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2024年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学四模试卷（含解析）
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这是一份2024年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学四模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−110的倒数是( )
A. −10B. 10C. −110D. 110
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子不正确的是( )
A. b>0B. a<−1C. a−b>0D. a+b<0
4.如图，将一副三角板的直角顶点重合并部分重叠，若∠BOD=20°，则∠AEC的度数为( )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
5.直线l1：y=kx−b和l2：y=−2kx+b在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB，垂足为E.若AB=10，BD=12，则cs∠EDB为( )
A. 45
B. 35
C. 34
D. 12
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为BD的中点，若∠A=50°，则∠CBD的度数为( )
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 25°
8.y=x2+(1−a)x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )
A. a≤−5B. a≥5C. a=3D. a≥3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.计算：( 5− 3)( 5+ 3)=______．
10.如图，在正八边形中，AB、AC是两条对角线，则AB：AC= ______．
11.如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一.音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳.一把二胡的琴弦AC长为70cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为______cm．
12.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=−5x的图象交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，那么(x2−x1)(y2−y1)的值为______．
13.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=10，∠B=60°，点M在AD上，且AM=8，点N在BC上.若MN平分四边形ABCD的面积，则MN的长度为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：−12024− 45÷ 5+3−27．
15.(本小题5分)
解不等式组：3x−1≥51+2x3>x−1．
16.(本小题5分)
化简：(1−4a+3)÷a2−2a+12a+6．
17.(本小题5分)
如图，已知Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，BC= 3，请你利用尺规在边AB上求作一点D，使点D到AC的距离为1.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，点D和点C在线段BE上，BD=CE，AB=EF，AB//EF.求证：AC//DF．
19.(本小题5分)
2023年10月29日西安市迎来了一场激动人心的体育盛会--2023西安马拉松，当日，来自全国各地的参赛选手齐聚永宁门，通过参加比赛感受秀美西安的城市魅力和人文风情，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神，比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”两种不同项目，甲、乙、丙三人分别参加了其中一个项目．
(1)甲恰好参加的是：“半程马拉松”的概率是______；
(2)请画树状图求“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率．
20.(本小题5分)
围棋，起源于中国，古代称为“弈”，距今已有4000多年的历史，如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为A(−2,4)，B(1,2)．
(1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系并写出C、D两颗棋子的坐标：C(______)，D(______).
(2)线段AB平移后得到线段A′B′，点A的对应点是A′(1,3)，点B的对应点是B′，点B、B′之间的距离是______．
21.(本小题6分)
“爱中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，为了让更多学生喜欢中国文化，学校组级七年级学生开展古诗词知识大赛，随机抽取部分学生的成绩进行整理，并绘制了如下两种不完整的统计图表．
注：70～80表示70⩽x<80
请根据图表信息解答下列问题：
(1)a= ______，b= ______．
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩80分及80分以上为优秀，请估计该校七年级600名学生成绩达到优秀的人数．
22.(本小题6分)
为了保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE//BC.经测量，BC=80米，DE=140米，且点E到河岸BC的距离为75米.已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据帮助他们计算桥AF的长度．
23.(本小题8分)
受气候的影响，某超市蔬菜供应紧张，需每天从外地调运蔬菜1000斤．超市决定从甲、乙两大型蔬菜棚调运蔬菜，已知甲蔬菜棚每天最多可调出800斤，乙蔬菜棚每天最多可调运600斤，从两蔬菜棚调运蔬菜到超市的路程和运费如表：
(1)若某天调运蔬菜的总运费为3840元，则从甲、乙两蔬菜棚各调运了多少斤蔬菜？
(2)设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？
