【冲刺2024】中考真题（2023山东枣庄）及变式题（山东枣庄2024中考专用）解答题部分

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1．先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴，
∵，
∴的整数解有：，
∵，
∴，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
2．先化简，再求值：，然后从中找出一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】；时，值是
【分析】利用分式的运算法则对所求的式子中括号里的式子通分，式子中的除以化为乘法，对进行化简，并根据分式有意义的条件判断的取值范围，从而入合适的值进行运算即可．
【详解】解：
由原式得，，，
∴，，
∴从中找出一个合适的整数得，
当时，．
故答案是：；时，值为．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对分式有意义的条件的理解以及分式运算法则的掌握．
3．先化简，再求值：，其中为满足的整数．
【答案】，当时，原式；当时，原式；当时，原式
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式意义的条件结合为满足的整数选择满足题意的值代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴，
∵为满足的整数，
∴可以为0，1，3，
当时，原式；当时，原式；当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件，正确化简是解题的关键．
4．先化简，后求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式混合运算顺序和法则化简后，把代入化简结果计算即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
5．先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分式有意义的条件是解题的关键．
6．先化简，再求值：（ ）÷（x+2），其中x是不等式组的整数解．
【答案】2．
【分析】先根据分式运算顺序和法则进行化简，再解不等式组，根据分式有意义的条件确定x的值，代入求解即可．
【详解】原式＝[]÷[]
＝（）÷（）


，
由，
解得：﹣1＜x≤2，
∵x是整数，
∴x＝0，1，2，
由分式有意义的条件可知：x不能取0，1，
故x＝2，
∴原式2．
【点睛】本题考查了分式化简求值和解不等式组，解题关键是熟练运用分式运算法则和解不等式的方法进行求解，注意：代入的数值要使分式有意义．
7．（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．

（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．

【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析
【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；
（2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形．
【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
（2）如图：

