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所属成套资源：2024届中考冲刺阶段-中考数学真题及变式题强化训练
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2024届冲刺阶段-中考真题（2023山东青岛）及变式题训练-解答题部分（山东青岛中考专用）
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这是一份2024届冲刺阶段-中考真题（2023山东青岛）及变式题训练-解答题部分（山东青岛中考专用），文件包含冲刺2024中考真题及变式题-解答题部分山东青岛中考专用解析版docx、冲刺2024中考真题及变式题-解答题部分山东青岛中考专用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共179页， 欢迎下载使用。
本卷整体难度适中，考试范围包括图形的变化、数与式、图形的性质、统计与概率、方程与不等式、函数等知识点。选择填空题的基础占比较高，主要考查同学们的细心。解答题部分基础分和综合提高分占比合理，17题~21题难度偏简单，同学们可以较好拿分，但容易出错，需要同学们在考场中稳扎稳打，细心有耐心。同时，题型稳中有创新，比如解答题第22题和25题，可以让同学们感受到题型新意，对同学们的思维能力有一定的要求。具体分析如下表：
【2024冲刺中考建议】
在冲刺阶段，回归课本，夯实基础，务必把基础分拿到手。在此基础上，多加归类复习几次大型模拟考试的易错点，熟悉综合大题的思路方法，把握综合大题的分析思路，进一步提高核心素养。同时，可以多接触创新性题型，熟练在陌生情境下独立思考、尝试探究、分析并解决问题的能力，从而提高考场的应变能力。
【2023青岛真题第17】
1．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．
【变式题第17】
2．如图，在三角形中，请用尺规作图法在上找一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）
3．如图，在中，，点D为中点，连接．
(1)作的平分线交于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；
(2)若，求的度数．
4．如图，在中，，是的角平分线，E是延长线上一点，连接．
(1)用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若（1）中的垂直平分线与交于点F，连接，写出线段和的数量关系及位置关系，并说明理由．
5．如图，已知四边形是平行四边形．
(1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于E．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)猜想与证明：试猜想线段，和的数量关系，并加以证明．
6．如图，为内接四边形，为的直径，，点为上一点，且．
(1)求作点，连接，延长，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，连接．
①求证：为等腰三角形；
②若，，求弦的长．
【2023青岛真题第18】
7．解不等式组或计算
(1)
；
(2)
．
【变式题第18】
8．先化简，再求值：，其中．
9．先化简，再求值：，其中在1，，中选一个你喜欢的数代入求值．
10．先化简，再求值：，其中x是方程的根．
11．解不等式（组），并把此不等式（组）的解集在数轴上表示出来
(1)解不等式：
(2)解不等式组：
12．解下列不等式（组），并把它的解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)
【2023青岛真题第19】
13．今年4月日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分分）均不低于分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为______；
(3)把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：的中间值为）来代替，试估计小明班级的平均成绩；
(4)小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有名学生中会有名学生成绩低于分，实际只有名学生的成绩低于分．请你分析小明估计不准确的原因．
【变式题第19】
14．某市“每天锻炼一小时，幸福生活一辈子”活动已开展了一年，为了解该市此项活动的开展情况，某调查统计公司准备采用以下调查方式中的一种进行调查：
A．从一个社区随机选取200名居民；
B．从一个城镇的不同住宅楼中随机选取200名居民；
C．从该市公安局户籍管理处随机抽取200名城乡居民作为调查对象，然后进行调查．
(1)在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是________(填序号)；
(2)由一种比较合理的调查方式所得到的数据制成了如图所示的条形统计图．在这项调查中，这200名居民每天锻炼2小时的人数是________人；
(3)若该市有100万人，请你利用(2)中的调查结果，估计该市每天锻炼2小时及以上的人数是多少；
(4)若该市有100万人，你认为这个调查活动的设计有没有不合理的地方？谈谈你的理由．
15．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：
收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78
整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：
分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）；
(2)在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）；
(3)现在甲、乙两校要共同举行第二轮升级赛，想从两校成绩均在范围内的学生中选取两名参加比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人恰在同一学校的概率．
16．在第29个“爱眼日”来临之际，某校数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下报告（不完整）．
结合调查报告，回答下列问题：
(1)______，______；
(2)已知该校八年级有800名学生，估计该校八年级视力正常（4.7及以上为正常视力）的人数有多少？
(3)该统计结果引起了同学们的重视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出两条爱眼护眼的合理化建议．
17．“综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格：
请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：___________，____________，____________；
(2)该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数；
(3)本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率．
18．【数据的收集、整理与描述】
新修订的体育法明确国家实行青少年和学校体育活动促进计划，学校要保障学生每天一小时体育锻炼．某学校启动了阳光体育锻炼活动并对九年级学生肺活量进行测试，小敏随机抽取了20名同学的肺活量（单位：）并制成下表：
经过2个月的体育锻炼，学校第二次对所有九年级学生的肺活量进行测试．小敏对这20名同学第二次的肺活量进行整理并绘制出如下条形统计图．
【数据的分析】
小敏对这20名学生两次肺活量测试情况进行分析得到下表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中 ， ， ；
(2)该校九年级共有360名学生，估计第二次测试肺活量为的人数；
(3)你认为两个月的体育锻炼是否促进该校九年级学生肺活量的提升？请你从表格中选择两个统计量进行说明．
【2023青岛真题第20】
19．为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A、B、C表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．
【变式题第20】
20．某小区某天在广场设置了A、B、C三个核酸检测通道，甲、乙两人这天均随机选择这三条通道中的一条进行核酸检测.用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两人这天在同一个检测通道进行核酸检测的概率.
