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2023年广东省清远市中考数学一模试卷
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这是一份2023年广东省清远市中考数学一模试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省清远市中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣1 B． C．3.14 D．
2．（3分）2022年10月16日至22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京胜利召开．十年来，我国人均预期寿命增长到78.2岁，城镇新增就业年均1300万人以上，建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系．其中1300万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1300×104 B．0.13×108 C．13×106 D．1.3×107
3．（3分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝113°，则∠2的度数为（ ）
A．23° B．67° C．77° D．113°
4．（3分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）点M（﹣2，6）关于坐标原点的中心对称点为（ ）
A．M'（﹣6，2） B．M'（2，﹣6） C．M'（﹣1，3） D．M'（3，﹣1）
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x5+x3＝x8 B．x5﹣x3＝x2
C．x5•x3＝x8 D．（﹣3x）3＝﹣9x3
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S2甲＝3，S2乙＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D．打开电视机，正在播放“襄阳新闻”是必然事件
8．（3分）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不低于50次，用不等式表示为（（ ）
A．50＜x＜80 B．50≤x≤80 C．50≤x＜80 D．50＜x≤80
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝4．以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
10．（3分）已知函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣4
﹣2
2
4
…
y
…
﹣2
m
n
2
…
对于下列命题：①若y是x的反比例函数，则m＝﹣n；②若y是x的一次函数，则n﹣m＝2；③若y是x的二次函数，则m＜n．其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共5小题每小题3分，共15分)
11．（3分）因式分解：3m2﹣6m＝ ．
12．（3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是 ．
13．（3分）方程2x﹣1＝3的解是 ．
14．（3分）图①是一辆吊车的实物图，图②是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，共转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当AC＝9m，∠HAC＝118°时，则操作平台C离地面的高度为 m．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53】
15．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a（ 0°＜a＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，则∠AEC＝ °．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）如图，菱形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接EA、EC，求证：∠BAE＝∠BCE．
18．（8分）先化简，再求值：（3x﹣1）2﹣x（9x+2），其中x＝．
四、解答题（二）（本大题共3小题每小题9分，共27分）
19．（9分）某校开展了“学党史，知党恩，跟党走”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行调查：
【收集数据】
七年级：70，74，74，76，78，78，80，80，82，85，88，88，94，95，98，100，100，100，100，100；
八年级：64，68，70，72，74，80，82，82，84，86，90，92，98，98，100，100，100，100，100，100．
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数如表：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
87
100
a
八年级
87
b
88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中a，b的值；
（2）根据以上样本数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“党史”掌握较好？请说明理由；
（3）若成绩在80分以上（含80分）为优秀，该校七、八年级共有800人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
20．（9分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．
（1）尺规作图：过点O作弦AC的垂线，交AC于点E，交⊙O于点D，且点D在劣弧AC间．
（2）连接AD，求△OAD的面积．
21．（9分）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同．
（1）求A、B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分共24分）
22．（12分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，3）和B（3，n）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）当x为何值时，﹣x+4≤；