24.(本小题8分)
如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC=2∠BCP，点E是BD的中点，弦CE，BD相交于点F．
(1)求∠OCB的度数；
(2)若EF=3，求⊙O直径的长．
25.(本小题8分)
嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏，沙包运动的路线可以近似的看作是抛物线.如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长、嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线l1：y=a(x−3)2+2的一部分，淇淇恰在点B(0,c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线l2：y=−18x2+n8x+c+1的一部分．
(1)写出l1的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方2m的高度上，且到点A水平距离不超过0.9m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
26.(本小题10分)
(1)如图①，AB是⊙O的弦，直线l上有两点M、N，点P在⊙O上，则∠AMB、∠ANB、∠APB的大小关系为______< ______< ______；
(2)如图②，已知点A、B的坐标分别是(0,3)、(0,9)，点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，求出点C的坐标；
(3)如图③，在平面直角坐标系中，直线l：y=−x+108与x轴、y轴分别交于点D、C.点M为直线上一点且MD=60 2，AB为x轴上一条可移动的线段，AB=20，连接CA、BM，点P为直线l上任意一点，连接AP、BP.求当AC+BM最小时，sin∠APB的最大值及此时点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−110的倒数是：−10．
故选：A．
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：观察数轴可得，a<−1<0a−b<0，故C符合题意，
a+b<0，故D不符合题意，
故选：C．
观察数轴可得，a<−1<0本题考查了数轴，观察数轴分析a、b的大小是本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
由题意得，∠B=180°−30°−90°=60°，
∵∠BOD=20°，
∴∠AFO=∠BOD+∠B=80°，
∴∠DEF=∠AFO−∠D=35°，
∴∠AEC=∠DEB=35°，
故选：B．
根据三角形内角和定理求出∠B的度数，进而根据三角形外角的性质求出∠AFO的度数，再由三角形外角的性质求出∠DEF的度数，最后根据对顶角相等即可得到答案．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、直线l1：y=kx−b中k>0，b<0，l2：y=−2kx+b中k>0，b>0，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
B、直线l1：y=kx−b中k>0，b<0，l2：y=−2kx+b中k>0，b<0，k、b的取值一致，故本选项符合题意；
C、直线l1：y=kx−b中k<0，b>0，l2：y=−2kx+b中k>0，b>0，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线l1：y=kx−b中k>0，b<0，l2：y=−2kx+b中k<0，b<0，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意．
故选：B．
先看一条直线，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，BD=12，
∴OB=OD=6，OA=OC，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴OA= AB2−OB2= 102−62=8，
∴AC=2OA=16，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，S菱形ABCD=AB⋅DE=12AC⋅BD=12×16×12=96，
即10DE=96，
∴DE=485，
∴cs∠EDB=DEBD=48512=45，
故选：A．
由菱形的性质得OB=OD=6，OA=OC，AC⊥BD，再由勾股定理得OA=8，则AC=2OA=16，然后由菱形面积公式求出DE的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=50°，
∴∠BCD=180°−∠A=180°−50°=130°，
∵点C为BD的中点，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=12×(180°−130°)=25°，
故选：D．
根据圆内接四边形的性质得到∠BCD=180°−∠A=180°−50°=130°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：第一种情况：
当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，此时，对称轴一定在1≤x≤3的右边，函数方能在这个区域取得最大值，
x=a−12≥3，即a≥7，
第二种情况：
当对称轴在1≤x≤3内时，对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=3的地方取得最大值，即：
x=a−12≥1+32，即a≥5(此处若a取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值)
综合上所述a≥5．
故选：B．
由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在[1,3]和对称轴在[1,3]内两种情况进行解答．
本题考查了二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系，难度较大．
9.【答案】2
【解析】解：原式=5−3=2，
故答案为2．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
10.【答案】1： 2
【解析】解：连接BC，
在正八边形中，∵AE=BE=BF=CF，∠E=∠F=∠EBF=(8−2)×180°8=135°，
∴△AEB≌△BFC(SAS)，
∴AB=BC，
∵∠EAB=∠EBA=∠BCF=∠CBF=22.5°，