21．丽江历史文化灿烂，自然风光优美，民族团结进步，是全国唯一拥有三项世界遗产桂冠的城市，也是让人魂牵梦萦和“舍不得”的诗和远方．自今年以来，以“舍不得的丽江”为主题的活动在丽江市各个地方同时开展．某学校需从，，三名女生和，两名男生中选派两位同学参加市级征文比赛．
(1)用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求出所有可能出现的结果总数．
(2)若，是你的好朋友，请求出他们同时被选中的概率．
22．有四张背面完全相同的纸牌，其正面分别写有汉字“我”“爱”“广”“雅”，将这四张纸牌背面朝上放到水平桌面上，并洗匀．
(1)若从中随机抽取一张纸牌，纸牌上的汉字是“我”的概率是______；
(2)若先从中任取一张纸牌，再从剩下的纸牌中任取一张，请用画树状图或列表的方法，求取出的两张纸牌上的汉字能组成“广雅”的概率．
23．小李和小张是足球爱好者，某天他们相约一起去足球比赛现场为南通支云队加油，现场的观赛区分为A，B，C，D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
(1)小李购买门票在A区观赛的概率为_________；
(2)请用画树状图或列表法求小李和小张在同一区域观看比赛的概率．
24．“英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展．某社区组织了形式多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民服务摊位，吸引了众多市民前来参与活动．其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的频数分布表：
(1)参与义诊活动的市民平均年龄为______岁；
(2)某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率．
【2023青岛真题第21】
25．太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）
【变式题第21】
26．如图，雨后初晴，李老师在公园散步，看见积水水面上出现阶梯上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角∠1、测量点A到水面平台的垂直高度AB、看到倒影顶端的视线与水面交点C到AB的水平距离BC．再测得梯步斜坡的坡角∠2和长度EF，根据以下数据进行计算，如图，AB＝2米，BC＝1米，EF＝4米，∠1＝60°，∠2＝45°．已知线段ON和线段OD关于直线OB对称．（以下结果保留根号）
（1）求梯步的高度MO；（2）求树高MN．
27．数学活动课上，小明同学利用无人机测量大楼的高度．无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为120米，楼的高度为18米的处测得楼的处的仰角为（点、、、、在同平面内）．
(1)求楼的高度（结果保留根号）；
(2)求此时无人机距离地面的高度．
28．为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶测得处的俯角为，处的俯角为，乙在山下测得，之间的距离为100米．已知，，在同一水平面的同一直线上，求山高（结果保留根号）．
29．我市的美舍河西岸屹立着一座古塔一一明昌塔，它是明代琼北最高的宝塔，塔高为33米．明昌塔前方有一斜坡，如图，在塔顶P处测得A处的俯角为，测得B处的俯角为．已知斜面的坡度为，且．
(1)填空：__________，__________；
(2)求点B到明昌塔的距离（结果保留根号）；
(3)求的长．
30．如图，射线表示一艘轮船的航行路线，从到的走向为南偏东30°，在的南偏东60°方向上有一点，处到处的距离为200海里．
（1）求点到航线的距离．
（2）在航线上有一点.且，若轮船沿的速度为50海里/时，求轮船从处到处所用时间为多少小时．（参考数据：）
【2023青岛真题第22】
31．如图①，正方形的面积为1．
(1)如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______；
(2)如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______；
(3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______．
【变式题第22】
32．（7分）下面的图形是由正方形按照某种规律排列而成的．
(1)观察图形，填写下表：
（2）第n个图形中，正方形的个数为______________（用含n的代数式表示）；
（3）第2017个图形中，正方形的个数为______________；
（4）若每个正方形的面积为2，当某个图形中正方形的个数为88个时，该图形的周长为多少？
33．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；
，
(1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变规律：_________；________．
(2)若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？
(3)求出的值．
34．（1）某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为2m的甬道，其余部分种草，甬道所占面积为多少 ？（用含 x的式子表示）
（2）该小区还有块长方形场地，将其分成了下图中的 9 个部分用以种植花卉，其中有⑤和⑨是正方形，其余的为长方形．
I.已知③④⑤⑥四个部分的周长分别为a 、10 、8 、b，直接写出长方形场地的面积 （用含 a 、b 的式子表示）；
II.事实上，只要知道三个部分的周长就可以求出长方形场地的面积，直接写出这三个部分的序号，要求写出两组．
35．用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为米的小路．
(1)铺第5个图形用黑色正方形瓷砖_____块，白色_____块；
(2)按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖__________块，白色正方形瓷砖________块：（用含n的代数式表示）
(3)若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长米×宽米），且黑色正方形瓷砖每块价格20元，白色正方形瓷砖每块价格25元，若按照此方式恰好铺满该小路某一段（该段小路的总面积为平方米），求该段小路所需瓷砖的总费用．
36．将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），线段和交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形．
(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形；
(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形；
(3)能否将正方形划分成共有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由；
(4)如果设原正方形的边长为1，按照上述方式不断地分割该正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，尝试求出的结果（直接写出答案即可）．
【2023青岛真题第23】
37．某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【变式题第23】
38．某工厂有甲，乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品．如果销售A产品30件，B产品20件，共收入680元；如果销售A产品50件，B产品40件，共收入1240元．