（3）若点P是线段AB的中点，求△POB的面积．
23．（12分）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：
操作一：如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：如图1，在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： （写一个即可）．
（2）迁移探究：
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ °，∠CBQ＝ °；
②如图3，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为10cm，当FQ＝3cm时，直接写出AP的长．
2023年广东省清远市中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣1 B． C．3.14 D．
【解答】解：A、﹣1是有理数，不是无理数，不符合题意；
B、是有理数，不是无理数，不符合题意；
C、3.14是有理数，不是无理数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意；
故选D．
2．（3分）2022年10月16日至22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京胜利召开．十年来，我国人均预期寿命增长到78.2岁，城镇新增就业年均1300万人以上，建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系．其中1300万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1300×104 B．0.13×108 C．13×106 D．1.3×107
【解答】解：1300万＝13000000＝1.3×107，
故选D．
3．（3分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝113°，则∠2的度数为（ ）
A．23° B．67° C．77° D．113°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠1＝113°，
∠2＝180°﹣∠CFE＝180°﹣113°＝67°，
故选：B．
4．（3分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：该几何体的俯视图是：．
故选：A．
5．（3分）点M（﹣2，6）关于坐标原点的中心对称点为（ ）
A．M'（﹣6，2） B．M'（2，﹣6） C．M'（﹣1，3） D．M'（3，﹣1）
【解答】解：点M（﹣2，6）关于坐标原点的中心对称点为（2，﹣6）．
故选：B．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x5+x3＝x8 B．x5﹣x3＝x2
C．x5•x3＝x8 D．（﹣3x）3＝﹣9x3
【解答】解：A、x5与x3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、x5与﹣x3不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、x5•x3＝x8，故C符合题意；
D、（﹣3x）3＝﹣27x3，故D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S2甲＝3，S2乙＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D．打开电视机，正在播放“襄阳新闻”是必然事件
【解答】解：A、一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确，符合题意；
B、了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，因调查范围广，适合抽样调查，故错误，不符合题意；
C、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，因甲的方差小于乙的方差，所以甲的跳远成绩比乙稳定，故错误，不符合题意；
D、打开电视机，正在播放“襄阳新闻”是随机事件，故错误，不符合题意；
故选：A．
8．（3分）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不低于50次，用不等式表示为（（ ）
A．50＜x＜80 B．50≤x≤80 C．50≤x＜80 D．50＜x≤80
【解答】解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为50≤x＜80．
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝4．以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【解答】解：连接OD、OE、OA，如图，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
而∠A＝90°，OD＝OE，
∴四边形ADOE为正方形，
∴∠DOE＝90°，
∵O点为BC的中点，
∴OA＝BC＝×4＝2，
∴OD＝OA＝×2＝2，
∴的长＝＝π．
故选：B．
10．（3分）已知函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣4
﹣2
2
4
…
y
…
﹣2
m
n
2
…
对于下列命题：①若y是x的反比例函数，则m＝﹣n；②若y是x的一次函数，则n﹣m＝2；③若y是x的二次函数，则m＜n．其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①若y是x的反比例函数，则﹣2m＝2n＝4×2，
解得m＝﹣4，n＝4，则m＝﹣n，故①正确；
②若y是x的一次函数，设为y＝kx+b，
把x＝﹣4，y＝﹣2；x＝4，y＝2代入求得y＝x，
∴当x＝﹣2时y＝﹣1；x＝2时y＝1，
∴m＝﹣1，n＝1，
∴n﹣m＝2，故②正确；
③若y是x的二次函数，设解析式为y＝ax2+bx+c，
∵函数经过点（﹣4，﹣2）和（4，2），
∴，
∴，
∴﹣＝﹣＝﹣，
当a＞0时，对称轴在y轴的左侧，则点（﹣2，m）到对称轴的距离小于点（2，n）到对称轴的距离，
所以m＜n；
当a＜0时，对称轴在y轴的右侧，则点（﹣2，m）到对称轴的距离大于点（2，n）到对称轴的距离，
所以m＜n；
故③正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题每小题3分，共15分)
