【冲刺2024】中考真题（2022山东淄博）及变式题（山东淄博2024中考专用）解答题部分

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1．解方程组：
【答案】
【分析】整理方程组得，继而根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：整理方程组得，
得，
y=1，
把y=1代入①得，
解得x=5，
∴方程组的解为.
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．
2．解方程组．
【答案】
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：
由，得：，
解得，
把代入，可得：，
∴原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
3．解方程组与不等式组
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集．
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
把代入①得：，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟知相关计算方法是解题的关键．
4．（1）解方程组：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据加减消元法，解二元一次方程，即可解答；
（2）分别解一元一次不等式组的两个不等式，再将解集合并，即可解答．
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
原方程的解为；
（2）解：，
解得：，
解得：，
原不等式的解集为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，解一元一次不等式组，熟知计算步骤是解题的关键．
5．关于，的二元一次方程组．
(1)若方程组的解也是二元一次方程的解，求的值；
(2)若方程组的解满足，求的取值范围，并写出的最大负整数解．
【答案】(1)
(2)，m的最大负整数解为-1
【分析】（1）把看作已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出的值．
（2）把和用含有的式子表示，代入，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
【详解】（1）解：解方程组．得，
代入，得，
解得：；
（2）解：由（1）得，
代入，得，
解得．
∴的最大负整数解是．
【点睛】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于的一元一次方程；（2）根据不等量关系列出关于的一元一次不等式．
6．解下列二元一次方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可；
（2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：（1），
①+②得：2x=6，
解得：x=3，代入①中，
解得：y=4，
∴方程组的解为：；
（2）方程组化简得，
①+②得：4x=12，
解得：x=3，代入①中，
解得：y=，
∴方程组的解为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
【答案】证明见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得出，进而利用证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：是等腰三角形，
，
在与中，
，
，
．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用证明与全等．
8．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法．
9．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接．求证：．
【答案】见解析
【分析】由正方形和等边三角形的性质得出，利用即可证．
【详解】证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质及全等三角形的判定，熟记相关性质定理是本题的解题关键．
10．如图，是等边三角形，点E在边上，连接，以为一边作等边三角形，连接．
(1)直接写出_________；
(2)求证：；
(3)若，求的周长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)9
【分析】（1）根据即可求解；
（2）根据（1）的结论，以及等边三角形的性质，根据SAS即可得证；
（3）根据等边三角形的性质与去全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，是等边三角形，
∴
故答案为：
（2）证明：∵，是等边三角形，
∴，
（SAS）
（3），
，
是等边三角形，
，
，
的周长
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
11．如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接．
(1)求证：．
(2)当，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)当，四边形是矩形，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定：
（1）由平行四边形的性质得到，进而得到，据此利用即可证明．
（2）根据（1）所求可得，则四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴．
（2）解：当，四边形是矩形，理由如下：
由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
12．如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．
【答案】证明过程见解析
【分析】先由四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠C，AB=CD，进而根据BE=DH得到AE=CH，最后再证明△AEF≌△CHG即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．
13．如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．
【答案】(1)y=x+，y=；
(2)△AOB的面积为；
(3)1【分析】（1）将点A ( 1，2 )代入y =，求得m=2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可；
（2）解方程组求得点B的坐标，根据，利用三角形面积公式即可求解；
（3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：将点A ( 1，2 )代入y =，得m=2，
∴双曲线的表达式为： y=，
把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：
