2024年广东省江门市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省江门市中考数学一模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算−1−2等于( )
A. 1B. 3C. −1D. −3
2.2023年新会区完成地区生产总值(GDP)1011.25亿元，成为江门市首个千亿GDP强区亿元用科学记数法表示为( )
A. 1.01125×108B. 1.01125×109C. 1.01125×1010D. 1.01125×1011
3.下列计算正确的是( )
A. 2x+3y=5xyB. x⋅x4=x4C. x⋅x=2xD. (x2y)3=x6y3
4.如图是某个几何体的展开图，该几何体是( )
A. 三棱柱B. 圆锥C. 四棱柱D. 圆柱
5.关于x的一元二次方程ax2+3x−2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是( )
A. 0B. −1C. −2D. −3
6.2024年体育中考男生引体向上15个就能得到100分.为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力训练，现葵城中学七(1)班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，10，6，9，6则这组数据的中位数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
8.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
9.如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠AOC=120°，则∠BOD的大小为
( )
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
10.点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A、B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于( )
A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若 x−7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
12.分解因式：5x2−5y2= ______．
13.方程2x+3=1x的解为______．
14.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点.若∠P=50°，则∠AOB= ______．
15.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是______(写出一个即可)．
16.如图，直线y=kx−2(k>0)与双曲线y=kx在第一象限内的交点R，与x轴、y轴的交点分别为P、Q.过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解方程组2x+y=1x−2y=8；
18.(本小题4分)
计算：(x+2y)(x−2y)+(x−2y)2．
19.(本小题6分)
《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？
大意：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC=BD．
21.(本小题8分)
小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
(1)要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量；
(2)求小聪成绩的方差；
(3)现求得小明成绩的方差为s小明2=3(单位：平方分)，根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
22.(本小题10分)
定义：在△ABC中，∠C=30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A=∠A的对边∠C的对边=BCAB.请解答下列问题：
已知：在△ABC中，∠C=30°．
(1)若∠A=45°，求thi A的值；
(2)若thi A= 3，则∠A=______°；
(3)若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系．
23.(本小题10分)
如图，⊙O是△BC的外接圆，AB长为4，AB=AC，联结CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为AB的中点.求：
(1)边BC的长；
(2)⊙O的半径．
24.(本小题12分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．
(1)观察猜想：如图(1)，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系是：______；
②BC、CD、CF之间的数量关系为：______(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考：如图(2)，当点D在线段CB的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
25.(本小题12分)
如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
(3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−1−2=−3，
故选D．
根据有理数的减法运算进行计算即可得解．
本题考查了有理数的减法，将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号(减号变加号)；二是减数的性质符号(减数变相反数)．
2.【答案】D
【解析】解：1011.25亿=1011.25×108=1.01125×1011．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：A、2x与3y不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、x⋅x4=x5，故此选项不符合题意；
C、x⋅x=x2，故此选项不符合题意；
D、(x2y)3=x6y3，故此选项符合题意；
故选：D．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是三棱柱的展开图，需要对三棱柱有充分的理解．
侧面为三个长方形，上下两个面为三角形，故原几何体为三棱柱．
【解答】
解：三棱柱上下两个面为三角形，侧面是三个长方形，
观察图形可知，这个几何体是三棱柱，
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，则可求得答案．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x−2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ>0且a≠0，即32−4a×(−2)>0且a≠0，
解得a>−98且a≠0，
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：将该组数据按从小到大依次排列为6，7，9，10，12，