∴∠ABC=135°−22.5°−22.5°=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB：AC=1： 2，
故答案为：1： 2．
根据正八边形的性质得到AE=BE=BF=CF，∠E=∠F=∠EBF=(8−2)×180°8=135°，根据全等三角形的性质得到AB=BC，推出△ABC是等腰直角三角形，于是得到结论．
本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】(35 5−35)
【解析】解：∵点B为线段AC的黄金分割点，且AB∴BCAC= 5−12，
∴BC= 5−12⋅AC，
∵AC=70cm，
∴BC 5−12×70=(30 5−35)cm．
故答案为：(35 5−35).
根据点B是线段AC的黄金分割点，且AB此题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解决问题的关键．
12.【答案】−20
【解析】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y=−5x的图象交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，关于原点对称，依此可得x1=−x2，y1=−y2，
∴(x2−x1)(y2−y1)
=x2y2−x2y1−x1y2+x1y1
=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1
=−5×4
=−20．
故答案为：−20．
正比例函数的图象与反比例函数y=−5x的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=−x2，y1=−y2，将(x2−x1)(y2−y1)展开，依此关系即可求解．
本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．
13.【答案】2 37
【解析】解：如图，取AC中点O，连接MO并延长交BC于点N，过A作AG⊥BC于点G，过M作MH⊥BC于点H，
∵∠B=60°，
∴∠BAG=90°−∠B=30°，
∴BG=12AB=4，
∴AG= AB2−BG2= 82−42=4 3，
∵MN平分四边形ABCD的面积，
∴MN经过平分四边形ABCD的中心O，
∵平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠AMO=∠CNO，∠MAO=∠NCO，
又∵AO=CO，
∴△AOM≌△CON(AAS)，
∴AM=CN，
∵AM=8，
∴CN=8，
∴BN=BC−CN=2，
∵AG⊥BC，MH⊥BC，
∴AG//MH，
又∵AM//GH，
∴四边形AGHM是平行四边形，
∴GH=AM=8，MH=AG=4 3，
∴NH=BG+GH−BN=4+8−2=10，
∴MN= NH2+MH2= 102+(4 3)2=2 37，
即MN的长为2 37，
故答案为：2 37．
取AC中点O，连接MO并长交BC于点N，过A作AG⊥BC于点G，过M作MH⊥BC于点H，由含30°的直角三角形性质求出BG=3，进而由勾股定理求出AG的长，证证明△AOM≌△CON(AAS)，得CN=AM=6，BN=2，然后证明四边形AGHM是平行四边形，得GH=AM=8，MH=AG=4 3，则NH=BG+GH−BN=10，进而由勾股定理求出MN的长即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14.【答案】解：−12024− 45÷ 5+3−27
=−1−3+(−3)
=−7．
【解析】首先计算乘方、开立方，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
15.【答案】解：由3x−1≥5得：x≥2，
由1+2x3>x−1得：x<4，
则不等式组的解集为2≤x<4．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
16.【答案】解：原式=a+3−4a+3⋅2(a+3)(a−1)2
=a−1a+3⋅2(a+3)(a−1)2
=2a−1．
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
17.【答案】解：如图，点D即为所求．
【解析】作∠ACB的角平分线CD交AB于点D，点D即为所求．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】证明：∵AB//EF，
∴∠B=∠E，
∵BD=EC，
∴BD+DC=DC+EC，
∴BC=EC，
在△ABC和△FED中，
AB=FE∠B=∠EBC=ED，
∴△ABC≌△FED(SAS)，
∴∠ACB=∠FDE，
∴AC//DF．
【解析】由“SAS”证明△ABC≌△FED，进而得出∠ACB=∠FDE，即可证明AC//DF．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解决问题的关键．
19.【答案】12
【解析】解：(1)由题意得，甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是12．
故答案为：12．
(2)将“全程马拉松”“半程马拉松”分别记为A，B，
画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目的结果有2种，
∴“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率为28=14．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20.【答案】2，1 −2，−1 10
【解析】解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．
由图可知，C(2,1)，D(−2,−1)．
故答案为：2，1；−2，−1．
(2)由题意可知，点B′的坐标为(4,1)，
∴点B、B′之间的距离是 32+12= 10．
故答案为： 10．
(1)根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，即可得出点C，D的坐标．
(2)根据平移的性质可得点B′的坐标，再利用勾股定理计算BB′的长即可．
本题考查作图−平移变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、勾股定理是解答本题的关键．
21.【答案】6 16%
【解析】解：(1)样本容量为4÷8%=50，
∴a=50×12%=6，b=850×100%=16%，
故答案为：6、16%；
(2)
(3)600×20+1250=384(人)．
答：估计七年级600名学生成绩达到优秀的人数为384人．
(1)先根据第1分组人数及其所占百分比求出总人数，进一步求解即可得出答案；
(2)根据以上所求结果即可补全图形；