(1)求A、B两种产品每件销售各多少元；
(2)现要销售A、B两种产品共300件，总费用不超过4000元，那么A产品最少销售多少件？
39．重百江津商场销售AB两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A商品和5件B种商品所得利润为1100元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？
（2）由于需求量大A、B两种商品很快售完，重百江津商场决定再次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么重百江津商场至少购进多少件A种商品？
40．近年来，郑州取得了飞速的发展，以高新区发展为例，郑州大学集结了一大批领先的科技创新领军项目，正如火如荼地推进建设，据报道，高新区某公司打算购买A，B两种花装点城区道路，公司负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和3盆B种花需要14元，购买3盆A种花和2盆B种花需要13元．
(1)求A，B两种花的单价各为多少元？
(2)公司若购买A，B两种花共10000盆，设购买的A种花m盆（），总费用为W元；
①求W与m的关系式；
②请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少？并求出最少费用为多少元？
41．为庆祝祖国70周年华诞，阳光超市销售甲、乙两种庆祝商品，该超市若同时购进甲、乙两种商品各10件共花费400元;若购进甲种商品30件，购进乙种商品15件，将用去750元；
（1）求甲、乙两种商品每件的进价；
（2）由于甲、乙两种商品受到市民欢迎，十一月份超市决定购进甲、乙两种商品共80件，且保持（1）的进价不变，已知甲种商品每件的售价为15元，乙种商品每件的售价40元，要使十一月份购进的甲、乙两种商品共80件全部销售完的总利润不少于600元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？
42．为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲、乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下，请问当甲种型号水杯购进多少个时，第三个月的利润最大，最大利润是多少？
【2023青岛真题第24】
43．如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．
(1)求证：；
(2)连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
【变式题第24】
44．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结、．
(1)求证：；
(2)当四边形满足什么条件时，四边形是菱形？证明你的结论．
45．如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
46．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点．
(1)求证；
(2)连接，求证：四边形是菱形．
47．如图，在正方形中，G是对角线上的一点（与点B，D不重合），，，E，F分别为垂足，连接，并延长交于点H．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
48．如图，在四边形中，，分别为的中点，顺次连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当与满足什么关系时，四边形为正方形？请说明理由．
【2023青岛真题第25】
49．许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
【变式题第25】
50．某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方．
(1)如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．
(2)如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围．
(3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值．
51．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
(1)【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程．
②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标．
(2)【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围．
(3)【拓展应用】
半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ．
52．综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点是第一象限内二次函数图象上的动点，过点P作x轴的平行线，与直线交于点M，与直线交于点E．过点P作直线的平行线，与直线交于点N．直线与直线交于点D．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标及直线的函数关系表达式；
(2)当时，求出m的值；
(3)在点P运动的过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出线段的最大值；若不存在，请说明理由．
53．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G．
(1)求点C的坐标和抛物线的函数表达式；
(2)设点D的横坐标为m，在点D运动过程中，请求出m为何值时，取最小值．
(3)在（2）的条件下，若点P是x轴上一点，在平面内是否存在一点Q，使四边形是面积为的平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
54．对于函数P与函数Q作如下定义；若函数P与函数Q只有一个公共点，则称函数P与函数Q互为“融创函数”，唯一的公共点记为．
(1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是_______，
①；②﹔③．
(2)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数y上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数y上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求n的取值范围；
(3)已知函数与函数互为“融创函数”，若将函数向左平移个单位得到函数M．若函数P与函数M有两个交点记为A、B，求线段长度的最大值．
【2023青岛真题第26】
55．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式题第26】
56．已知长方形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，设
(1)已知点在第一象限且是直线上的一点，设点横坐标为，则点纵坐标可用含的代数式表示为_________；
(2)在（1）的条件下，此时若是等腰直角三角形，求点的坐标；
(3)直线过点，请问在该直线上，是否存在第一象限的点使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由.
