
【分析】（1）由总数某组频数频率计算；
（2）户外活动时间为1小时的人数总数，再画图即可；
（3）扇形圆心角的度数比例；
（4）根据中位数与众数的定义解答即可，然后计算出平均时间后分析即可解答．
【详解】解：（1）调查人数（人；
（2）户外活动时间为1小时的人数（人；
补全的图（1）如图所示：
（3）表示户外活动时间0.5小时的扇形圆心角的度数；
（4）户外活动的平均时间（小时），
，
平均活动时间符合上级要求；
户外活动时间的众数和中位数均为1小时．
故答案为：50，20，，1小时，1小时．
【点睛】本题考查读频条形统计图与扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
4．为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查．学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型（A．科普、B．文学、C．体育、D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示．
请你根据以上信息，解答下列问题．
(1)随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为______度；
(2)补全条形统计图；
(3)抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团委组织的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率．
【答案】(1)400；108°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由A组的数量除以百分比，即可得到样本容量；由B的百分比乘以360°即可得到圆心角度数；
（2）先求出B、D的数量，然后补全条形统计图即可；
（3）由题意，画出树状图，然后利用概率公式，即可求出概率．
【详解】（1）解：样本容量是：；
C所占的百分比为：；
∴扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为：（1-25％-10％-35％）×360°＝108°．
故答案为：400，108
（2）解：D的数量为：，
B的数量为：；
补全条形图如下：
（3）解：由题意，树状图如下：
∴共有等可能事件12种可能，其中一男一女的有8种可能．
所以．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合，列表法和树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握题意，正确的理解统计图的信息，从而进行解题．
5．2019年10月10日傍晚18：10左右，江苏省无锡市山区312国道上海方向1K135处，锡港路上跨桥出现桥面侧翻，造成3人死亡，2人受伤，尽管该事故原因初步分析为半挂牵引车严重超载导致桥梁发生侧翻，但也引起了社会各界对桥梁设计安全性的担忧，我市积极开展对桥梁结构设计的安全性进行评估（已知：抗倾覆系数越高，安全性越强；当抗倾覆系数时，认为该结构安全），现在重庆市随机抽取了甲、乙两个设计院，对其各自在建的或已建的20座桥梁项目进行排查，将得到的抗倾覆数据进行整理、描述和分析（抗倾覆数据用x表示，共分成6组：；；；；；），下面给出了部分信息．
甲、乙设计院分别被抽取的20座桥梁抗倾覆系数统计表
其中，甲设计院C组的抗倾覆系数是：7，7，7，6，7，7；
乙设计院D组的抗倾覆系数是：8，8，9，8，8，8；
根据以上信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中C组数据所对应的圆心角是______ 度， ______ ， ______ ；
（2）根据以上数据，甲、乙两个设计院中哪个设计院的桥梁安全性更高，说明理由（两条即可）：______ ；
（3）据统计，2018年至2019年，甲设计院完成设计80座桥梁，乙设计院完成设计120座桥梁，请估算2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数
【答案】（1）18；7；8.5；（2）乙设计院；乙设计院的桥梁抗倾覆系数的平均数、中位数、众数均高于甲设计院；（3）34
【分析】（1）计算出扇形统计图中C组数据所对应的圆心角，再根据题意确定a、b的值；
（2）根据题目中的数据，判断出甲、乙两个设计院中哪个设计院的桥梁安全性更高，然后写出一个合理的理由即可；
（3）根据题目中的数据确定2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数即可.
【详解】解：（1）扇形统计图中D组数据所对应的圆心角是：，，
，则乙组第10个数据和第11个数据是8，9，
故
故填：18，7，；
（2）乙设计院的桥梁安全性更高，因为乙设计院的桥梁抗倾覆系数的平均数、中位数、众数均高于甲设计院．
故填：乙设计院的平均数和众数都高于甲设计院；
则2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数34．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体等知识点，明确题意并从条形统计图和扇形统计图中获取有用信息是解答本题的关键．
6．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有______人，______；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）400,35%；（2）条形统计图见解析；（3）不公平．
【分析】（1）用A等级的人数除以它所占的百分比可得调查的总人数，然后用1减去其它等级的百分比即可求得n的值；
（3）先计算出D等级的人数，然后补全条形统计图即可；
（4）通过树状图可确定12种等可能的结果，再找出和为奇数的结果有8种，再确定出为奇数的概率，再确定小明去和小刚去的概率，最后比较即可解答．
【详解】解：（1）由统计图可知：A等级的人数为20，所占的百分比为5%
则本次参与调查的学生共有20÷5%=400人；
１-5%-15%-45%=35%；
（2）由统计图可知：A等级的人数所占的百分比为45%
D等级的人数为400×35%=140（人）
补全条形统计图如下：
（3）根据题意画出树状图如下：
可发现共有12种等可能的结果且和为奇数的结果有8种
所以小明去的概率为：
小刚去的概率为：．
由＞．
所以这个游戏规则不公平．
【点睛】本题考查了游戏的公平性，先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，这是解答游戏公平性题目的关键．
7．先化简，再求值：，其中满足．
【答案】；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解．
【详解】解：
；
∵，
即，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．
8．先化简，再求代数式的值．其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值．先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后利用特殊角的三角函数值求得的值，将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
9．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1），；（2）原不等式组的解集为，数轴表示见解析．
【分析】本题考查的是解不等式组，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟知分式混合运算和解不等式组的法则是解答此题的关键．
（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可；
【详解】（1）解：原式
．
当时，
原式
．
（2）解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
在同一条数轴上表示不等式组解集如图：
∴原不等式组的解集为．
10．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；5
【分析】本题考查了分式的混合运算和求值，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（2）的关键．
（1）先根据二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算，再求出即可；
（2）先通分，化成同分母的分式，计算加法，再计算除法，最后求出即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
11．已知 ．
(1)化简；
(2)若已知 ，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法即可；
（）用整体代入求值求值即可；
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）∵，
∴，
∴原式．
12．计算：
(1)计算：．
(2)先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】(1)1
(2)，取，原式
【分析】本题考查了含特殊角的锐角三角函数的混合运算以及分式的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简正弦值、负整数指数幂、零次幂、绝对值，再运算加法，即可作答．
（2）先通分括号，再运算除法，然后化简，得出，注意分母不为0，则取，代入计算，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴把代入得：原式．
13．如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．
(1)求直线的解析式；
(2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)当或时，；当时，
(3)或
【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，将点代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解；
（3）根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数，
∴，
∴
将点代入
∴，
将，代入，得
解得：，
∴
（2）∵，，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∴当或时，，
当时，根据图象可得，
综上所述，当或时，；当时，，
（3）根据图象可知，，，当时， 或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
14．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)结合图象，关于x的不等式的解集为___________；
(3)若P为x轴上一点，的面积为10，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)，
【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，得出反比例函数的解析式，再把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出，再求出—次函数的解析式即可；
（2）根据函数的图像和、两点的坐标得出答案即可；
（3）设点的坐标是，先确定直线与轴的交点坐标，再根据的面积为得出，求出即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点，，
∴，，
∴反比例函数的表达式为，，
点A的坐标是．
把，代入，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）∵两个函数图像的交点，，
∴关于的不等式的解集为：或．
故答案为：或．
（3）如图，设点的坐标是，
∵一次函数的解析式为，
当时，得，
∴，，
∵的面积为，，，
又∵，
∴，
∴，
∴或，
∴点P的坐标是或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，反比例函数图像上点的坐标特征，利用图像解不等式，三角形的面积等知识点，运用了数形结合的思想．能用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．
15．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为.
