2024年陕西师大附中中考数学四模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西师大附中中考数学四模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−13的倒数为( )
A. 13B. 3C. −3D. −1
2.如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是( )
A. B. C. D.
3.如图，将含30°角的直角三角板ABC放在平行线α和b上，∠C=90°，∠A=30°，若∠1=20°，则∠2的度数等于( )
A. 60°
B. 50°
C. 40°
D. 30°
4.在平面直角坐标系中，将直线y=2x+1向上平移2个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是( )
A. 34B. 94C. 32D. 2
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB：BD=2：3，则cs∠BAC的值为( )
A. 34
B. 74
C. 2 77
D. 73
6.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E.若∠E=40°，则∠ABC的度数为( )
A. 110°
B. 115°
C. 120°
D. 125°
7.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，交y轴于点C，直线y=kx+m经过点C，点B(3,0)，它们的图象如图所示，有以下结论：
①抛物线对称轴是直线x=1；
②a−b+c=0；
③−10；
④若a=−1，则k=−1.其中正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
8.比较大小：4 ______ 20(填“>”“<”或“=”)．
9.计算：(−2x)2⋅x3= ______．
10.如图，分别以等边三角形的顶点A，B，C为圆心，以AB长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做圆弧三角形.若AB=5，则圆弧三角形的周长为______．
11.如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=kx(k≠0)上，AB/​/x轴，过点A作AD⊥x轴 于D.连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为______．
12.如图，在正方形ABCD中，AB=3，延长BC至E，使CE=2，连接AE.CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则DF的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
13.解关于x的不等式组：3x>x−44+x3>x+2．
四、解答题：本题共12小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算： 12+|1− 3|−2tan60°．
15.(本小题5分)
先化简，再求值：a−1a−2⋅a2−4a2−2a+1−2a−1，其中a=13．
16.(本小题5分)
如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°.请用尺规作图法，在AB边上求作一点D，使得△BCD的周长等于AB+BC.(保留作图痕迹，不写作法)
17.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，BC=CD，CE=CF，∠BAF=∠DAE，∠B=∠D.求证：AE=AF．
18.(本小题5分)
如图，正方形网格中，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A(1,2)、B(3,1)、C(2,3)．
(1)将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
(3)连接A1A2，A1B2，A2B2，求△A1A2B2的面积．
19.(本小题5分)
不透明的袋子里装有2个标有数字−1的小球，1个标有数字0的小球和若干个标有数字2的小球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，是标有数字−1的概率为25．
(1)袋子里标有数字2的小球有______个；
(2)丽丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，再将此球放回、摇匀，然后由静静再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在坐标轴上的概率．
20.(本小题6分)
某“综合与实践”小组开展测量某建筑物AB高度的活动.他们制订了测量方案，测量报告如下．
请根据以上测量结果，求建筑物AB的高度．
21.(本小题6分)
某工厂生产一种正方形的合金薄板(其厚度忽略不计)，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据．
(1)求每张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式；
(2)在营销过程中，已知出售一张边长为40cm的薄板工厂可获得利润26元，求这张薄板的成本价．
22.(本小题7分)
某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩(单位：分)分为四个类别：A(58≤t≤60)，B(54≤t<58)，C(50≤t<54)，D(t≤50)，将分类结果制成如下两幅统计图(尚不完整)．