57．【方法回顾】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形，直线l经过点A，于点E，于点F，若点A的坐标为，，求的长；
【问题解决】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为菱形，直线于点A交于点P，交l于点E，点F在上，且，若，，求点E，F的坐标；
【思维拓展】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，直线l分为两部分，于点E，于点F，若点F的坐标为，直接写出点E的坐标．
58．【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边，上．容易发现且．
【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转（）．
（1）如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由．
（2）小组研究发现：如图3，连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 ．
【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转a（）．
（3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段的长；
（4）如图4，连接，取中点H，连接，请直接写出线段长度的最大值．
59．综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师提出如下数学问题：如图1，将矩形纸片以点C为中心顺时针方向旋转，当点A的对应点E落在的延长线上时，求证．
数学思考：
（1）请你解决老师提出的问题．
深入探究：
（2）“智慧小组”在解决老师提出的问题后，在图1的基础上又提出新的问题：如图2，过点F作，垂足为M．过点G作，垂足为N．试猜想线段，，的数量关系，并说明理由．请你解决该问题．
（3）“创新小组”受到“智慧小组”的启发，在图2的基础上连接，得到图3．并且提出：若，．求的长．请你思考该问题，并直接写出结果．
60．探究与推理
如图1，在矩形中，，，连，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动．过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连交于点，设运动的时间为秒；
(1)用含有的式子表示．
(2)当为何值时，点恰好落在线段上；
(3)如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由．
题号
难度系数
详细知识点
17
0.85
线段垂直平分线的性质；作垂线(尺规作图)；
18
0.65
分式化简求值；求不等式组的解集；
19
0.65
判断是否是简单随机抽样；画条形统计图；求扇形统计图的圆心角；求一组数据的平均数；
20
0.85
列表法或树状图法求概率；
21
0.65
仰角俯角问题(解直角三角形的应用)；
22
0.65
用代数式表示数、图形的规律；根据正方形的性质求面积；
23
0.65
销售、利润问题(二元一次方程组的应用)；用一元一次不等式解决实际问题；最大利润问题(一次函数的实际应用)；
24
0.85
用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质证明；证明四边形是矩形；
25
0.40
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移；求抛物线与x轴的交点坐标；面积问题(二次函数综合)；
26
0.40
证明两三角形相似；解直角三角形的相关计算；面积问题(二次函数综合)；
组别
甲
4
11
13
10
2
乙
6
3
15
14
2
统计量
平均数
众数
中位数
方差
甲
86
m
乙
84
76
调查目的
1.了解本校八年级学生的视力健康水平
2.给同学提出更合理地使用眼睛保护视力的建议
调查方式
随机抽样调查
调查对象
部分八年级学生
调查内容
部分八年级学生的视力
调查结果
部分学生视力情况频数分布表
视力
频数
频率
6
0.15
a
0.2
22
0.55
4
b
合计
…
…
部分学生视力情况频数分布直方图
建议
…
项目
选择人数
频率
A．制作视力表
4
B．猜想、证明与拓广
C．池塘里有多少条鱼
20
0.5
样本学生的肺活量
2500
2200
3000
2500
3500
3000
3300
2800
2000
3000
3000
2800
3000
2200
2500
2800
3600
3000
2500
2800
平均数/ml
中位数/ml
众数/ml
方差
第一次
2800
2800
a
167000
第二次
3065
b
c
159275
年龄分组/岁
频数
15
25
40
20
品名
A
B
进价（元/件）
45
60
售价（元/件）
66
90
时间
销售数量（个）
销售收入（元）（销售收入=售价×销售数量）
甲种型号
乙种型号
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
本卷整体难度适中，考试范围包括图形的变化、数与式、图形的性质、统计与概率、方程与不等式、函数等知识点。选择填空题的基础占比较高，主要考查同学们的细心。解答题部分基础分和综合提高分占比合理，17题~21题难度偏简单，同学们可以较好拿分，但容易出错，需要同学们在考场中稳扎稳打，细心有耐心。同时，题型稳中有创新，比如解答题第22题和25题，可以让同学们感受到题型新意，对同学们的思维能力有一定的要求。具体分析如下表：
【2024冲刺中考建议】
在冲刺阶段，回归课本，夯实基础，务必把基础分拿到手。在此基础上，多加归类复习几次大型模拟考试的易错点，熟悉综合大题的思路方法，把握综合大题的分析思路，进一步提高核心素养。同时，可以多接触创新性题型，熟练在陌生情境下独立思考、尝试探究、分析并解决问题的能力，从而提高考场的应变能力。
【2023青岛真题第17】
1．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．
【变式题第17】
2．如图，在三角形中，请用尺规作图法在上找一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）
3．如图，在中，，点D为中点，连接．
(1)作的平分线交于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；
(2)若，求的度数．