【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
8．在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【答案】见解析.
【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．
【详解】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
【点睛】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念．
9．（1）观察图①~图③中阴影部分的图形，写出这3个图形具有的两个共同特征；
（2）在图④和⑤中，各设计一个与前面不同的图形，使它们也具有（1）中的两个共同特征．
【答案】（1）共同特征：①它们都是轴对称图形．②它们的面积都是8；（2）图形见解析．
【分析】（1）从图形的对称性，以及图形中阴影部分的面积进行分析即可得到答案；
（2）只要根据（1）所得共同特征，画出图形即可得到答案．
【详解】解：（1）共同特征：
①它们都是轴对称图形；
②它们的面积都是8；
（其他答案只要正确，也可以）
（2）图形如下所示：
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，解题时要注意判断图形的共性，首先要看对称性；有阴影的，注意观察阴影部分的面积是否相同．
10．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影．
(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．
(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．
（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析；
【分析】本题考查了利用轴对称和中心对称设计图案，掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可（答案不唯一）；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）；
【详解】（1）组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示，
（2）组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示，
11．如图，网格中每个小正方形的边长为1．请你认真观察图1中的三个网格中的黑色部分构成的图案，解答下列问题：
(1)这三个图案都具有以下共同特征：都是______对称图形，都不是______对称图形；
(2)在图2中选一个白色的小正方形并涂黑，使图2中黑色部分是轴对称图形；
(3)请在图3中设计出一个面积为4的图案，且具备（1）中的特征（不与图1中所给图案相同）．
【答案】(1)中心，轴
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】本题考查图形与变换，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，平行四边形的性质，是解题的关键．
（1）根据图形的特点，绕一点旋转180度后能与自身重合，进行判断即可；
（2）根据轴对称图形的定义，进行作图即可；
（3）画出一个面积为的平行四边形即可．
【详解】（1）解：这三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形；
故答案为：中心，轴；
（2）如图，
（3）如图，
由图可知，图形是平行四边形，是中心对称图形，且，符合题意．
12．如图所示，
(1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：
(2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合）
【答案】(1)一、都是轴对称图形；二、阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和
(2)见详解
【分析】本题主要考查从不同图形中寻找共同特征的能力，考查观察能力、抽象概括能力、数学语言表述能力和空间观念；
（1）可以从图形的对称性和图形阴影部分的面积来考虑；
（2）根据两个特征设计出一个图案即可；
【详解】（1）所给的四个图案具有的共同特征：一都是轴对称图形；二，阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和；
（2）同时具备上述两个特征的部分图案如下：
13．对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)1；2；
(2)，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1），
，
；
故答案为：1；2；
（2）若时，即时，则
，
解得：，
若时，即时，则
，
解得：，不合题意，舍去，
，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
14．定义一种新运算“”：当时，；当时，．
(1)如果，求的取值范围；
(2)如果，求的值．
【答案】(1)的取值范围为：
(2)的值为或
【分析】（1）根据材料提示，运用“当时，”，根据解一元一次不等式的计算方法即可求解；
（2）根据材料提示，分类讨论，①当时，；②当时，；根据解一元一次方程的方法即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
∴的取值范围为：．
（2）解：，
①当时，，
∴，
去括号得，，
合并同类项，移项得，，
系数化为得，，
∵当时，，
∴，符合题意；
②当时，，
∴，
去括号得，，
合并同类项，移项得，，
系数化为得，，
∵当时，，
∴，符合题意；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查定义新运算，不等式的性质解一元一次不等式，解一元一次方程的综合，理解材料的定义新运算的法则，掌握解一元一次不等式，解一元一次方程的方法是解的关键．
15．是新规定的这样一种运算法则：，例如．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)16
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解，
（1）利用题中的新定义化简原式，计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义化简已知等式，求出方程的解即可得到的值．
【详解】（1）解：根据题中新定义得：※；
（2）根据题意：，
整理得：，
解得：．
16．对于任意四个有理数a，b，c，d，我们规定：，例如：，根据上述规定解决下列问题：
(1)计算；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)38
(2)
【分析】（1）根据所给的新定义进行求解即可；
（2）根据所给的新定义建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
17．如图表示的数表：
我们规定：表示数表中第a行第b列的数．例如：数表中第2行第1列的数为4，记作．
请根据以上规定回答下列问题：
(1)______．
(2)若，则______．
(3)若，求x的值．
【答案】(1)6
(2)2
(3)或
【分析】（1）根据表示数表中第a行第b列的数．即可求解；
（2）根据表示数表中第a行第b列的数，再根据即可得；
（3）根据表示数表中第a行第b列的数，则，由得，所以或，求解即可，
【详解】（1）解：由题意，得；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：由题意，知，
又∵
∴
∴或，
解得：或．
【点睛】本题考查新定义，解一元一次方程，理解表示数表中第a行第b列的数．据此由得出方程或是解题的关键．
18．对于任意有理数，，定义运算：，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，；．
(1)计算_______；
(2)对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：_______（用含m，n的式子表示）．
一般情况下，对于数和，，但是对于某些特殊的数和，．我们把这些特殊的数和，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”．
①是不是“理想数对”?_______；（填“是”或“不是”）
②如果是“理想数对”，那么________；
(3)若是“理想数对”，求的值．
【答案】(1)-4；
(2)m（n+1）；①是；②-8；
(3)-16
【分析】（1）根据新定义，计算-2×（-2+）-1即可；
（2）根据，定义m（n+1）；
①验证等式是否成立；
②构造方程，解方程即可；
（3）是“理想数对”，确定m，n之间的关系，化简已知代数式，代入求值即可．
【详解】（1）∵，
∴-2×（-2+）-1= -4，
故答案为：-4；
（2）∵，
∴m（n+1）；
①∵，时，有，
∴是“理想数对”，
故答案为：是；
②∵是“理想数对”，
∴，
解得x=-8；
（3）∵是“理想数对”，
∴，
解得n= -4m，
∵
=
=
=，
当n= -4m时，
原式=
= -16．
【点睛】本题考查了实数的新定义，一元一次方程的解法，代数式的化简求值，正确理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法，熟练进行化简求值是解题的关键．
19．《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．

请根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名．
(2)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数；
（2）根据（1）中所求数据，补全图形即可；
（3）利用列表法求出概率即可．
【详解】（1）解：（人），
∴一共调查了20人；
∴组人数为：（人），
∴组女生有：（人）；
由扇形统计图可知：组的百分比为，
∴组人数为：（人），
∴组男生有：（人）；
故答案为：
（2）补全图形如下：