(3)总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可．
本题考查频数(率)分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，
∵DE//BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ACAE=BCDE=80140=47，
∴ACEC=43，
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴∠CFA=∠CGE=90°，
∵∠ECG=∠ACF，
∵∠ECG=∠ACF，
∴△ACF∽△ECG，
∴AFEG=ACEC，即AF75=43，
解得：AF=100，
∴桥AF的长度为100米．
【解析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出ACEC=43，依据△ACF∽△ECG，即可得到AFEG=ACEC，进而得出AF的长．
本题主要考查了利用相似测量距离．正确构造直角三角形相似是解题关键．
23.【答案】解：(1)设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，则从乙蔬菜棚调运蔬菜(1000−x)斤，得
120×0.03x+80×0.05×(1000−x)=3840，
解得x=400，
乙蔬菜棚调运蔬菜：1000−400=600(斤)，
答：从甲蔬菜棚调运了400斤、从乙蔬菜棚调运了600斤蔬菜；
(2)W=120×0.03x+80×0.05×(1000−x)，
即W=−0.4x+4000(400≤x≤800)，
∵−0.4<0，
∴W随x的增大而减小，
当x=800时，W最小，W最小值=3680(元)，
答：从甲蔬菜棚调运蔬菜800斤，从乙蔬菜棚调运蔬菜200斤总费用最省．
【解析】(1)设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，则从乙蔬菜棚调运蔬菜(1000−x)斤，根据题意列方程解答即可；
(2 )根据题意写出W与x的关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一元一次方程与一次函数的实际应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，抓住等量关系．
24.【答案】解：(1)∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠OCB+∠BCP=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠ABC=2∠BCP，
∴∠OCB=2∠BCP，
∴3∠BCP=90°，
∴∠BCP=30°，
∴∠OCB=60°．
(2)连接DE，
∵CD是直径，
∴∠DEC=90°，
∵点E是BD的中点，
∴DE=EB，
∴∠DCE=∠FDE=∠ECB=12∠DCB=30°，
∵∠E=90°，EF=3，∠FDE=30°，
∴DE= 3FE=3 3，
∵∠E=90°，∠DCE=30°，
∴CD=2DE=6 3，
∴⊙O的直径的长为6 3．
【解析】(1)由切线的性质得到∠OCB+∠BCP=90°，由OB=OC，得到∠OCB=∠OBC，由已知∠ABC=2∠BCP，因此∠OCB=2∠BCP，得到3∠BCP=90°，求出∠BCP=30°，得到∠OCB=60°．
(2)由圆周角定理推出∠FDE=30°，由直角三角形的性质求出DE的长，即可得到CD的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质得到∠OCB=2∠BCP；由圆周角定理得到∠FDE=30°．
25.【答案】解：(1)∵抛物线C1：y=a(x−3)2+2，
∴C1的最高点坐标为(3,2)，
∵点A(6,1)在抛物线C1：y=a(x−3)2+2上，
∴1=a(6−3)2+2，
∴a=−19，
∴抛物线C1：y=−19(x−3)2+2，
当x=0时，c=1；
(2)∵嘉嘉在x轴上方2m的高度上，且到点A水平距离不超过0.9m的范围内可以接到沙包，
∴此时，接到沙包的位置坐标范围是(5,2)～(7,2)，
当经过(5,2)时，2=−18×25+n8×5+1+1，
解得：n=175，
当经过(7,2)时，2=−18×49+n8×7+1+1，
解得：n=417，
∴175≤n≤417，
∵n为整数，
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【解析】(1)将点A坐标代入解析式可求a，即可求解；
(2)根据点A的取值范围代入解析式可求解．
本题考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
26.【答案】∠AMB ∠APB ∠ANB
【解析】解：(1)如图1，
设BM交⊙O于C，AN的延长线交⊙O于D，连接BD，
∵AB=AB，
∴∠ACB=∠D=∠APB，
∵∠ACB是△ACM的外角，
∴∠AMB<∠ACB，
同理可得：∠D<∠ANB，
∴∠AMB<∠APB<∠ANB，
故答案为：∠AMB<∠APB<∠ANB；
(2)如图2，
当过A、B两点的圆I与x轴相切时，∠ACB最大，
∴AD=BD=12AB=3，
连接CI，AI，作ID⊥AB于D，
∴∠IDO=∠ICO=∠AOC=90°，
∴四边形CODI是矩形，
∴OD=IC，OC=DI，
∴AI=IC=OD=OA+AD=6，
∴DI= AI2−AD2= 62−32=3 3，
∴C(3 3,0)；
(3)如图，
由题意得：C(0,108)，D(108,0)，
在y轴上取点E(0,−108)，将其向右移动20个单位至F(20,−108)，连接MF，交x轴于B，将点B向左移动20个单位得A，
则AC+BM最小，
∵ 22MD=60，108−60=48，
∴点M(48,60)，
∴直线FM的解析式为：y=6x−228，
由6x−228=0得x=38，
∴点B(38,0)，A(18,0)，
过A、B的圆I与CD相切于P时，∠APB最大，sin∠APB=AB2PI，
作IH⊥AB于H，交⊙I于G，连接IP，
∴IP⊥CD，AH=BH=10，
∴DH=BH+BD=10+108−38=80，
∵OC=OD=108，∠COD=90°，
∴∠CDO=∠DCO=45°，
∴∠DGI=45°，
设IP=PG=x，则GI= 2x，IH=GH−GI=80− 2x，
在Rt△BIH中，由勾股定理得，
BI2−IH2=AH2，
∴x2−(80− 2x)2=102，
∴x1=80 2−30 7，x2=80 2+30 7(舍去)，
∴PI=80 2−30 7，
∴GQ=PQ=IQ= 22PI=80−15 14，sin∠APB=202×(80 2−15 14)=16 2−3 14193，
∵OH+PQ=28+80−15 14=108−15 14，QH=GH−GQ=15 14，
∴P(108−15 14,15 14).