(1)求一次函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)求的面积；
(4)不解关于、的方程，直接写出方程的解.
【答案】(1)一次函数解析式是
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，
（1）将点代入，求出，得到．把、两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数的解析式即可求出点的坐标；
（3）根据三角形的面积公式列式即可求出的面积；
（4）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】（1）解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
，，
，
把和代入一次函数，
得，
解得，
一次函数解析式是；
（2）解：由（1）知一次函数表达式是，
令，则，
即点；
（3）解：由（1）知一次函数解析式是，
令，得，解得，
点，
，
，
的面积；
（4）解：由图象可知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，所以方程的解为．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)当时，求的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
(2)或．
【分析】（）根据的坐标求出反比例函数的解析式，求出 点的坐标，再把的坐标代入 ，求出一次函数的解析式即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数解析式，正确求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入得，，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可得，当或时，．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点E，且点D为的中点．
(1)求反比例函数解析式和点E的坐标；
(2)若一次函数(b为常数)与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时(点M可与点D，E重合)，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)，点
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式，当时，，即可得到坐标；
（2）分别将、坐标代入解出值，即可得到结果．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴
∴反比例函数解析式为：，
∵点为的中点，且四边形是矩形，
∴点的纵坐标为2，
∴点的纵坐标为2，
当时，，
∴．
（2）将坐标代入得：，解得，
将坐标代入得：，解得．
∴．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求的值；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)过两点分别作轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线经过原点．
【答案】(1)
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）将点坐标代入直线解析式可得，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得；
（2）根据函数图象直接写出不等式解集即可；
（3）根据题意可得，，待定系数法求出直线解析式是正比例函数即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求两个函数解析式是关键．
【详解】（1）解：当时，一次函数，
，
、两点都在反比例函数图象上．
，即，
．
，．
（2）解：由（1）可知，，
根据函数图象可知不等式的解集为：或．
（3）证明：由（1）可知，，，
根据题意可得，，
设直线解析式为，代入、坐标得：
，解得，
直线解析式为，
故直线经过原点．
19．（1）已知线段，求作，使得；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作射线，在上截取，过点作的垂线，在上截取，连接，则，即为所求；
（2）先根据题意画出图形，再证明．延长至使，连接、，因为是的中点，所以，因为，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形，根据矩形的性质可得出结论．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）已知：如图，为中斜边上的中线，，
求证：.
证明：延长并截取.
∵为边中线，∴，
∴四边形为平行四边形.
∵，
∴平行四边形为矩形，
∴，
∴
【点睛】本题考查了作直角三角形，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造出矩形，利用矩形的性质解答．
20．如图，已知凸五边形中，，为其对角线，，
(1)如图，若，在五边形的外部，作，（不写作法，只保留作图痕迹），并说明点，，三点在同一直线上；
(2)如图，若，，且，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作出图形，由，及，可得出，即可证得，点在同一直线上；
（2）延长到，使得，连接.证明，可得结论．
【详解】（1）解：如图作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，点在同一直线上，
（2）延长到，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即平分.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
21．如图，四边形是正方形．
(1)尺规作图：以为边，在正方形内部作等边．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，在第（1）问的基础上，若，求点E到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合等边三角形的判定，以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在正方形内部交于点，连接，即可．
（2）过点作，交于点，作，分别交、于点、，利用等边三角形的性质、正方形性质可得：，，利用锐角三角函数在和中分别求出，的值，再在中，求出的值，即为点到的距离．
【详解】（1）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在正方形内部交于点，连接，，
则等边三角形即为所求．
（2）过点作，交于点，作，分别交、于点、，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，，
在和中，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即点到的距离为．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
22．如图，已知．
(1)尺规作图：作平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的平行四边形中，连接，交于点．
①若，，，求的长；
②过点作直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为33，则平行四边形的面积为多少（直接写出结果）．
【答案】(1)见详解
(2)①20；②66
【分析】（1）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，作和相等的边即可，分别以、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即可得到平行四边形；
（2）①利用勾股定理解得的值，然后结合“平行四边形对角线相互平分”的性质求解即可；②证明，，，易得，，，即可获得答案．
【详解】（1）解：如下图，四边形即为所求；
（2）①如下图，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②如下图，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可得，，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—复杂作图、勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的性质是解题关键．
23．数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，．
(1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，为半径画弧，两弧相交于点D，连接、即可；
（2）先根据轴对称的性质，得，，则可求得，再根据（1）知四边形为菱形，根据菱形的周长可求得，由勾股定理，可求出，从而求得，然后由菱形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
由作图可知：，
∵
∴
∴四边形为菱形，
∴与关于直线对称．
（2）解：如图，
∵与关于直线对称．
∴，，
∴，
由（1）知四边形为菱形，
∴，
∵四边形周长为，
∴，
由勾股定理，得，
∴．
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查尺规作三角形，轴对称的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．如图，是的直径，平分．
(1)求的长；
(2)已知与关于直线AB对称．
①尺规作图：作；（保留作图痕迹，不写作法）
②连接，求线段的长．
【答案】(1)
(2)①见解析；②14
【分析】（1）由圆周角定理可知，由平分，可推导出，得，再由勾股定理可得，即可求解；
（2）①以B点为圆心，为半径，和以A点为圆心，为半径画弧，交点为E点，再顺次连接即可；
②过A点作，先求出的长，再证明是等腰直角三角形，故可求出的长．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，则，
∴是等腰直角三角形，则，
∵，，
∴，
∴；
（2）①如图，为所求；
②过A点作，
∵，
∴是等腰直角三角形，
则，，
∴，
∵，
∴在中，
∴
∵与关于直线对称
∴，
∴是等腰直角三角形
∴．
【点睛】此题主要考查圆内的线段长度求解、尺规作图，解题的关键是熟知圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质及对称性的应用．
25．如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的动点，过点作交边于点，作交边于点，连接．设的面积为．
(1)求关于的函数解析式；
(2)当取何值时，的值最大？请求出最大值．
【答案】(1)