（3）用表示名男生，用表示两名女生，列表如下：
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，
∴．
【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
20．某中学积极落实国家的“双减”教育政策，决定增设：A跳绳；B书法；C舞蹈；D足球四项课外活动来促进学生全面发展，学校面向七年级参与情况开展了“你选修哪项活动”的问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了______名同学；
(2)条形统计图中， ______， ______；
(3)扇形统计图中，书法B所在扇形的圆心角的度数______；
(4)小红和小强分别从这四项活动中任选一门参加，求两人恰好选到同一门课程的概率．（用树状图或列表法解答）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，求解过程见解析
【分析】（1）将组人数除百分比可得总人数；
（2）先用总人数乘组百分比可得组人数，总人数减去组的人数即得到组的人数．
（3）将的百分比乘即得到B所在扇形的圆心角的度数．
（4）画出树状图后直接计算即可．
【详解】（1）（名）．
故答案为：
（2）．
故答案为：
（3）．
故答案为：
（4）画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有4种，
∴两人恰好选到同一门课程的概率为．
【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图信息关联，解题关键是先计算出总人数，再计算每一组的人数，重点是准确画树状图或表格．
21．为了解学生对线上学习效果的满意度．某校设置了：非常满意，满意，基本满意，不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只能选其中的一项，并将抽查结果绘制成如下的统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求被调查的学生人数，并补全条形统计图；
(2)求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
(3)按照调查结果，该校把“非常满意，满意，基本满意，不满意”的学生分别用A、B、C、D表示，若要从这四类学生中随机选取两类学生进行座谈．请利用树状图或表格求出选择A和D的概率．
【答案】(1)50，补全条形统计图见解析
(2)108°
(3)
【分析】（1）用“非常满意”的人数除以其所占的百分比，可得被调查的学生人数，再求出“基本满意”的人数，即可求解；
（2）用360°乘以“满意”的人数所占的百分比，即可求解；
（3）根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中选择A和D的有2种，再根据概率公式，即可求解．
【详解】（1）：根据题意得：被调查的学生人数为：人，
∴ “基本满意”的人数为人，
补全条形统计图，如下图：
（2）解：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为；
（3）解：根据题意，画出树状图，如下图：
一共有12种等可能结果，其中选择A和D的有2种，
∴选择A和D的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
22．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据相关信息解答下列问题：
(1)本次竞赛共有______名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
【答案】(1)200，108
(2)见解析
(3)
【分析】（1）用A级的人数除以其人数占比即可求出获奖选手的总数，进而求出B级的人数，由此即可求出C级的人数，再用360度乘以C级的人数占比即可得到答案；
（2）求出B级的人数，然后补全统计图即可；
（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意得结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：名，
∴本次竞赛共有200名选手获奖，
∴C级的人数为名，
∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是度，
故答案为：200，108；
（2）解：B级的人数为名，
补全统计图如下：

（3）解：设这三个出口分别用E、F、G表示，列表如下：
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数有3种，
∴参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图，画出树状图或列出表格是解题的关键．
23．微信圈有篇热传的文章《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机！》．年教育部办公厅下发关于加强中小学生手机管理工作的通知．通知中提到：有限带入校园，细化管理措施，加强教育引导，做好家校沟通，强化督促检查五点学校管理措施．为了解学生手机使用情况，某学校组织开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，图②的统计图．已知“查资料”的人数是人．
(1)在这次调查中，一共抽取了______名学生；
(2)在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角的度数是______度；
(3)补全条形统计图；
(4)在使用手机“查资料”的学生中，恰有人每周都是使用手机分钟，其中女男，计划在这个学生中随机抽选两个到全年级分享手机管理使用经验，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中有一个男生的概率．
【答案】(1)名
(2)度
(3)见解析
(4)见解析，
【分析】（1）将人数除所占百分比即可得到总人数；
（2）各部分对应圆心角是用百分比乘直接求解；
（3）总人数减去其他部分的人数即可；
（4）将所有可能性的结果数出后直接计算比值即为概率．
【详解】（1）（人）．
∴一共抽取了名学生．
故答案为：100；
（2）
∴“玩游戏”对应的圆心角的度数是度，
故答案为：126;
（3）（人）
（4）
如图所示，总共有种可能出现的结果，其中有一个男生的有种可能的结果，
所以所选两个学生中有一个男生的概率为．
【点睛】此题考查统计与概率，解题关节是分析图表中的数据，先求出总人数，再依题意求解圆心角的度数和各部分的人数，尤其是画树状图时需要仔细分析事件的先后顺序．
24．某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
(1)n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ；
(2)请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 °；
(3)竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】(1)60，6，12
(2)补全频数分布直方图见解析，144
(3)恰好抽到甲、乙两名同学的概率为
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值；
（2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由乘以“C”所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
故答案为：60，6，12；
（2）解：补全频数分布直方图如下：
；
扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为，
故答案为：144；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．

(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
【答案】(1)，图见解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可；
（2）图象法求出不等式的解集即可；
（3）分点在轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
图象如图所示：

