2022年广东省清远市清城区中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省清远市清城区中考数学一模试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列四个数中，绝对值最大的是

A.  B.  C.  D.

2. 新型冠状病毒呈球形或椭圆形，有包膜，直径大约是，属于第七种冠状病毒，将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 若，则

A.  B.  C. 或 D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为

A.  B. 或 C. 或 D. 或

6. 如图，平行四边形中，，点在上，且，则的度数是

A.
B.
C.
D.

7. 不等式组的最小整数解是

A.  B.  C.  D.

8. 广东省年的高考采用“”模式：“”是指语文、数学、外语科为必选科目，“”是指在物理、历史科中任选科，“”是指在化学、生物、思想政治、地理科中任选科．若小红在“”中选择了历史，则她在“”中选地理、生物的概率是

A.  B.  C.  D.

9. 若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是

A.  B.  C.  D. 或

10. 如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的点，且，则下列结论正确的有
    ≌；为等边三角形；若把、、、四边的中点相连，则得到的四边形是矩形；若，，则．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共7小题，共28分）

11. 分解因式：______．
12. 把抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为______．
13. 计算：______．
14. 一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形的边数为______．
15. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的值为______．
16. 圆锥的底面半径是，其母线长是，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是______．
17. 如图，矩形中，，，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，则长的最小值为______．

三．计算题（本题共1小题，共8分）

18. 先化简，再从，，中选择合适的值代入求值．

四．解答题（本题共7小题，共54分）

19. 如图，在中，，．
    通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______ ，射线是的______ ；
    在所作的图中，求的度数．
20. 年秋季教育部提出政策要求，初中书面作业平均完成时间不超过分钟，学生每天的完成作业时长不能超过小时．某中学为了积极推进教育部的新政策实施，对本校学生的作业情况进行了抽样调查，统计结果如图所示：
    
    这次抽样共调查了______名学生，并补全条形统计图；
    计算扇形统计图中表示作业时长为小时对应的扇形圆心角的度数；
    若该中学共有学生人，请估计该校作业时间不超过小时的学生人数．
21. 如图，将“欢迎光临”门挂倾斜放置时，测得挂绳的一段另一段已知两个固定扣之间的距离．
    求点到的距离；
    如图，将该门挂扶“正”即，求的度数．
    参考数据：，，，，

22. 某汽车贸易公司销售，两种型号的新能源汽车，型车每台进货价格比型车每台进货价格少万元，该公可用万元购买型车的数量和用万元购买型车的数量相同．
    求购买一台型、一台型新能源汽车的进货价格各是多少万元？
    该公可准备用不超过万，采购，两种新能源汽车共台，问最少需要采购型新能源汽车多少台？
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若．
    求点的坐标及的值；
    若，求一次函数的表达式．

24. 如图，在菱形中，是对角线上一点，，垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．
    求证：是的切线；
    若是的中点，，．
    求的长；
    求菱形的面积．

25. 如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点若点，同时从点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

求该二次函数的解析式及点的坐标；

当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．

当，运动到秒时，沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的形状，并求出点坐标．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
绝对值最大的是．
故选：．
根据绝对值的大小比较大小即可得出答案．
本题考查了实数的比较大小，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，的绝对值是是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，

故选：．
首先把化成以为单位的量，然后根据：绝对值小于的小数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，将用科学记数法表示即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】解：，，
，，
，，


．
故选：．
根据算术平方根和偶次幂的非负性求出，的值，代入代数式求值即可．
本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为，则这几个非负数分别等于是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】

【解析】解：点与点关于轴对称，
，
或，
故选：．
根据关于轴对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数，构建方程求解．
本题考查坐标与图形变化对称，解题的关键是掌握轴对称的性质，属于中考常考题型．
 

6.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，则，求出，再由，得出，然后由三角形内角和定理即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理得知识；熟练掌握平行四边形的性质与三角形内角和定理是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：不等式组整理得：，
解得：，
则不等式组的最小整数解为．
故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出最小整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：小红在在化学、生物、思想政治、地理科中任选科．所有可能出现的结果情况如下：

共有种可能出现的结果情况，其中选择地理、生物的有种，
所以小红在“”中选地理、生物的概率是，
故选：．
小红在“”中选择了历史，不会影响她在化学、生物、思想政治、地理科中任选科的结果，因此用列表法表示从“四选二”中所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
本题考查概率及计算方法，理解概率的意义掌握概率的计算方法是解决问题的前提．
 

9.【答案】

【解析】解：，
在图象的每一支上，随的增大而增大，
当点、在图象的同一支上，
，
，
此不等式无解；
当点、在图象的两支上，
，
，，
解得：，
故选：．
根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，当点、在图象的同一支上时，，此不等式无解；当点、在图象的两支上时，，，解得：．
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当时，在图象的每一支上，随的增大而增大．
 

10.【答案】

【解析】解：等边三角形绕点顺时针旋转得，
≌，
在等边三角形和等边三角形中，，，
，
≌，
故选项符合题意；
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
故选项符合题意；
，
四边形是菱形，
把、、、四边的中点相连，得到的四边形是矩形，
故选项符合题意；
，
，
又，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
故选项符合题意，
综上，正确的选项有，
故选：．
根据旋转的性质以及等边三角形的性质，易证≌，可判断选项；根据全等三角形的性质可得是等边三角形，可判断选项；根据菱形的性质可得选项；根据等边三角形的性质可证∽，根据相似三角形的性质可得，进一步可得．
本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质，特殊的平行四边形的性质等，本题综合性较强，难度较大．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

12.【答案】

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得对应点的坐标为，
新抛物线的解析式为
故答案为：．
先确定抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到点平移所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