11．（3分）因式分解：3m2﹣6m＝ 3m（m﹣2） ．
【解答】解：3m2﹣6m＝3m（m﹣2）．
故答案为：3m（m﹣2）．
12．（3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是 2：3 ．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为2：3，
∴它们对应高线的比为2：3．
故答案为：2：3．
13．（3分）方程2x﹣1＝3的解是 x＝2 ．
【解答】解：2x﹣1＝3，
移项得：2x＝3+1，
合并同类项得：2x＝4，
把x的系数化为1得：x＝2．
故答案为：x＝2．
14．（3分）图①是一辆吊车的实物图，图②是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，共转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当AC＝9m，∠HAC＝118°时，则操作平台C离地面的高度为 7.6 m．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53】
【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，过A作AF⊥CE于点F则四边形AHEF为矩形，
∴EF＝AH＝3.4，∠HAF＝90°，
∵∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝28°，
在Rt△AFC中，sin∠ACF＝，
∴CF＝AC•sin∠CAF
＝9×0.47≈4.23 （m），
∴CE＝CF+FE≈7.6 （m）；
故答案为：7.6 m．
15．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a（ 0°＜a＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，则∠AEC＝ 60 °．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵将边AB绕点A顺时针旋转a（ 0°＜a＜120°）得到线段AD，
∴∠BAD＝α，AD＝AB，
∴∠CAD＝α+60°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAD＝α，
∵AD＝AB＝AC，
∴∠D＝∠ACD＝＝＝60°﹣α，
∵∠AEC是△ADE的外角，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝60°﹣α+α＝60°，
故答案为：60．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）计算：．
【解答】解：原式＝1﹣2﹣2+4×
＝1﹣2﹣2+2
＝﹣1．
17．（8分）如图，菱形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接EA、EC，求证：∠BAE＝∠BCE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE．
18．（8分）先化简，再求值：（3x﹣1）2﹣x（9x+2），其中x＝．
【解答】解：（3x﹣1）2﹣x（9x+2）
＝9x2﹣6x+1﹣9x2﹣2x
＝﹣8x+1，
当x＝时，原式＝﹣8×+1＝﹣3+1＝﹣2．
四、解答题（二）（本大题共3小题每小题9分，共27分）
19．（9分）某校开展了“学党史，知党恩，跟党走”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行调查：
【收集数据】
七年级：70，74，74，76，78，78，80，80，82，85，88，88，94，95，98，100，100，100，100，100；
八年级：64，68，70，72，74，80，82，82，84，86，90，92，98，98，100，100，100，100，100，100．
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数如表：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
87
100
a
八年级
87
b
88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中a，b的值；
（2）根据以上样本数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“党史”掌握较好？请说明理由；
（3）若成绩在80分以上（含80分）为优秀，该校七、八年级共有800人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
【解答】解：（1）七年级的中位数a＝86.5，
八年级的众数b＝100；
（2）八年级学生对“党史”掌握的比较好．理由如下：
因为七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但八年级学生的中位数大于七年级；
（3）七年级抽取的学生成绩在80分以上（含80分）的人数为14人，
八年级抽取的学生成绩在80分以上（含80分）的人数为15人，
估计该校七，八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数为×800＝580（人）．
20．（9分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．
（1）尺规作图：过点O作弦AC的垂线，交AC于点E，交⊙O于点D，且点D在劣弧AC间．
（2）连接AD，求△OAD的面积．
【解答】解：（1）如图，OD为所作；
（2）∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝4，
∵直径AB＝10，
∴OD＝5，
∴△OAD的面积＝OD•AE＝×5×4＝10．
21．（9分）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同．
（1）求A、B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
【解答】解：（1）设A商品每件x元，则B商品每件（30+x）元，
根据题意，得：，
经检验：x＝20是原方程的解，
所以A商品每件20元，则B商品每件50元．
（2）设购买A商品a件，则购买B商品共（10﹣a）件，
列不等式组：300≤20•a+50•（10﹣a）≤380，
解得：4≤a≤，
a取整数：4，5，6．
有三种方案：
①A商品4件，则购买B商品6件；费用：4×20+6×50＝380，
②A商品5件，则购买B商品5件；费用：5×20+5×50＝350，