（2）解：由图象可知：不等式的解集为或；
（3）解：当点在轴正半轴上时：

设直线与轴交于点，
∵，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
∴；
当点在轴负半轴上时：

，
∴
解得：或（不合题意，舍去）；
∴．
综上：或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
26．直线与反比例函数的图象分别交于点A（m，4）和点B（8，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
(1)求直线AB的解析式；
(2)观察图象，当时，直接写出的解集；
(3)若点P是x轴上一动点，当△ADP的面积是6时，求出P点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）根据反比例函数上的点的特点求得的值进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式即可；
（2）根据反比例函数和直线在第一象限的图象直接求得直线在双曲线上方时，的取值范围即可；
（3）根据（1）的解析式求得点的坐标，设P点坐标为，则，根据三角形面积公式求解即可，进而解绝对值方程求得的值，即可求得点的坐标．
【详解】（1）点和点在图象上，
，，
即，
把，两点代入中得
解得：，
所以直线的解析式为：
（2）由图象可得，当时，的解集为
（3）由（1）得直线AB的解析式为，
当时，，
点坐标为
设P点坐标为，则
ADP的面积是6
×4×PD＝6
PD＝3
解得或
P的坐标为或
因此，点P的坐标为或时，ADP的面积是6.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与坐标轴围成的面积问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
27．如图，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于， 两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出使成立的的取值范围；
(3)求的面积．
【答案】(1)一次函数解析式为；
(2)当或时，；
(3)8．
【分析】
（1）把A，B两点的坐标分别代入中，求得m，n的值，即可确定A，B两点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）找出图象中一次函数图象低于反比例函数图象部分对应的x的取值范围；
（3）分别过点A、B作轴，轴，垂足分别是E、C点．直线交x轴于D点，当时，求得D点坐标，继而可得，，，代入，求解即可．
【详解】（1）
解：分别把，代入得，，
解得，，
所以点坐标为，点坐标为，
分别把，代入得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）
解：根据图象可知：
当或时，；
（3）
解：如图，分别过点A、B作轴，轴，垂足分别是E、C点．直线交x轴于D点．
当时，，解得，则点坐标为，
∴，
∵，，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键．
28．如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，交于点，连接．

(1)反比例函数的表达式；
(2)观察图像，直接写出当时，不等式的解集；
(3)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先把点A的坐标代入一次函数解析式求出m的值即可得到点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k，即可确定反比例函数解析式；
（2）只需要找到当时，一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可解答；
（3）先求出，，进而得到，再根据三角形面积公式得到，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∵反比例函数经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：由函数图像可知，当时一次函数的图像在反比例函数图像的上方，
∴当时，，即
∴不等式的解集为．
（3）解：由题意，点，的坐标为，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时，的面积最大，最大值为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、二次函数的最值问题、反比例函数与几何综合等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键．
29．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，图见解析
(2)或；
【分析】
（1）将点A、点B的坐标代入反比例函数的解析式可求得m、n的值，利用待定系数法求得一次函数的表达式，再用描点法作图即可；
（2）不等式的解集为直线位于反比例函数上方部分时，自变量x的取值范围．
【详解】（1）
解：∵反比例函数的图象过点，，
∴，
解得，
∴，，
∵一次函数的图象过A点和B点，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为，
描点作图如下：
；
（2）
解：由（1）中的图象可得，
不等式的解集为：或；
【点睛】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，会利用待定系数法求解析式，利用数形结合思想解不等式是解题关键．
30．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点．

(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足的x的取值范围；
(3)延长交双曲线于点C，连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)16
【分析】（1）把代入得：，可知反比例函数的解析式是，把代入反比例函数得：，则B的坐标是，然后待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）由图象可知：的x的取值范围是一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的的取值范围；
（3）如图，过C点作轴，交直线于D，由，A、C关于原点对称，可得，把代入，解得，即，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴反比例函数的解析式是，
把代入反比例函数得：，
∴B的坐标是，
把A、B的坐标代入一次函数得：，
解得：，，
∴一次函数的解析式是；
（2）解：由图象可知：的x的取值范围是或；
（3）解：如图，过C点作轴，交直线于D，

由反比例函数图象可知，A、C关于原点对称，
∵，
∴，
把代入，解得，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为16．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与几何综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
31．如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．

(1)求证：是切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）连接OC，证明，即可得到结论；
（2）连接AC，证明，从而可得，再代入求值即可；
（2）连接，证明，从而可得，，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接，

∵点C是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴半径，
∴是切线；
（2）连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，

∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定、切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
32．如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作，使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点F．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得出，由等边对等角得出，即可得出，进而判定，根据平行线的性质得到，即，即可得解；
（2）由是直径得出，根据两角相等的两个三角形相似得到，即可得出，根据和，得到，代入比例式可得；
（3）根据阴影部分面积等于的面积减去扇形的面积求解即可．
【详解】（1）证明：直线与相切，
理由如下：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
（2）∵是直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴（负值舍去）．
（3）∵在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴, ，
∴，
，
∴．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记相关的定理及证明直线与相切是解题的关键．
33．如图（1），在△OAB中，AB＝2cm，OB＝4cm，点A在半径为2cm的⊙O上．
(1)求证：直线AB与⊙O相切；
(2)如图（2），CD切⊙O于点C，CD＝2cm，连结BD，交⊙O于点E，F．
①求证：DE＝BF；
②若EF两点重合，如图3，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②
【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明∠OAB＝90°．即可证明切线．
（2）①根据垂径定理得到EH＝FH，然后证明△OAB≌△OCD，即可得到OB＝OD从而有BH＝HD，即可求证结论了；
②先说明BD与⊙O相切，即可找到∠AOB＝∠EOB，根据三角函数即可求出∠AOB＝30°，从而便可计算阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：∵AB＝2cm，OB＝4cm，OA＝cm，
∴AB2＋OA2＝OB2，
∴∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB，
∵点A在圆上，
∴直线AB与⊙O相切．
（2）①连接OC、OD，作OH⊥EF于点H，如图所示：
∴EH＝FH，
∵AB＝2cm，CD＝2cm，
∴AB＝CD，
∵CD切⊙O于点C，
∴∠C＝90°，
在△OAB与△OCD中，
∴△OAB≌△OCD（SAS），
∴OB＝OD，
∵OH⊥EF，
∴BH＝HD，
∴BH−HF＝DH−EH，
∴DE＝BF．
②连接OC、OD、OE如图所示：
∵OB＝OD，DE＝BF，
∴OE⊥BD，
∴BD与⊙O相切，
∴AB＝BE＝2cm，
在与中，
，
∴∠ABO＝∠EBO，∠AOB＝∠EOB，
∵sin∠AOB＝，
∴∠AOB＝30°，
∴∠EOB＝30°，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线证明方法和切线的性质、扇形面积计算，圆的垂径定理内容，解题的关键在于根据题意利用勾股定理和垂径定理找到相应线段相等和角的度数．
34．如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若的半径为2，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1） 见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）连接OD，由DF⊥AC，证明OD∥AC即可；
（2）连接AD，由△ADC∽△DFC，可得＝，即CD2＝CF•AC，再证明CD＝BC即可；
（3）连接AD，OE，根据已知求出∠AOE＝90°，从而可得S扇形AOE和S△AOE，即可得到答案．
【详解】解：（1）连接，如图：
，
，
，
，
，
∥，
，
，
∴直线是的切线；
（2）连接，如图：
为直径，
，
，
，
∵，
，
，即，
，
，
，
；
（3）连接，如图：
，
，
，
，
，
的半径为2，
，
．
【点睛】本题考查圆的切线判定、圆周角定理，扇形面积公式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是恰当连接辅助线，熟练掌握运用圆的相关性质和等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．
35．如图1，在中，，是的直径，交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点，是的切线．

(1)求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的周长；
(3)如图2，，连接，交于点，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）是的切线，得出，从而，根据，得出，从而，再推出，得出，从而；
（2）证明是等边三角形，可得，再由弧的长度，在中，求出，，则阴影部分的周长为；
（3）连接，过点作交于点，利用同弧所对的圆周角相等，得到，设，则，分别求出，，再由，得到，即可求出．
【详解】（1）证明：连接，

∵是的切线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵
∴；
∴
∴
由∵
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
，
是的切线，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
的长度，
在中，，，
，，
阴影部分的周长为；
（3）解：连接，过点作交于点，