13.【答案】

【解析】解：


，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

14.【答案】八

【解析】

【分析】
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于 ，外角和等于 ，然后列方程求解即可．
【解答】
解：设多边形的边数是 ，根据题意得，
，
解得 ，
这个多边形为八边形．
故答案为八．   

15.【答案】

【解析】解：，
得：，
，
得：，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
把当作已知数，解方程组求出、的值，代入得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于的方程．
 

16.【答案】

【解析】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数为，
根据题意得，
解得，
即圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数为．
故答案为：．
设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

17.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，
动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动，
，
不论如何运动，的中点都在矩形的中心上，
当，即、分别是、的中点时，取得最小值，此时点与点重合，
，
，
长的最小值，
故答案为：．
由矩形的性质得出，由动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动，得出，进而得出不论如何运动，的中点都在矩形的中心上，得出当，即、分别是、的中点时，取得最小值，此时点与点重合，此时，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，动点的运动规律是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
且，
时，
原式．

【解析】利用分式的运算法则进行化简运算后将代入运算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，选择合适的值是解题的关键．
 

19.【答案】垂直平分线；  角平分线
解：
垂直平分线段，
，
，
，，
，
，
平分，
．

【解析】解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线．
故答案为：垂直平分线，角平分线．
见答案

根据作图痕迹判断即可．
想办法求出，可得结论．
本题考查作图基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】

【解析】解：这次抽样共调查的学生有：名，
每天作业所需时间小时的人数有：名，
补全统计图如下：

故答案为：；
扇形统计图中表示作业时长为小时对应的扇形圆心角度数是：；
根据题意得：人，
答：估计该校学生的作业时间不超过小时的学生人数有人．
根据小时的人数和所占的百分比，求出总人数，再用总人数减去其他人数，求出每天作业所需时间小时的人数，从而补全统计图；
用乘以作业时长为小时的人数所占的百分比即可；
用该校的总人数乘以作业时间不超过小时的学生人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：过点作于点，如图．

设，则．
，，，
，
即，
解得，
．
由已知，得．

，，
，
，
．

【解析】过点作于点，设，则根据勾股定理列式计算可得的值，进而可得的值；
根据等腰三角形的性质可得的值，再根据锐角三角函数即可求出的度数．
本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法．
 

22.【答案】解：设一台型新能源汽车的进货价格是万元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
万元，
购买一台型新能源汽车的进货价格是万元，购买一台型新能源汽车的进货价格是万元；
设需要采购型新能源汽车台，
由题意可得：，
，
最少需要采购型新能源汽车台．

【解析】设一台型新能源汽车的进货价格是万元，由用万元购买型车的数量和用万元购买型车的数量相同，列出方程可求解；
设需要采购型新能源汽车台，由该公可准备用不超过万，采购，两种新能源汽车共台，列出不等式，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：令，则，
，
，
设，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
即，；
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
将代入得，，
解得，
一次函数的表达式为．

【解析】令，则，所以，得到，设，因为轴，所以，，因为的面积为，列出方程得到，所以，所以；
因为，在直角三角形中，利用勾股定理列出方程，得到，得到，从而，将坐标代入到一次函数中即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，设出交点的坐标，利用已知条件列出方程，是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，过点作于点，

是菱形的对角线，
，
，，
，
是的半径，
又，
是的切线；
解：如图，

是的中点，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由弧长公式得到的长；
如图，过作于点，过点作于点，

四边形是菱形，
，
∽，
，
，，
，
，，，
，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
菱形的面积．

【解析】过点作于点，证明，根据切线的判定定理即可得解；
先求出，再求出，代入弧长公式即可；
过作于点，过点作于点，由∽，对应边成比例求出的长，根据题意得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，即可根据菱形的面积公式求解．
本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定、圆中弧长的计算，以及相似三角形的判定与性质，作垂线构造出相似三角形是解题的关键．
 

25.【答案】方法一：
解：二次函数的图象与轴交于，，
，
解得，
．
．

存在．
如图，过点作于，此时，

，，，，
，，，
，
当点运动到点时，点停止运动，，
．
，
，
，
，．
作的垂直平分线，交于，此时，即为等腰三角形，

设，则，，
在中，，解得，
，
，
说明点在轴的负半轴上；
以为圆心，长半径画圆，交轴于，此时，
，
，
，
．
当时，
当在点左边时，
，
．
当在点右边时，
，
．
综上所述，存在满足条件的点，点的坐标为或或或．

四边形为菱形，点坐标为理由如下：
如图，点关于与点对称，过点作，于，

，，，
，
四边形为菱形，
，
，
，
，，
，
，
，
在二次函数上，
，
，或与重合，舍去，


方法二：
二次函数的图象与轴交于，，
，
解得，
．
．
点、同时从点出发，都已每秒个单位长度的速度分别沿，运动．过点作轴垂线，垂足为．
，，
：，
点运动到点时，点停止运动，
，
，，
代入：得，，则，
点在轴上，
设，
，，为等腰三角形，
，，，
，，
，，，
，，舍
点的坐标为或或或．

，运动到秒，
设，，
，，
，
，
，
，
：，
，
舍，，
，
，即，，，，此时四边形的形状为菱形．

【解析】将，点坐标代入函数中，求得、，进而可求解析式及坐标．
等腰三角形有三种情况，，，借助垂直平分线，画圆易得大致位置，设边长为，表示其他边后利用勾股定理易得坐标．
注意到，运动速度相同，则运动时都为等腰三角形，又由、对称，则，，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用表示点坐标，又在函数上，所以代入即可求，进而可表示．
本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．