人教版七年级上册1.2.4 绝对值一课一练

这是一份人教版七年级上册1.2.4 绝对值一课一练，文件包含2024年数学七年级人教版-第4讲绝对值的几何意义知识讲练教师版docx、2024年数学七年级人教版-第4讲绝对值的几何意义知识讲练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
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|a|的几何意义：在数轴上，表示 这个数的点到原点的距离
|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a,b的两点之间的距离 .
|a+b|的几何意义：在数轴上，表示数a,-b的两点之间的距离 .
（2022秋•西安期末）【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
（1）若|x﹣2|＝5，则x＝ 7或﹣3 ；
（2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3．
（3）由以上探索猜想，对于任意有理数x，|x﹣2|+|x+3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【思路点拨】（1）|x﹣2|可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，根据|x﹣2|＝5即可求得x的值；
（2）计算|x﹣2|+|x+1|＝3，求得x的取值范围即可解题；
（3）|x﹣2|+|x+3|可以理解为数轴上一个点到2和﹣3的距离，即可解题．
【完整解答】解：|x﹣2|可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
到2的距离为5的数字有7和﹣3，
故答案为7或﹣3；
（2）|x﹣2|+|x+1|＝3，
当x＜﹣1时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x﹣1﹣x＝3﹣2x＝3，x＝0（不符合题意舍去）；
当1﹣≤x≤2时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x+x+1＝3，
当x＞2时，|x﹣2|+|x+1|＝x﹣2+x+1＝2x﹣1＝3，x＝2（不符合题意舍去）；
综上所述，当1﹣≤x≤2时，x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3；
（3）|x﹣2|+|x+3|可以理解为数轴上一个点到2和﹣3的距离，
求证方法和（2）相同，故有最小值为5．
【考点评析】本题考查了绝对值的计算，考查了绝对值的定义．本题属于基础题，牢记绝对值定义是解题的关键．
（2022秋•紫金县期中）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）求|4﹣（﹣2）|＝ 6 ；
（2）若|x﹣2|＝5，则x＝ 7或﹣3 ；
（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3．
【思路点拨】根据题意给出的定义即可求出答案．
【完整解答】解：（1）原式＝6；
（2）∵|x﹣2|＝5，
∴x﹣2＝±5，
∴x＝7或﹣3；
（3）由题意可知：|1﹣x|+|x+2|表示数x到1和﹣2的距离之和，
∴﹣2≤x≤1，
∴x＝﹣2或﹣1或0或1．
故答案为（1）6；（2）7或﹣3；
【考点评析】本题考查绝对值的定义，涉及绝对值的几何意义．
（2022秋•方城县校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 5 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝ ﹣4或2 ．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为 6 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是 12 ．
（4）当a＝ 1 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 7 ．
【思路点拨】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；
（2）先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解；
根据两点间的距离的表示列式计算即可得解；
（3）找到﹣2和5之间的整数点，再相加即可求解；
（4）判断出a＝1时，三个绝对值的和最小，然后进行计算即可得解．
【完整解答】解：（1）|1﹣4|＝3，
|﹣3﹣2|＝5，
|a﹣（﹣1）|＝3，
所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，
解得a＝﹣4或a＝2；
（2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间，
∴a+4＞0，a﹣2＜0，
∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；
（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，
﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．
故这些点表示的数的和是12；
（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．
故答案为：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．
【考点评析】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键．
（2021秋•滕州市校级月考）综合应用题：
|m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．
（1）|x|的几何意义是数轴上表示 x 的点与 原点 之间的距离，|x| ＝ |x﹣0|；（选填“＞”“＜”或“＝”）
（2）|2﹣1|几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离，则|2﹣1|＝ 1 ；
（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示 x 的点与表示 3 的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝ 4或2 ；
（4）|x﹣（﹣2）|的几何意义是数轴上表示 x 的点与表示 ﹣2 的点之间的距离，若|x﹣（﹣2）|＝2，则x＝ ﹣4或0 ；
（5）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣（﹣5）|+|x﹣2|＝7这样的整数是 ﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2 ．
【思路点拨】（0）根据|m﹣n|的几何意义求解；
（2）根据|m﹣n|的几何意义及绝对值的意义求解；
（3）根据|m﹣n|的几何意义及绝对值的意义求解；
（4）根据|m﹣n|的几何意义及绝对值的意义求解；
（5）根据|m﹣n|的几何意义及解不等式组求解；
【完整解答】解：（1）∵|x|＝|x﹣0|，
∴|x|的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离，
故答案为：x，原点，＝；
（2）∵|2﹣1|＝1，
故答案为：1．
（3）∵|x﹣3|＝1，∴x﹣3＝±1，解得：x＝4或x＝2，
故答案为：x，3，4或2；
（4）∵|x﹣（﹣2）|＝2，解得：x＝﹣4或x＝0，
故答案为：x，﹣2，x＝﹣4或0；
（5）由题意得：在数轴上表示x的点到﹣5和2的距离的和为7，所以﹣5≤x≤2，
所以x的整数解为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．
【考点评析】本题考查了绝对值的应用，数形结合是解题的关键．
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|x-a|+|x-b|的几何意义：数轴上，数x到数a的距离与数x到数b的距离之和 .