根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次抽样的样本容量为______；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中a的值为______，圆心角β的度数为______；
(4)若九年级有612名学生，估计测试成绩少于54分的学生有多少名？
23.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F为AD上一点，连接CF，交AB于点P，连接AC，AF，若PE=BE．
(1)求证：∠BAF=2∠BAC；
(2)延长CD交AF延长线于点G，若AB=6，CD=4 2，求GF的长．
24.(本小题10分)
已知抛物线L1：y=x2+bx+c与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,−3)，对称轴为直线x=1．
(1)求此二次函数表达式和点A、点B的坐标；
(2)点P为第四象限内抛物线L1上一动点，将抛物线L1平移得到抛物线抛物线L2，使得抛物线L2的顶点为点P，抛物线L2与y轴交于点E，过点P作y轴的垂线交y轴于点D.是否存在这样的点P，使得以点P、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，请你写出平移过程，并说明理由．
25.(本小题12分)
(1)如图1，已知⊙O半径是4，A是⊙O上一动点，OP=9，则PA的最大值是______．
(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是边AC上一动点，连接DB，过点A作AF⊥BD于点F，连接CF，求CF的最小值．
(3)如图3，某景区有一片油菜花地，形状由△ABC和以BC为直径的半圆两部分构成，已知BC=60米，∠ABC=90°，∠ACB=60°，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿AE修建小路，并在AE中点F处修建一个凉亭，沿CF修建仿古长廊，由于仿古长廊造价高达1100元/米，为了控制成本，景区要求仿古长廊CF的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造仿古长廊的最低费用．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵(−13)×(−3)=1，
∴−13的倒数为−3．
故选C．
直接根据倒数的定义即可得出结论．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
根据主视图是从正面看所得到的图形，进行选择即可．
本题主要考查组合体的三视图，理解三视图的概念是解题的关键．
【解答】
解：该几何体的主视图有三层，最上面有一个正方形，中间一层有两个正方形，最下面有三个正方形，且左侧是对齐的，
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：如图，AB与直线a相交于点M，
∵∠1=∠AMN，∠1=20°，
∴∠AMN=20°，
∵∠A=30°，
∴∠3=∠A+∠AMN=50°，
∵α//b，
∴∠2=∠3=50°，
故选：B．
根据三角形的外角性质得出∠3=50°，再根据平行线的性质即可得解．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：设直线y=2x+1与x轴的交点为A，与y轴交点为B，
将直线y=2x+1的图象向上平移2个单位，得到y=2x+3，
令x=0，得y=3，
∴B(0,3)，
令y=0，得x=−1.5，
∴A(−1.5,0)，
∴OA=1.5，OB=3，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×1.5×3=94，
故选：B．
先根据图形平移的性质得出平移后的解析式，再求出此直线与x、y轴的交点，利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是求出直线AB的解析式及与两坐标轴的交点．
5.【答案】B
【解析】解：设AB=2a，则BD=3a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=12BD=3a2，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴OA= AB2−OB2= (2a)2−(3a2)2= 7a2，
∴cs∠BAC=OAAB= 7a22a= 74，
故选：B．
设AB=2a，则BD=3a，由菱形的性质得OB=12BD=3a2，AC⊥BD，再由勾股定理求出OA的长，然后由锐角三角函数的定义即可得出答案．
此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：连接OC、DC，则OC=OD，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥OC，
∴∠OCE=90°，
∵∠E=40°，
∴∠COE=90°−∠E=90°−40°=50°，
∴∠ADC=∠OCD=12×(180°−50°)=65°，
∴ABC=180°−∠ADC=180°−65°=115°，
故选：B．
连接OC、DC，由切线的性质得∠OCE=90°，则∠COE=90°−∠E=50°，所以∠ADC=∠OCD=65°，即可求得ABC=180°−∠ADC=115°，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理、圆内接四边形的对角互补等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵抛物线经过点A(−1,0)，点B(3,0)，
∴抛物线对称轴为直线x=1，①正确．
∴x=−1时，y=a−b+c=0，②正确．
∵−1∴−10，③正确．
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∵a=−1，a−b+c=0，
∴3a+c=−3+c=0，
∴c=3，
将(0,3)，(3,0)代入y=kx+m得3=m0=3k+m，
