试卷 2021年陕西师大附中中考数学三模试卷

这是一份试卷 2021年陕西师大附中中考数学三模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年陕西师大附中中考数学三模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）27的立方根是（　　）
A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（　　）

A．22° B．20° C．25° D．30°
4．（3分）已知正比例函数y＝3x，若该正比例函数图象经过点（a，4a﹣1），则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
5．（3分）化简+的结果是（　　）
A．x+y B．x﹣y C． D．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（　　）

A．6 B．3 C．6 D．8
7．（3分）如图，一次函数y＝x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A、B．过点B的直线l交x轴于点C，BC平分△ABO的面积，则与直线l关于y轴对称的直线表达式为（　　）

A．y＝x+6 B．y＝x+6 C．y＝x+6 D．y＝﹣x+6
8．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝6，∠A＝135°，S▱ABCD＝12．若点E、F分别在边BC、AD上，且AF＝CE，∠EFD＝30°，则AF的长为（　　）

A．﹣1 B．2﹣1 C．6﹣6 D．4﹣2
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OA、OB、OC．若∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，AC＝4，则⊙O的直径为（　　）

A． B．4 C． D．8
10．（3分）已知抛物线C1：y＝x2﹣2x+1，将抛物线C1绕着点（0，m）旋转180°得到抛物线C2，如果抛物线C2与直线y＝x+4有两个交点且交点在其对称轴两侧，则m的取值范围是（　　）
A．m＞ B．m＞ C．m＜ D．m＜
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）已知实数﹣0.21，，，，，﹣，其中为无理数的是　 　．
12．（3分）若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为　 　．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BC∥x轴，点A、B都在反比例函数y＝（x＞0）上，点C在反比例函数y＝（x＞0）上，则AB＝　 　．

14．（3分）如图，矩形ABCD中，M为边AD上的一点．将△CDM沿CM折叠，得到△CMN，若AB＝6，DM＝2，则N到AD的距离为　 　．

三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：
16．（5分）解分式方程：．
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，∠ADC＝∠DBC＝90°，点E为AD边上一点，请用尺规在BD边上求作一点P，使△DEP∽△CDB．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形．求证：CE＝CF．

19．（7分）2020年2月，某市响应国家疫情期间“停课不停学”的号召，精选全市优秀一线教师为全市中学生录制免费优质视频课，学生通过市“停课不停学”平台进行线上学习．为了解某中学初二学生每天进行线上学习的时间，随机调查了该校部分初二学生．根据调查结果，绘制出了如下统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题：
部分初二学生每天线上学习时间的人数统计表：
时间/h
1.5
2
2.5
3
3.5
4
人数/人
4
12
12
20
a
8

（1）本次共调查的学生人数为　 　，在表格中，a＝　 　；
（2）统计的这组数据中，学生每天进行线上学习时间的中位数是　 　，众数是　 　；
（3）根据样本数据，请你估计该中学初二学生每天线上学习的平均时间是多少？
20．（7分）如图，地面上小山的两侧有A、B两地，为了测量A、B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟50m的速度直线飞行，8分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（取1.7，sin20°取0.3，cos20°取0.9，tan20°取0.4，sin70°取0.9，cos70°取0.3，tan70°取2.7．）

21．（7分）某水果店每天都会进一些草莓销售．在一周销售过程中他发现每天的销售量y（单位：千克）会随售价x（单位：元/千克）的变化而变化，部分数据记录如表：
售价x（单位：元/千克）
30
25
20
每天销售量y（单位：千克）
5
45
85
如果已知草莓每天销量y与售价x（14＜x＜30.625）满足一次函数关系．
（1）请根据表格中数据求出这个一次函数关系式；
（2）如果进价为14元/千克，请判断售价分别定为20元/千克和25元/千克时，哪个的销售利润更高？
22．（7分）一只不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，是红球的概率为．
（1）袋子里红球有　 　个；
（2）现从袋子中一次摸出两个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中有一个是黑球的概率．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，F为弧AD上一点，且D是弧BF的中点，过点D作DE⊥AF，交线段AF的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为8，tanC＝，求DE的值．