4．如图，在中，，是的角平分线，E是延长线上一点，连接．
(1)用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若（1）中的垂直平分线与交于点F，连接，写出线段和的数量关系及位置关系，并说明理由．
5．如图，已知四边形是平行四边形．
(1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于E．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)猜想与证明：试猜想线段，和的数量关系，并加以证明．
6．如图，为内接四边形，为的直径，，点为上一点，且．
(1)求作点，连接，延长，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，连接．
①求证：为等腰三角形；
②若，，求弦的长．
【2023青岛真题第18】
7．解不等式组或计算
(1)
；
(2)
．
【变式题第18】
8．先化简，再求值：，其中．
9．先化简，再求值：，其中在1，，中选一个你喜欢的数代入求值．
10．先化简，再求值：，其中x是方程的根．
11．解不等式（组），并把此不等式（组）的解集在数轴上表示出来
(1)解不等式：
(2)解不等式组：
12．解下列不等式（组），并把它的解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)
【2023青岛真题第19】
13．今年4月日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分分）均不低于分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为______；
(3)把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：的中间值为）来代替，试估计小明班级的平均成绩；
(4)小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有名学生中会有名学生成绩低于分，实际只有名学生的成绩低于分．请你分析小明估计不准确的原因．
【变式题第19】
14．某市“每天锻炼一小时，幸福生活一辈子”活动已开展了一年，为了解该市此项活动的开展情况，某调查统计公司准备采用以下调查方式中的一种进行调查：
A．从一个社区随机选取200名居民；
B．从一个城镇的不同住宅楼中随机选取200名居民；
C．从该市公安局户籍管理处随机抽取200名城乡居民作为调查对象，然后进行调查．
(1)在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是________(填序号)；
(2)由一种比较合理的调查方式所得到的数据制成了如图所示的条形统计图．在这项调查中，这200名居民每天锻炼2小时的人数是________人；
(3)若该市有100万人，请你利用(2)中的调查结果，估计该市每天锻炼2小时及以上的人数是多少；
(4)若该市有100万人，你认为这个调查活动的设计有没有不合理的地方？谈谈你的理由．
15．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：
收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78
整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：
分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）；
(2)在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）；
(3)现在甲、乙两校要共同举行第二轮升级赛，想从两校成绩均在范围内的学生中选取两名参加比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人恰在同一学校的概率．
16．在第29个“爱眼日”来临之际，某校数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下报告（不完整）．
结合调查报告，回答下列问题：
(1)______，______；
(2)已知该校八年级有800名学生，估计该校八年级视力正常（4.7及以上为正常视力）的人数有多少？
(3)该统计结果引起了同学们的重视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出两条爱眼护眼的合理化建议．
17．“综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格：
请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：___________，____________，____________；
(2)该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数；
(3)本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率．
18．【数据的收集、整理与描述】
新修订的体育法明确国家实行青少年和学校体育活动促进计划，学校要保障学生每天一小时体育锻炼．某学校启动了阳光体育锻炼活动并对九年级学生肺活量进行测试，小敏随机抽取了20名同学的肺活量（单位：）并制成下表：
经过2个月的体育锻炼，学校第二次对所有九年级学生的肺活量进行测试．小敏对这20名同学第二次的肺活量进行整理并绘制出如下条形统计图．
【数据的分析】
小敏对这20名学生两次肺活量测试情况进行分析得到下表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中 ， ， ；
(2)该校九年级共有360名学生，估计第二次测试肺活量为的人数；
(3)你认为两个月的体育锻炼是否促进该校九年级学生肺活量的提升？请你从表格中选择两个统计量进行说明．
【2023青岛真题第20】
19．为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A、B、C表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．
【变式题第20】
20．某小区某天在广场设置了A、B、C三个核酸检测通道，甲、乙两人这天均随机选择这三条通道中的一条进行核酸检测.用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两人这天在同一个检测通道进行核酸检测的概率.