解得k=−1m=3，
∴④正确．
故选：D．
由抛物线经过点A(−1,0)，点B(3,0)可得抛物线对称轴，及a−b+c=0，从而判断①②，由图象及点A，B坐标可判断③，由a=−1，a与b的关系，a+b+c=0可得c的值，根据待定系数法可求直线BC解析式，从而判断④．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8.【答案】<
【解析】解：∵16<20，
∴ 16< 20，
即4< 20．
故答案为：<．
首先由16<20得 16< 20，据此可得出答案．
此题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解决问题的关键．
9.【答案】4x5
【解析】解：(−2x)2⋅x3
=4x2⋅x3
=4x5．
故答案为：4x5．
先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可．
本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10.【答案】5π
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵半径都为AB的长，
∴这三段弧的长度相等，
∴每段弧的长度为：60π×5180=53π，
∴圆弧三角形的周长为53π×3=5π，
故答案为：5π．
根据弧长公式计算出每段弧的长度，即可求出圆弧三角形的周长．
本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，理解题意求出一段弧的长度是解题的关键．
11.【答案】12
【解析】解：设点A的坐标为(a,4a)，则点B的坐标为(ak4,4a)，
∵AB/​/x轴，AC=2CD，
∴∠BDA=∠ODC，
∵∠ACB=∠DCO，
∴△ACB∽△BCA，
∴ABOD=ACDC，
∴ABOD=21，
∵OD=a，则AB=2a，
∴点B的横坐标是3a，
∴3a=ak4，
解得，k=12，
故答案为：12．
根据题意可以设出点A的坐标，从而可以表示出点B的坐标，然后根据三角形的相似即可解答本题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和三角形相似的知识解答．
12.【答案】3 104
【解析】解：过点F作FM⊥CE于M，作FN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD为正方形，AB=3，
∴∠ACB=90°，BC=AB=CD=3，
∵FM⊥CE，FN⊥CD，∠ACB=∠B=90°，
∴四边形CMFN为矩形，
又∵CF平分∠DCE，FM⊥CE，FN⊥CD，
∴FM=FN，
∴四边形CMFN为正方形，
∴FM=FN=CM=CN，
设CM=a，则FM=FN=CM=CN=a，
∵CE=2，
∴BE=BC+CE=5，EM=CE−CM=2−a，
∵∠B=90°，FM⊥CE，
∴FM/​/AB，
∴△EFM∽△EAB，
∴FM：AB=EM：BE，
即：a：3=(2−a)：5，
解得：a=34，
∴FN=CN=35，
∴DN=CD−CN=3−34=94，
在Rt△AFN中，DN=94，FN=34，
由勾股定理得：DF= DN2+FN2=3 104．
故答案为：3 104．
过点F作FM⊥CE于M，作FN⊥CD于点N，首先证四边形CMFN为正方形，再设CM=a，则FM=FN=CM=CN=a，BE=5，EM=2−a，然后证△EFM和△EAB相似，由相似三角形的性质求出a，进而在Rt△AFN中由勾股定理即可求出DF．
此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例．
13.【答案】解：3x>x−4①4+x3>x+2②，
由①得，3x−x>−4，
2x>−4，
解得x>−2，
由②得，4+x>3x+6，
x−3x>6−4，
−2x>2，
解得x<−1，
所以不等式组的解集为：−2【解析】本题主要考查了解一元一次不等式组，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
先求出两个不等式的解集，再求其公共部分即可．
14.【答案】解：原式=2 3+ 3−1−2 3= 3−1．
【解析】利用二次根式的性质，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15.【答案】解：原式=a−1a−2⋅(a−2)(a+2)(a−1)2−2a−1
=a+2a−1−2a−1
=a+2−2a−1
=aa−1，
当a=13时，
原式=1313−1
=−12．
【解析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
16.【答案】解：如图，作线段AC的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，
则CD=AD，
∴△BCD的周长为BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB，
则点D即为所求．

【解析】作线段AC的垂直平分线，交AB于点D，则点D即为所求．
本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
17.【答案】证明：∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF−∠EAF=∠DAE−∠EAF，
即∠DAF=∠BAE，
∵BC=CD，CE=CF，
∴BC−EC=DC−FC，
即DF=BE，
在△ADF与△ABE中，
∠BAE=∠DAF∠B=∠DBE=DF，
∴△ADF≌△ABE(AAS)，
∴AE=AF．
【解析】根据等式的性质得出∠DAF=∠BAE，进而利用AAS证明△ADF与△ABE全等，利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS证明△ADF与△ABE全等解答．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C1即为所求．