24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3a的图象经过点A（﹣1，0）和B（1，4），其关于y轴对称的抛物线L2与x轴交于M、N两点（点N在点M的右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线L2的表达式；
（2）点D在抛物线L2对称轴上，则在平面直角坐标系中是否存在点E，使得以CN为边，且以点C、N、D、E为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出：
有一组对角互余的四边形称为对余四边形．
（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为　 　．
问题探究：
（2）如图①，在四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+BC2＝AC2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
问题解决：
（3）为贯彻“精准扶贫”战略思想，某驻村扶贫干部准备帮助村民老王在他家的田地中划出部分区域来种植经济作物以提高家庭经济收入．如图②，四边形ABCD是老王家的田地示意图．其中AF为一条小路、∠BAD＝60°，AD＝40米．AB＞AD，∠ADC＝120°，DF＝20米．根据规划老王要在原有地块上划分出一个互余四边形AEFH来种粮食，剩余部分种植经济作物，十四五规划提出：严守18亿亩耕地红线，粮食一定要自给自足，当用来种粮的四边形地块AEFH满足点E在边AB上、点H在边AD上，且AE＝AH时；此地块出产粮食能够满足老王家生活所需．为切实落实扶贫工作，尽可能多种经济作物，要使四边形AEFH占地面积最小．请问能否找到满足条件的点E、H？如果能，求出四边形AEFH面积的最小值及面积最小时线段AH的值；如果不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计）


2021年陕西师大附中中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）27的立方根是（　　）
A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3
【分析】直接根据立方根的定义求解．
【解答】解：27的立方根为3．
故选：C．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：C．
3．（3分）小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（　　）

A．22° B．20° C．25° D．30°
【分析】过F作FG∥AD，则FG∥BC，即可得到∠2＝∠EFG＝70°，再根据∠AFE＝90°，即可得出∠AFG＝90°﹣70°＝20°，进而得到∠1＝∠AFG＝20°．
【解答】解：如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC，

∴∠2＝∠EFG＝70°，
又∵∠AFE＝90°，
∴∠AFG＝90°﹣70°＝20°，
∴∠1＝∠AFG＝20°，
故选：B．
4．（3分）已知正比例函数y＝3x，若该正比例函数图象经过点（a，4a﹣1），则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
【分析】把点的坐标代入函数的解析式，即可得出关于a的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝3x的图象经过点（a，4a﹣1），
∴代入得：4a﹣1＝3a，
解得：a＝1，
故选：A．
5．（3分）化简+的结果是（　　）
A．x+y B．x﹣y C． D．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝x﹣y．
故选：B．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（　　）

A．6 B．3 C．6 D．8
【分析】根据三角形中位线的性质定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵F为DE的中点，
∴EF＝FD，
∵BE＝BC，
∴CD＝2BF，
∵BF＝3，
∴CD＝2×3＝6，
∵∠ACB＝90°，CD为中线，
∴AB＝2CD＝12，
∴BC＝＝＝6，
故选：C．
7．（3分）如图，一次函数y＝x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A、B．过点B的直线l交x轴于点C，BC平分△ABO的面积，则与直线l关于y轴对称的直线表达式为（　　）

A．y＝x+6 B．y＝x+6 C．y＝x+6 D．y＝﹣x+6
【分析】由一次函数y＝x+6求得A、B的坐标，根据题意求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l，然后根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求得．
【解答】解：∵一次函数y＝x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A、B，
∴令y＝0，则求得x＝﹣8，令x＝0，求得y＝6，
∴A（﹣8，0），B（0，6），
∵过点B的直线l平分△ABO的面积，
∴AC＝OC，
∴C（﹣4，0），
设直线l的解析式为y＝kx+6，
把C（﹣4，0）代入得﹣4k+6＝0，
解得k＝，
∴直线l的解析式为y＝x+6，
∴与直线l关于y轴对称的直线表达式为y＝﹣x+6，
故选：D．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝6，∠A＝135°，S▱ABCD＝12．若点E、F分别在边BC、AD上，且AF＝CE，∠EFD＝30°，则AF的长为（　　）