|x-a|-|x-b|的几何意义：数轴上，数x到数a的距离与数x到数b的距离之差 .
（2022秋•定远县期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索
（1）求|5﹣（﹣2）|＝ 7 ；
（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝ ﹣1.5
（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 ﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2 ．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【思路点拨】（1）5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7；
（2）在数轴上，找到﹣1008和1005的中点坐标即可求解；
（3）利用数轴解决：把|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，然后根据数轴可写出满足条件的整数x；
（4）把丨x﹣3丨+丨x﹣6丨理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和，求出表示3和6的两点之间的距离即可．
【完整解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝7；
（2）（﹣1008+1005）÷2＝﹣1.5；
（3）式子|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，
所以满足条件的整数x可为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
（4）有，最小值为﹣3﹣（﹣6）＝3．
故答案为：7；﹣1.5；﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．
【考点评析】此题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
（2022秋•江阴市期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 1 ；表示﹣2和1两点之间的距离是 3 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝2，那么x＝ 1或﹣3 ；
（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 12 ，最小距离是 2 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝ 8 ．
（5）当a＝ 1 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是 9 ．
【思路点拨】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；
（2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答；
（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；
（4）根据|a+3|+|a﹣5|表示数a的点到﹣3与5两点的距离的和即可求解；
（5）分类讨论，即可解答．
【完整解答】解：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是：3﹣2＝1；表示﹣2和1两点之间的距离是：1﹣（﹣2）＝3；
（2）|x+1|＝2，
x+1＝2或x+1＝﹣2，
x＝1或x＝﹣3．
（3）∵|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，
∴a＝7或﹣1，b＝1或b＝﹣5，
当a＝7，b＝﹣5时，则A、B两点间的最大距离是12，
当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，
则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2；
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，
|a+3|+|a﹣5|＝（a+3）+（5﹣a）＝8．
（5）当a≥4时，原式＝a+5+a﹣1+a﹣4＝3a，这时的最小值为3×4＝12
当1≤a＜4时，原式＝a+5+a﹣1﹣a+4＝a+8，这时的最小值为1+8＝9
当﹣5≤a＜1时，原式＝a+5﹣a+1﹣a+4＝﹣a+10，这时的最小值接近为1+8＝9
当a≤﹣5时，原式＝﹣a﹣5﹣a+1﹣a+4＝﹣3a，这时的最小值为﹣3×（﹣5）＝15
综上可得当a＝1时，式子的最小值为9
故答案为：
（1）1；3；（2）1或﹣3；（3）12；2；（4）8；（5）1；9．
【考点评析】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用．
（2022秋•南城县校级月考）先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 ﹣2.5 和 1 ，B，C两点间的距离是 3.5 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 |x﹣（﹣1）| ；如果|AB|＝3，那么x为 ﹣4，2 ；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 ﹣1 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣5≤x≤2 ．