y=，解得：，
∴直线的表达式为：y=x+；
（2）解：联立 ，
解得，或，
∵点A 的坐标为（1，2），
∴点B的坐标为（3，），
∵
=，
∴△AOB的面积为；
（3）解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积．
14．如图，曲线与直线交于，两点．
(1)求曲线和直线的解析式；
(2)根据第一象限图象观察，当时，x的取值范围是______．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将点代入求出反比例函数表达式，再求出点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入即可求解；
（2）根据图象即可进行解答．
【详解】（1）解∶ 把点代入得：
，解得：，
∴曲线的解析式为，
把点代入得：，解得：，
∴，
把、代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：．
（2）由图可知：当时，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，会根据图象和不等式求函数值的取值范围．
15．如图，一次函数和反比例函数的图像交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)6
(3)或
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式得出，根据，，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据一次函数得出，然后根据三角形面积公式进行计算即可求解；
（3）根据图象直接写出不等式的解集，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，即，
∴反比例函数的解析式为：．
∵一次函数的图象过点，
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为：；
（2）∵由；
令，则，
∴，
即．
∴；
（3）∵，．
∴不等式的解集为：或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和B两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求出另一个交点B的坐标；
(3)根据图象直接写出当时，不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先把点代入中求出得到然后把点坐标代入中求出得到反比例函数的表达式；
（2）先求出直线与轴交点的坐标，然后解析式联立，解方程组求得的坐标；
（3）利用图象即可求得当时，不等式的解集；
【详解】（1）把点代入，得．
∴．
把代入，
∴．
∴反比例函数的解析式为；
（2）解
得或，
；
（3）由图象可知，
当时，不等式的解集或；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是求得交点坐标．
17．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象求的解集；
(3)将直线向上平移6个单位后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数中求出k即可；
（2）联立两个函数解析式，求出点坐标，再结合图象即可得到解集；
（3）根据平移规则，求出平移后的解析式，连接，得到的面积等于的面积，利用，进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：令一次函数中，则，
解得：，即点A的坐标为，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，解得：或
∴，
由图象可知，的解集为或；
（3）解：由题意，得：平移后的解析式为
当时，，
∴，
∴，
连接、如图所示．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数表达式为．
(2)或
(3)
【分析】（1）由的面积为3，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点坐标代入可求b的值．
（2）结合图像观察，求一次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x的取值范围即可．
（3）作对称点关于x的对称点，直线与x轴交点就是所求的点，求出直线与x轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：根据题意，，
，
，
结合图形，可得，
将代入得，
反比例函数的表达式为．
把代入反比例函数得，
，
将和代入解得：，，
一次函数表达式为．
（2）由图象可以看出的解集为或．
（3）解：如图，作点关于x轴的对称点，连接与x轴交于，此时最大．
，
，
设直线的关系式为，将，代入，
解得，，
直线的关系式为，
当时，解得，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，理解轴对称知识作图是解题的关键．
19．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】(1)120，99
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：120，99；
（2）解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），
则选修“园艺”的学生人数为：（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20．某地区为了了解七年级学生交通安全知识的掌握情况，从该地区七年级学生中随机抽取部分学生进行安全知识测试，并把学生的得分绘制了部分频数分布表和频数分布直方图（如图）．已知图中从左到右第一、第二、第三、第四小组的频数的比为．

(1)求这个频数分布直方图的组距；
(2)求此次活动共抽取了多少名学生进行安全知识测试；
(3)请将表补充完整；
(4)如果该地区七年级共有4000名学生，80分以上（含80分）的成绩为掌握交通安全知识比较好，请估计该地区七年级有多少名学生掌握交通安全知识比较好．
【答案】(1)
(2)名
(3)见解析
(4)2400名
【分析】（1）根据组距的定义进行求解即可；
（2）用这一组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数；
（3）分别求出，，这三组的人数，然后补全统计表即可；
（4）用4000乘以样本中掌握交通安全知识比较好的人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，这个频数分布直方图的组距为；
（2）解：名，
∴此次活动共抽取了名学生进行安全知识测试；
（3）解：根据题意得，的人数为（名），
的人数为（名），
的人数为（名），
补全表格如下：
（4）解：（名）．
答：估计该地区七年级有2400名学生掌握交通安全知识比较好．
【点睛】本题主要考查了频数分布表、频数分布直方图的理解与运用能力，用样本估计总体．频数分布直方图可以直观地看出各种量的大小；各组频数之和等于抽样数据总数；频率频数数据总和．灵活利用频数直方图获取信息，明确频数、频率、总数间的关系是解本题的关键．