A．﹣1 B．2﹣1 C．6﹣6 D．4﹣2
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据平行四边形的性质和锐角三角函数，可以求得AF的长，本题得以解决．
【解答】解：作CN⊥AD于点N，作EM⊥AD于点M，则CE＝MN，
∵S▱ABCD＝12，BC＝6，
∴EM＝CN＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝135°，
∴∠A+∠B＝180°，∠B＝∠D，AD＝BC＝6，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠CND＝90°，
∴∠D＝∠DCN＝45°，
∴DN＝CN＝2，
∵EM⊥AD，
∵CM⊥AD，∠EFD＝30°，
∴MF＝＝＝2，
∵AD＝6，AF＝CE，CE＝MN，
∴AF+FM+MN+DN＝AD＝6，
∴AF+2+MN+2+6，
∴2AF＝4﹣2，
∴AF＝2﹣1，
故选：B．

9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OA、OB、OC．若∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，AC＝4，则⊙O的直径为（　　）

A． B．4 C． D．8
【分析】作直径CD，连接AD，如图，利用等腰三角形的性质得到∠OCB＝50°，利用圆周角定理得到∠ACB＝20°，∠CAD＝90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出CD即可．
【解答】解：作直径CD，连接AD，如图，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝50°，
∵∠ACB＝∠AOB＝×40°＝20°，
∴∠ACD＝∠OCB﹣∠ACB＝50°﹣20°＝30°，
∵CD为直径，
∴∠CAD＝90°，
∴AD＝AC＝×4＝，
∴CD＝2AD＝，
即⊙O的直径为．
故选：C．

10．（3分）已知抛物线C1：y＝x2﹣2x+1，将抛物线C1绕着点（0，m）旋转180°得到抛物线C2，如果抛物线C2与直线y＝x+4有两个交点且交点在其对称轴两侧，则m的取值范围是（　　）
A．m＞ B．m＞ C．m＜ D．m＜
【分析】求得抛物线C1的顶点坐标，根据旋转的性质求得抛物线C2的顶点为（﹣3，2m+2），由抛物线C2与直线y＝x+4有两个交点且交点在其对称轴两侧，得出当x＝﹣3时，x+4＜2m+2，即﹣+4＜2m+2，解得即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线C1：y＝x2﹣2x+1的顶点为（3，﹣2），
将抛物线C1绕着点（0，m）旋转180°得到抛物线C2，则抛物线C2的顶点为（﹣3，2m+2），如图，
∵抛物线C2与直线y＝x+4有两个交点且交点在其对称轴两侧，
∴当x＝﹣3时，x+4＜2m+2，即﹣+4＜2m+2，
解得m＞．
故选：A．

二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）已知实数﹣0.21，，，，，﹣，其中为无理数的是　，，　．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：﹣0.21是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
，是无理数；
是无理数；
故答案为：，，．
12．（3分）若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为　3　．
【分析】明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可求得其外接圆的半径，然后再求内接正三角形的边长即可．
【解答】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长．
∵正方形边长为6，
∴正方形的对角线长为6，
外接圆半径为3．
如图所示：
在Rt△BOD中，OB＝3，∠OBD＝30°，
∴BD＝cos30°×OB＝．
∵BD＝CD，
∴BC＝2BD＝3．
故答案为3．

13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BC∥x轴，点A、B都在反比例函数y＝（x＞0）上，点C在反比例函数y＝（x＞0）上，则AB＝　　．

【分析】设C（a，），AC＝BC＝m，则A（a，+m），B（a+m，），根据反比例函数系数k的几何意义得到a（+m）＝（a+m）•＝10，解得m＝，利用勾股定理求得AB＝．
【解答】解：设C（a，），AC＝BC＝m，
∴A（a，+m），B（a+m，），
∵点A、B都在反比例函数y＝上，
∴a（+m）＝（a+m）•＝10，
解得m＝，
∴AC＝BC＝，
在Rt△ABC中，AB＝＝，
故答案为．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，M为边AD上的一点．将△CDM沿CM折叠，得到△CMN，若AB＝6，DM＝2，则N到AD的距离为　　．