(2)当时，的最大值为
【分析】（1）过点作于点，连接，证明是等边三角形，可得，进而证明，得出，根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接，
∵顶点的坐标为，
∴，，
∴，
∴
∵四边形是菱形，
∴，,，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴,
∴
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴
∵，，则，
∴
∴
∴
∴
∴
（2）解：∵
∵，
∴当时，的值最大，最大值为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，坐标与图形，特殊角的三角函数值，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．如图1，矩形的顶点A、C分别在x轴，y轴的正半轴，若点，且a，b满足，若点D为矩形的对角线的中点，过点D作的垂线分别交于点E，F．
(1)__________， __________；
(2)求线段的长度；
(3)如图2，连接，直线交y轴于点G，若点P为射线上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)8，6
(2)
(3)存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形；当P在线段上时，， ；当P在射线上时，，．
【分析】（1）根据两个非负数点的和等于0，则每个都是0，即可求出a，b的值；
（2）连接，先证明四边形为菱形，再利用勾股定理求出的长，即可利用等面积法得到的长；
（3）分P在线段上或射线上两种情况，取的中点M，过点P作于点N，分别构造全等三角形进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
，，
∴，
，；
故答案为：8，6；
（2）解：如图1，连接，
，，
，，
∵四边形是矩形，
∴，
，
又∵，
，
，
，
四边形是菱形，
由（1）得，
∴，
在中，，
，
设，，
在中，，，
，
解得，
，
，
，
．
（3）解：分两种情况，①当P在线段上时，取的中点M，连并延长，过点P作于点N，如图4，
由题可得：，，为的中位线，
∴，，
∴，
当为边，四边形为菱形时，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点D向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点O，
∴点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q，
∴；
②当P在射线上时，如图5，
用同样方法可以求得，．
综上所述，存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形；当P在线段上时，， ；当P在射线上时，，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，坐标与图形，非负数的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
27．如图1，已知函数经过两点．
(1)求B点的坐标；
(2)如图2，点C是x轴正半轴上一点，横坐标为，的面积为S，试求S与t的函数关系式；
(3)如图3，D是的角平分线上一点，与交于点F，当时，，，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，得，求解即可；
（2）令，得，得，，，再根据即可求解；
（3）由勾股定理得，过点作轴，根据，，得，在上取，过点作轴交于，则，，可知，可证四边形是矩形，得轴，，，由，知，则，进而可知，可知平分，由平分，可知点与点重合，得，，设，则，，由勾股定理可得，，列方程求解得（负值舍去），可知，，，求得的解析式为：，的解析式为：，联立，即可求解得点的坐标．
【详解】（1）解：当时，，解得：，
∴点的坐标为；
（2）当时，，则，
∴，，
∵点C是x轴正半轴上一点，横坐标为，
∴，则，
则的面积，
∴；
（3）在中，，
∴，
过点作轴，
∵，即，
又∵，
∴，
在上取，过点作轴交于，则，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是矩形，
∴轴，，，
又∵，
∴，则，
∵轴，
∴，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴点与点重合，
∴，，
设，则，，
在中，，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
则，，，
设的解析式为：，代入，，可得，解得：，
∴的解析式为：，
同理，的解析式为：，
联立，解得：
故点的坐标为．
【点睛】本题考查图形与坐标，待定系数法求函数解析式，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，添加辅助线，构造全等三角形，证明点与点重合是解决问题的关键．
28．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段从出发沿方向匀速运动，速度为，交于点E，交延长线于点M；连接交于点Q，连接．设运动时间为（）．解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形为矩形？
(2)设四边形的面积为，求y与t的函数关系式；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据四边形为矩形时，，建立关于t的方程求解即可；
（2）根据，得到，进而得到， ，求出，根据的面积为，即可求解；
（3）根据，得到，进而得到，即，建立关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
，
，
（2）解：，
在和中
，
；
（3）解：当平分时，
则
又
，即
，
时，平分．
【点睛】本题考查了矩形的判定性质、解直角三角形、平行线的性质，动点问题及一元一次方程的实际应用，熟练掌数形结合的思想是解题关键．
29．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知面积为10．
(1)点C的坐标是 ，直线的表达式是 ；
(2)如图2，若G为线段上一点，且满足，求G点坐标和直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，N点坐标为或或
【分析】此题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，平行四边形的性质，
（1）利用面积为10求出点C的坐标，根据待定系数法求出解析式；
（2）连接，由得到，求出的解析式，得到的解析式为，求出交点，再根据待定系数法求出解析式；
（3）分情况：①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，根据平行四边形的性质解答．
【详解】（1）解：∵面积为10，
∴，
∴，
∵，
∴，
将点B与C的坐标代入，可得
，
∴，
∴，
故答案为，；
（2）连接，
∵，
∴，
设的解析式为，
将点，代入，得
，
解得，
∴，
∴的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
将点A、G代入可得
，
解得，
∴；
（3）∵点M为直线上动点，点N在x轴上，
则可设，，
①当分别为对角线时，
的中点为，的中点为，
∴，，
∴，，
∴；
②当分别为对角线时，
的中点为，的中点为，
∴，，
∴，，
∴；
③当分别为对角线时，
的中点为，的中点为，
∴，，
∴，，
∴；
综上所述：以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，N点坐标为或或．
30．已知，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，且点，，为上一点，将矩形沿翻折，使点落在边上的点处．
(1)求点的坐标；
(2)动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设的面积为，点运动的时间为秒，请用含的式子表示的面积，并直接写出的取值范围；
(3)在平面内是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，函数解析式，坐标与图形，折叠问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得，由翻折可得，，进而勾股定理即可求解；
（2）在，设，则，勾股定理求得，当时，点在线段上，，当时，点在线段的延长线上，，根据三角形面积公式即可求解；
（3）设点，根据平行四边形的性质分三种情况分析：当线段为对角线时，当线段为对角线时，当线段为对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：矩形，，，
，
由翻折可得，，
∴，
点的坐标为；
（2）∵，
在，，
设，则，
∴，
解得，
，
动点从点出发以每秒个单位的速度沿轴向右运动，点运动的时间为，
，
当时，点在线段上，，
∴，
当时，点在线段的延长线上，，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
，，，
设点，
当线段为对角线时，
，，
解得：，
∴；
当线段为对角线时，
，，
解得：，
∴；
当线段为对角线时，
，，
解得：，
∴；
综上得：或或 ．
31．如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：；
(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）过点F作，垂足分别为，则，进而表示出两个三角形的面积，即可求解；
（2）过点A作于点，表示出两三角形的面积，即可求解；
（3）连接，证明得出，证明，得出，即可，恒等式变形即可求解；
（4）连接，证明，得出，证明，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，过点F作，垂足分别为，
∵点是的内心，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图所示，过点A作于点，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴；
（3）证明：连接，
∵
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
（4）解：如图所示，连接，
∵点是的内心，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义，同弧所对的圆周角相等，角平分线的性质与定义，相似三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的面积公式等知识，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
32．如图，是的内接三角形，是直径，D是上的一点，且．连接，过点B作，交于点E，交于点G，交于点F．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理，得到，，根据等角的余角相等，，进而推出，即可得证；