【思路点拨】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；
（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；
（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；
（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．
【完整解答】解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣（﹣2.5）＝3.5；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，
故答案为：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．
【考点评析】本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点．
（2021秋•江津区期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ；
（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 |x+2| ；
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
【思路点拨】本题应从绝对值在数轴上的定义（绝对值定义是坐标轴上的点到原点的距离）下手，分别解出答案．
【完整解答】解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是|5﹣2|＝3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|＝4；
（2）根据绝对值的定义有：数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|或|﹣2﹣x|＝|x+2|；
（3）根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+3|可表示为点x到1与﹣3两点距离之和，根据几何意义分析可知：
当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|有最小值4．
【考点评析】本题考查学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．
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（ 1 ）点的移动问题
① 数轴上两点间的距离=右边点表示的数 左边点表示的数；
② 距离表示数a的点b个单位长度的点有两个，a点左侧的点表示的数为 ，右侧的点表示的数为
③ 一个点表示的数为a，点向左运动b个单位长度后表示的数为a-b；向右运动 个单位长度后所表示的b数为a+b. （左减右加）
⑵ 线段的移动问题
因为线段上每一个点移动的距离是相同的，故解决线段移动问题就是将其转化为点的移动问题，用处理点的移动问题的方法加以考虑和研究.
（2021秋•越城区校级月考）文具店，小明家和书店依次坐落在一条东西走向的大街上，已知文具店位于小明家西边200米处，书店位于小明家东边100米处，一天小明从家里出发先去书店购书，然后再去文具店选购学习用品，最后回家学习．
（1）以小明家为原点，向东为正方向，取适当的长度为单位长度画一条数轴，在数轴上表示文具店和书店的位置，并写出文具店和书店所表示的数字；
（2）用求绝对值和的方法计算小明这一天所走的路程．
【思路点拨】（1）根据数轴是表示数的一条直线，可用数轴上的点表示数；
（2）根据行走就是距离，可得所走的路程，根据有理数的加法，可得答案．
【完整解答】解：（1）如图：，文具店是﹣200，书店100；
（2）100+100+|﹣200|+|﹣200|＝600（米），
答：小明这一天所走的路程600米．
【考点评析】本题考查了绝对值，（1）先用数轴上的点表示数，再写出文具店、书店表示的数；（2）路程就是距离．
（2017秋•海淀区校级期末）已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝ ﹣1 ；
（2）当x＝ ﹣4或2 时，点P到点A、点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ﹣3≤x≤1 ；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．
若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动 或2 秒时，点P到点E，点F的距离相等．
【思路点拨】（1）根据数轴上两点间的距离的表示列出方程求解即可；
（2）根据AB的距离为4，小于6，分点P在点A的左边和点B的右边两种情况分别列出方程，然后求解即可；
（3）根据两点之间线段最短可知点P在点AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小最短，然后写出x的取值范围即可；
（4）设运动时间为t，分别表示出点P、E、F所表示的数，然后根据两点间的距离的表示列出绝对值方程，然后求解即可．
【完整解答】解：（1）由题意得，|x﹣（﹣3）|＝|x﹣1|，
解得x＝﹣1；
（2）∵AB＝|1﹣（﹣3）|＝4，点P到点A，点B的距离之和是6，
∴点P在点A的左边时，﹣3﹣x+1﹣x＝6，
解得x＝﹣4，
点P在点B的右边时，x﹣1+x﹣（﹣3）＝6，
解得x＝2，
综上所述，x＝﹣4或2；
（3）由两点之间线段最短可知，点P在AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小，
所以x的取值范围是﹣3≤x≤1；