21．丽江历史文化灿烂，自然风光优美，民族团结进步，是全国唯一拥有三项世界遗产桂冠的城市，也是让人魂牵梦萦和“舍不得”的诗和远方．自今年以来，以“舍不得的丽江”为主题的活动在丽江市各个地方同时开展．某学校需从，，三名女生和，两名男生中选派两位同学参加市级征文比赛．
(1)用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求出所有可能出现的结果总数．
(2)若，是你的好朋友，请求出他们同时被选中的概率．
22．有四张背面完全相同的纸牌，其正面分别写有汉字“我”“爱”“广”“雅”，将这四张纸牌背面朝上放到水平桌面上，并洗匀．
(1)若从中随机抽取一张纸牌，纸牌上的汉字是“我”的概率是______；
(2)若先从中任取一张纸牌，再从剩下的纸牌中任取一张，请用画树状图或列表的方法，求取出的两张纸牌上的汉字能组成“广雅”的概率．
23．小李和小张是足球爱好者，某天他们相约一起去足球比赛现场为南通支云队加油，现场的观赛区分为A，B，C，D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
(1)小李购买门票在A区观赛的概率为_________；
(2)请用画树状图或列表法求小李和小张在同一区域观看比赛的概率．
24．“英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展．某社区组织了形式多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民服务摊位，吸引了众多市民前来参与活动．其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的频数分布表：
(1)参与义诊活动的市民平均年龄为______岁；
(2)某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率．
【2023青岛真题第21】
25．太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）
【变式题第21】
26．如图，雨后初晴，李老师在公园散步，看见积水水面上出现阶梯上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角∠1、测量点A到水面平台的垂直高度AB、看到倒影顶端的视线与水面交点C到AB的水平距离BC．再测得梯步斜坡的坡角∠2和长度EF，根据以下数据进行计算，如图，AB＝2米，BC＝1米，EF＝4米，∠1＝60°，∠2＝45°．已知线段ON和线段OD关于直线OB对称．（以下结果保留根号）
（1）求梯步的高度MO；（2）求树高MN．
27．数学活动课上，小明同学利用无人机测量大楼的高度．无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为120米，楼的高度为18米的处测得楼的处的仰角为（点、、、、在同平面内）．
(1)求楼的高度（结果保留根号）；
(2)求此时无人机距离地面的高度．
28．为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶测得处的俯角为，处的俯角为，乙在山下测得，之间的距离为100米．已知，，在同一水平面的同一直线上，求山高（结果保留根号）．
29．我市的美舍河西岸屹立着一座古塔一一明昌塔，它是明代琼北最高的宝塔，塔高为33米．明昌塔前方有一斜坡，如图，在塔顶P处测得A处的俯角为，测得B处的俯角为．已知斜面的坡度为，且．
(1)填空：__________，__________；
(2)求点B到明昌塔的距离（结果保留根号）；
(3)求的长．
30．如图，射线表示一艘轮船的航行路线，从到的走向为南偏东30°，在的南偏东60°方向上有一点，处到处的距离为200海里．
（1）求点到航线的距离．
（2）在航线上有一点.且，若轮船沿的速度为50海里/时，求轮船从处到处所用时间为多少小时．（参考数据：）
【2023青岛真题第22】
31．如图①，正方形的面积为1．
(1)如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______；
(2)如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______；
(3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______．
【变式题第22】
32．（7分）下面的图形是由正方形按照某种规律排列而成的．
(1)观察图形，填写下表：
（2）第n个图形中，正方形的个数为______________（用含n的代数式表示）；
（3）第2017个图形中，正方形的个数为______________；
（4）若每个正方形的面积为2，当某个图形中正方形的个数为88个时，该图形的周长为多少？
33．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；
，
(1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变规律：_________；________．
(2)若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？
(3)求出的值．
34．（1）某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为2m的甬道，其余部分种草，甬道所占面积为多少 ？（用含 x的式子表示）
（2）该小区还有块长方形场地，将其分成了下图中的 9 个部分用以种植花卉，其中有⑤和⑨是正方形，其余的为长方形．
I.已知③④⑤⑥四个部分的周长分别为a 、10 、8 、b，直接写出长方形场地的面积 （用含 a 、b 的式子表示）；
II.事实上，只要知道三个部分的周长就可以求出长方形场地的面积，直接写出这三个部分的序号，要求写出两组．
35．用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为米的小路．
(1)铺第5个图形用黑色正方形瓷砖_____块，白色_____块；
(2)按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖__________块，白色正方形瓷砖________块：（用含n的代数式表示）
(3)若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长米×宽米），且黑色正方形瓷砖每块价格20元，白色正方形瓷砖每块价格25元，若按照此方式恰好铺满该小路某一段（该段小路的总面积为平方米），求该段小路所需瓷砖的总费用．
36．将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），线段和交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形．
(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形；
(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形；
(3)能否将正方形划分成共有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由；
(4)如果设原正方形的边长为1，按照上述方式不断地分割该正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，尝试求出的结果（直接写出答案即可）．
【2023青岛真题第23】
37．某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【变式题第23】
38．某工厂有甲，乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品．如果销售A产品30件，B产品20件，共收入680元；如果销售A产品50件，B产品40件，共收入1240元．
