2024年广东省清远市连州市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省清远市连州市中考数学一模试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，最小的数是( )
A. −1B. −12C. 0D. 1
2.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.从阳江海陵岛试验区旅游外侨局获悉，去年7，8两月暑假期间海陵岛共接待游客352万人次，旅游收人约24亿元，分别同比增长8.9%，8.8%，外省游客和团队游数量明显增加．其中352万用科学记数法表示为( )
A. 0.352×105B. 3.52×106C. 3.52×107D. 35.2×106
4.下列运算正确的是( )
A. (a2)5=a7B. (x−1)2=x2−1
C. 3a2b−3ab2=3D. a2⋅a4=a6
5.数据2，7，3，7，5，3，7的众数是( )
A. 2B. 3C. 5D. 7
6.关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m>0且m≠1B. m>0C. m≥0且m≠1D. m≥0
7.正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
8.如图，a/​/b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1=20°，则∠2的度数为( )
A. 60°
B. 45°
C. 40°
D. 30°
9.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是( )
A. 5
B. 32
C. 74
D. 154
10.如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：4x2−16=______．
12.不等式组3x<2x+4x−3≥0的解为______．
13.用一个圆心角为180°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是______．
14.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有______个，第n幅图中共有______个．
15.如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算：4cs30°+|3− 12|−(12)−1+(π−2018)0
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
先化简，再求值：x2x2−1÷(−1x+1−x+1)，其中x= 2
18.(本小题8分)
从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车在高速公路上行驶的平均速度．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF=2DE．
(1)求证：四边形BCFE是平行四边形；
(2)当∠ACB=60°时，求证：四边形BCFE是菱形．
20.(本小题9分)
学校为了了解我校七年级学生课外阅读的喜好，随机抽取我校七年级的部分学生进行问卷调查(每人只选一种书籍).下图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答问题：
(1)这次活动一共调查了______名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，喜欢漫画的部分所占圆心角是______度；
(4)若七年级共有学生2800人，请你估计喜欢“科普常识”的学生人数共有多少名？
21.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC．
(1)求证：BC是∠ABD的角平分线；
(2)若BD=3，AB=4，求BC的长；
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−4x+c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为(−5,0)，且AO=CO．
(1)求这条抛物线所对应的表达式及顶点的坐标；
(2)如图，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值．
23.(本小题12分)
已知直线y=x与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点M(2,a)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图，将直线y=x向上平移b个单位后与y=kx的图象交于点A(1,m)和点B(n,−1)，求b的值；
(3)在(2)的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵−1<−12<0<1，
∴最小的数为−1，
故选：A．
根据正实数大于一切负实数，0大于负实数，两个负数绝对值大的反而小解答即可
本题考查的是实数的大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】D
【解析】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形．
故选：D．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】B
【解析】解：数据352万用科学记数法表示为3.52×106，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：A、(a2)5=a10，故原题计算错误；
B、(x−1)2=x2−2x+1，故原题计算错误；
C、3a2b和3ab2不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
D、a2⋅a4=a6，故原题计算正确；
故选：D．
根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加分别进行计算即可．
此题主要考查了幂的乘方、完全平方公式、合并同类项和同底数幂的乘法，关键是掌握各计算法则．
5.【答案】D
【解析】解：数据7出现了三次，次数最多，为众数．
故选：D．
众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
本题考查了众数，注意众数可以不止一个．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题．