（4）设运动时间为t，点P表示的数为﹣3t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1﹣4t，
∵点P到点E，点F的距离相等，
∴|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|＝|﹣3t﹣（1﹣4t）|，
∴﹣2t+3＝t﹣1或﹣2t+3＝1﹣t，
解得t＝或t＝2．
故答案为：（1）﹣1；（2）﹣4或2；（3）﹣3≤x≤1；（4）或2．
【考点评析】本题考查了绝对值，数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的表示方法，读懂题目信息，理解两点间的距离的表示方法是解题的关键．
（2020秋•惠东县月考）一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示，如图：
（1）站在点 A1 上的机器人表示的数的绝对值最大，站在点 A2 和点 A5 、 A3 和 A4 上的机器人表示的数到原点距离相等；
（2）怎样将点A3移动，使它先到达A2点，再到达A5点，请用文字语言说明．
（3）若原点是零件供应点，那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少？
【思路点拨】（1）比较各个机器人站的位置所表示的数的绝对值的大小即可；
（2）根据数轴的概念和性质进行移动即可；
（3）求出各个机器人站的位置所表示的数的绝对值的和即可．
【完整解答】解：（1）∵|﹣4|最大，
∴站在点A1上的机器人表示的数的绝对值最大，
∵|﹣3|＝|3|，|﹣1|＝|1|，
∴站在点A2和A5、A3和A4上的机器人表示的数到原点距离相等；
故答案为：A1；A2和A5；A3和A4；
（2）点A3向左移动2个单位到达A2点，再向右移动6个单位到达A5点；
（3）|﹣4|+|﹣3|+|﹣1|+|1|+|3|＝12．
答：5个机器人分别到达供应点取货的总路程是12．
【考点评析】本题考查的是绝对值的概念和性质、数轴的概念，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．
1．（2022秋•太康县期中）为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．
（1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？
（2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？
【完整解答】解：（1）出租车共行驶了|+15|+|﹣4|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|+|﹣17|＝87（km），
共耗油87÷100×10＝8.7（升）．
故这天上午汽车共耗油8.7升；
（2）7×8.7＝60.9（元）．
故出租车司机今天上午的油费是60.9元．
2．（2021秋•农安县期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|．
【完整解答】解：由数轴，得b＞c＞0，a＜0，又|a|＝|b|，
∴c﹣a＞0，c﹣b＜0，a+b＝0．
|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|＝c﹣a+b﹣c＝b﹣a．
3．（2022春•南靖县期中）（1）如果|x﹣2|＝2，求x，并观察数轴上表示x的点与表示1的点的距离为 1或3
（2）在（1）的启发下求适合条件|x﹣1|＜3的所有整数x的值为 ﹣1，0，1，2，3 ．
【完整解答】解：（1）因为|x﹣2|＝2，
所以x﹣2＝±2，
解得x＝0或x＝4，
1﹣0＝1，4﹣1＝3．
故数轴上表示x的点与表示1的点的距离是1，3；
（2）因为|x﹣1|＜3，
所以﹣3＜x﹣1＜3，
解得﹣2＜x＜4，
其中整数有﹣1，0，1，2，3．
故答案为：1或3；﹣1，0，1，2，3．
4．（2021秋•东坡区期末）已知，有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：|c+b|﹣|a﹣c|+|b﹣a|．
【完整解答】解：如图可知，
∵3＜a＜4，0＜b＜1，﹣2＜c＜﹣1，
＝﹣（c+b）﹣（a﹣c）+[﹣（b﹣a）]
＝﹣c﹣b﹣a+c﹣b+a
＝﹣2b．
5．（2022秋•黔东南州期中）同学们都知道，|7﹣（﹣4）|表示7与﹣4之差的绝对值，实际上也可理解为7与﹣4两数在数轴上所对的两点之间的距离．|7﹣4|也可理解为7与4两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|7﹣（﹣4）|＝ 11 ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣（﹣6）|+|x﹣2|＝8这样的整数是 ﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2 ．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣1|+|x﹣5|是否有最小值？如果有写出最小值请尝试说明理由．如果没有也要请尝试说明理由．
【完整解答】解：（1）|7﹣（﹣4）|＝11；
故答案是：11；
（2）式子|x﹣（﹣6）|+|x﹣2|＝8可理解为：在数轴上，某点到﹣6所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为8，
所以满足条件的整数x可为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
故答案为：﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．
（3）有最小值．最小值为4，
理由是：∵|x﹣1|+|x﹣5|理解为，在数轴上表示x到1和5的距离之和，