21．巴南区某校组织学生参加了“科学素养”知识竞赛，现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分分），并进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成A，B，C，D四个等级：A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：
八年级名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，．
九年级名学生中B等级所有学生的竞赛成绩：，，，．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)若竞赛成绩不低于分的学生获“优秀少年”称号，该校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计八年级和九年级学生中，获“优秀少年”称号的总人数．
【答案】(1)，，
(2)九年级，见解析
(3)人
【分析】
本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）先根据众数的定义求出a的值，再求出九年级成绩在“B组”所占的百分比，然后求出m的值，最后根据中位数的定义求出b的值；
（2）通过中位数、众数、方差进行分析得出答案；
（3）用总人数乘以成绩超过分的学生所占的比例即可．
【详解】（1）解：意可知，八年级10名学生成绩出现次数最多的是，共出现3次，因此众数是，即，
九年级成绩在“B组”的有4人，占，
，
九年级名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是在“B组”，分别为，，
因此中位数是，即；
故答案为：，，；
（2）
解：九年级学生竞赛成绩更好．理由如下（写出其中一条即可）：
①九年级学生竞赛成绩中位数高于八年级学生竞赛成绩中位数．
②九年级学生竞赛成绩方差低于八年级学生竞赛成绩方差．
③九年级学生竞赛成绩众数高于八年级学生竞赛成绩众数．
（3）
解：（人）
答：估计八年级和九年级学生中，获“优秀少年”称号的总人数为人．
22．某校为了解学生的户外运动情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的户外运动时间t（单位：h）．整理所得数据绘制成如下不完整的统计图表，根据以上图表信息，解答下列问题：
平均每周的户外运动时间频数分布表
平均每周的户外运动时间扇形统计图
（1）这次被调查的同学共有 人，a＝ ；
（2）C组所在扇形的圆心角的大小是 ；
（3）该校共 1200名学生，请你估计该校学生平均每周的户外运动阅读时间不少于9h的人数．
【答案】（1）60，20；（2）96°；（3）平均每周的户外运动阅读时间不少于9h的人数为500人；
【分析】（1）用A组的人数÷所占百分比计算即可算出总人数，根据D组所占百分比可求出D组的人数，从而可得B组人数即可得出a的值；
（2）由（1）可知C组所占的百分比，用C组的百分数乘以360°即可；
（3）用C、D两组的百分数之和乘以1200即可；
【详解】解：（1）总人数为：15÷25%=60（人），
b=15%×60=9，
∴ a=60-15-16-9=20，
答：这次被调查的同学共有60人，a=20；
（2）∵C组为16人，
∴ ，
答：C组所在扇形的圆心角的大小是96°；
（3）∵C组为16人，D组为9人，
∴ （人），
答：该校学生平均每周的户外运动阅读时间不少于9h的人数500人．
【点睛】本题考查了扇形统计图，频数分布 、样本估计整体，熟练掌握样本容量的计算，圆心角的计算是解题的关键．
23．为了倡导绿色生态、健康环保的生活方式，提升城市文明程度，提升资源的回收利用率，营造人人知晓垃圾分类的良好氛围，某社区开展了“垃圾分类知识小测试”活动（满分100分）．社区管理员随机从某小区抽取20名业主的答卷成绩（单位：分，90分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，以下是部分信息．该小区20名业主的测试成绩：75，85，100，80，75，80，94，82，94，80, 90，80，94，85，90，82，90，94，94，100．
绘制条形统计图如图；
该小区抽取的业主的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，填出本次所抽取业主的测试成绩的众数______．
（2）求该小区本次测试成绩的平均数的值；
（3）若该小区共有1000名业主参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩优秀的业主有多少名？
【答案】（1）见解析；94；（2）87.2分；（3）500人
【分析】（1）由题干所提供的数据得出94分的人数，从而补全图形，再根据众数的定义即可得出a的值；
（2）根据中位数的定义可得m的值；
（3）用总人数乘以样本中测试成绩优秀的人数所占比例即可．
【详解】解：（1）由题意知94分的有5人，
补全条形图如下：
本次所抽取业主的测试成绩的众数分，
故答案为：94分；
（2）该小区本次测试成绩的平均数
（分）；
（3）从调查的数据看，该小区10人的成绩优秀，
参加此次测试活动成绩优秀的业主有（人）．
【点睛】本题考查的是中位数、众数、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．某学校为了解在校生的体能素质情况，从全校七年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀：B级：良好：C级：及格；D级：不及格）并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是______；
(2)扇形统计图中的度数是______，并把条形统计图补充完整；
(3)测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为良好或者优秀的概率是多少？
(4)该校七年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数有多少人？
【答案】(1)40
(2)，图见解析
(3)
(4)人
【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数；
（2）根据A级的人数除以抽测的人数，可得A级人数所占抽测人数的百分比，根据圆周角乘以A级人数所占抽测人数的百分比，可得A级的扇形的圆心角，根据抽测的人数乘以C级数所占抽测人数的百分比，可得C级抽测的人数，然后补出条形统计图；
（3）根据A级、B级抽测的人数和除以抽测的人数，可得答案．
（4）根据D级抽测的人数除以抽测的总人数，可得D级所占抽测人数的百分比，根据七年级的人数乘以D级所占抽测人数的百分比，可得答案．
【详解】（1）解：本次抽样的人数是（人），
故答案是：40；
（2）解：，
C级的人数是（人），
补全统计图如下：
故答案是：．
（3）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为良好或者优秀的概率是．
（4）解：估计不及格的人数是（人），
∴不及格的人数是人；
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体、用频率估计概率．
25．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．

问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）