(1)设BM交⊙O于C，AN的延长线交⊙O于D，连接BD，可得出∠ACB=∠D=∠APB，从而∠AMB<∠ACB，∠D<∠ANB，进而得出结果；
(2)过A、B两点的圆I与x轴相切时，∠ACB最大，连接CI，AI，作ID⊥AB于D，可得出AI=IC=OD=OA+AD=6，从而DI= AI2−AD2= 62−32=3 3，进而得出结果；
(3)在y轴上取点E(0,−108)，将其向右移动20个单位至F(20,−108)，连接MF，交x轴于B，将点B向左移动20个单位得A，则AC+BM最小，可求得点B(38,0)，A(18,0)，过A、B的圆I与CD相切于P时，∠APB最大，sin∠APB=AB2PI，作IH⊥AB于H，交⊙I于G，连接IP，设IP=PG=x，则GI= 2x，IH=GH−GI=80− 2x，在Rt△BIH中，由勾股定理得出x2−(80− 2x)2=102，求得x的值，进一步得出结果．
本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理及其推论，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．分组
人数(频数)
占样本人数的百分比
50～60
4
8%
60～70
a
12%
70～80
8
b
80～90
20
40%
90～100
12
24%
到超市的路程(千米)
运费(元/斤⋅千米)
甲蔬菜棚
120
0.03
乙蔬菜棚
80
0.05
1.−110的倒数是( )
A. −10B. 10C. −110D. 110
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子不正确的是( )
A. b>0B. a<−1C. a−b>0D. a+b<0
4.如图，将一副三角板的直角顶点重合并部分重叠，若∠BOD=20°，则∠AEC的度数为( )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
5.直线l1：y=kx−b和l2：y=−2kx+b在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB，垂足为E.若AB=10，BD=12，则cs∠EDB为( )
A. 45
B. 35
C. 34
D. 12
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为BD的中点，若∠A=50°，则∠CBD的度数为( )
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 25°
8.y=x2+(1−a)x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )
A. a≤−5B. a≥5C. a=3D. a≥3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.计算：( 5− 3)( 5+ 3)=______．
10.如图，在正八边形中，AB、AC是两条对角线，则AB：AC= ______．
11.如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一.音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳.一把二胡的琴弦AC长为70cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为______cm．
12.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=−5x的图象交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，那么(x2−x1)(y2−y1)的值为______．
13.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=10，∠B=60°，点M在AD上，且AM=8，点N在BC上.若MN平分四边形ABCD的面积，则MN的长度为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：−12024− 45÷ 5+3−27．
15.(本小题5分)
解不等式组：3x−1≥51+2x3>x−1．
16.(本小题5分)
化简：(1−4a+3)÷a2−2a+12a+6．
17.(本小题5分)
如图，已知Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，BC= 3，请你利用尺规在边AB上求作一点D，使点D到AC的距离为1.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，点D和点C在线段BE上，BD=CE，AB=EF，AB//EF.求证：AC//DF．
19.(本小题5分)
2023年10月29日西安市迎来了一场激动人心的体育盛会--2023西安马拉松，当日，来自全国各地的参赛选手齐聚永宁门，通过参加比赛感受秀美西安的城市魅力和人文风情，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神，比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”两种不同项目，甲、乙、丙三人分别参加了其中一个项目．
(1)甲恰好参加的是：“半程马拉松”的概率是______；
(2)请画树状图求“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率．
20.(本小题5分)
围棋，起源于中国，古代称为“弈”，距今已有4000多年的历史，如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为A(−2,4)，B(1,2)．
(1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系并写出C、D两颗棋子的坐标：C(______)，D(______).
(2)线段AB平移后得到线段A′B′，点A的对应点是A′(1,3)，点B的对应点是B′，点B、B′之间的距离是______．
21.(本小题6分)
“爱中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，为了让更多学生喜欢中国文化，学校组级七年级学生开展古诗词知识大赛，随机抽取部分学生的成绩进行整理，并绘制了如下两种不完整的统计图表．
注：70～80表示70⩽x<80
请根据图表信息解答下列问题：
(1)a= ______，b= ______．
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩80分及80分以上为优秀，请估计该校七年级600名学生成绩达到优秀的人数．
22.(本小题6分)
为了保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE//BC.经测量，BC=80米，DE=140米，且点E到河岸BC的距离为75米.已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据帮助他们计算桥AF的长度．
23.(本小题8分)
受气候的影响，某超市蔬菜供应紧张，需每天从外地调运蔬菜1000斤．超市决定从甲、乙两大型蔬菜棚调运蔬菜，已知甲蔬菜棚每天最多可调出800斤，乙蔬菜棚每天最多可调运600斤，从两蔬菜棚调运蔬菜到超市的路程和运费如表：