③A商品6件，则购买B商品4件；费用：6×20+4×50＝320，
所以方案③费用最低．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分共24分）
22．（12分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，3）和B（3，n）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）当x为何值时，﹣x+4≤；
（3）若点P是线段AB的中点，求△POB的面积．
【解答】解：（1）把A（m，3）代入y＝﹣x+4，
∴得m＝1，
∵点A（1，3）在上，
∴k＝3，
∴反比例函数为；
（2）由图象可知，当0＜x≤1，x≥3时，；
（3）连接OA，作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∵B（3，n）在直线y＝﹣x+4上，
∴n＝﹣3+4＝1，
∴B（3，1），
∴S△AOB＝SAOC+S梯形ACDB﹣SBOD
＝S梯形ACDB
＝
＝4，
∵点P是线段AB的中点，
∴．
23．（12分）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：
操作一：如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：如图1，在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： ∠ABP或∠PBM或∠MBC （写一个即可）．
（2）迁移探究：
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ 15 °，∠CBQ＝ 15 °；
②如图3，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为10cm，当FQ＝3cm时，直接写出AP的长．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∵∠BEM＝90°，，
∴∠BME＝30°，
∴∠MBE＝60°，
∵∠ABP＝∠PBM，
∴∠ABP＝∠PBM＝∠MBC＝30°；
故答案为：∠ABP或∠PBM或∠MBC；
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
由折叠性质得：AB＝BM，∠PMB＝∠BMQ＝∠A＝90°，
∴BM＝BC；
①∵BM＝BC，BQ＝BQ，
∴Rt△BQM≌Rt△BQC（HL），
∴∠MBQ＝∠CBQ，
∵∠MBC＝30°，
∴∠MBQ＝∠CBQ＝15°；
故答案为：15，15；
②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：
∵BM＝BC，BQ＝BQ，
∴Rt△BQM≌Rt△BQC（HL），
∴∠MBQ＝∠CBQ；
（3）当点Q在点F的下方时，如图，
∵FQ＝3cm，DF＝FC＝5cm，AB＝10cm，
∴QC＝CD﹣DF﹣FQ＝10﹣5﹣3＝2（cm），DQ＝DF+FQ＝5+3＝8（cm），
由（2）可知，QM＝QC，
设AP＝PM＝x，PD＝10﹣x，
∴PD2+DQ2＝PQ2，
即（10﹣x）2+82＝（x+2）2，
解得：，
∴；
当点Q在点F的上方时，如图，
∵FQ＝3cm，DF＝FC＝5cm，AB＝10cm，
∴QC＝8cm，DQ＝2cm，
由（2）可知，QM＝QC，
设AP＝PM＝x，PD＝10﹣x，
∴PD2+DQ2＝PQ2，
即（10﹣x）2+22＝（x+8）2，
解得：，
∴．
综上：或．
2023年广东省清远市中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣1 B． C．3.14 D．
2．（3分）2022年10月16日至22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京胜利召开．十年来，我国人均预期寿命增长到78.2岁，城镇新增就业年均1300万人以上，建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系．其中1300万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1300×104 B．0.13×108 C．13×106 D．1.3×107
3．（3分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝113°，则∠2的度数为（ ）
A．23° B．67° C．77° D．113°
4．（3分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）点M（﹣2，6）关于坐标原点的中心对称点为（ ）
A．M'（﹣6，2） B．M'（2，﹣6） C．M'（﹣1，3） D．M'（3，﹣1）
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x5+x3＝x8 B．x5﹣x3＝x2
C．x5•x3＝x8 D．（﹣3x）3＝﹣9x3
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S2甲＝3，S2乙＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D．打开电视机，正在播放“襄阳新闻”是必然事件
8．（3分）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不低于50次，用不等式表示为（（ ）
A．50＜x＜80 B．50≤x≤80 C．50≤x＜80 D．50＜x≤80
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝4．以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
10．（3分）已知函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣4
﹣2
2
4
…
y
…
﹣2
m
n
2
…
对于下列命题：①若y是x的反比例函数，则m＝﹣n；②若y是x的一次函数，则n﹣m＝2；③若y是x的二次函数，则m＜n．其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共5小题每小题3分，共15分)
11．（3分）因式分解：3m2﹣6m＝ ．
12．（3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是 ．
13．（3分）方程2x﹣1＝3的解是 ．