则这组数据的中位数是9．
故选：D．
根据中位数的定义直接求解即可．
本题中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
7.【答案】C
【解析】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：画树形图得：
由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，
∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为24=12．
9.【答案】A
【解析】【分析】
根据平角的意义求出∠BOC的度数，再根据垂直的意义求出答案．
本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．
【解答】
解：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=120°，
∴∠BOC=180°−120°=60°，
又∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−60°=30°，
故选：A．
10.【答案】C
【解析】解：过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
由旋转可得PD=PE，则∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPF=90°，
∴∠ADP=∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∠DAP=∠PFE=90°∠ADP=∠FPEPD=EP,
∴△APD≌△FEP(AAS)，
∴AP=EF，AD=PF，
又∵AD=AB，
∴PF=AD=AB，即AP+PB=PB+BF，
∴AP=BF=EF，
又∵∠F=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，
又∵∠CBF=90°，
则∠CBE=45°．
故选C．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的基本性质，以及等腰直角三角形的判定与性质．
过点E作AB的垂线，交AB的延长线于点F，可得出∠F为直角，又四边形ABCD为正方形，可得∠A为直角，得出△APD≌△FEP，则AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF=45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．
11.【答案】x≥7
【解析】解：由题意得：x−7≥0，
解得：x≥7，
故答案为：x≥7．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】5(x+y)(x−y)
【解析】解：原式=5(x2−y2)=5(x+y)(x−y)，
故答案为：5(x+y)(x−y)．
提公因式后再利用平方差公式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
13.【答案】x=3
【解析】解：方程两边同时乘以x(x+3)得：
2x=x+3，
解得x=3，
检验：x=3时，x(x+3)≠0，
∴方程的解为x=3．
故答案为：x=3．
先将分式化为整式，然后求解并检验．
本题考查解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，然后检验增根情况．
14.【答案】130°
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P=360°，∠P=50°，
∴∠AOB=360°−90°−90°−50°=130°．
故答案为：130°．
先根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，然后根据四边形的内角和计算∠AOB的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
15.【答案】AE=AF(答案不唯一)
【解析】解：这个条件可以是AE=AF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
即AF/​/CE，
∵AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：AE=AF(答案不唯一)．
根据矩形的性质得到AD//BC，即AF/​/CE，推出四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
16.【答案】2 2
【解析】【分析】
根据△OPQ与△PRM相似以及它们面积相等，可以得到两三角形全等，再根据一次函数求出点P、Q的坐标，进而得到OP、OQ的长度，再根据三角形全等表示出点R的坐标，代入反比例函数表达式，解方程即可求得k的值．
本题综合考查了一次函数和反比例函数图象的性质，利用三角形面积相等得到两三角形全等是解本题的突破口，也是解题的关键．
【解答】
解：∵y=kx−2，
∴当x=0时，y=−2，
当y=0时，kx−2=0，解得x=2k，
所以点P(2k,0)，点Q(0,−2)，
所以OP=2k，OQ=2，
∵RM⊥x轴，
∴△OPQ∽△MPR，
∵△OPQ与△PRM的面积相等，
∴△OPQ与△PRM的相似比为1，即△OPQ≌△MPR，
∴OM=2OP=4k，RM=OQ=2，
所以点R(4k,2)，
∵双曲线y=kx经过点R，
∴k4k=2，即k2=8，
解得k1=2 2，k2=−2 2(舍去)．
故答案为：2 2．
17.【答案】解：2x+y=1①x−2y=8②，
①×2+②，可得5x=10，
解得x=2，
把x=2代入①，可得：2×2+y=1，
解得y=−3，
∴原方程组的解是x=2y=−3．
【解析】应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
18.【答案】解：(x+2y)(x−2y)+(x−2y)2
=x2−4y2+x2−4xy+4y2
=2x2−4xy．
【解析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算即可．
本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键．
19.【答案】解：设城中有x户人家，
依题意得：x+x3=100，
解得x=75．
答：城中有75户人家．
【解析】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，列出方程．
设城中有x户人家，根据鹿的总数是100列出方程，并解答，即可．
20.【答案】证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=180°−36°2=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=36°，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BC=BD．
【解析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C解答．
21.【答案】解：(1)要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
小聪成绩的平均数：16×(7+8+7+10+7+9)=8(分)，