(1)若某天调运蔬菜的总运费为3840元，则从甲、乙两蔬菜棚各调运了多少斤蔬菜？
(2)设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？
24.(本小题8分)
如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC=2∠BCP，点E是BD的中点，弦CE，BD相交于点F．
(1)求∠OCB的度数；
(2)若EF=3，求⊙O直径的长．
25.(本小题8分)
嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏，沙包运动的路线可以近似的看作是抛物线.如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长、嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线l1：y=a(x−3)2+2的一部分，淇淇恰在点B(0,c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线l2：y=−18x2+n8x+c+1的一部分．
(1)写出l1的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方2m的高度上，且到点A水平距离不超过0.9m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
26.(本小题10分)
(1)如图①，AB是⊙O的弦，直线l上有两点M、N，点P在⊙O上，则∠AMB、∠ANB、∠APB的大小关系为______< ______< ______；
(2)如图②，已知点A、B的坐标分别是(0,3)、(0,9)，点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，求出点C的坐标；
(3)如图③，在平面直角坐标系中，直线l：y=−x+108与x轴、y轴分别交于点D、C.点M为直线上一点且MD=60 2，AB为x轴上一条可移动的线段，AB=20，连接CA、BM，点P为直线l上任意一点，连接AP、BP.求当AC+BM最小时，sin∠APB的最大值及此时点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−110的倒数是：−10．
故选：A．
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：观察数轴可得，a<−1<0
a+b<0，故D不符合题意，
故选：C．
观察数轴可得，a<−1<0
4.【答案】B
【解析】解：如图，
由题意得，∠B=180°−30°−90°=60°，
∵∠BOD=20°，
∴∠AFO=∠BOD+∠B=80°，
∴∠DEF=∠AFO−∠D=35°，
∴∠AEC=∠DEB=35°，
故选：B．
根据三角形内角和定理求出∠B的度数，进而根据三角形外角的性质求出∠AFO的度数，再由三角形外角的性质求出∠DEF的度数，最后根据对顶角相等即可得到答案．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、直线l1：y=kx−b中k>0，b<0，l2：y=−2kx+b中k>0，b>0，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
B、直线l1：y=kx−b中k>0，b<0，l2：y=−2kx+b中k>0，b<0，k、b的取值一致，故本选项符合题意；
C、直线l1：y=kx−b中k<0，b>0，l2：y=−2kx+b中k>0，b>0，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线l1：y=kx−b中k>0，b<0，l2：y=−2kx+b中k<0，b<0，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意．
故选：B．
先看一条直线，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，BD=12，
∴OB=OD=6，OA=OC，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴OA= AB2−OB2= 102−62=8，
∴AC=2OA=16，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，S菱形ABCD=AB⋅DE=12AC⋅BD=12×16×12=96，
即10DE=96，
∴DE=485，
∴cs∠EDB=DEBD=48512=45，
故选：A．
由菱形的性质得OB=OD=6，OA=OC，AC⊥BD，再由勾股定理得OA=8，则AC=2OA=16，然后由菱形面积公式求出DE的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=50°，
∴∠BCD=180°−∠A=180°−50°=130°，
∵点C为BD的中点，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=12×(180°−130°)=25°，
故选：D．
根据圆内接四边形的性质得到∠BCD=180°−∠A=180°−50°=130°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：第一种情况：
当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，此时，对称轴一定在1≤x≤3的右边，函数方能在这个区域取得最大值，
x=a−12≥3，即a≥7，
第二种情况：
当对称轴在1≤x≤3内时，对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=3的地方取得最大值，即：
x=a−12≥1+32，即a≥5(此处若a取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值)
综合上所述a≥5．
故选：B．
由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在[1,3]和对称轴在[1,3]内两种情况进行解答．
本题考查了二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系，难度较大．
9.【答案】2
【解析】解：原式=5−3=2，
故答案为2．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
10.【答案】1： 2
【解析】解：连接BC，
在正八边形中，∵AE=BE=BF=CF，∠E=∠F=∠EBF=(8−2)×180°8=135°，
∴△AEB≌△BFC(SAS)，
∴AB=BC，
∵∠EAB=∠EBA=∠BCF=∠CBF=22.5°，
∴∠ABC=135°−22.5°−22.5°=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB：AC=1： 2，
故答案为：1： 2．
根据正八边形的性质得到AE=BE=BF=CF，∠E=∠F=∠EBF=(8−2)×180°8=135°，根据全等三角形的性质得到AB=BC，推出△ABC是等腰直角三角形，于是得到结论．