14．（3分）图①是一辆吊车的实物图，图②是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，共转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当AC＝9m，∠HAC＝118°时，则操作平台C离地面的高度为 m．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53】
15．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a（ 0°＜a＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，则∠AEC＝ °．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）如图，菱形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接EA、EC，求证：∠BAE＝∠BCE．
18．（8分）先化简，再求值：（3x﹣1）2﹣x（9x+2），其中x＝．
四、解答题（二）（本大题共3小题每小题9分，共27分）
19．（9分）某校开展了“学党史，知党恩，跟党走”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行调查：
【收集数据】
七年级：70，74，74，76，78，78，80，80，82，85，88，88，94，95，98，100，100，100，100，100；
八年级：64，68，70，72，74，80，82，82，84，86，90，92，98，98，100，100，100，100，100，100．
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数如表：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
87
100
a
八年级
87
b
88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中a，b的值；
（2）根据以上样本数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“党史”掌握较好？请说明理由；
（3）若成绩在80分以上（含80分）为优秀，该校七、八年级共有800人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
20．（9分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．
（1）尺规作图：过点O作弦AC的垂线，交AC于点E，交⊙O于点D，且点D在劣弧AC间．
（2）连接AD，求△OAD的面积．
21．（9分）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同．
（1）求A、B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分共24分）
22．（12分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，3）和B（3，n）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）当x为何值时，﹣x+4≤；
（3）若点P是线段AB的中点，求△POB的面积．
23．（12分）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：
操作一：如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：如图1，在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： （写一个即可）．
（2）迁移探究：
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ °，∠CBQ＝ °；
②如图3，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为10cm，当FQ＝3cm时，直接写出AP的长．
2023年广东省清远市中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣1 B． C．3.14 D．
【解答】解：A、﹣1是有理数，不是无理数，不符合题意；
B、是有理数，不是无理数，不符合题意；
C、3.14是有理数，不是无理数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意；
故选D．
2．（3分）2022年10月16日至22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京胜利召开．十年来，我国人均预期寿命增长到78.2岁，城镇新增就业年均1300万人以上，建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系．其中1300万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1300×104 B．0.13×108 C．13×106 D．1.3×107
【解答】解：1300万＝13000000＝1.3×107，
故选D．
3．（3分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝113°，则∠2的度数为（ ）
A．23° B．67° C．77° D．113°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠1＝113°，
∠2＝180°﹣∠CFE＝180°﹣113°＝67°，
故选：B．
4．（3分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：该几何体的俯视图是：．
故选：A．
5．（3分）点M（﹣2，6）关于坐标原点的中心对称点为（ ）
A．M'（﹣6，2） B．M'（2，﹣6） C．M'（﹣1，3） D．M'（3，﹣1）
【解答】解：点M（﹣2，6）关于坐标原点的中心对称点为（2，﹣6）．
故选：B．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x5+x3＝x8 B．x5﹣x3＝x2
C．x5•x3＝x8 D．（﹣3x）3＝﹣9x3
【解答】解：A、x5与x3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、x5与﹣x3不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、x5•x3＝x8，故C符合题意；
D、（﹣3x）3＝﹣27x3，故D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S2甲＝3，S2乙＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D．打开电视机，正在播放“襄阳新闻”是必然事件