（2）连接，证明，得到，根据，即可得出结论；
（3）过点作于点，同角的余角相等，得到，设，则．
推出，，即可得出结果．
【详解】（1）解：证明：，
．
是的直径，
，
．
，
，
，
．
，
，
．
（2）证明：如图，连接．
，，
，
，
．
，
．
（3）如图，过点作于点．
，
．
，
，
．
．
设，则．
在中，．
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
33．如图，四边形内接于，对角线、相交于点M，．
(1)求证：．
(2)当时，记，记．
①当时，求t的值；
②求t的最大值．
(3)当为直径时，连接交于点E，满足以下条件：①；②；③（m，n均为正整数）；求的半径r的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②t取得最大值为
(3)的半径r的值为5
【分析】（1）由外角的性质和，可得，再由圆周角定理即可证明出．
（2）①由圆周角定理得，可证，由相似三角形的性质得，由等高的两三角形，面积之比等于底边之比得，则，代入，得，再由，解方程即可．
②由，可得，设则，结合函数图像即可得出答案．
（3）由直径对直角结合等腰三角形的性质可证，由面积公式可得，再证，得，进而可得，由，通过，可建立m，n的关系式，由m，n均为正整数，可得，再由相似三角形的性质可得，即，由垂径定理结合三角形的中位线可得，则，可设，，，利用勾股定理可得，再结合三角形的面积，求解即可．
【详解】（1），，
，
，
，
；
（2）①，
，
，
，
∴，
∵和的底边分别为，，高相等，
，
，
，
代入得：，
整理得：，
当，，
解得或（舍去），
．
②，，
，
，即，
设，则，函数图像如图，
由图像可知，当时，t可以取得最大值，令，解得，
的最大值为；
（3），
，
∵为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∵m，n均为正整数，
，
，
解得，
∴
，
∵，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
设，在中，，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解二元一次方程组，三角形中位线的性质，二次函数的图象与性质，难度较大，属中考压轴题．
34．已知：如图1，内接于，是的直径，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，分别在弧、弧上取点D和E，连接、交于点F、G，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）连接，，由于是直径，平分，证明，得到，即得证；
（2）连接，由，得到，由得到，，由三角形外角的性质得到，结合，即可得证；
（3）在上取点，使得，连接，过点作于，在上取一点，使得，连接．根据第（2）问得到的结论，又四边形内角和为，可得，而，所以．设，则，，结合已知条件，得到，再证明可得，，，然后证明，设，结合已知，得到，最后在和中，利用勾股定理建立方程，求出，即可求得．
【详解】（1）证明：连接，，如图所示，
是直径，
，
平分，
，又，
，
，
是的垂直平分线，即．
（2）连接，如图所示，
，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
（3）在上取点，使得，连接，过点作于，在上取一点，使得，连接，如图所示，
由（2）得，四边形内角和为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
为的外角，
，即，
，即，
设，由于，则，
，
，
，
在中，，
取作辅助线，
在中，，，
，解得，
．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆的性质，圆周角定理，三角形全等，等腰三角形性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．
35．如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．
(1)在图1中连结，求证：；
(2)若的半径为，求的值；
(3)如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据切线的性质可得，根据半径相等可得，根据是直径，得出，等量代换即可得证；
（2）连接并延长交于点，连接，根据题意得出，，进而根据得出；
（3）结论：．连接、，先证得，，从而，由相似三角形的性质推得，再设，则，从而，结合，可得，进而推得，然后运用勾股定理证即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴
∵是直径，
∴
∴；
（2）解：如图所示，连接并延长交于点，连接
∵是直径，
∴，
又∵平分，
∴
∴，
∵是直径，的半径为，
∴,，
∵
∴
∵
∴
∴
（3）．理由如下：
如图，连接、，
由（2）可得，
，，
，，
∵
，
，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，，
，，
设，
则，
，
又，
，
，
，
即，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、余弦的定义，圆的相关性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理在几何计算中的运用，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
36．已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点．
(1)如图，连接，求证：；
(2)如图，；
若，求的长；
若，求的值；
(3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；；
(3)线段为定值，且．
【分析】（）由点是的内心，则，再由圆周角定理可得，从而求证；
（）连接，，过点作于点，由点是的内心，得，再由勾股定理即可求解；
连接，过点作于点，过点作于点，由内心和线段和差即可求解；
（）连接，，，，通过性质和圆周角定理证明为等边三角形即可．
【详解】（1）∵点是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由题意知，，直径，
∴由勾股定理得，
连接，，过点作于点，
∵点是的内心，
∴，
∴，
在中， ，
；
连接，过点作于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵点是的内心，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，，，，
∵点是的内心， ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴
∴，
同理，，，
但，随着点的运动而变化，
∴线段为定值，且．
【点睛】本题考查了圆周角定理，内心的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
设计院
甲
乙
平均数
众数
a
8
中位数
7
b
方差
对雾霾天气了解程度
百分比
A．非常了解
5％
B．比较了解
15％
C．基本了解
45％
D．不了解
一、解答题
1．中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：，B：，C：，D：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)此次调查，选项A中的学生人数是多少？
(2)在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？
(3)如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？
(4)请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议．
【答案】(1)8人
(2)
(3)9600人
(4)见解析
【分析】（1）用选项C中的学生人数除以其所占比例求出总人数，然后用总人数减去其它三个组的人数即可求出选项A的人数；
（2）用乘以其所占比例即可求出答案；
（3）利用样本估计总体的思想解答即可；
（4）答案不唯一，合理即可；如可以结合（3）小题的结果分析．
【详解】（1）解：此次调查的总人数是人，
所以选项A中的学生人数是（人）；
（2），
选项D所对应的扇形圆心角的大小为；
（3）；
所以估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有9600人；
（4）我的作业时间属于B选项；从调查结果来看：仅有的学生符合“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，还有的学生每天完成书面作业的时间超过了90分钟，所以布置的作业应该精简量少．（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及利用样本估计总体等知识，正确理解题意、从统计图中获取解题所需要的信息是解题的关键．
2．某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将获得的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题．
（1）这次活动一共调查了__________名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于__________度；
（4）若该学校有3000人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是多少人．
【答案】（1）250；（2）见解析；（3）108；（4）估计该学校选择足球项目的学生人数约是960人
【分析】（1）根据足球的人数所占的百分比可得总人数；
（2）根据总人数求得篮球的人数，再补充条形统计图；
（3）根据篮球的人数除以总人数乘以360度即可得到选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角；
（4）根据足球所占总人数的百分比乘以全校人数，即可估计全校选择足球项目的学生人数．
【详解】解：（1）
这次一共调查了250名学生，
故答案为：；
（2）选择篮球项目的人数为，条形统计图如图，
（3）
选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于108度，
故答案为：；
（4）（人）
答：估计该学校选择足球项目的学生人数约是960人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
3．为提高初中生的身体素质，教育行政部门规定：初中生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成图1、图2两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共调查了 名学生；
（2）补全条形图 1；
（3）在图2中表示户外活动时间为0.5小时的扇形圆心角的度数是 °；
（4）本次调查中学生参加户外活动时间的众数是 、中位数是 ；户外活动的平均时间是否符合要求?