点A2的坐标为(3,−3)．
(3)△A1A2B2的面积为12×2×2=2．
【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图，即可得出答案．
(3)利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图−旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
19.【答案】2
【解析】解：(1)设袋子里标有数字2的小球有m个，
由题意得，22+1+m=25，
解得m=2，
经检验，m=2是原方程的解且符合题意，
∴袋子里标有数字2的小球有2个．
故答案为：2．
(2)列表如下：
由表格可知，共有25种等可能的结果．
其中点M落在坐标轴上的结果有：(−1,0)，(−1,0)，(0,−1)，(0,−1)，(0,0)，(0,2)，(0,2)，(2,0)，(2,0)，共9种，
∴点M落在坐标轴上的概率为925．
(1)设袋子里标有数字2的小球有m个，由概率公式可列方程为22+1+m=25，求出m的值，即可得出答案．
(2)根据题意列表即可．由表格可得出所有等可能的结果数以及点M落在坐标轴上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：如图：

过点E作EG⊥AB，垂足为G，延长AB交DC于点H，
由题意得：AH⊥DH，EG=DH，ED=GH=17米，∠FAE=45°，AF/​/EG，
∴∠FAE=∠AEG=45°，
∵梯坎BC坡度i=2： 5，
∴BHCH=2 5，
∴设BH=2x米，则CH= 5x米，
在Rt△BCH中，BC= BH2+CH2= (2x)2+( 5x)2=3x(米)，
∵BC=9米，
∴3x=9，
解得：x=3，
∴BH=6米，CH=3 5米，
∵DC=20米，
∴EG=DH=CH+DC=(20+3 5)米，
在Rt△AEG中，AG=EG⋅tan45°=(20+3 5)米，
∴AB=AG+GH−BH=20+3 5+17−6≈37.7(米)，
∴建筑物AB的高度约为37.7米．
【解析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，延长AB交DC于点H，根据题意可得：AH⊥DH，EG=DH，ED=GH=17米，∠FAE=45°，AF/​/EG，从而可得∠FAE=∠AEG=45°，再根据已知可设BH=2x米，则CH= 5x米，然后在Rt△BCH中，利用勾股定理进行计算可求出BH和CH的长，从而求出DH的长，最后在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设y=kx+b，(kx表示浮动价，b表示基础价)，
由表格可得，20k+b=4530k+b=65，
解得k=2b=5，
即每张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式是y=2x+5；
(2)当x=40时，y=2×40+5=85，
85−26=59(元)，
答：这张薄板得成本价是59元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据，可以求出每张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式；
(2)将x=40代入(1)中的函数关系式，求出出厂价，然后用出厂价减利润，即可得到成本价．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
22.【答案】60 20 144°
【解析】解：(1)本次抽样的人数为6÷10%=60(人)
∴样本容量为60，
故答案为：60；
(2)C组的人数为60×40%=24，
(3)A组所占的百分比为1260×100%=20%．
a的值为20，
圆心角β=360×40%=144°，
故答案为：20，144°；
(4)全校低于54分的学生的人数=612×24+660=306(人)．
答：全校低于54分的学生的人数306人．
(1)根据D组的人数和百分比即可求出样本容量；
(2)根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；
(3)根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角；
(4)先算出低于54分的学生的百分比，在估算出全校低于54分的学生的人数．
本题考查频数(率)分布直方图，正确记忆相关知识点是解题关键．
23.【答案】(1)证明：如图1，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
即∠B=90°−∠BAC，
∵PE=BE，弦CD⊥AB，
∴CE是BP的垂直平分线，
∴PC=BC，
∴∠B=∠BPC，
在△BPC中，∠BCP=180°−∠B−∠BPC=180°−2∠B，
由圆周角定理得∠BAF=∠BCP，
即∠BAF=180°−2∠B，
∴∠BAF=180°−2(90°−∠BAC)=2∠BAC；
(2)解：如图2，连接OC、BF，

∵直径AB=6，
∴OA=OC=3，
∵弦CD⊥AB，CD=4 2，
∴CE=DE=2 2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得OE= OC2−CE2= 32−(2 2)2=1，
∴AE=OA+OE=3+1=4，
由圆周角定理得∠COE=2∠BAC，
由(1)得∠BAF=2∠BAC，
∴∠BAF=∠COE，
∵弦CD⊥AB，
∴∠OEC=∠AEG=90°，
∴△OEC∽△AEG，
∴OCAG=OEAE，
∴3AG=14，
∴AG=12，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠AEG=90°，
∵∠BAF=∠GAE，
∴△BAF∽△GAE，
∴ABAG=AFAE，
∴612=AF4，
∴AF=2，
∴GF=AG−AF=12−2=10．