∴当x在1与5间的线段上（即1≤x≤5）时：
即|x﹣1|+|x﹣5|的值有最小值，最小值为4．
6．（2022秋•顺义区校级月考）已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且|a+4|+|b﹣1|＝0，A，B之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a﹣b|．
（1）求线段AB的长|AB|；
（2）设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x的值．
【完整解答】解：（1）∵|a+4|+|b﹣1|＝0，
∴a+4＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣4，b＝1，
∴|AB|＝|﹣4﹣1|＝5；
（2）根据题意得|x+4|﹣|x﹣1|＝2，
当x≤﹣4时，﹣x﹣4+x﹣1＝2，无解；
当﹣4＜x≤1时，x+4+x﹣1＝2，解得x＝﹣0.5，
当x＞1时，x+4﹣x+1＝2，无解，
所以x的值为﹣0.5．
7．（2022秋•惠民县校级月考）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表：
（1）请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？
（2）指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？哪个同学做的质量较差？
（3）请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；
（4）用学过的绝对值知识来说明以上问题．
【完整解答】解：由题意，|﹣0.011|＜|﹣0.017|＜|0.02|＜|0.021|＜|0.022|＜|0.023|＜|0.031|，可得结论：
（1）张兵、蔡伟；
（2）李明、蔡伟；
（3）蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明；
（4）这是绝对值在实际生活中的应用，对误差来说绝对值越小越好．
8．（2021秋•丰县校级月考）已知M、N在数轴上分别表示m、
n．
（1）对照数轴填写下表：
（2）若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是 S＝|m﹣n| ；
（3）当数x满足时，|1﹣x|+|x+2|取得的值最小．
【完整解答】解：（1）|﹣4﹣（﹣1）|＝3；|﹣6﹣2|＝8；|﹣8﹣3|＝11．
故答案为：3；8；11．
（2）若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是 S＝|m﹣n|．
故答案为：S＝|m﹣n|．
（3）|1﹣x|表示点x到点1的距离，|x+2|表示点x到点﹣2的距离，
当点x在点1和点﹣2之间时当，﹣2≤x≤1时，|1﹣x|+|x+2|的值最小，
其最小值为：3．
9．（2021秋•芝罘区期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）．
（提出问题）两个有理数a、b满足a、b同号，求的值．
解：①若a、b都是正数，即a＞0，b＞0，|a|＝a，|b|＝b，则＝＝1+1＝2；
②若a、b都是负数，即a＜0，b＜0，有|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，则＝＝（﹣1）+（﹣1）＝﹣2，
所以的值为2或﹣2．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）两个有理数a、b满足a、b异号，求的值；
（2）已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，且a＜b＜c，求a+b+c的值．
【完整解答】解：（1）由a、b异号，可知：①a＞0，b＜0；②a＜0，b＞0，
当a＞0，b＜0时，＝1﹣1＝0；
当a＜0，b＞0时，＝﹣1+1＝0．
综上，的值为0；
（2）∵|a|＝3、|b|＝2、|c|＝1，
∴a＝±3，b＝±2，c＝±1．
∵a＜b＜c，
∴a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1或a＝﹣3，b＝﹣2，c＝1．
当a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1时，
a+b+c＝﹣3+（﹣2）+（﹣1）＝﹣6；
当a＝﹣3，b＝﹣2，c＝1时，
a+b+c＝﹣3+（﹣2）+1＝﹣4
综上，a+b+c的值为﹣6或﹣4．
10．（2021秋•莱西市期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是 ﹣1 ；
（2）如果点B、E表示的数是互为相反数，那么点|D|＝ 5 ；
求出此时图中表示的5个点所表示的有理数（填在表格中）．哪一个点表示的数的绝对值最小，是多少？
【完整解答】解：（1）因为点A、B表示的数是互为相反数，原点就应该是线段AB的中点，即在C点右边一格，C点表示数﹣1；
故答案为：﹣1．
（2）如果点B、E表示的数是互为相反数，那么原点在线段BE的中点，即C点；点D表示的数是﹣5，它的绝对值是5；
此时点A表示：﹣2；点B表示：4；点C表示0；点D表示：﹣5；点E表示：﹣4．点C表示的数的绝对值最小是0．
故答案为：5；﹣2；4；0；﹣5；﹣4．
11．（2020秋•抚顺县期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 5 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ 2或﹣4 ；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 8 ，最小距离是 2 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝ 6 ．