【答案】（1）50 ；（2）补图见解析；（3）72；（4）1小时；1小时，符合要求．
【分析】（1）由总数某组频数频率计算；
（2）户外活动时间为1小时的人数总数，再画图即可；
（3）扇形圆心角的度数比例；
（4）根据中位数与众数的定义解答即可，然后计算出平均时间后分析即可解答．
【详解】解：（1）调查人数（人；
（2）户外活动时间为1小时的人数（人；
补全的图（1）如图所示：
（3）表示户外活动时间0.5小时的扇形圆心角的度数；
（4）户外活动的平均时间（小时），
，
平均活动时间符合上级要求；
户外活动时间的众数和中位数均为1小时．
故答案为：50，20，，1小时，1小时．
【点睛】本题考查读频条形统计图与扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
4．为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查．学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型（A．科普、B．文学、C．体育、D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示．
请你根据以上信息，解答下列问题．
(1)随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为______度；
(2)补全条形统计图；
(3)抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团委组织的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率．
【答案】(1)400；108°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由A组的数量除以百分比，即可得到样本容量；由B的百分比乘以360°即可得到圆心角度数；
（2）先求出B、D的数量，然后补全条形统计图即可；
（3）由题意，画出树状图，然后利用概率公式，即可求出概率．
【详解】（1）解：样本容量是：；
C所占的百分比为：；
∴扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为：（1-25％-10％-35％）×360°＝108°．
故答案为：400，108
（2）解：D的数量为：，
B的数量为：；
补全条形图如下：
（3）解：由题意，树状图如下：
∴共有等可能事件12种可能，其中一男一女的有8种可能．
所以．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合，列表法和树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握题意，正确的理解统计图的信息，从而进行解题．
5．2019年10月10日傍晚18：10左右，江苏省无锡市山区312国道上海方向1K135处，锡港路上跨桥出现桥面侧翻，造成3人死亡，2人受伤，尽管该事故原因初步分析为半挂牵引车严重超载导致桥梁发生侧翻，但也引起了社会各界对桥梁设计安全性的担忧，我市积极开展对桥梁结构设计的安全性进行评估（已知：抗倾覆系数越高，安全性越强；当抗倾覆系数时，认为该结构安全），现在重庆市随机抽取了甲、乙两个设计院，对其各自在建的或已建的20座桥梁项目进行排查，将得到的抗倾覆数据进行整理、描述和分析（抗倾覆数据用x表示，共分成6组：；；；；；），下面给出了部分信息．
甲、乙设计院分别被抽取的20座桥梁抗倾覆系数统计表
其中，甲设计院C组的抗倾覆系数是：7，7，7，6，7，7；
乙设计院D组的抗倾覆系数是：8，8，9，8，8，8；
根据以上信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中C组数据所对应的圆心角是______ 度， ______ ， ______ ；
（2）根据以上数据，甲、乙两个设计院中哪个设计院的桥梁安全性更高，说明理由（两条即可）：______ ；
（3）据统计，2018年至2019年，甲设计院完成设计80座桥梁，乙设计院完成设计120座桥梁，请估算2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数
【答案】（1）18；7；8.5；（2）乙设计院；乙设计院的桥梁抗倾覆系数的平均数、中位数、众数均高于甲设计院；（3）34
【分析】（1）计算出扇形统计图中C组数据所对应的圆心角，再根据题意确定a、b的值；
（2）根据题目中的数据，判断出甲、乙两个设计院中哪个设计院的桥梁安全性更高，然后写出一个合理的理由即可；
（3）根据题目中的数据确定2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数即可.
【详解】解：（1）扇形统计图中D组数据所对应的圆心角是：，，
，则乙组第10个数据和第11个数据是8，9，
故
故填：18，7，；
（2）乙设计院的桥梁安全性更高，因为乙设计院的桥梁抗倾覆系数的平均数、中位数、众数均高于甲设计院．
故填：乙设计院的平均数和众数都高于甲设计院；
则2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数34．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体等知识点，明确题意并从条形统计图和扇形统计图中获取有用信息是解答本题的关键．
6．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有______人，______；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）400,35%；（2）条形统计图见解析；（3）不公平．
【分析】（1）用A等级的人数除以它所占的百分比可得调查的总人数，然后用1减去其它等级的百分比即可求得n的值；
（3）先计算出D等级的人数，然后补全条形统计图即可；
（4）通过树状图可确定12种等可能的结果，再找出和为奇数的结果有8种，再确定出为奇数的概率，再确定小明去和小刚去的概率，最后比较即可解答．
【详解】解：（1）由统计图可知：A等级的人数为20，所占的百分比为5%
则本次参与调查的学生共有20÷5%=400人；
１-5%-15%-45%=35%；
（2）由统计图可知：A等级的人数所占的百分比为45%
D等级的人数为400×35%=140（人）
补全条形统计图如下：
（3）根据题意画出树状图如下：
可发现共有12种等可能的结果且和为奇数的结果有8种
所以小明去的概率为：
小刚去的概率为：．
由＞．
所以这个游戏规则不公平．
【点睛】本题考查了游戏的公平性，先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，这是解答游戏公平性题目的关键．
7．先化简，再求值：，其中满足．
【答案】；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解．
【详解】解：
；
∵，
即，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．
8．先化简，再求代数式的值．其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值．先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后利用特殊角的三角函数值求得的值，将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
9．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1），；（2）原不等式组的解集为，数轴表示见解析．
【分析】本题考查的是解不等式组，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟知分式混合运算和解不等式组的法则是解答此题的关键．
（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可；
【详解】（1）解：原式
．
当时，
原式
．
（2）解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
在同一条数轴上表示不等式组解集如图：
∴原不等式组的解集为．
10．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；5
【分析】本题考查了分式的混合运算和求值，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（2）的关键．
（1）先根据二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算，再求出即可；
（2）先通分，化成同分母的分式，计算加法，再计算除法，最后求出即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
11．已知 ．
(1)化简；
(2)若已知 ，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法即可；
（）用整体代入求值求值即可；
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）∵，
∴，
∴原式．
12．计算：
(1)计算：．
(2)先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】(1)1
(2)，取，原式
【分析】本题考查了含特殊角的锐角三角函数的混合运算以及分式的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简正弦值、负整数指数幂、零次幂、绝对值，再运算加法，即可作答．
（2）先通分括号，再运算除法，然后化简，得出，注意分母不为0，则取，代入计算，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴把代入得：原式．
13．如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．
(1)求直线的解析式；
(2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)当或时，；当时，
(3)或
【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，将点代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解；
（3）根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数，
∴，
∴
将点代入
∴，
将，代入，得
解得：，
∴