【答案】能，综合楼的高度约是37.00米．
【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度．
【详解】解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：
作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：
·
由题意知，EG= BF= 40米，EF= BG= 12.88米，∠HAE= 16°= ∠AEG= 16°，∠CAH =9°，
在Rt△AEG中，
tan ∠AEG=，
∴tan 16°=，即0.287≈，
∴AG = 40×0.287=11.48（米），
∴AB = AG+BG=11.48+12.88= 24.36（米），
∴HD= AB =24.36米，
在Rt△ACH中，AH =BD= BF＋FD=80米，
tan∠CAH =，
∴tan 9°= ，即0.158≈，
∴CH =80×0.158= 12.64（米），
∴CD=CH＋HD = 12.64＋24.36= 37.00（米），
则综合楼的高度约是37.00米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角和俯角定义．
26．图1是某种路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于点，，灯臂与支架交于点．
（1）已知，，，求支架的长．（结果精确到；参考数据：，，）
（2）某小区第一次用8000元购进一批该型号的路灯，第二次正好赶上商家搞活动，所有商品一律八折销售，该小区仍然用8000元购进第二批该型号的路灯，但所购数量比第一次多8个．求该小区两次共购进该型号的路灯多少个．
【答案】（1）49cm；（2）72个
【分析】（1）过点作于点，在中求出的长，然后在中可求出的长．
（2）设出该小区第一次购进该型号路灯的个数，表示出第二次购进该型号路灯的个数，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：（1）如解图，过点作于点，则．
∵在中，，，
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
答：支架的长约为．
（2）设该小区第一次购进该型号的路灯个．
根据题意，得，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
∴（个）．
答：该小区两次共购进该型号的路灯72个．
【点睛】本题考查解直角三角形，分式方程的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，解分式方程．
27．如图①，图②分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆，，，．
请根据以上信息，解决下列问题；
（1）求的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点到水平滑杆的距离（结果保留到）．
参考数据：，，．
【答案】（1）；（2）拉杆端点到水平滑杆的距离为
【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，先利用，计算FH、DH的长度，再解直角三角形即可得到结论；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）过作于．
∴．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）如上图，过作交的延长线于，
∵，
∴，
答：拉杆端点到水平滑杆的距离为．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
28．如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板，支撑板，底座，托板固定在支撑板顶端C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．
(1)若，，求点A到直线的距离．（精确到0.1mm）
(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点C逆时针旋转后，再将绕点D顺时针旋转，使点B落在直线上，求旋转的角度大约是多少度？
参考数据：（，，，，，，）．
【答案】(1)点A到直线的距离是
(2)
【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；
（1）过点C作于点F，过点A作于点G，由题意易得，则有，然后问题可求解；
（2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解
【详解】（1）
解：过点C作于点F，过点A作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∵平行线间的距离处处相等，
∴点A到直线的距离是．
（2）
解：旋转后如图所示，
，
在中，
，
∴，
∴，
∴旋转40°．
29．如图，两条公路AB，CD（均视为直线）．东西向公路CD段限速，规定最高行驶速度不能越过60千米/时，并在南北向公路离该公路100米的A处没置了一个监测点．已知点C在A的北偏西60°方向上，点D在A的北偏东45°方向上．
（1）经监测，一辆汽车从点C匀速行驶到点D所的时间是15秒，请通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（参考数据：=1．732）
（2）若一辆大货车在限速路上由D处向西行驶，一辆小汽车在南北向公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？
【答案】（1）超速；（2）20米．
【详解】试题分析：（1）判断是否超速就是求DC的长，然后比较；
（2）求两车在匀速行驶过程中的最近距离可以转化为求函数的最值问题，或转化为利用配方法求最值的问题．
试题解析：（1）由题意知∠BAD=45°，∠CAB═60°，
在Rt△AOD中，OD=OA=100米，在Rt△AOC中，OC=OA=100米，
∴DC=（100+100）米，
实际速度v=≈18．2米/秒=65．52千米/小时＞60千米/小时，
∴超速．
（2）∵两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，
∴当大货车由B开出x米时，小汽车由A开出了2x米，
两车之间的距离S===
∴当x=60时，S取得最小值，为20米．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
30．博鳌亚洲论坛2018年年会于4月8日在海南博鳌拉开帷幕，组委会在会议中心的墙壁上悬挂会旗，已知矩形DCFE的两边DE，DC长分别为1.6m，1.2m．旗杆DB的长度为2m，DB与墙面AB的夹角∠DBG为35°．当会旗展开时，如图所示，
（1）求DF的长；
（2）求点E到墙壁AB所在直线的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）

【答案】（1）2m．（2）2.5 m．
【分析】(1)由题意知ED=1.6m,BD=2m,利用勾股定理得出DF=求出即可;
(2) 分别做DM⊥AB，EN⊥AB，DH⊥EN，垂足分别为点M、N、H，利用sin∠DBM=及cs∠DEH=，可求出EH,HN即可得出答案.