，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，切线的性质，弧长公式，同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定及性质，平行线的性质是解题的关键．
36．如图，PA是的切线，切点为A，AC是的直径，连接OP交于D．过点C作，连接AB交OP于点E．
（1）求证：PB是的切线；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是，求阴影部分的面积；
（3）若且，求AB的长度．
【答案】（1）见解析（2）（3）4
【分析】（1）连接OB，再证明△AOP≌△BOP，可得结论．
（2）先证明△AOD是等边三角形，设OE＝m，用m的代数式表示AB，OP，构建方程求出m，求出OA，AB，OE，再根据S阴＝S扇形OAB−S△AOB，求解即可．
（3）在Rt△AOE中，，可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝，在Rt△ADE中，根据AD2＝AE2＋DE2，构建方程求出x，故可求解．
【详解】（1）证明：连接BO，
∵PA是的切线，
∴AP⊥AO，
∴∠PAO=90°
∵，AC是直径
∴∠AEO=∠ABC=90°
∴OP⊥AB，
∴∠AOP=∠BOP
又∵AO=BO，OP=OP
∴△AOP≌△BOP，
∴∠PBO =∠PAO=90°，
∴PB是的切线
（2）解：∵E是OD的中点
∴OE＝DE，
∵AB⊥OD，
∴∠AEO=∠AED=90°
又AE=AE
∴△AEO≌△AED（SAS）
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∠OAE=30°
设OE＝m，则AO=2m，AE＝BE＝m，AB=2m，OA＝2m，
∵∠APO=90°-∠AOP=30°
∴OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16，
∴•OP•AB＝16，
∴×4m×2m＝16，
∴m＝2或−2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB−S△AOB＝−×4×2＝．
（3）解：在Rt△AOE中，，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴（）2＝（x）2＋（2x）2，
∴x＝1或−1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝，
∴AB=2AE=4．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线长定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
37．如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可；
（3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，
∴，
即：的最小值为：；
（3）解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．经过点B的直线与y轴交于点，与抛物线交于点E．
(1)求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
(2)若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
(3)若点M是直线BE上的动点，过M作轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝，点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，4）
(2)点P的坐标为(－1，3)
(3)存在，点M的坐标为：(，)或(，)
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点B、C坐标;
（2）利用待定系数法可求出一次函数解析式，由A、B关于对称轴对称，则BE与抛物线对称轴交点，即为△AEP的周长最小时，点P的坐标；
（3）由MN∥CD可知MN为平行四边形的边，设M(，)，N(， )，利用MN=CD，可得到关于的方程，从而求出点M坐标．
【详解】（1）解：∵点A(－4，0)在抛物线上，
∴0＝16－8＋4，
∴＝，
∴y＝.
令y＝0，得＝0
解得：
∴点B的坐标为(2，0)，
令x＝0，则y＝4，
∴点C的坐标为(0，4)．
（2）解：
由y＝
可得对称轴为：，
∵△AEP的边AE是定长，
∴当PE＋PA的值最小时，△AEP的周长最小.
点A关于的对称点为点B，
∴当点P是BE与直线的交点时，PE＋PA的值最小.
∵直线BE经过点B(2，0)，D(0，2)，
∴ 得，
∴直线BE：，
令，得，
∴当△AEP的周长最小时，点P的坐标为(－1，3)．
（3）存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
∵MN∥CD，
∴要使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则MN＝CD即可，
∵CD＝4－2＝2，
∴MN＝CD＝2，
∵点M在直线上，
∴可设点M的坐标为(m，－m＋2)，则点N的坐标为(m，)，
∴，
即，
当，
解得，
此时点M的坐标为：(，)或(，)，
当时，
解得（舍去），
综上所述，存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：(，)或(，)．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的应用、平行四边形的性质、方程思想、分类讨论等知识点．（1）中注意函数图像与坐标轴交点求法，（2）确定点P位置是解题关键，（3）利用平行四边形的性质得到关于M点坐标方程是关键．
39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)该抛物线的函数表达式为；
(2)的最大值为，此时；
(3)点N的坐标为或或．
【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可；
（2）设交于H，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可．
【详解】（1）解：将点，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：如图，设交于H，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴
，
∴当时，取得最大值，此时；
（3）解：由题意得：平移后抛物线解析式为，，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴设，，
分情况讨论：
①当为对角线时，
则，
解得：，此时，
∴点N的坐标为；
②当为对角线时，
则，即，
此时，
∴点N的坐标为；
③当为对角线时，
则，即，
此时，
∴点N的坐标为，
综上所述，点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程．
40．如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为，对称轴是直线，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形的面积最大，最大值为，
(3)存在，或或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设点，则连接，根据得到四边形面积的函数解析式，利用二次函数的性质解答即可；
（3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可．
【详解】（1）由题意得：，
解得，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）设点，则
连接，
∵点B的坐标为，对称轴是直线，
∴
当中时，，∴，
∴
，
∴当时，且，此时四边形的面积最大，最大值为，
∴

（3）存在，
∵，，
∴直线的解析式为，
设，则，
∵轴，
∴轴，即，
∴是以M、N、C、Q为顶点的菱形的边；
如图3-1所示，当为对角线时，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，即轴，
∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，
∴点N的坐标为，
∴，
∴；
如图3-2所示，当为边时，则，

∵
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-3所示，当为边时，则，

同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-4所示，当为边时，则，

同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如图3-5所示，当为对角线时，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，这与题意相矛盾，
∴此种情形不存在
如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，

∵轴，
∴，
∵，
∴，这与三角形内角和为180度矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述，或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
41．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于，两点，与轴交于点 ， 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，点， 在抛物线上，点 在点 左侧，若 是等边三角形，求 的值．
(3)如图2，在线段 上是否存在一点，使得以，， 为顶点的三角形与 相似若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数综合运用，特殊三角形问题，相似三角形的性质；
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意可得关于直线对称，，过点作于点，根据等边三角形的性质，进而列出方程，解方程，即可求解；
（3）先求得，得出，进而分两种情况讨论，分别求得直线的解析式，进而联立的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x 轴交于，两点，
∴
解得：
∴
（2）解：∵
∴对称轴为直线，
∵点， 在抛物线上，点 在点 左侧，
∴关于直线对称，
如图所示，过点作于点，
∵ 是等边三角形，则
∴
∴，
解得：（舍去）或
（3）∵，当时，，则
如图所示，过点作轴于点，过点作于点，
∵，，，，
∴，，，，,
∵，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为
将，，代入
解得：
∴直线的解析式为
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴以，， 为顶点的三角形与 相似有两种情况，
①当时，
此时为第二四象限平分线，即，
∴
解得：
∴
②当时，
∴
∴
∵，，
设直线的解析式为
∴
∴
∴直线的解析式为
联立
解得：
∴
综上所述，或．
42．如图，已知抛物线上轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．．