小明成绩的平均数：16×(7+6+6+9+10+10)=8(分)，
答：应选择平均数，小聪、小明的平均数分别是8分，8分；
(2)小聪成绩的方差为：16×[(7−8)2+(8−8)2+(7−8)2+(10−8)2+(7−8)2+(9−8)2]=43(平方分)；
(3)小聪同学的成绩较好，
理由：由(1)可知两人的平均数相同，因为小聪成绩的方差小于小明成绩的方差，成绩相对稳定．故小聪同学的成绩较好．
【解析】(1)要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义计算出两人的平均数即可；
(2)根据方差的计算方法计算即可；
(3)由(1)可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，所以方差较小，成绩相对稳定．
本题考查平均数、方差，折线统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会计算一组数据的平均数和方差．
22.【答案】(1)在Rt△BHC中，sinC=BHBC=12，即BC=2BH．
在Rt△BHA中，sinA=BHAB= 22，即AB= 2BH．
∴thiA=BCAB= 2；
(2)60或120
(3)在△ABC中，thiA=BCAB．
在Rt△BHA中，sinA=BHAB．
在Rt△BHC中，sinC=BHBC=12，即BC=2BH．
∴thiA=2sinA．
【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H．
(1)见答案
(2)∵thi A= 3，
∴BCAB= 3，
∵∠C=30°，
∴tan30°=ABBC，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=60°，
根据对称性，△ABC是钝角三角形时，∠BAC=120°
故答案为：60或120；
(3)见答案
【分析】
(1)如图，作BH⊥AC，垂足为H.根据三角函数的定义即可得到结论；
(2)根据三角函数值即可得到结果；
(3)根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵E点为AB的中点，CE为直径，
∴CE⊥AB，
∴AD=BD，
即CD垂直平分AB，
∴BC=AC=AB=4；
(2)连接OB，如图，
∵AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴∠BOD=60°，
在Rt△BOD中，BD=12AB=2，
∴OD= 33BD=2 33，
∴OB=2OD=4 33，
即⊙O的半径为4 33．
【解析】(1)利用垂径定理的推论可判断CD垂直平分AB，所以CB=CA=4；
(2)连接OB，如图，先证明ABC为等边三角形得到∠A=60°，利用圆周角定理得到∠BOC=120°，则∠BOD=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB即可．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
24.【答案】BC⊥CF BC=CF+CD
【解析】解：(1)①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
∵AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案为：BC⊥CF；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；
(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
∵AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°−45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF−∠ACB=135°−45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．
(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)令y=0，解得x1=−1或x2=3
∴A(−1,0)B(3,0)
将C点的横坐标x=2代入y=x2−2x−3得y=−3
∴C(2,−3)
设直线AC的解析式是：y=kx+b
将点A、C坐标代入得：
−k+b=02k+b=−3
解得：k=−1，b=−1，
∴直线AC的函数解析式是y=−x−1；
(2)设P点的横坐标为x(−1≤x≤2)
则P、E的坐标分别为：P(x,−x−1)，E(x,x2−2x−3)
∵P点在E点的上方，PE=(−x−1)−(x2−2x−3)=−x2+x+2=−(x−12)2+94，
∴当x=12时，PE的最大值=94；
(3)存在4个这样的点F，分别是F1(−3,0)，F2(1,0)，F3(4+ 7,0)，F4(4− 7,0)．
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG/​/x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是(−3,0)；
②如图，AF=CG=2，A点的坐标为(−1,0)，因此F点的坐标为(1,0)；
③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+ 7,3)，由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=−x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=−x+4+ 7.因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+ 7,0)；
④如图，同③可求出F的坐标为(4− 7,0)．
综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．
【解析】(1)因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；
(2)根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp−yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
(3)存在四个这样的点．
①连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG/​/x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是(−3,0)；
②AF=CG=2，A点的坐标为(−1,0)，因此F点的坐标为(1,0)；
③此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+ 7,3)，由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=−x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=−x+7.因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+ 7,0)；
④如图，同③可求出F的坐标为(4− 7,0)；
综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．
本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．