【分析】过点N作NE⊥AD于点E，并延长EN交BC于点F，则NF⊥BC，证明△ENM∽△NFC，由相似三角形的性质得出，设EN＝x，则NF＝6﹣x，求出x可得出答案．
【解答】解：过点N作NE⊥AD于点E，并延长EN交BC于点F，则NF⊥BC，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠D＝90°，
∵将△CDM沿CM折叠，得到△CMN，
∴DM＝MN＝2，DC＝NC＝6，∠D＝∠MNC＝90°，
∴∠ENM+∠FNC＝∠FNC+∠FCN＝90°，
∴∠ENM＝∠FCN，
∵∠NEM＝∠NFC，
∴△ENM∽△NFC，
∴，
设EN＝x，则NF＝6﹣x，
∴EM＝，
∴，
解得x＝．
故答案为：．
三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．
16．（5分）解分式方程：．
【分析】本题考查解分式方程的能力．因为x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），所以可确定最简公分母为（x+2）（x﹣2），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【解答】解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得
（x﹣2）2﹣16＝（x+2）2，
x2﹣4x+4﹣16＝x2+4x+4，
﹣8x＝16，
解得x＝﹣2．
经检验：x＝﹣2不是方程的解．
因此原方程无解．
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，∠ADC＝∠DBC＝90°，点E为AD边上一点，请用尺规在BD边上求作一点P，使△DEP∽△CDB．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】过点E作PE⊥BD交BD于P，△PDE即为所求作．
【解答】解：如图，点P即为所求作．

18．（5分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形．求证：CE＝CF．

【分析】由“HL”可证Rt△ADF≌Rt△ABE，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AF＝AE，
在Rt△ADF和Rt△ABE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL），
∴DF＝BE，
∴CE＝CF．
19．（7分）2020年2月，某市响应国家疫情期间“停课不停学”的号召，精选全市优秀一线教师为全市中学生录制免费优质视频课，学生通过市“停课不停学”平台进行线上学习．为了解某中学初二学生每天进行线上学习的时间，随机调查了该校部分初二学生．根据调查结果，绘制出了如下统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题：
部分初二学生每天线上学习时间的人数统计表：
时间/h
1.5
2
2.5
3
3.5
4
人数/人
4
12
12
20
a
8

（1）本次共调查的学生人数为　100　，在表格中，a＝　44　；
（2）统计的这组数据中，学生每天进行线上学习时间的中位数是　3.5　，众数是　3.5　；
（3）根据样本数据，请你估计该中学初二学生每天线上学习的平均时间是多少？
【分析】（1）从统计图表中可知，每天线上学习时间为1.5h的有4人，占调查人数的4%，可求出调查人数；
（2）根据中位数、众数的意义求解即可；
（3）根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）4÷4%＝100（人），a＝100×44%＝44（人），
故答案为：100，44；
（2）将这100名学生线上学习时间从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是3.5h，因此中位数是3.5，
出现次数最多的数据是3.5h，共出现44次，因此众数是3.5，
故答案为：3.5，3.5；
（3）1.5×4%+2×12%+2.5×12%+3×20%+3.5×44%+4×8%＝3.06（h），
答：该中学初二学生每天线上学习的平均时间是3.06h．
20．（7分）如图，地面上小山的两侧有A、B两地，为了测量A、B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟50m的速度直线飞行，8分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（取1.7，sin20°取0.3，cos20°取0.9，tan20°取0.4，sin70°取0.9，cos70°取0.3，tan70°取2.7．）

【分析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM和CM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB＝AM﹣BM．
【解答】解：过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，
由题意得：AC＝50×8＝400（m），
在Rt△ACM中，
∵∠A＝30°，
∴CM＝AC＝200（m），AM＝AC•cos∠A＝400×＝200（m），
在Rt△BCM中，
∵∠CBM＝70°，
∴∠BCM＝20°，
∵tan20°＝，
∴BM＝200tan20°，
∴AB＝AM﹣BM＝200﹣200tan20°＝200（﹣tan20°）＝200（1.7﹣0.4）＝260（m），
因此A，B两地的距离AB长为260m．