本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】(35 5−35)
【解析】解：∵点B为线段AC的黄金分割点，且AB
∴BC= 5−12⋅AC，
∵AC=70cm，
∴BC 5−12×70=(30 5−35)cm．
故答案为：(35 5−35).
根据点B是线段AC的黄金分割点，且AB
12.【答案】−20
【解析】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y=−5x的图象交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，关于原点对称，依此可得x1=−x2，y1=−y2，
∴(x2−x1)(y2−y1)
=x2y2−x2y1−x1y2+x1y1
=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1
=−5×4
=−20．
故答案为：−20．
正比例函数的图象与反比例函数y=−5x的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=−x2，y1=−y2，将(x2−x1)(y2−y1)展开，依此关系即可求解．
本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．
13.【答案】2 37
【解析】解：如图，取AC中点O，连接MO并延长交BC于点N，过A作AG⊥BC于点G，过M作MH⊥BC于点H，
∵∠B=60°，
∴∠BAG=90°−∠B=30°，
∴BG=12AB=4，
∴AG= AB2−BG2= 82−42=4 3，
∵MN平分四边形ABCD的面积，
∴MN经过平分四边形ABCD的中心O，
∵平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠AMO=∠CNO，∠MAO=∠NCO，
又∵AO=CO，
∴△AOM≌△CON(AAS)，
∴AM=CN，
∵AM=8，
∴CN=8，
∴BN=BC−CN=2，
∵AG⊥BC，MH⊥BC，
∴AG//MH，
又∵AM//GH，
∴四边形AGHM是平行四边形，
∴GH=AM=8，MH=AG=4 3，
∴NH=BG+GH−BN=4+8−2=10，
∴MN= NH2+MH2= 102+(4 3)2=2 37，
即MN的长为2 37，
故答案为：2 37．
取AC中点O，连接MO并长交BC于点N，过A作AG⊥BC于点G，过M作MH⊥BC于点H，由含30°的直角三角形性质求出BG=3，进而由勾股定理求出AG的长，证证明△AOM≌△CON(AAS)，得CN=AM=6，BN=2，然后证明四边形AGHM是平行四边形，得GH=AM=8，MH=AG=4 3，则NH=BG+GH−BN=10，进而由勾股定理求出MN的长即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14.【答案】解：−12024− 45÷ 5+3−27
=−1−3+(−3)
=−7．
【解析】首先计算乘方、开立方，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
15.【答案】解：由3x−1≥5得：x≥2，
由1+2x3>x−1得：x<4，
则不等式组的解集为2≤x<4．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
16.【答案】解：原式=a+3−4a+3⋅2(a+3)(a−1)2
=a−1a+3⋅2(a+3)(a−1)2
=2a−1．
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
17.【答案】解：如图，点D即为所求．
【解析】作∠ACB的角平分线CD交AB于点D，点D即为所求．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】证明：∵AB//EF，
∴∠B=∠E，
∵BD=EC，
∴BD+DC=DC+EC，
∴BC=EC，
在△ABC和△FED中，
AB=FE∠B=∠EBC=ED，
∴△ABC≌△FED(SAS)，
∴∠ACB=∠FDE，
∴AC//DF．
【解析】由“SAS”证明△ABC≌△FED，进而得出∠ACB=∠FDE，即可证明AC//DF．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解决问题的关键．
19.【答案】12
【解析】解：(1)由题意得，甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是12．
故答案为：12．
(2)将“全程马拉松”“半程马拉松”分别记为A，B，
画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目的结果有2种，
∴“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率为28=14．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20.【答案】2，1 −2，−1 10
【解析】解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．
由图可知，C(2,1)，D(−2,−1)．
故答案为：2，1；−2，−1．
(2)由题意可知，点B′的坐标为(4,1)，
∴点B、B′之间的距离是 32+12= 10．
故答案为： 10．
(1)根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，即可得出点C，D的坐标．
(2)根据平移的性质可得点B′的坐标，再利用勾股定理计算BB′的长即可．
本题考查作图−平移变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、勾股定理是解答本题的关键．
21.【答案】6 16%
【解析】解：(1)样本容量为4÷8%=50，
∴a=50×12%=6，b=850×100%=16%，
故答案为：6、16%；
(2)
(3)600×20+1250=384(人)．
答：估计七年级600名学生成绩达到优秀的人数为384人．
(1)先根据第1分组人数及其所占百分比求出总人数，进一步求解即可得出答案；
(2)根据以上所求结果即可补全图形；
(3)总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可．
本题考查频数(率)分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，
∵DE//BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ACAE=BCDE=80140=47，
∴ACEC=43，
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴∠CFA=∠CGE=90°，
∵∠ECG=∠ACF，
∵∠ECG=∠ACF，
∴△ACF∽△ECG，
∴AFEG=ACEC，即AF75=43，
解得：AF=100，
∴桥AF的长度为100米．
【解析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出ACEC=43，依据△ACF∽△ECG，即可得到AFEG=ACEC，进而得出AF的长．