（2）∵，，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∴当或时，，
当时，根据图象可得，
综上所述，当或时，；当时，，
（3）根据图象可知，，，当时， 或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
14．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)结合图象，关于x的不等式的解集为___________；
(3)若P为x轴上一点，的面积为10，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)，
【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，得出反比例函数的解析式，再把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出，再求出—次函数的解析式即可；
（2）根据函数的图像和、两点的坐标得出答案即可；
（3）设点的坐标是，先确定直线与轴的交点坐标，再根据的面积为得出，求出即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点，，
∴，，
∴反比例函数的表达式为，，
点A的坐标是．
把，代入，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）∵两个函数图像的交点，，
∴关于的不等式的解集为：或．
故答案为：或．
（3）如图，设点的坐标是，
∵一次函数的解析式为，
当时，得，
∴，，
∵的面积为，，，
又∵，
∴，
∴，
∴或，
∴点P的坐标是或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，反比例函数图像上点的坐标特征，利用图像解不等式，三角形的面积等知识点，运用了数形结合的思想．能用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．
15．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为.
(1)求一次函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)求的面积；
(4)不解关于、的方程，直接写出方程的解.
【答案】(1)一次函数解析式是
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，
（1）将点代入，求出，得到．把、两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数的解析式即可求出点的坐标；
（3）根据三角形的面积公式列式即可求出的面积；
（4）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】（1）解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
，，
，
把和代入一次函数，
得，
解得，
一次函数解析式是；
（2）解：由（1）知一次函数表达式是，
令，则，
即点；
（3）解：由（1）知一次函数解析式是，
令，得，解得，
点，
，
，
的面积；
（4）解：由图象可知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，所以方程的解为．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)当时，求的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
(2)或．
【分析】（）根据的坐标求出反比例函数的解析式，求出 点的坐标，再把的坐标代入 ，求出一次函数的解析式即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数解析式，正确求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入得，，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可得，当或时，．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点E，且点D为的中点．
(1)求反比例函数解析式和点E的坐标；
(2)若一次函数(b为常数)与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时(点M可与点D，E重合)，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)，点
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式，当时，，即可得到坐标；
（2）分别将、坐标代入解出值，即可得到结果．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴
∴反比例函数解析式为：，
∵点为的中点，且四边形是矩形，
∴点的纵坐标为2，
∴点的纵坐标为2，
当时，，
∴．
（2）将坐标代入得：，解得，
将坐标代入得：，解得．
∴．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求的值；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)过两点分别作轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线经过原点．
【答案】(1)
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）将点坐标代入直线解析式可得，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得；
（2）根据函数图象直接写出不等式解集即可；
（3）根据题意可得，，待定系数法求出直线解析式是正比例函数即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求两个函数解析式是关键．
【详解】（1）解：当时，一次函数，
，
、两点都在反比例函数图象上．
，即，
．
，．
（2）解：由（1）可知，，
根据函数图象可知不等式的解集为：或．
（3）证明：由（1）可知，，，
根据题意可得，，
设直线解析式为，代入、坐标得：
，解得，
直线解析式为，
故直线经过原点．
19．（1）已知线段，求作，使得；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作射线，在上截取，过点作的垂线，在上截取，连接，则，即为所求；
（2）先根据题意画出图形，再证明．延长至使，连接、，因为是的中点，所以，因为，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形，根据矩形的性质可得出结论．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）已知：如图，为中斜边上的中线，，
求证：.
证明：延长并截取.
∵为边中线，∴，
∴四边形为平行四边形.
∵，
∴平行四边形为矩形，
∴，
∴
【点睛】本题考查了作直角三角形，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造出矩形，利用矩形的性质解答．
20．如图，已知凸五边形中，，为其对角线，，
(1)如图，若，在五边形的外部，作，（不写作法，只保留作图痕迹），并说明点，，三点在同一直线上；
(2)如图，若，，且，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作出图形，由，及，可得出，即可证得，点在同一直线上；
（2）延长到，使得，连接.证明，可得结论．
【详解】（1）解：如图作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，点在同一直线上，
（2）延长到，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即平分.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
21．如图，四边形是正方形．
(1)尺规作图：以为边，在正方形内部作等边．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，在第（1）问的基础上，若，求点E到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合等边三角形的判定，以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在正方形内部交于点，连接，即可．
（2）过点作，交于点，作，分别交、于点、，利用等边三角形的性质、正方形性质可得：，，利用锐角三角函数在和中分别求出，的值，再在中，求出的值，即为点到的距离．
【详解】（1）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在正方形内部交于点，连接，，
则等边三角形即为所求．
（2）过点作，交于点，作，分别交、于点、，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，，
在和中，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即点到的距离为．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
22．如图，已知．
(1)尺规作图：作平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的平行四边形中，连接，交于点．
①若，，，求的长；
②过点作直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为33，则平行四边形的面积为多少（直接写出结果）．
【答案】(1)见详解
(2)①20；②66
【分析】（1）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，作和相等的边即可，分别以、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即可得到平行四边形；
（2）①利用勾股定理解得的值，然后结合“平行四边形对角线相互平分”的性质求解即可；②证明，，，易得，，，即可获得答案．
【详解】（1）解：如下图，四边形即为所求；