21．（7分）某水果店每天都会进一些草莓销售．在一周销售过程中他发现每天的销售量y（单位：千克）会随售价x（单位：元/千克）的变化而变化，部分数据记录如表：
售价x（单位：元/千克）
30
25
20
每天销售量y（单位：千克）
5
45
85
如果已知草莓每天销量y与售价x（14＜x＜30.625）满足一次函数关系．
（1）请根据表格中数据求出这个一次函数关系式；
（2）如果进价为14元/千克，请判断售价分别定为20元/千克和25元/千克时，哪个的销售利润更高？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得这个一次函数的解析式；
（2）根据题意和（1）中的函数解析式可以求得相应的利润，然后比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）设这个一次函数的解析式为y＝kx+b，则
，得，
即这个一次函数的解析式为y＝﹣8x+245；
（2）当进价为14元/千克，售价为20元/千克时，利润为：（20﹣14）×（﹣8×20+245）＝510（元），
当进价为14元/千克，售价为25元/千克时，利润为：（25﹣14）×（﹣8×25+245）＝495（元），
∵510＞495，
∴当售价为20元/千克时的销售利润更高．
22．（7分）一只不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，是红球的概率为．
（1）袋子里红球有　2　个；
（2）现从袋子中一次摸出两个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中有一个是黑球的概率．
【分析】（1）设袋子里红球有x个，根据概率公式得出方程，解方程即可；
（2）画树状图，共有20个等可能的结果，摸到的两个球中有一个是黑球的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）设袋子里红球有x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝2（检验合适），
∴布袋里红球有2个，
故答案为：2；
（2）画树状图如图：

共有20个等可能的结果，摸到的两个球中有一个是黑球的结果有8个，
∴摸到的两个球中有一个是黑球的概率为＝．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，F为弧AD上一点，且D是弧BF的中点，过点D作DE⊥AF，交线段AF的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为8，tanC＝，求DE的值．

【分析】（1）连接OD，BF，交点为点M，由圆周角定理证出OD∥AE，得出OD⊥DE，则可得出结论；
（2）由勾股定理求出AD＝，由直角三角形的性质得出∠EDA＝∠ABD，根据锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，BF，交点为点M，

∵D是弧BF的中点，
∴OD⊥BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AF，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠DBC+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∴tan∠ABD＝tan∠C＝，
设AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，
∴（4x）2+（3x）2＝82，
∴x＝，
∴AD＝，
∵D为的中点，
∴∠FAD＝∠DAB，
∴∠FAD＝∠DAB，
∴∠EDA＝∠ABD，
∴tan∠EDA＝，
设AE＝4a，DE＝3a，
∴，
解得a＝，
∴DE＝3a＝．
24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3a的图象经过点A（﹣1，0）和B（1，4），其关于y轴对称的抛物线L2与x轴交于M、N两点（点N在点M的右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线L2的表达式；
（2）点D在抛物线L2对称轴上，则在平面直角坐标系中是否存在点E，使得以CN为边，且以点C、N、D、E为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出抛物线L1解析式，再求出它关于y轴对称的抛物线L2的解析式即可；
（2）画出图形，先求D坐标，再由全等三角形性质求E坐标．
【解答】解：（1）A（﹣1，0）和B（1，4）代入y＝ax2+bx﹣3a得：
，解得，
∴抛物线L1解析式为y＝﹣x2+2x+3，
它关于y轴对称的抛物线L2解析式为y＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）+3＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线L2的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
（2）以点C、N、D、E为顶点的四边形是菱形，如答图：