(1)直接写出B、C两点的坐标；
(2)在抛物线上是否存在点（异于点，且在直线的右侧），使、两点到直线的距离相等，求出满足条件的点坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)， ；
(2)不存在，理由见解析；
(3)存在，点或．
【分析】本题考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等，正方形的判定及性质等知识，掌握相关知识是解题关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题知，过点作的平行线与抛物线没有交点，即可判断；
（3）分点在左侧和点在右侧两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图象及性质，进而求解．
【详解】（1）解：把点代入中得，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
解得，
∴点，
当时，，
∴点．
（2）解：要使 、两点到直线的距离相等，则过点作的平行线，如图：

∵点在右侧，
∴过点的的平行线与抛物线没有交点，
∴不存在点，使、两点到直线的距离相等．
（3）解：抛物线上存在点，使得，理由如下：
由得
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，

在和中，
，
设直线的解析式为
将代入， 得：
解得：，
∴设直线的解析式为
由得：或
②当点在右侧时， 如上图，作关于的对称交二次函数 于点则
∴四边形是正方形，
令中，则
解得或
，
在和中，
，
∴在点抛物线上，即点满足条件
，
故存在满足条件的点有两个，分别是．
43．问题情境：如图1，在中，，是边上的中线．如图2，将的两个顶点B，C分别沿折叠后均与点D重合，折痕分别交于点E，G，F，H．

猜想证明：
(1)如图2，试判断四边形的形状，并说明理由．
问题解决；
(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交于点M，N，的对应线段交于点K，求四边形的面积．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)30
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到，即可得出结论．
（2）先证明四边形为平行四边形，过点作于点，等积法得到的积，推出四边形的面积，即可得解．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵在中，，是边上的中线，
∴，
∵将的两个顶点B，C分别沿折叠后均与点D重合，
∴，
∴，
∴，
∴，
同法可得：，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
由（1）知：，，
∴，
过点作于点，

∵，
∴，
∵四边形的面积，，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，平行线分线段对应成比例，菱形的判定，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
44．课本再现
(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在中，对角线，垂足为．
求证：是菱形．

(2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．

①求证：是菱形；
②延长至点，连接交于点，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则， ，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；
（2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证；
②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴， ，
∵
∴，
在中，
∴
∴，
同理可得，则，
又∵
∴
∴四边形是菱形；
（2）①证明：∵四边形是平行四边形，．
∴
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，过点作交于点，

∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
45．如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点．
(1)求证：；
(2)连接．
①当时，求的值．
②如果是以为腰的等腰三角形，直接写出的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②的度数是或
【分析】（1）由正方形的性质得，，则，所以，，则，所以，从而可得结论；
（2）①作于点，则，而，所以，则，可证明，得，作于点，可证明，则，因为，得出，可得出答案；
②分两种情况讨论，一是，则，可推导出，则，作于点，可证明，所以，则，所以，则，可求得；二是，则，可证明点在上，则，求得，则．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，，
，，
，
，，
，
，
，
．
；
（2）①如图1，作于点，则，
，
，
，
，
，
，
作于点，则，
，
，
，
，
，
，
的值是2．
②如图2，是等腰三角形，且，则，
，
，，
，
，
作于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图3，是等腰三角形，且，则，
，
，
，
，
点在正方形的对角线上，
，，
，
，
，
综上所述，的度数是或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理，锐角三角函数的应用，掌握相关定理与性质是解题的关键．
46．综合探究
几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【问题情境】
分别以的两边和为边作正方形和，连接，探究与之间的关系．
【初步感知】
（1）如图1，若，直接写出与之间的关系；
【深入探究】
（2）①在图2中，与之间有怎样的关系？说明理由；②改变点B的位置，画出异于前面两种情况的图形，判断与之间的关系是否依然成立？
【拓展延伸】
（3）如图3，连接，，过点C作，垂足为点H，的延长线交于点M，求证：．