【完整解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5；
（2）|x+1|＝3，
x+1＝3或x+1＝﹣3，
x＝2或x＝﹣4．
故答案为：2或﹣4；
（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，
∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，
当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，
当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，
则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；
故答案为：8，2；
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，
|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．
故答案为：6．
12．（2019秋•万州区校级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，我们已了解绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；又如|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．因此，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离（也就是线段AB的长度）可表示为|a﹣b|．
因此我们可以用绝对值的几何意义按如下方法求|x﹣1|+|x﹣2|的最小值；|x﹣1|即数轴上x与1对应的点之间的距离，|x﹣2|即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值．
设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x．
当1≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时|x﹣1|+|x﹣2|＝PA+PB＝AB＝1；
当x＞2时，即P点在B点右侧，此时|x﹣1|+|x﹣2|＝PA+PB＝AB+2PB＞AB；
当x＜1时，即P点在A点左侧，此时|x﹣1|+|x﹣2|＝PA+PB＝AB+2PA＞AB；
综上可知，当1≤x≤2时（P点在线段AB上），|x﹣1|+|x﹣2|取得最小值为1．
请你用上面的思考方法结合数轴完成以下问题：
（1）满足|x+3|+|x﹣4|＞7的x的取值范围是 x＜﹣3或x＞4 ．
（2）求|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为 ﹣3 ，最大值为 3 ．
备用图：
【完整解答】解：（1）由|x+3|+|x﹣4|＝|x﹣（﹣3）|+|x﹣4|，在数轴上表示﹣3和4两点，
当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣4|＝﹣x﹣3+4﹣x＝﹣2x+1＞7；
当﹣3≤x≤4时，|x+3|+|x﹣4|＝x+3+4﹣x＝7；
当x＞4时，|x+3|+|x﹣4|＝x+3+x﹣4＝2x﹣1＞7；
故当x＜﹣3或x＞4时|x+3|+|x﹣4|＞7．
（2）|x+1|﹣|x﹣2|＝|x﹣（﹣1）|﹣|x﹣2|，
当x＜﹣1，|x+1|﹣|x﹣2|＝﹣x﹣1﹣（2﹣x）＝﹣x﹣1﹣2+x＝﹣3；
当﹣1≤x≤2，|x+1|﹣|x﹣2|＝x+1+x﹣2＝2x﹣1，此时当x＝2时，取得最大值3，当x＝﹣1时，取得最小值﹣3；
当x＞2时，|x+1|﹣|x﹣2|＝x+1﹣x+2＝3；
故|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为﹣3，最大值为3．
故答案为：（1）x＜﹣3或x＞4；（2）﹣3，3．
13．（2019秋•河西区期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 |x+1| ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ﹣3或1 ．
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为 3 ，此时x的取值是 ﹣1≤x≤2 ；
（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值 6 和最小值 ﹣7 ．
【完整解答】解：（1）①A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x+1|；
②依题意有
|x+1|＝2，
x+1＝﹣2或x+1＝2，
解得x＝﹣3或x＝1．
故x值为﹣3或1．
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，此时x的取值是﹣1≤x≤2；
（3）∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，
∴﹣1≤x≤2，﹣2≤y≤3，
∴x﹣2y的最大值为2﹣2×（﹣2）＝6，最小值为﹣1﹣2×3＝﹣7．
故x﹣2y的最大值6，最小值﹣7．
故答案为：|x+1|；﹣3或1；3，﹣1≤x≤2；6，﹣7．
14．（2018秋•房县期中）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）求|4﹣（﹣2）|＝ 6 ．