(1)求A、B两种产品每件销售各多少元；
(2)现要销售A、B两种产品共300件，总费用不超过4000元，那么A产品最少销售多少件？
39．重百江津商场销售AB两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A商品和5件B种商品所得利润为1100元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？
（2）由于需求量大A、B两种商品很快售完，重百江津商场决定再次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么重百江津商场至少购进多少件A种商品？
40．近年来，郑州取得了飞速的发展，以高新区发展为例，郑州大学集结了一大批领先的科技创新领军项目，正如火如荼地推进建设，据报道，高新区某公司打算购买A，B两种花装点城区道路，公司负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和3盆B种花需要14元，购买3盆A种花和2盆B种花需要13元．
(1)求A，B两种花的单价各为多少元？
(2)公司若购买A，B两种花共10000盆，设购买的A种花m盆（），总费用为W元；
①求W与m的关系式；
②请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少？并求出最少费用为多少元？
41．为庆祝祖国70周年华诞，阳光超市销售甲、乙两种庆祝商品，该超市若同时购进甲、乙两种商品各10件共花费400元;若购进甲种商品30件，购进乙种商品15件，将用去750元；
（1）求甲、乙两种商品每件的进价；
（2）由于甲、乙两种商品受到市民欢迎，十一月份超市决定购进甲、乙两种商品共80件，且保持（1）的进价不变，已知甲种商品每件的售价为15元，乙种商品每件的售价40元，要使十一月份购进的甲、乙两种商品共80件全部销售完的总利润不少于600元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？
42．为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲、乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下，请问当甲种型号水杯购进多少个时，第三个月的利润最大，最大利润是多少？
【2023青岛真题第24】
43．如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．
(1)求证：；
(2)连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
【变式题第24】
44．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结、．
(1)求证：；
(2)当四边形满足什么条件时，四边形是菱形？证明你的结论．
45．如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
46．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点．
(1)求证；
(2)连接，求证：四边形是菱形．
47．如图，在正方形中，G是对角线上的一点（与点B，D不重合），，，E，F分别为垂足，连接，并延长交于点H．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
48．如图，在四边形中，，分别为的中点，顺次连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当与满足什么关系时，四边形为正方形？请说明理由．
【2023青岛真题第25】
49．许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
【变式题第25】
50．某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方．
(1)如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．
(2)如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围．
(3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值．
51．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
(1)【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程．
②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标．
(2)【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围．
(3)【拓展应用】
半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ．
52．综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点是第一象限内二次函数图象上的动点，过点P作x轴的平行线，与直线交于点M，与直线交于点E．过点P作直线的平行线，与直线交于点N．直线与直线交于点D．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标及直线的函数关系表达式；
(2)当时，求出m的值；
(3)在点P运动的过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出线段的最大值；若不存在，请说明理由．
53．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G．
(1)求点C的坐标和抛物线的函数表达式；
(2)设点D的横坐标为m，在点D运动过程中，请求出m为何值时，取最小值．
(3)在（2）的条件下，若点P是x轴上一点，在平面内是否存在一点Q，使四边形是面积为的平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
54．对于函数P与函数Q作如下定义；若函数P与函数Q只有一个公共点，则称函数P与函数Q互为“融创函数”，唯一的公共点记为．
(1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是_______，
①；②﹔③．
(2)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数y上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数y上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求n的取值范围；
(3)已知函数与函数互为“融创函数”，若将函数向左平移个单位得到函数M．若函数P与函数M有两个交点记为A、B，求线段长度的最大值．
【2023青岛真题第26】
55．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式题第26】
56．已知长方形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，设
(1)已知点在第一象限且是直线上的一点，设点横坐标为，则点纵坐标可用含的代数式表示为_________；
(2)在（1）的条件下，此时若是等腰直角三角形，求点的坐标；
(3)直线过点，请问在该直线上，是否存在第一象限的点使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由.