【详解】解：（1）在Rt△DEF中，由题意知ED=1.6 m，BD=2 m，
DF==2．
答：DF长为2m．
（2）分别做DM⊥AB，EN⊥AB，DH⊥EN，
垂足分别为点M、N、H，
在Rt△DBM中，sin∠DBM=，
∴DM=2•sin35°≈1.14．
∵∠EDC=∠CNB，∠DCE=∠NCB，
∴∠EDC=∠CBN=35°，
在Rt△DEH中，cs∠DEH=，
∴EH=1.6•cs35°≈1.31．
∴EN=EH+HN=1.31+1.14=2.45≈2.5m．
答：E点离墙面AB的最远距离为2.5 m．
【点睛】本题主要考查三角函数的知识，牢记公式并灵活运用是解题的关键．
31．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．
(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；
图1
(2)如图2，过点D作直线DEBC，求证：DE是⊙O的切线；
图2
(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：GF=GH．
图3
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由角平分线的定义以及圆周角定理得到∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，再根据三角形的外角性质可推出∠BID=∠DBI，利用等角对等边即可证明BD=DI；
（2）由垂径定理推出OD⊥BC，由平行线的性质推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（3）设法证明△HBG∽△CHG，推出，再证明△GFC∽△GBF，推出，据此即可证明GF=GH．
【详解】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC +∠CBD，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=DI；
（2）证明：连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴，
∴OD⊥BC，
∵DEBC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（3）证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，
∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，
∴∠HCI=∠IHG=90°，
∴∠IHC+∠I=90°=∠IHC+∠GHC，
∴∠I=∠GHC，
∵∠HBG=∠I，
∴∠HBG=∠GHC，
∴△HBG∽△CHG，
∴，
∴，
∵ADFG，
∴∠DAF=∠GFC，
∵∠DAF=∠DBC，
∴∠GFC=∠DBC，
∴△GFC∽△GBF，
∴，
∴，
∴，
∴GF=GH．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
32．如图，珍珍利用一张直径为8cm的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片沿弦折叠．
(1)如图1，为的切线，当时，求证：．
(2)如图2，当时，通过计算比较与弧哪个长度更长．（π取）
(3)如图3，M为的中点，为点M关于弦的对称点，当时，直接写出点与点M之间的距离约为_____cm．（结果保留两位小数，参考数据：27）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据切线的性质，圆周角定理，得到，即可得证；
（2）连接，圆周角定理，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行比较即可；
（3）连接，交于点，根据轴对称的性质，垂径定理，得到三点共线，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再根据对称，求出的长即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，则：，
∴，
∴；
（3）连接，交于点，
∵为的中点，
∴，
∵为点M关于弦的对称点，
∴，
∴三点共线，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵对称，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，有一定的难度，掌握相关性质，正确的添加辅助线，是解题的关键．
33．【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和．
是的中点，
，
又，，
，
，
又，
，
即．

(1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ；
(2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ．
【答案】(1)1
(2)；证明见解析
(3)或
【分析】（1）由“问题呈现”结论可求解；
（2）在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由“问题呈现”结论可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，即，
，
，
．
（2）解：．
证明：在上截取，连接、、、，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即．
（3）解：如图，当点在下方时，过点作于点，
是圆的直径，
，
，圆的半径为5，
，
，
，
，
．
当点在上方时，，同理易得．
综上所述：的长为或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是本题的关键．
34．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形称为圆的神奇四边形．
(1)如图1，已知四边形是的神奇四边形，若，，则__________；
(2)如图2，已知四边形为的内接四边形，连接，，，，满足，求证：四边形是的神奇四边形；
(3)如图3，已知四边形是的神奇四边形，，延长，相交于点E，若，，求的长．
【答案】(1)60
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先根据新定义得到，然后根据三角形面积公式计算；
（2）连接、，它们相交于点，作直径，如图2，利用等角的补角相等证明，则，再根据圆周角定理得到，，所以，所以，然后根据圆的神奇四边形的定义得到结论；
（3）与相交于点，如图3，先根据圆周角定理的推论得到为的直径，则，再利用新定义得到，则利用垂径定理得到，，，所以，，接着利用勾股定理计算出，则，设，则，在中利用勾股定理得到，解得，然后利用勾股定理计算出，然后利用面积法计算出，从而得到的长．
【详解】（1）解：与相交于点，如图1，
四边形是的神奇四边形，
，
；
（2）证明：连接、，它们相交于点，作直径，如图2，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是的神奇四边形；