（2）若|x﹣2|＝5，则x＝ ﹣3或7
（3）同理|x﹣4|+|x+2|＝6表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|＝6，这样的整数是 ﹣2、﹣1、0、1、2、3、4 ．
【完整解答】解：（1）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，
∴|4﹣（﹣2）|＝6．
（2）|x﹣2|＝5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，
∵﹣3或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，
∴若|x﹣2|＝5，则x＝﹣3或7．
（3）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，
∴使得|x﹣4|+|x+2|＝6成立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包括﹣2和4），
∴这样的整数是﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．
故答案为：6；﹣3或7；﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．
等宽曲线
圆是与一个定点的距离等于定长的所有点组成的曲线。车轮就直接地应用了圆的这个性质。车轮正是由 于它的等长的车辐，使车轴处于一定的高度，从而得到一个平稳的水平运动。倘若车轮不是圆的，那么
车轴将会产生一种忽上忽下的运动。运动中如果有很大的载重，轮和轴就不能保持十分坚固。
有时我们要移动重物，可以如同图1那样把重物放在圆木棍上滚动，并平稳地前进。圆用来作滚动的原因 是由于圆有这样的性质，即当圆不管怎样滚动时，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的。即圆在任
意方向都有相同的宽度，因而圆也就是所谓的“等宽曲线”。
然而令人惊讶的是，对于完成流动所需要的性质来说，棍的横断面未必要是圆的!
事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不是圆，而是如图2所示的曲边三角形。它的画法
如下：
1 ．画一个等边三角形；
2 ．以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧。
显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长。请你亲自动手做个实验。把一硬纸卡片剪出一 个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞。如果正方形的边长等于曲线的 宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧 密无间地自由转动（如图3）。实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而
自由地转动；反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线。
用这种等宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不致于上下颠簸（如图4）。这种具有奇
特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以也称为鲁列斯曲边三角形。
在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶。我们希望它光滑一些，可以按下面的方 法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为 圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆
弧，等于延长线的长。由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了（如图5 ）
画等宽曲线的关键的想法是：圆弧的中心是它所对的角顶。下面介绍一种等宽的曲边多边形的一般画
法，并使它的宽度为b。开始可以把任意点B作为第一个角顶，以B为圆心、b为半径画弧；在这个弧上， 选择A和C二点作为新角顶，以C为圆心、b为半径画弧（该弧必经过B）；在这个弧上，选择另一个角顶 D，以D为圆心、b为半径画弧（该弧必经过C），如果我们希望结束这个过程，可以在这个弧上选择角 顶E，使它也处在以A为圆心、b为半径的弧上（该弧必经过点B）。也就是E是两个弧的交点。最后，用 一个以E为圆心、b为半径的弧连接A和D，这样就得到一个等宽的曲边五边形ADBEC（如图6）。边数
更多的多边形，可用同样的方法作出来，这只要多作几步，然后使曲线成为闭合的就可以了。
同样的原理，我们还可以利用这些曲线得到没有任何角顶的等宽曲线。
这些方法使我们可以构作无数个等宽曲线，它们都是由许多圆弧组成的。但不要误解为等宽曲线只能由 圆弧组成，实际上有这样的等宽曲线，它的一部分不管是多么小，都不是圆弧。在这里我们不可能介绍
它，因为已经超出了初中几何知识的范围。
日常生活中，我们看到许多加盖的盛具，如锅、杯、壶、缸、桶之类，都是圆口圆盖的形状。这除了容 易加工制造以外，主要还是应用圆是等宽曲线的特性。圆形的盖子，只要它不变形，从任何方向都不会
掉进盛具里去。为了提高观赏价值与品茶雅兴，一些艺术茶壶的壶盖可以设计成其他等宽曲线的形状
做乒乓球的同学
李明
张兵
王敏
余佳
赵平
蔡伟
检测结果
+0.031
﹣0.017
+0.023
﹣0.021
+0.022
﹣0.011
m
6
﹣4
﹣6
﹣8
﹣1.5
n
4
﹣1
2
3
﹣1.5
M、N两点的距离
2
0
点
A
B
C
D
E
对应数
﹣2
4
0
﹣5
﹣4