57．【方法回顾】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形，直线l经过点A，于点E，于点F，若点A的坐标为，，求的长；
【问题解决】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为菱形，直线于点A交于点P，交l于点E，点F在上，且，若，，求点E，F的坐标；
【思维拓展】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，直线l分为两部分，于点E，于点F，若点F的坐标为，直接写出点E的坐标．
58．【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边，上．容易发现且．
【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转（）．
（1）如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由．
（2）小组研究发现：如图3，连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 ．
【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转a（）．
（3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段的长；
（4）如图4，连接，取中点H，连接，请直接写出线段长度的最大值．
59．综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师提出如下数学问题：如图1，将矩形纸片以点C为中心顺时针方向旋转，当点A的对应点E落在的延长线上时，求证．
数学思考：
（1）请你解决老师提出的问题．
深入探究：
（2）“智慧小组”在解决老师提出的问题后，在图1的基础上又提出新的问题：如图2，过点F作，垂足为M．过点G作，垂足为N．试猜想线段，，的数量关系，并说明理由．请你解决该问题．
（3）“创新小组”受到“智慧小组”的启发，在图2的基础上连接，得到图3．并且提出：若，．求的长．请你思考该问题，并直接写出结果．
60．探究与推理
如图1，在矩形中，，，连，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动．过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连交于点，设运动的时间为秒；
(1)用含有的式子表示．
(2)当为何值时，点恰好落在线段上；
(3)如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由．
题号
难度系数
详细知识点
17
0.85
线段垂直平分线的性质；作垂线(尺规作图)；
18
0.65
分式化简求值；求不等式组的解集；
19
0.65
判断是否是简单随机抽样；画条形统计图；求扇形统计图的圆心角；求一组数据的平均数；
20
0.85
列表法或树状图法求概率；
21
0.65
仰角俯角问题(解直角三角形的应用)；
22
0.65
用代数式表示数、图形的规律；根据正方形的性质求面积；
23
0.65
销售、利润问题(二元一次方程组的应用)；用一元一次不等式解决实际问题；最大利润问题(一次函数的实际应用)；
24
0.85
用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质证明；证明四边形是矩形；
25
0.40
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移；求抛物线与x轴的交点坐标；面积问题(二次函数综合)；
26
0.40
证明两三角形相似；解直角三角形的相关计算；面积问题(二次函数综合)；
组别
甲
4
11
13
10
2
乙
6
3
15
14
2
统计量
平均数
众数
中位数
方差
甲
86
m
乙
84
76
调查目的
1.了解本校八年级学生的视力健康水平
2.给同学提出更合理地使用眼睛保护视力的建议
调查方式
随机抽样调查
调查对象
部分八年级学生
调查内容
部分八年级学生的视力
调查结果
部分学生视力情况频数分布表
视力
频数
频率
6
0.15
a
0.2
22
0.55
4
b
合计
…
…
部分学生视力情况频数分布直方图
建议
…
项目
选择人数
频率
A．制作视力表
4
B．猜想、证明与拓广
C．池塘里有多少条鱼
20
0.5
样本学生的肺活量
2500
2200
3000
2500
3500
3000
3300
2800
2000
3000
3000
2800
3000
2200
2500
2800
3600
3000
2500
2800
平均数/ml
中位数/ml
众数/ml
方差
第一次
2800
2800
a
167000
第二次
3065
b
c
159275
年龄分组/岁
频数
15
25
40
20
品名
A
B
进价（元/件）
45
60
售价（元/件）
66
90
时间
销售数量（个）
销售收入（元）（销售收入=售价×销售数量）
甲种型号
乙种型号
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
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