（2）①如下图，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②如下图，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可得，，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—复杂作图、勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的性质是解题关键．
23．数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，．
(1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，为半径画弧，两弧相交于点D，连接、即可；
（2）先根据轴对称的性质，得，，则可求得，再根据（1）知四边形为菱形，根据菱形的周长可求得，由勾股定理，可求出，从而求得，然后由菱形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
由作图可知：，
∵
∴
∴四边形为菱形，
∴与关于直线对称．
（2）解：如图，
∵与关于直线对称．
∴，，
∴，
由（1）知四边形为菱形，
∴，
∵四边形周长为，
∴，
由勾股定理，得，
∴．
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查尺规作三角形，轴对称的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．如图，是的直径，平分．
(1)求的长；
(2)已知与关于直线AB对称．
①尺规作图：作；（保留作图痕迹，不写作法）
②连接，求线段的长．
【答案】(1)
(2)①见解析；②14
【分析】（1）由圆周角定理可知，由平分，可推导出，得，再由勾股定理可得，即可求解；
（2）①以B点为圆心，为半径，和以A点为圆心，为半径画弧，交点为E点，再顺次连接即可；
②过A点作，先求出的长，再证明是等腰直角三角形，故可求出的长．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，则，
∴是等腰直角三角形，则，
∵，，
∴，
∴；
（2）①如图，为所求；
②过A点作，
∵，
∴是等腰直角三角形，
则，，
∴，
∵，
∴在中，
∴
∵与关于直线对称
∴，
∴是等腰直角三角形
∴．
【点睛】此题主要考查圆内的线段长度求解、尺规作图，解题的关键是熟知圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质及对称性的应用．
25．如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的动点，过点作交边于点，作交边于点，连接．设的面积为．
(1)求关于的函数解析式；
(2)当取何值时，的值最大？请求出最大值．
【答案】(1)
(2)当时，的最大值为
【分析】（1）过点作于点，连接，证明是等边三角形，可得，进而证明，得出，根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接，
∵顶点的坐标为，
∴，，
∴，
∴
∵四边形是菱形，
∴，,，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴,
∴
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴
∵，，则，
∴
∴
∴
∴
∴
（2）解：∵
∵，
∴当时，的值最大，最大值为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，坐标与图形，特殊角的三角函数值，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．如图1，矩形的顶点A、C分别在x轴，y轴的正半轴，若点，且a，b满足，若点D为矩形的对角线的中点，过点D作的垂线分别交于点E，F．
(1)__________， __________；
(2)求线段的长度；
(3)如图2，连接，直线交y轴于点G，若点P为射线上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)8，6
(2)
(3)存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形；当P在线段上时，， ；当P在射线上时，，．
【分析】（1）根据两个非负数点的和等于0，则每个都是0，即可求出a，b的值；
（2）连接，先证明四边形为菱形，再利用勾股定理求出的长，即可利用等面积法得到的长；
（3）分P在线段上或射线上两种情况，取的中点M，过点P作于点N，分别构造全等三角形进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
，，
∴，
，；
故答案为：8，6；
（2）解：如图1，连接，
，，
，，
∵四边形是矩形，
∴，
，
又∵，
，
，
，
四边形是菱形，
由（1）得，
∴，
在中，，
，
设，，
在中，，，
，
解得，
，
，
，
．
（3）解：分两种情况，①当P在线段上时，取的中点M，连并延长，过点P作于点N，如图4，
由题可得：，，为的中位线，
∴，，
∴，
当为边，四边形为菱形时，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点D向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点O，
∴点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q，
∴；
②当P在射线上时，如图5，
用同样方法可以求得，．
综上所述，存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形；当P在线段上时，， ；当P在射线上时，，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，坐标与图形，非负数的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
27．如图1，已知函数经过两点．
(1)求B点的坐标；
(2)如图2，点C是x轴正半轴上一点，横坐标为，的面积为S，试求S与t的函数关系式；
(3)如图3，D是的角平分线上一点，与交于点F，当时，，，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，得，求解即可；
（2）令，得，得，，，再根据即可求解；
（3）由勾股定理得，过点作轴，根据，，得，在上取，过点作轴交于，则，，可知，可证四边形是矩形，得轴，，，由，知，则，进而可知，可知平分，由平分，可知点与点重合，得，，设，则，，由勾股定理可得，，列方程求解得（负值舍去），可知，，，求得的解析式为：，的解析式为：，联立，即可求解得点的坐标．
【详解】（1）解：当时，，解得：，
∴点的坐标为；
（2）当时，，则，
∴，，
∵点C是x轴正半轴上一点，横坐标为，
∴，则，
则的面积，
∴；
（3）在中，，
∴，
过点作轴，
∵，即，
又∵，
∴，
在上取，过点作轴交于，则，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是矩形，
∴轴，，，
又∵，
∴，则，
∵轴，
∴，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴点与点重合，
∴，，
设，则，，
在中，，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
则，，，
设的解析式为：，代入，，可得，解得：，
∴的解析式为：，
同理，的解析式为：，
联立，解得：
故点的坐标为．
【点睛】本题考查图形与坐标，待定系数法求函数解析式，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，添加辅助线，构造全等三角形，证明点与点重合是解决问题的关键．
28．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段从出发沿方向匀速运动，速度为，交于点E，交延长线于点M；连接交于点Q，连接．设运动时间为（）．解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形为矩形？
(2)设四边形的面积为，求y与t的函数关系式；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据四边形为矩形时，，建立关于t的方程求解即可；
（2）根据，得到，进而得到， ，求出，根据的面积为，即可求解；
（3）根据，得到，进而得到，即，建立关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
，
，
（2）解：，
在和中
，
；
（3）解：当平分时，
则
又
，即
，
时，平分．
【点睛】本题考查了矩形的判定性质、解直角三角形、平行线的性质，动点问题及一元一次方程的实际应用，熟练掌数形结合的思想是解题关键．
29．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知面积为10．
(1)点C的坐标是 ，直线的表达式是 ；
(2)如图2，若G为线段上一点，且满足，求G点坐标和直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，N点坐标为或或
【分析】此题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，平行四边形的性质，
（1）利用面积为10求出点C的坐标，根据待定系数法求出解析式；
（2）连接，由得到，求出的解析式，得到的解析式为，求出交点，再根据待定系数法求出解析式；
（3）分情况：①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，根据平行四边形的性质解答．
【详解】（1）解：∵面积为10，
∴，
∴，
∵，
∴，
将点B与C的坐标代入，可得
，
∴，
∴，
故答案为，；
（2）连接，
∵，
∴，
设的解析式为，
将点，代入，得
，
解得，
∴，
∴的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
将点A、G代入可得
，
解得，
∴；
（3）∵点M为直线上动点，点N在x轴上，
则可设，，
①当分别为对角线时，
的中点为，的中点为，
∴，，
∴，，
∴；
②当分别为对角线时，
的中点为，的中点为，
∴，，
∴，，
∴；
③当分别为对角线时，
的中点为，的中点为，
∴，，
∴，，
∴；
综上所述：以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，N点坐标为或或．
30．已知，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，且点，，为上一点，将矩形沿翻折，使点落在边上的点处．