本题主要考查了利用相似测量距离．正确构造直角三角形相似是解题关键．
23.【答案】解：(1)设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，则从乙蔬菜棚调运蔬菜(1000−x)斤，得
120×0.03x+80×0.05×(1000−x)=3840，
解得x=400，
乙蔬菜棚调运蔬菜：1000−400=600(斤)，
答：从甲蔬菜棚调运了400斤、从乙蔬菜棚调运了600斤蔬菜；
(2)W=120×0.03x+80×0.05×(1000−x)，
即W=−0.4x+4000(400≤x≤800)，
∵−0.4<0，
∴W随x的增大而减小，
当x=800时，W最小，W最小值=3680(元)，
答：从甲蔬菜棚调运蔬菜800斤，从乙蔬菜棚调运蔬菜200斤总费用最省．
【解析】(1)设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，则从乙蔬菜棚调运蔬菜(1000−x)斤，根据题意列方程解答即可；
(2 )根据题意写出W与x的关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一元一次方程与一次函数的实际应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，抓住等量关系．
24.【答案】解：(1)∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠OCB+∠BCP=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠ABC=2∠BCP，
∴∠OCB=2∠BCP，
∴3∠BCP=90°，
∴∠BCP=30°，
∴∠OCB=60°．
(2)连接DE，
∵CD是直径，
∴∠DEC=90°，
∵点E是BD的中点，
∴DE=EB，
∴∠DCE=∠FDE=∠ECB=12∠DCB=30°，
∵∠E=90°，EF=3，∠FDE=30°，
∴DE= 3FE=3 3，
∵∠E=90°，∠DCE=30°，
∴CD=2DE=6 3，
∴⊙O的直径的长为6 3．
【解析】(1)由切线的性质得到∠OCB+∠BCP=90°，由OB=OC，得到∠OCB=∠OBC，由已知∠ABC=2∠BCP，因此∠OCB=2∠BCP，得到3∠BCP=90°，求出∠BCP=30°，得到∠OCB=60°．
(2)由圆周角定理推出∠FDE=30°，由直角三角形的性质求出DE的长，即可得到CD的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质得到∠OCB=2∠BCP；由圆周角定理得到∠FDE=30°．
25.【答案】解：(1)∵抛物线C1：y=a(x−3)2+2，
∴C1的最高点坐标为(3,2)，
∵点A(6,1)在抛物线C1：y=a(x−3)2+2上，
∴1=a(6−3)2+2，
∴a=−19，
∴抛物线C1：y=−19(x−3)2+2，
当x=0时，c=1；
(2)∵嘉嘉在x轴上方2m的高度上，且到点A水平距离不超过0.9m的范围内可以接到沙包，
∴此时，接到沙包的位置坐标范围是(5,2)～(7,2)，
当经过(5,2)时，2=−18×25+n8×5+1+1，
解得：n=175，
当经过(7,2)时，2=−18×49+n8×7+1+1，
解得：n=417，
∴175≤n≤417，
∵n为整数，
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【解析】(1)将点A坐标代入解析式可求a，即可求解；
(2)根据点A的取值范围代入解析式可求解．
本题考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
26.【答案】∠AMB ∠APB ∠ANB
【解析】解：(1)如图1，
设BM交⊙O于C，AN的延长线交⊙O于D，连接BD，
∵AB=AB，
∴∠ACB=∠D=∠APB，
∵∠ACB是△ACM的外角，
∴∠AMB<∠ACB，
同理可得：∠D<∠ANB，
∴∠AMB<∠APB<∠ANB，
故答案为：∠AMB<∠APB<∠ANB；
(2)如图2，
当过A、B两点的圆I与x轴相切时，∠ACB最大，
∴AD=BD=12AB=3，
连接CI，AI，作ID⊥AB于D，
∴∠IDO=∠ICO=∠AOC=90°，
∴四边形CODI是矩形，
∴OD=IC，OC=DI，
∴AI=IC=OD=OA+AD=6，
∴DI= AI2−AD2= 62−32=3 3，
∴C(3 3,0)；
(3)如图，
由题意得：C(0,108)，D(108,0)，
在y轴上取点E(0,−108)，将其向右移动20个单位至F(20,−108)，连接MF，交x轴于B，将点B向左移动20个单位得A，
则AC+BM最小，
∵ 22MD=60，108−60=48，
∴点M(48,60)，
∴直线FM的解析式为：y=6x−228，
由6x−228=0得x=38，
∴点B(38,0)，A(18,0)，
过A、B的圆I与CD相切于P时，∠APB最大，sin∠APB=AB2PI，
作IH⊥AB于H，交⊙I于G，连接IP，
∴IP⊥CD，AH=BH=10，
∴DH=BH+BD=10+108−38=80，
∵OC=OD=108，∠COD=90°，
∴∠CDO=∠DCO=45°，
∴∠DGI=45°，
设IP=PG=x，则GI= 2x，IH=GH−GI=80− 2x，
在Rt△BIH中，由勾股定理得，
BI2−IH2=AH2，
∴x2−(80− 2x)2=102，
∴x1=80 2−30 7，x2=80 2+30 7(舍去)，
∴PI=80 2−30 7，
∴GQ=PQ=IQ= 22PI=80−15 14，sin∠APB=202×(80 2−15 14)=16 2−3 14193，
∵OH+PQ=28+80−15 14=108−15 14，QH=GH−GQ=15 14，
∴P(108−15 14,15 14).
(1)设BM交⊙O于C，AN的延长线交⊙O于D，连接BD，可得出∠ACB=∠D=∠APB，从而∠AMB<∠ACB，∠D<∠ANB，进而得出结果；
(2)过A、B两点的圆I与x轴相切时，∠ACB最大，连接CI，AI，作ID⊥AB于D，可得出AI=IC=OD=OA+AD=6，从而DI= AI2−AD2= 62−32=3 3，进而得出结果；
(3)在y轴上取点E(0,−108)，将其向右移动20个单位至F(20,−108)，连接MF，交x轴于B，将点B向左移动20个单位得A，则AC+BM最小，可求得点B(38,0)，A(18,0)，过A、B的圆I与CD相切于P时，∠APB最大，sin∠APB=AB2PI，作IH⊥AB于H，交⊙I于G，连接IP，设IP=PG=x，则GI= 2x，IH=GH−GI=80− 2x，在Rt△BIH中，由勾股定理得出x2−(80− 2x)2=102，求得x的值，进一步得出结果．
本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理及其推论，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．分组
人数(频数)
占样本人数的百分比
50～60
4
8%
60～70
a
12%
70～80
8
b
80～90
20
40%
90～100
12
24%
到超市的路程(千米)
运费(元/斤⋅千米)
甲蔬菜棚
120
0.03
乙蔬菜棚
80
0.05
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