【解答】解：A、一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确，符合题意；
B、了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，因调查范围广，适合抽样调查，故错误，不符合题意；
C、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，因甲的方差小于乙的方差，所以甲的跳远成绩比乙稳定，故错误，不符合题意；
D、打开电视机，正在播放“襄阳新闻”是随机事件，故错误，不符合题意；
故选：A．
8．（3分）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不低于50次，用不等式表示为（（ ）
A．50＜x＜80 B．50≤x≤80 C．50≤x＜80 D．50＜x≤80
【解答】解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为50≤x＜80．
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝4．以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【解答】解：连接OD、OE、OA，如图，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
而∠A＝90°，OD＝OE，
∴四边形ADOE为正方形，
∴∠DOE＝90°，
∵O点为BC的中点，
∴OA＝BC＝×4＝2，
∴OD＝OA＝×2＝2，
∴的长＝＝π．
故选：B．
10．（3分）已知函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣4
﹣2
2
4
…
y
…
﹣2
m
n
2
…
对于下列命题：①若y是x的反比例函数，则m＝﹣n；②若y是x的一次函数，则n﹣m＝2；③若y是x的二次函数，则m＜n．其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①若y是x的反比例函数，则﹣2m＝2n＝4×2，
解得m＝﹣4，n＝4，则m＝﹣n，故①正确；
②若y是x的一次函数，设为y＝kx+b，
把x＝﹣4，y＝﹣2；x＝4，y＝2代入求得y＝x，
∴当x＝﹣2时y＝﹣1；x＝2时y＝1，
∴m＝﹣1，n＝1，
∴n﹣m＝2，故②正确；
③若y是x的二次函数，设解析式为y＝ax2+bx+c，
∵函数经过点（﹣4，﹣2）和（4，2），
∴，
∴，
∴﹣＝﹣＝﹣，
当a＞0时，对称轴在y轴的左侧，则点（﹣2，m）到对称轴的距离小于点（2，n）到对称轴的距离，
所以m＜n；
当a＜0时，对称轴在y轴的右侧，则点（﹣2，m）到对称轴的距离大于点（2，n）到对称轴的距离，
所以m＜n；
故③正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题每小题3分，共15分)
11．（3分）因式分解：3m2﹣6m＝ 3m（m﹣2） ．
【解答】解：3m2﹣6m＝3m（m﹣2）．
故答案为：3m（m﹣2）．
12．（3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是 2：3 ．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为2：3，
∴它们对应高线的比为2：3．
故答案为：2：3．
13．（3分）方程2x﹣1＝3的解是 x＝2 ．
【解答】解：2x﹣1＝3，
移项得：2x＝3+1，
合并同类项得：2x＝4，
把x的系数化为1得：x＝2．
故答案为：x＝2．
14．（3分）图①是一辆吊车的实物图，图②是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，共转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当AC＝9m，∠HAC＝118°时，则操作平台C离地面的高度为 7.6 m．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53】
【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，过A作AF⊥CE于点F则四边形AHEF为矩形，
∴EF＝AH＝3.4，∠HAF＝90°，
∵∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝28°，
在Rt△AFC中，sin∠ACF＝，
∴CF＝AC•sin∠CAF
＝9×0.47≈4.23 （m），
∴CE＝CF+FE≈7.6 （m）；
故答案为：7.6 m．
15．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a（ 0°＜a＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，则∠AEC＝ 60 °．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵将边AB绕点A顺时针旋转a（ 0°＜a＜120°）得到线段AD，
∴∠BAD＝α，AD＝AB，
∴∠CAD＝α+60°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAD＝α，
∵AD＝AB＝AC，
∴∠D＝∠ACD＝＝＝60°﹣α，
∵∠AEC是△ADE的外角，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝60°﹣α+α＝60°，
故答案为：60．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）计算：．
【解答】解：原式＝1﹣2﹣2+4×
＝1﹣2﹣2+2
＝﹣1．
17．（8分）如图，菱形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接EA、EC，求证：∠BAE＝∠BCE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE．
18．（8分）先化简，再求值：（3x﹣1）2﹣x（9x+2），其中x＝．
【解答】解：（3x﹣1）2﹣x（9x+2）
＝9x2﹣6x+1﹣9x2﹣2x
＝﹣8x+1，
当x＝时，原式＝﹣8×+1＝﹣3+1＝﹣2．
四、解答题（二）（本大题共3小题每小题9分，共27分）
19．（9分）某校开展了“学党史，知党恩，跟党走”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行调查：