(1)求点的坐标；
(2)动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设的面积为，点运动的时间为秒，请用含的式子表示的面积，并直接写出的取值范围；
(3)在平面内是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，函数解析式，坐标与图形，折叠问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得，由翻折可得，，进而勾股定理即可求解；
（2）在，设，则，勾股定理求得，当时，点在线段上，，当时，点在线段的延长线上，，根据三角形面积公式即可求解；
（3）设点，根据平行四边形的性质分三种情况分析：当线段为对角线时，当线段为对角线时，当线段为对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：矩形，，，
，
由翻折可得，，
∴，
点的坐标为；
（2）∵，
在，，
设，则，
∴，
解得，
，
动点从点出发以每秒个单位的速度沿轴向右运动，点运动的时间为，
，
当时，点在线段上，，
∴，
当时，点在线段的延长线上，，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
，，，
设点，
当线段为对角线时，
，，
解得：，
∴；
当线段为对角线时，
，，
解得：，
∴；
当线段为对角线时，
，，
解得：，
∴；
综上得：或或 ．
31．如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：；
(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）过点F作，垂足分别为，则，进而表示出两个三角形的面积，即可求解；
（2）过点A作于点，表示出两三角形的面积，即可求解；
（3）连接，证明得出，证明，得出，即可，恒等式变形即可求解；
（4）连接，证明，得出，证明，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，过点F作，垂足分别为，
∵点是的内心，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图所示，过点A作于点，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴；
（3）证明：连接，
∵
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
（4）解：如图所示，连接，
∵点是的内心，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义，同弧所对的圆周角相等，角平分线的性质与定义，相似三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的面积公式等知识，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
32．如图，是的内接三角形，是直径，D是上的一点，且．连接，过点B作，交于点E，交于点G，交于点F．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理，得到，，根据等角的余角相等，，进而推出，即可得证；
（2）连接，证明，得到，根据，即可得出结论；
（3）过点作于点，同角的余角相等，得到，设，则．
推出，，即可得出结果．
【详解】（1）解：证明：，
．
是的直径，
，
．
，
，
，
．
，
，
．
（2）证明：如图，连接．
，，
，
，
．
，
．
（3）如图，过点作于点．
，
．
，
，
．
．
设，则．
在中，．
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
33．如图，四边形内接于，对角线、相交于点M，．
(1)求证：．
(2)当时，记，记．
①当时，求t的值；
②求t的最大值．
(3)当为直径时，连接交于点E，满足以下条件：①；②；③（m，n均为正整数）；求的半径r的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②t取得最大值为
(3)的半径r的值为5
【分析】（1）由外角的性质和，可得，再由圆周角定理即可证明出．
（2）①由圆周角定理得，可证，由相似三角形的性质得，由等高的两三角形，面积之比等于底边之比得，则，代入，得，再由，解方程即可．
②由，可得，设则，结合函数图像即可得出答案．
（3）由直径对直角结合等腰三角形的性质可证，由面积公式可得，再证，得，进而可得，由，通过，可建立m，n的关系式，由m，n均为正整数，可得，再由相似三角形的性质可得，即，由垂径定理结合三角形的中位线可得，则，可设，，，利用勾股定理可得，再结合三角形的面积，求解即可．
【详解】（1），，
，
，
，
；
（2）①，
，
，
，
∴，
∵和的底边分别为，，高相等，
，
，
，
代入得：，
整理得：，
当，，
解得或（舍去），
．
②，，
，
，即，
设，则，函数图像如图，
由图像可知，当时，t可以取得最大值，令，解得，
的最大值为；
（3），
，
∵为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∵m，n均为正整数，
，
，
解得，
∴
，
∵，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
设，在中，，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解二元一次方程组，三角形中位线的性质，二次函数的图象与性质，难度较大，属中考压轴题．
34．已知：如图1，内接于，是的直径，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，分别在弧、弧上取点D和E，连接、交于点F、G，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）连接，，由于是直径，平分，证明，得到，即得证；
（2）连接，由，得到，由得到，，由三角形外角的性质得到，结合，即可得证；
（3）在上取点，使得，连接，过点作于，在上取一点，使得，连接．根据第（2）问得到的结论，又四边形内角和为，可得，而，所以．设，则，，结合已知条件，得到，再证明可得，，，然后证明，设，结合已知，得到，最后在和中，利用勾股定理建立方程，求出，即可求得．
【详解】（1）证明：连接，，如图所示，
是直径，
，
平分，
，又，
，
，
是的垂直平分线，即．
（2）连接，如图所示，
，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
（3）在上取点，使得，连接，过点作于，在上取一点，使得，连接，如图所示，
由（2）得，四边形内角和为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
为的外角，
，即，
，即，
设，由于，则，
，
，
，
在中，，
取作辅助线，
在中，，，
，解得，
．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆的性质，圆周角定理，三角形全等，等腰三角形性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．
35．如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．
(1)在图1中连结，求证：；
(2)若的半径为，求的值；
(3)如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据切线的性质可得，根据半径相等可得，根据是直径，得出，等量代换即可得证；
（2）连接并延长交于点，连接，根据题意得出，，进而根据得出；
（3）结论：．连接、，先证得，，从而，由相似三角形的性质推得，再设，则，从而，结合，可得，进而推得，然后运用勾股定理证即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴
∵是直径，
∴
∴；
（2）解：如图所示，连接并延长交于点，连接
∵是直径，
∴，
又∵平分，
∴
∴，
∵是直径，的半径为，
∴,，
∵
∴
∵
∴
∴
（3）．理由如下：
如图，连接、，
由（2）可得，
，，
，，
∵
，
，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，，
，，
设，
则，
，
又，
，
，
，
即，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、余弦的定义，圆的相关性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理在几何计算中的运用，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
36．已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点．
(1)如图，连接，求证：；
(2)如图，；
若，求的长；
若，求的值；
(3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；；
(3)线段为定值，且．
【分析】（）由点是的内心，则，再由圆周角定理可得，从而求证；
（）连接，，过点作于点，由点是的内心，得，再由勾股定理即可求解；
连接，过点作于点，过点作于点，由内心和线段和差即可求解；
（）连接，，，，通过性质和圆周角定理证明为等边三角形即可．
【详解】（1）∵点是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由题意知，，直径，
∴由勾股定理得，
连接，，过点作于点，
∵点是的内心，
∴，
∴，
在中， ，
；
连接，过点作于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵点是的内心，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，，，，
∵点是的内心， ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴
∴，
同理，，，
但，随着点的运动而变化，
∴线段为定值，且．
【点睛】本题考查了圆周角定理，内心的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
设计院
甲
乙
平均数
众数
a
8
中位数
7
b
方差
对雾霾天气了解程度
百分比
A．非常了解
5％
B．比较了解
15％
C．基本了解
45％
D．不了解
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