∵抛物线L2：y＝﹣x2﹣2x+3，与x轴交于M、N两点（点N在点M的右侧），与y轴交于点C，
令y＝0得x＝﹣3或x＝1，令x＝0得y＝3，
∴M（﹣3，0），N（1，0），C（0，3），OC＝3，ON＝1，对称轴x＝﹣1，
∴CN＝＝，
设对称轴上的D（﹣1，m），则CN＝CD，
∴＝，
解得m＝0或m＝6，
∴D（﹣1，0）或（﹣1，6）
当D（﹣1，6）时，N、C、D在同一直线上，不能构成菱形，舍去，
∴D（﹣1，0），
过D作DE∥CN，过N作NE∥CD，二平行线交于E，则四边形DENC是满足条件的菱形，
过E作直线x＝﹣1的垂线，垂足为F，
∵∠DEF＝∠EDN＝∠DNC，∠DFE＝∠CON，DE＝CN，
∴△DFE≌△CON（AAS），
∴DF＝OC，EF＝ON，
而N（1，0），C（0，3），
∴DF＝3，EF＝1，
又D（﹣1，0），
∴E（0，﹣3）．
25．（12分）问题提出：
有一组对角互余的四边形称为对余四边形．
（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为　90°或270°　．
问题探究：
（2）如图①，在四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+BC2＝AC2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
问题解决：
（3）为贯彻“精准扶贫”战略思想，某驻村扶贫干部准备帮助村民老王在他家的田地中划出部分区域来种植经济作物以提高家庭经济收入．如图②，四边形ABCD是老王家的田地示意图．其中AF为一条小路、∠BAD＝60°，AD＝40米．AB＞AD，∠ADC＝120°，DF＝20米．根据规划老王要在原有地块上划分出一个互余四边形AEFH来种粮食，剩余部分种植经济作物，十四五规划提出：严守18亿亩耕地红线，粮食一定要自给自足，当用来种粮的四边形地块AEFH满足点E在边AB上、点H在边AD上，且AE＝AH时；此地块出产粮食能够满足老王家生活所需．为切实落实扶贫工作，尽可能多种经济作物，要使四边形AEFH占地面积最小．请问能否找到满足条件的点E、H？如果能，求出四边形AEFH面积的最小值及面积最小时线段AH的值；如果不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计）

【分析】（1）对余四边形的定义即可得出结果；
（2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD为对余四边形；
（3）过点A作AN⊥CD，交CD的延长线于点N，由直角三角形的性质和勾股定理可求AF的长，将△AEF绕点A逆时针旋转60°，得到△AHM，连接FM，延长AD交MF于Q，可证∠FHM＝90°，由四边形AEFH面积＝S△AMF﹣S△MFH＝×（20）2﹣S△MFH，则当△MFH的面积最大时，四边形AEFH面积有最小值，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：90°或270°；
（2）如图①中，结论：四边形ABCD是对余四边形．

理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM，BM，AC，
∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，
∴∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，
∵AD＝DB，CD＝DM，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴AC＝BM，
∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，
∴CM2+CB2＝BM2，
∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DAB+∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形；
（3）如图②，过点A作AN⊥CD，交CD的延长线于点N，

∵∠ADC＝120°，
∴∠ADN＝60°，
∵AN⊥DN，
∴∠NAD＝30°，
∴DN＝AD＝20（米），AN＝DN＝20（米），
∴NF＝ND+DF＝40（米），
∴AF＝＝＝20（米），
∵对余四边形AEFH中，∠DAB＝60°，
∴∠HFE＝30°，
∵AH＝AE，
∴将△AEF绕点A逆时针旋转60°，得到△AHM，连接FM，延长AD交MF于Q，如图③所示：

∴△AEF≌△AHM，∠FAM＝60°
∴AM＝AF，MH＝HF，∠AFE＝∠AMH，S△AHF＝S△AMH，
∴△AFM是等边三角形，
∴AF＝AM＝MF＝20（米），
∵∠HFE＝30°，
∴∠HFA+∠AFE＝30°，
∴∠HFA+∠AMH＝30°，
∵∠MAF+∠AMH+∠AFH+∠HMF+∠MFH＝180°，
∴60°+30°+∠HMF+∠MFH＝180°，
∴∠HMF+∠MFH＝90°，
∴∠FHM＝90°，
∴点H在以MF为直径的圆上，
∵四边形AEFH面积＝S△AMF﹣S△MFH＝×（20）2﹣S△MFH，
∴当△MFH的面积最大时，四边形AEFH面积有最小值，
∵当点H在MF的垂直平分线上时，△MFH的面积最大，
∴△MFH的最大的面积＝×20×10＝700（平方米），
∴四边形AEFH的最小面积＝（700﹣700）（平方米），
∵AM＝AF，MH＝HF，
∴AQ是MF的垂直平分线，
∴QF＝10（米），
∵MH＝HF，∠MHF＝90°，
∴QH＝10（米），
∵∠AQF＝90°，∠AFQ＝60°，
∴AQ＝QF＝10（米），
∴AH＝（10﹣10）（米）．