（3）解：与相交于点，如图3，
，
为的直径，
四边形是的神奇四边形，
，
，，，
，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
解得，
即，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查了新定义，圆的综合应用，熟练掌握垂径定理、圆周角定理，灵活利用勾股定理进行几何计算是解题关键．
35．如图1，为半圆O的直径，点C为半圆弧上一点，于点D，在上截取，连结，，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，
①求的长；
②如图2，连结，与相交于点G，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据圆周角定理求出，，根据直角三角形两锐角互余的性质求出，等量代换得出，根据等腰三角形的判定即可求出；
（2）根据垂径定理求出，，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差求出，设，则，根据勾股定理求解即可；
连结，，与相交于点根据垂径定理求出，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据等腰三角形的判定与性质求出，进而推出是的中位线，根据三角形中位线的性质得出，，即可判定∽，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连结．

，
，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连结，交于点．
，，
，，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，
如图，连结，，与相交于点．
，
，
由可知，，，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
为半圆的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
36．（1）请用尺规过外一点P做的一条切线，切点为D．（保留做图痕迹）
（2）如图，与相切于点，直径的延长线与交于点，点是劣弧上一点，的延长线与的延长线交于点，且分别交于点．依次连接交于点．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②求证：；
③若，求；
④若半径为，则阴影部分面积为______（结果保留）
【答案】（1）见详解；（2）①四边形为矩形；②见详解；③；④
【分析】（1）连接，作的垂直平分线得到的中点，再以点为圆心，为半径作圆交于点，根据圆周角定理得到，则利用切线的判定定理可得到为的切线．
（2）①根据是切线，是半径，得出，再根据圆周角定理得出，即可证明四边形为矩形．
②根据四边形为矩形，得出，证明即可证明，即可解答；
③证明再结合，证出，得出设则，在中，由勾股定理求出得出再根据，即可求解；
④连接，过O作证明再根据圆周角定理得出从而得出是等边三角形，再根据解答即可．
【详解】（1）解：如图，为所作．
（2）①∵是切线，是半径，
，
是直径，
，
，，
∴四边形为矩形．
②∵四边形为矩形，
∴，
，
，
，
③，
，
，
，
，
，
，
设则，
在中，由勾股定理得，
解得：，
则
∴
∵
，
④连接，过O作
∵
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，切线的性质和判定，平行线的性质、解直角三角形，扇形的面积，等边三角形的性质和判定，圆周角定理，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，掌握以上知识点是解题的关键．
37．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
(3)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
【答案】(1)y =x²+2x+3
(2)最大值
(3)定值16
【分析】（1）利用顶点式可得结论；
（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J，设，，推出最大时，的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；
（3）如图，设，求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4），
∴根据顶点式，抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，
BD交PM于点J，设，

点，在直线l：上，
∴，
∴，
∴直线DT的解析式为，
令，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴最大时，的值最大，
∵，，
∴直线BD的解析式为，
∴，
∴，
∵
，
∵二次项系数，
∴时，最大，最大值为11，
∴的最大值；
（3）解：四边形AFBG的面积不变．
理由：如图，设，

∵，，
∴直线AP的解析式为，
∴，
∵E，G关于x轴对称，
∴，
∴直线PB的解析式为，
∴，
∴，
∴四边形AFBG的面积，
∴四边形AFBG的面积是定值．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题．
38．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，过点作，垂足为，当时，请求出的值；
(3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）将，代入抛物线可得，解方程组即可得到答案；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式为：，设点的横坐标为，则，，，作轴于，轴于，可证得，得出，再由，，求得，结合，可得，建立方程求解即可得到答案；
（3）设，分三种情况：①当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时；②当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时；③当点恰好落在该矩形对角线延长线上时，分别求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，作轴于，轴于，
，
抛物线与轴交于点，
当时，，
，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
设点的横坐标为，则，，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
在中，，
，
轴，轴，
，
四边形是矩形，
，
轴，
，
，即，
，
，
，
，
解得：或，
，
；
（3）解：抛物线，
抛物线对称轴为直线，
点在抛物线的对称轴上，
设，设抛物线对称轴交轴于点，交边于点，
则，
当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，如图所示，
，
则垂直平分，即，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，如图所示，连接交于点，