【收集数据】
七年级：70，74，74，76，78，78，80，80，82，85，88，88，94，95，98，100，100，100，100，100；
八年级：64，68，70，72，74，80，82，82，84，86，90，92，98，98，100，100，100，100，100，100．
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数如表：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
87
100
a
八年级
87
b
88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中a，b的值；
（2）根据以上样本数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“党史”掌握较好？请说明理由；
（3）若成绩在80分以上（含80分）为优秀，该校七、八年级共有800人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
【解答】解：（1）七年级的中位数a＝86.5，
八年级的众数b＝100；
（2）八年级学生对“党史”掌握的比较好．理由如下：
因为七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但八年级学生的中位数大于七年级；
（3）七年级抽取的学生成绩在80分以上（含80分）的人数为14人，
八年级抽取的学生成绩在80分以上（含80分）的人数为15人，
估计该校七，八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数为×800＝580（人）．
20．（9分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．
（1）尺规作图：过点O作弦AC的垂线，交AC于点E，交⊙O于点D，且点D在劣弧AC间．
（2）连接AD，求△OAD的面积．
【解答】解：（1）如图，OD为所作；
（2）∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝4，
∵直径AB＝10，
∴OD＝5，
∴△OAD的面积＝OD•AE＝×5×4＝10．
21．（9分）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同．
（1）求A、B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
【解答】解：（1）设A商品每件x元，则B商品每件（30+x）元，
根据题意，得：，
经检验：x＝20是原方程的解，
所以A商品每件20元，则B商品每件50元．
（2）设购买A商品a件，则购买B商品共（10﹣a）件，
列不等式组：300≤20•a+50•（10﹣a）≤380，
解得：4≤a≤，
a取整数：4，5，6．
有三种方案：
①A商品4件，则购买B商品6件；费用：4×20+6×50＝380，
②A商品5件，则购买B商品5件；费用：5×20+5×50＝350，
③A商品6件，则购买B商品4件；费用：6×20+4×50＝320，
所以方案③费用最低．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分共24分）
22．（12分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，3）和B（3，n）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）当x为何值时，﹣x+4≤；
（3）若点P是线段AB的中点，求△POB的面积．
【解答】解：（1）把A（m，3）代入y＝﹣x+4，
∴得m＝1，
∵点A（1，3）在上，
∴k＝3，
∴反比例函数为；
（2）由图象可知，当0＜x≤1，x≥3时，；
（3）连接OA，作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∵B（3，n）在直线y＝﹣x+4上，
∴n＝﹣3+4＝1，
∴B（3，1），
∴S△AOB＝SAOC+S梯形ACDB﹣SBOD
＝S梯形ACDB
＝
＝4，
∵点P是线段AB的中点，
∴．
23．（12分）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：
操作一：如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：如图1，在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： ∠ABP或∠PBM或∠MBC （写一个即可）．
（2）迁移探究：
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ 15 °，∠CBQ＝ 15 °；
②如图3，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为10cm，当FQ＝3cm时，直接写出AP的长．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∵∠BEM＝90°，，
∴∠BME＝30°，
∴∠MBE＝60°，
∵∠ABP＝∠PBM，
∴∠ABP＝∠PBM＝∠MBC＝30°；
故答案为：∠ABP或∠PBM或∠MBC；
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
由折叠性质得：AB＝BM，∠PMB＝∠BMQ＝∠A＝90°，
∴BM＝BC；
①∵BM＝BC，BQ＝BQ，
∴Rt△BQM≌Rt△BQC（HL），
∴∠MBQ＝∠CBQ，
∵∠MBC＝30°，
∴∠MBQ＝∠CBQ＝15°；
故答案为：15，15；
②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：
∵BM＝BC，BQ＝BQ，
∴Rt△BQM≌Rt△BQC（HL），
∴∠MBQ＝∠CBQ；
（3）当点Q在点F的下方时，如图，
∵FQ＝3cm，DF＝FC＝5cm，AB＝10cm，
∴QC＝CD﹣DF﹣FQ＝10﹣5﹣3＝2（cm），DQ＝DF+FQ＝5+3＝8（cm），
由（2）可知，QM＝QC，
设AP＝PM＝x，PD＝10﹣x，
∴PD2+DQ2＝PQ2，
即（10﹣x）2+82＝（x+2）2，
解得：，
∴；
当点Q在点F的上方时，如图，
∵FQ＝3cm，DF＝FC＝5cm，AB＝10cm，
∴QC＝8cm，DQ＝2cm，
由（2）可知，QM＝QC，
设AP＝PM＝x，PD＝10﹣x，
∴PD2+DQ2＝PQ2，
即（10﹣x）2+22＝（x+8）2，
解得：，
∴．
综上：或．
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