根据题意，得到m−1≠0且△=(−2)2−4(m−1)(−1)>0，即可得解．
【解答】
解：根据题意得m−1≠0且△=(−2)2−4(m−1)(−1)>0，
解得m>0且m≠1．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的外角和定理，已知正多边形的外角求正多边形的边数是一个考试中经常出现的问题．
多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为36°，由此即可求出答案．
【解答】
解：360÷36=10，则正多边形的边数为10．
故选C．
8.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
过C作CM/​/直线l，
∵直线l/​/直线m，
∴直线l/​/直线m//CM，
∵∠ACB=60°，∠1=20°，
∴∠1=∠MCB=20°，
∴∠2=∠ACM=∠ACB−∠MCB=60°−20°=40°，
故选：C．
过C作CM/​/直线l，根据等边三角形性质求出∠ACB=60°，根据平行线的性质求出∠1=∠MCB，∠2=∠ACM，即可求出答案．
本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，内错角相等．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB=6，BC=8，
∴AC=10(勾股定理)；
∴AO=12AC=5，
∵EO⊥AC，
∴∠AOE=∠ADC=90°，
又∵∠EAO=∠CAD，
∴△AEO∽△ACD，
∴AEAC=AOAD，
即AE10=58，
解得，AE=254；
∴DE=8−254=74，
故选：C．
先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y∴
当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y=12×2×2−12(2−x)×(2−x)=−12x2+2x．
当A从D点运动到E点时，即2∴y与x之间的函数关系y=−12x2+2x(0≤x≤2)y=12x2−4x+8(2故选：A．
此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．
11.【答案】4(x+2)(x−2)
【解析】解：4x2−16，
=4(x2−4)，
=4(x+2)(x−2)．
先提取公因式4，再对剩余项x2−4利用平方差公式继续进行因式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
12.【答案】3≤x<4
【解析】解：解不等式x−3≥0，得：x≥3，
解不等式3x<2x+4，得：x<4，
∴不等式组的解集为3≤x<4，
故答案为：3≤x<4．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：设圆锥的底面半径为r．
由题意，2πr=180⋅π⋅6180，
∴r=3，
故答案为：3．
设圆锥的底面半径为r.根据圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，构建方程求解即可．
本题考查圆锥的计算，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】7 2n−1
【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有2×2−1=3个．
第3幅图中有2×3−1=5个．
第4幅图中有2×4−1=7个．
….
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．
故第n幅图中共有(2n−1)个．
故答案为：7；2n−1．
根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2−1=3个，第3幅图中有2×3−1=5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．
本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．
15.【答案】10πcm2
【解析】解：∵AC与BD是⊙O的两条直径，
∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴△ABO与△CDO的面积的和=△AOD与△BOC的面积的和，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠ABO=36°，
∴∠AOD=72°，
∴图中阴影部分的面积=2×72π×52360=10π(cm2)，
故答案为10πcm2．
根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，求得图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ABO=36°，由圆周角定理得到∠AOD=72°，于是得到结论．
本题考查了扇形的面积，矩形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
16.【答案】解：原式=4× 32+2 3−3−2+1
=2 3+2 3−4
=4 3−4．
【解析】先代入三角函数值、化简二次根式并去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加减运算即可得．
本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式性质、特殊锐角的三角函数值及实数的混合运算顺序．
17.【答案】解：原式=x2x2−1÷(−x2x+1)
=11−x
当x= 2时，
=11− 2
=−1− 2
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18.【答案】解：(1)设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通公路需2x小时，
根据题意得：480x=6002x+45，
解得x=4，
经检验，x=4原方程的根，
4804=120km/h．
答：客车在高速公路上行驶的平均速度120km/h．
【解析】设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则根据“由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半”可知走普通公路需2x小时，根据“客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h”，得出等量关系：客车在高速公路上行驶的平均速度=在普通公路上行驶的平均速度+45，据此列出方程，解方程检验即可；