，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
，
，
，
，
，
关于对称轴对称，即点是的中点，，
点是的中点，
，
，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
；
当点恰好落在该矩形对角线延长线上时，如图，过点作轴于点，连接交于点，
，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
，
，，
，
，即，
，，
，
，
点是的中点，
，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
；
综上所述：或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，添加适当的辅助线，采用数形结合的思想，是解题的关键．
39．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，﹣3a)．
（1）求点B的坐标；
（2）若a＝，点M和点N在抛物线上，且M的横坐标为4，点N在第二象限，若∠AMN＝2∠OAM，求点N的坐标；
（3）P是第四象限内抛物线上的一个动点，直线PA、PB分别交y轴于点M、N，判断CM与CN的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）B（3，0）；（2）N（3，6）；（3）CN=3CM，理由见详解．
【分析】（1）由A（1，0）、C（0，3a）在抛物线y=ax2+bx+c上，可得，即有y=ax22ax3a，令y=0，得ax22ax3a=0，而a＞0，可得B（3，0）；
（2）连接AM交y轴于D，过M作ME∥x轴交y轴于E，在y轴上取F，使EF=ED，作直线MF交抛物线于N，根据∠EMA=∠OAM，EM是DF的垂直平分线，可证∠AMN=2∠AME=2∠OAM，而时，抛物线为，知M（4，），直线AM的解析式为y=，可求出D（0，），从而求出EF=DE=2，F（0，），即可得直线MF为，最后联立方程组，即可得到N（3，6）；
（3）结论：CN=3CM，设P（m，am22am3a），可得直线PA解析式为y=（am3a）x+am3a，从而得到M（0，am3a），即有CM=am，同理可得CN=3am，故CN=3CM．
【详解】解：（1）∵A（-1，0）、C（0，-3a）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴，可得，
∴y=ax22ax3a，
令y=0，得ax22ax3a=0，而a＞0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0）；
（2）连接AM交y轴于D，过M作ME∥x轴交y轴于E，在y轴上取F，使EF=ED，作直线MF交抛物线于N，如图：
由作图可知：∠EMA=∠OAM，直线EM是DF的垂直平分线，
∴∠FME=∠DME，
∴∠AMN=2∠AME=2∠OAM，
而时，抛物线为，
∵M的横坐标为4，
∴M（4，），
由A（-1，0），M（4，）得直线AM的解析式为y=，
令x=0得y=，
∴D（0，），
∵ME∥x轴，
∴E（0，），
∴EF=DE=2，
∴F（0，），
设直线MF为y=kx+，将M（4，）代入得：，
∴k=，
∴直线MF为y=，
由，得：或（舍去），
∴N（3，6）；
（3）CN=3CM，理由如下：
设P（m，am2-2am-3a），如图：
设直线PA解析式为y=sx+t，
则，解得，
∴直线PA解析式为y=（am3a）x+am3a，
令x=0得y=am3a，
∴M（0，am3a），
而C（0，3a），
∴CM=am，
设直线PB解析式为y=s'x+t'，
则，解得，
∴直线PB解析式为y=（am+a）x3am3a，
令x=0得y=3am3a，
∴N（0，3am3a），
而C（0，3a），
∴CN=3am，
∴CN=3CM．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、数形结合等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
40．若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”．
（1）若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；

（3）已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）﹣；（2）y＝﹣或y＝﹣；（3）是定值，理由见解析．
【分析】（1）根据“支干”关系的定义，求出a、b、c的值，利用配方法确定函数的最值．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b） ①，可得抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，由，消去y得到x2+bx+4c＝0，由抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与
的图象只有一个交点，可知△＝0，得b2﹣16c＝0 ②，由①②解方程组即可解决问题．
（3） 的值是定值．不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），
由 ，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，推出x1+x2＝，x1x2＝ ，推出|x1﹣x2|＝＝
＝ ，把 ＝2a（2c﹣b）代入上式化简＝4，由AB∥PC，可得S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═ •CD•＝ • •4＝8• ，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意a＝1，b＝﹣2，12+（﹣2）2＝2（2c+2），解得c＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+，
∵y＝x2﹣2x+
＝（x﹣1）2﹣，
∵a＝1＞0，
∴x＝1时，y有最小值，最小值为﹣．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b） ①
∴抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，
由，消，消去y得到x2+bx+4c＝0，
∵抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点，
∴△＝0，
∴b2﹣16c＝0 ②
由①②可得b＝﹣2， 或，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣或y＝﹣．
（3）是定值．理由如下：
不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），
由 得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝ ，|x1﹣x2|＝ ＝
把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，
∵AB∥PC，
∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|Bx﹣Ax|＝•|4a|•4＝8•|a|，
∴＝8，的值是定值．

【点睛】本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元一次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积．
41．如图，对称轴为的抛物线与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为9？
(3)如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．已知为直线上的动点，过点作轴于点，连接，若四边形是以为和谐线的和谐四边形，求此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或或或或或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）分，，，四种情况讨论即可；
（3）在直线取点，把点E绕O顺时针旋转，使E和F重合，求出直线解析式，利用韦达定理确定直线与抛物线没有交点，从而得出不可能等于，当M在第三象限时，是钝角，显然该情况不符合题意，则M只能在第一象限，由于与是不平行的，故四边形中，不可能等于，只可能等于，则是y轴负半轴与或y轴正半轴与的平分线，然后分别求出直线解析式，与抛物线解析式联立方程组，求出点P的坐标，再根据把四边形分成两个相似三角形，利用相似三角形的性质和两点间距离公式求解即可．
【详解】（1）解：∵对称轴为的抛物线与轴交于点．
∴，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵对称轴为的抛物线与轴交于点，
∴A关于对称轴的对称点为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
①当时，
∵y随x的增大而减小，
∴当时，，
当时，
∴
解得，（不符合题意，舍去）
②当时，
；
③当时，
当时，，
当时，
∴
④当时，
当时，，
当时，
∴
解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）
综上，当或时，图象的最大值与最小值的差为9
（3）解：在直线取点，把点E绕O顺时针旋转，使E和F重合，
过E作轴于G，过F作轴于H，
则，，，，
∴，
∴，
∴
∴，，
∴，
设直线解析为，
则，解得，
∴，
联立方程组，
整理得，
∴，
∴直线与抛物线没有交点，
∴不可能等于，
当M在第三象限时，
当点P在直线上方时，四边形不存在，
当点P在直线下方时，四边形不存在，
故此种情况不符合题意；
当M在第一象限时，设，
由于和不平行，则四边形中不可能等于，则，
当P在直线下方时，
在直线取点，在y轴上取点，
∴，
的中点，即，
∴直线的解析式为，平分，
联立方程组
解得，，
∴，，
当时，或，
①，，
∴，
∴，
则，
解得（负值舍去），
∴，
②∵，
∴，即，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
当时，或，
①，，
∴，
∴，
则，
解得（负值舍去），
∴，
②∵，
∴，即，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
当P在直线上方时，
在直线取点，在y轴上取点，
∴，
的中点，即，
∴直线的解析式为，平分，
联立方程组
解得，，
∴，，
当时，或，
①，，
∴，
∴，
则，
解得（负值舍去），
∴，
②∵，
∴，即，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
当时，或，
①，，
∴，
∴，
则，
解得（负值舍去），
∴，
②∵，
∴，即，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
综上：M的坐标为或或或或或或或
【点睛】本题考查了二次函数与特殊的四边形，涉及到的知识有：待定系数法，二次函数的性质，相似三角形的性质，中点坐标公式，分类讨论等，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
42．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B（点A在点B的左边），抛物线顶点为P，

(1)点A、B的坐标分别为 、 ，顶点P的坐标为 （用a表示）；
(2)如图1，点M为抛物线上任意一点（异于顶点P），过点P作直线轴，作于点N，若，求k的值（用含a的代数式表示）
(3)当M点的横坐标为4时，
①如图2，连接、分别交、于点E、F，求证：．
②如图3，点Q为抛物线上点P至点M之间的一动点，连接并延长交于点E，连接并延长交于点F，当时，的值是否发生变化，若不变，求出该定值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)①见解析．②的值不变，为8
【分析】（1）令，得，解方程即可，后利用对称轴直线，得到顶点的横坐标，继而计算顶点即可．
（2）设，则， 则，
，代入计算即可．
（3）当M点的横坐标为4时，，，
①设直线的解析式为，求得，当，确定，分别计算的大小，计算即可．
②当M点的横坐标为4，时，则，，，
，设，分别求得，，计算，化简计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于A，B（点A在点B的左边），抛物线顶点为P，
令，得，
∴，
解得，
∴对称轴直线，
∴，
∴，
故答案为：，，．
（2）∵抛物线，点M为抛物线上任意一点（异于顶点P），且，
∴设，则，
∴，，
∵，
∴，
∵点M为抛物线上任意一点，异于顶点P，
∴，
∴，
解得：．
（3）∵M点的横坐标为4时，∴，，
①设直线的解析式为，
，
解得，
∴，
当，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴．
②的值不变，为8．理由如下：
∵M点的横坐标为4，时，
∴，，，，
，
设，
∵点Q为抛物线上点P至点M之间的一动点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
当，
∴，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
当，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
故的值不变，且为8．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，待定系数法，抛物线的对称性，平行x轴或y轴直线上的两点间的距离，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法，两点之间的距离公式是解题的关键．
分组
频数
15
分组
频数
5
15
20
10
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
a
九年级
b
组别
平均每周的户外运动时间t/h
人数
A
t＜7
15
B
7≤t＜9
a
C
9≤t＜11
16
D
t≥11
b
平均数/分
众数/分
中位数/分
87.5
科学计算器按键顺序
计算结果
（已取近似值）

0.156

0.158
0.276

0.287