【解析】(1)如图1，连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，于是有∠B=90°−∠BAC，根据垂直平分线的定义得出CE是BP的垂直平分线，从而得出BC=PC，再根据等边对等角得出∠B=∠BPC，于是可求出∠BCP与∠B的关系，从而得出∠BCP与∠A的关系，再根据同弧所对的圆周角相等得出∠BAF=∠BCP，于是问题得证；
(2)如图2，连接OC、BF，先由垂径定理求出CE的长，再由勾股定理求出OE的长，于是得出AE的长，再证△OEC∽△AEG，即可求出AG的长，再证△BAF∽△GAE，求出AF的长，从而求出GF的长．
本题考查了垂径定理，圆周角定理及推理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意得：x=−b2=1c=−3，
解得：b=−2c=−3，
则抛物线的表达式为：y=x2−2x−3，
令y=x2−2x−3−0，则x=−1或3，
即点A、B的坐标分别为：(−1,0)、(3,0)；
(2)设点P(m,m2−2m−3)，
则平移后的抛物线表达式为：y=(x−m)2+m2−2m−3，
则点E(0,2m2−2m−3)，

则DE=2m2−2m−3−(m2−2m−3)=m2，PD=m，
在Rt△ACO中，tan∠ACO=13，
则以点P、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，
tan∠EPD=13或3，
即m2m=13或3，
解得：m=3(舍去)或13，
则点P(13,−329)，
∵抛物线L1的顶点坐标为：(1,−4)，
平移的过程为：将L1向左平移23个单位向上平移49即可．
【解析】(1)由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
(2)以点P、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，tan∠EPD=13或3，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、三角形相似、解直角三角形等，综合性强，难度适中．
25.【答案】13
【解析】解：(1)如图，当点A位于直线OP与⊙O的左侧交点时，PA取最大值，最大值为：OA+OP=4+9=13，
故答案为：13；
(2)∵AF⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴点F在以AB为直径的半圆上，
如图，设AB的中点为E，连接CE，与点F的运动轨迹交于点F′，则CF′的长度即为CF的最小值．
∵AB=6，中点为E，
∴EB=12AB=3，
又∵∠ABC=90°，BC=8，
∴CE= EB2+BC2= 32+82= 73，
∴CF′=CE−EF′= 73−3，
即CF的最小值为 73−3．
(3)∵BC=60，∠ABC=90°，∠ACB=60°，
∴∠CAB=30°，
∴AC=2BC=120，
∴AB= AC2−BC2= 1202−602=60 3．
如图，连接EC，EB，取AC中点为M，AB中点为N，连接MN，MF，FN，

∵点E在以BC为直径的半圆上，
∴∠CEB=90°，
∵AC中点为M，AE中点为F，AB中点为N，
∴MF为△ACE的中位线，FN为△ABE的中位线，MN为△ABC的中位线，
∴MF//EC，NF//EB，MN/​/BC，MN=12BC=30，
∴∠MFA=∠CEA，∠NFA=∠BEA，
∴∠MFA+∠NFA=∠CEA+∠BEA，
∴∠MFN=∠CEB=90°，
∴点F在以MN为直径的左侧半圆上，
取MN中点为O，作OK⊥BC于点K，得矩形ONBK，连接CO，与点F的运动轨迹交于点F′，则CF′的长度即为CF的最小值．
∵MN=12BC=30，MN中点为O，AB=60 3，AB中点为N，
∴ON=12MN=15，BN=12AB=30 3，
∴KB=ON=15，OK=BN=30 3，
∴CK=BC−KB=60−15=45，
在Rt△CKO中，CK2+OK2=OC2，
∴OC= CK2+OK2= 452+(30 3)2=15 21，
又∵OF′=ON=15，
∴CF′=OC−OF′=15 21−15，
∴CF的最小值为15 21−15．
∵仿古长廊造价高达1100元/米，
(15 21−15)×1100=16500 21−16500(元)，
∴建造仿古长廊的最低费用为(16500 21−16500)元．
(1)点A位于直线OP与⊙O的左侧交点时，PA取最大值；
(2)根据AF⊥BD可得点F在以AB为直径的半圆上，设AB的中点为E，连接CE，与点F的运动轨迹交于点F′，则CF′的长度即为CF的最小值；
(3)连接EC，EB，取AC中点为M，AB中点为N，连接MN，MF，FN，证明∠MFN=∠CEB=90°，推出点F在以MN为直径的左侧半圆上，连接CO，与点F的运动轨迹交于点F′，则CF′的长度即为CF的最小值．
本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质等，通过作辅助线判断出点F的运动轨迹是解题的关键．课题
测量某建筑物AB的高度．
测量工具
皮尺，旗杆等．
设计方案

建筑物AB正前方有一根高度是17米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角为45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是9米，梯坎坡度i=2： 5．
参考数据
结果精确到0.1米，参考数据： 5≈2.236．
薄板的边长x(cm)
20
30
出厂价y(元/张)
45
65
−1
−1
0
2
2
−1
(−1,−1)
(−1,−1)
(−1,0)
(−1,2)
(−1,2)
−1
(−1,−1)
(−1,−1)
(−1,0)
(−1,2)
(−1,2)
0
(0,−1)
(0,−1)
(0,0)
(0,2)
(0,2)
2
(2,−1)
(2,−1)
(2,0)
(2,2)
(2,2)
2
(2,−1)
(2,−1)
(2,0)
(2,2)
(2,2)