本题主要考查分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19.【答案】(1)证明：：∵D.E为AB，AC中点
∴DE为△ABC的中位线，DE=12BC，DE/​/BC，
即EF/​/BC，
∵EF=2DE
所以EF=BC，
∴四边形BCEF为平行四边形．
(2)∵四边形BCEF为平行四边形，
∵∠ACB=60°，
∴BC=CE=BE，
∴四边形BCFE是菱形．
【解析】(1)由题意易得，EF与BC平行且相等，利用四边形BCFE是平行四边形．
(2)根据菱形的判定证明即可．
本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)200
(2)喜欢科普的学生数为200×30％=60人，如图
(3)72
(4)喜欢“科普常识”的学生人数为2800×30％=840名
【解析】解：(1)这次活动一共调查的学生数为80÷40%=200人
(2)喜欢科普的学生数为200×30%=60人，如图
(3)在扇形统计图中，喜欢漫画的部分所占圆心角是40200×360°=72°，
(4)喜欢“科普常识”的学生人数为2800×30%=840名．
(1)利用这次活动一共调查的学生数=喜欢小说的学生数÷对应的百分比即可，
(2)先求出喜欢科普的学生数，再作图即可，
(3)利用喜欢漫画的部分所占圆心角=喜欢漫画的百分比×360°计算即可．
(4)利用喜欢“科普常识”的学生人数=总人数×喜欢“科普常识”的百分比即可．
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体．解题的关键是能从条形统计图，扇形统计图准确找出数据．
21.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥DC，
∴OC/​/BD，
∴∠OCB=∠DBC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠DBC，
∴BC是∠ABD的角平分线；
(2)解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=∠ACB，∠DBC=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
即BD：BC=BC：BA，
即3：BC=BC：4，
解得BC=2 3或BC=−2 3(舍去)，
即BC的长为2 3．
【解析】(1)连接OC，如图，根据切线的性质OC⊥CD，则OC/​/BD，所以∠OCB=∠DBC，加上∠OCB=∠OBC，所以∠OBC=∠DBC；
(2)根据圆周角定理∠ACB=90°，再证明△BCD∽△BAC，然后利用相似比求出BC的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
22.【答案】解：(1)∵点A的坐标为(−5,0)，
∴OA=5，
∵AO=CO，
∴AO=CO=5，
∴点C的坐标为(0,5)，
∴25a+20+c=0c=5，
解得a=−1c=5，
∴这条抛物线所对应的表达式为y=−x2−4x+5，
∵y=−(x+2)2+9，
∴顶点的坐标为(−2,9)；
(2)过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图：

∵OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF=45°=∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴PE=PH 2，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y=kx+5，
将A(−5,0)代入得0=5k+5，
∴k=1，
∴直线AC解析式为y=x+5，
设P(m,−m2−4m+5)，(−5∴PH=(−m2−4m+5)−(m+5)=−m2−5m=−(m+52)2+254，
∵a=−1<0，
∴当m=−52时，PH最大为254，
∴此时PE最大为25 28，即点P到直线AC的距离最大值为25 28．
【解析】(1)先求得点C的坐标为(0,5)，再利用待定系数法求解即可；
(2)过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得PE=PH 2，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y=x+5，设P(m,−m2−4m+5)(−5本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
23.【答案】(1)解：∵直线y=x过点M(2,a)，
∴a=2，将M(2,2)代入y=kx中，得k=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
(2)解：由(1)知，反比例函数的解析式为y=4x，
∵点A(1,m)在y=4x的图象上，
∴m=4，
∴A(1,4)，
设平移后直线AB的解析式为y=x+b，
将A(1,4)代入y=x+b中，得b=3；
(3)证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．
由(1)知，反比例函数的解析式为y=4x，
∵点B(n,−1)在y=4x的图象上，
∴n=−4，
∴B(−4,−1)，
∵A(1,4)，
∴AE=BF，OE=OF，
在△AOE和△BOF中，
AE=BF∠AEO=∠BFO=90˚OE=OF,
∴△AOE≌△BOF(SAS)，
∴∠AOE=∠BOF，OA=OB，
由(2)知，b=3，
∴平移后直线AB的解析式为y=x+3，
又∵直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，
∴C(−3,0)，D(0,3)，
∴OC=OD，
在△AOD和△BOC中，
OA=OB∠AOD=∠BOCOD=OC,
∴△AOD≌△BOC(SAS)．
【解析】(1)先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
(2)先求出点A的坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
(3)过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F，即可根据A、B坐标证明△AOE≌△BOF(SAS)，得到∠AOE=∠BOF，OA=OB，再求出C、D坐标即可得到OC=OD，即可证明△AOD≌△BOC．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．