【答案】（1），；（2）①，，理由见解析；②与之间的关系仍然成立，理由见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）如图所示，延长交于H，先由正方形的性质得到，证明点B在上，进而证明，得到，，再由三角形内角和定理和对顶角相等得到，即可得到，；
（2）①如图所示，延长分别交于H，于M，同理可证明，则，同理可推出，即；②先根据题意画出图象，如图所示，设交于H，交于M，同理可证明，得到，同理可证明，即；
（3）延长到Q使得，连接，分别交于N、T，证明，得到，同理证明，推出，由平行线分线段成比例定理得到，即．
【详解】解：（1）如图所示，延长交于H，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∵，
∴点B在上，
∴，
∴，，
又∵，
∴，即，
∴，；

（2）①，，理由如下：
如图所示，延长分别交于H，于M，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，；

②与之间的关系仍然成立，理由如下：
如图所示，设交于H，交于M，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，；

（3）如图所示，延长到Q使得，连接，分别交于N、T，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行线分线段成比例定理等等，正确利用“手拉手”模型证明三角形全等是解题的关键．
47．【问题提出】
（1）如图1，在四边形中，，，，点E为的中点，点F为BC上一点，连接EF，，则的长为________；
【问题探究】
（2）如图2，菱形的边长为8，且，E是的中点，F为对角线上一动点，连接，求周长的最小值；
【问题解决】
（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形所示，经测量，米，米，，并沿着对角线修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成和两个区域，其中区域为幼苗培育区，区域为作物观察区，的中点P处有一扇门，现计划在上取点E、F（点E在点F左侧），并沿修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，米，且与的长度之和最小，请问的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）11；（2）；（3）的值存在最小值，最小值为米．
【分析】（1）根据中点的定义求出，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据线段和差即可得到答案；
（2）先求出，则当最小时，的周长最小．连接交AC于点，证明，则，即可得到，则当B、F、E三点共线，即点F在点的位置时，取得最小值，最小值为的长．过点E作交的延长线于点H， 进一步求出，得到的最小值为．即可得到答案；
（3）过点P作于点H，得到米．在上取点N，使得米，连接．得到四边形为平行四边形，进一步得到．作点N关于的对称点，连接交于点，连接交于点G，则垂直平分，，即，则当点D、F、三点共线，即点F在点处时，取得最小值，最小值为，进一步求出米，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，点E为的中点，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：11
（2）菱形的边长为8，点E为的中点，
，
当最小时，的周长最小．
连接交AC于点，如图2．
四边形为菱形，
，．
在和中，，，，
，
，
，
当B、F、E三点共线，即点F在点的位置时，取得最小值，最小值为的长．
过点E作交的延长线于点H，如图2．
四边形为菱形，
，
．
，
，，
，
，
即的最小值为．
∴周长的最小值为．
（3）过点P作于点H，如图3．
，于点H，
∴．
点P为的中点，即，
点H为的中点，即米．
在上取点N，使得米，连接．
，
四边形为平行四边形，
，
．
作点N关于的对称点，连接交于点，连接交于点G，如图3．
则垂直平分，，即，
当点D、F、三点共线，即点F在点处时，取得最小值，最小值为的长．，
过点作交的延长线于点M，如图3．
∴
∴．
∴，
∴米，
∴米．
点P、H分别为的中点，
为的中位线，
米，
米，
米，
米，
即的值存在最小值，最小值为米．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、解直角三角形、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键．
48．综合与实践
问题情境：
如图1，在正方形中，是对角线，过点作，为垂足，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．
问题解决：
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）如图2，将四边形绕着点逆时针方向旋转，得到四边形，且三点在同一条直线上，过点作为垂足，连接并延长交于点，
①求证：是的中点；
②若正方形的边长为2，请直接写出的长．
【答案】（1）正方形，见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）根据四边形是正方形，得出是等腰直角三角形，，再根据，得出．，再结合，，即可证明；
（2）①证明： 过点作为垂足，证明四边形是矩形，再结合四边形是正方形，，证出是等腰直角三角形，证明，从而证出，即可证明；
②如图， 延长交的延长线于，根据旋转可知，，算出，，根据勾股定理算出，从而算出，证明 根据等面积法算出，再根据勾股定理算出，即可求解；
【详解】（1）四边形的形状是正方形．
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形．
（2）①证明： 过点作为垂足，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
∵四边形是正方形，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
又 ∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
又 ∵，
∴．
∴是的中点．
②如图， 延长交的延长线于，
由①知：，
，
，
由（1）可知，
由旋转可知，，
，
，
，
，
，
，
，，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质和判定，旋转的性质，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等面积法等知识点，解题的关键是正确做出图形和辅助线，掌握以上知识点．
第一列
第二列
第三列
第一行
8
2
7
第二行
4
5
8
第三行
8
6
a
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
E
F
G
E
（E，E）
（F，E）
（G，E）
F
（E，F）
（F，F）
（G，F）
G
（E，G）
（F，G）
（G，G）
分组
频数
A：
a
B：
18
C：
24
D：
b
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．