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2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点(4,−4)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.a为任意实数，则下列四组数字都不可能是a2的末位数字的应是( )
A. 3，4，9，0B. 2，3，7，8C. 4，5，6，7D. 1，5，6，9
4.如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB//CD的是( )
A. ∠3=∠4B. ∠D+∠ACD=180°
C. ∠D=∠DCED. ∠1=∠2
5.一个数的平方根和它的立方根相等，这个数是( )
A. 1B. −1C. 0D. 0和1
6.下列结论正确的是( )
A. (−2)2=−2B. 3(−2)3=−2C. (±2)2=±2D. 323=±2
7.中国是世界上最早记载潜望镜工作原理的国家.如图是潜望镜工作原理的示意图，两个平面镜AB，CD平行斜放在直角拐角处，一束平行于地平线的光线EM自外射向平面镜AB的点E处，经反射后垂直射向下方平面镜CD点F处，再与反射光线成直角的方向反射出去.即EM//NF，∠MEF=∠EFN=90°，若∠AEM=49.73°，则∠EFC的大小为( )
A. 49.73°
B. 40°16′12″
C. 39.47°
D. 40°28′12″
8.下列命题中，是真命题的是( )
A. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
B. 如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等
C. 立方根等于它本身的实数只有0或1
D. 二元一次方程x+y=3的整数解只有3组
9.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
10.我国古代很早就对二元一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》.《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1.图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为3x+2y=114x+3y=26.类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为( )
A. 2x+3y=233x+4y=32B. 2x+3y=233x+4y=37
C. 3x+2y=234x+3y=37D. 11x+3y=233x+4y=32
11.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 (a+1)2+ (b−1)2− (a−b)2的结果是( )
A. −2B. 0C. −2aD. 2b
12.如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示−1的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点B的位置，则线段AB的中点表示的数是( )
A. −2πB. −π2+1C. −1−πD. −1−π2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.写一个平方根是它本身的实数______．
14.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______．
15.如图，直尺经过一副三角板DCB的直角顶点B，若∠C=30°，∠ABC=20°，∠DEF的大小为______．
16.已知二元一次方程2x−3y−5=0的一组解为x=ay=b，则−4a+6b+3的值为______．
17.已知：a+3与2a−15是m的平方根，则m=_____．
18.折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD(∠A=∠B=∠C=90°)，他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD′与A′B′重合，展开纸片后测量发现∠BFE=66°，则∠DGH= ______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1) 4+3−8− 14；
(2)3 2−| 3− 2|．
20.(本小题9分)
(1)求下列式子中的x的值：(x−2)2=9；
(2)解方程组：2x−y=33x+y=2．
21.(本小题8分)
由边长为1的小正方形组成的7×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线.点A，B为格点，如图．
(1)先将线段AB向右平移4个单位长度得线段CD，点A与点D对应，点B与点C对应；再向下平移3个单位长度得线段EF，点C与点E对应，点D与点F对应；
(2)先画线段BE，AF，再画线段AE，BF及它们的交点O；
(3)直接写出线段AB平移过程中扫过的面积和四边形ABEF的面积．
22.(本小题9分)
如图，已知∠1=∠2，∠4=∠B，∠ADF=90°，求证：GF⊥BC.阅读下面的解答过程，在对应序号处完成填空．
证明：∵∠4=∠B(已知)，
∴AB// ______①(______②)，
∴∠2=∠3(______③)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠3(______④)，
∴AD// ______⑤(______⑥)，
∴∠ADF+∠GFD= ______⑦(______⑧)，
又∵∠ADF=90°(已知)，
∴∠GFD=90°，
∴GF⊥BC.(______⑨)．
23.(本小题10分)
如图，点F在BC上，过F作FG⊥AC于G，点H是AB上一点，过点H作HE⊥AC于E．
(1)求证：HE//FG；
(2)点D在AB上，若∠DEH=∠CFG，则试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
24.(本小题10分)
问题呈现：在平面直角坐标系中，A(−13,0)，C(0,6)，D(−7,6)，点B与原点O重合.连AD，CD.点P为线段AD上一动点(不与点A，D重合)，点P横坐标为m.四边形ABCD沿DA方向平移，使点D与点P重合，得对应四边形QFEP，EF交x轴于点G，如图．
(1)求四边形ABCD的面积；
数学思考：
(2)若P(−8,5).按要求完成以下问题：
①直接写出点Q，E，F的坐标；
②求阴影部分(六边形PEGBCD)的面积；
拓展延伸：四边形ABCD内有任一点M(x,y)，当四边形ABCD沿DA方向自D点向A点运动.直接写出四边形AGEP的面积(用m的式子表示)．
25.(本小题12分)
问题提出：射到平面镜上的光线(入射光线)和变向后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2．
(1)若∠AOB=94°，则直接写出∠1的大小．
数学探究：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
(2)完成如下问题：
①若∠1=55°，直接写出∠4的度数；
②求证：AB//CD；
拓展运用：有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，如图3，图4.若∠MON=m°，∠AED=n°，直接写出m，n满足的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：观察图形可知图案C通过平移后可以得到，
故选：C．
图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，据此分析．
本题考查了利用平移设计图案，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
2.【答案】D
【解析】解：在平面直角坐标系中，点(4,−4)所在的象限是第四象限，
故选：D．
根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵02=0，12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81，
∴一个数的平方的末位数字可以是0，1，4，5，6，9，
∴没有一个数的平方的末位数字能得到2，3，7，8，
∴a为任意实数，a2的末位数字不可能是2，3，7，8．
故选B．
分别计算0至9这十个数字的平方，观察其末位数字，从而得出结果．
由于a为任意实数，分析出计算0至9这十个数字的平方，是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、由∠3=∠4可判断DB//AC，故此选项错误；
B、由∠D+∠ACD=180°可判断DB//AC，故此选项错误；
C、由∠D=∠DCE可判断DB//AC，故此选项错误；
D、由∠1=∠2可判断AB//CD，故此选项正确，
故选：D．
【分析】根据平行线的判定分别进行分析即可．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
5.【答案】C
【解析】解：平方根和它的立方根相等的数是0．
故选C．
根据常见数的平方根与立方根进行解答即可．
本题主要考查了特殊数的平方根与立方根，是基础知识，需要熟练掌握．
6.【答案】B
【解析】解：A、 (−2)2=2，故A错误；
B、3(−2)3=−2，故B正确；
C、 (±2)2=2，故C错误；
D、323=2，故D错误．
故选：B．
依据立方根、平方根和算术平方根的定义回答即可．
本题主要考查的是立方根、平方根和算术平方根的定义和性质，掌握立方根、平方根和算术平方根的定义和性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠BEF=∠EFC，
∵∠MEF=∠EFN=90°，∠AEM=49.73°，
∴∠BEF=180°−90°−49.73°=40.27°，
∴∠EFC=40.27°=40°16′12“，
故选：B．
首先利用AB//CD，推导出∠BEF=∠EFC，然后推导出∠BEF=40.27°，再利用度、分、秒的关系换算即可．
本题考查了平行线的性质以及度分秒的换算，掌握平行线的性质以及1°=60′，1′=60″是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，故选项A是真命题，符合题意；
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等也可能是互为相反数，如32=(−3)2，故选项B是假命题，不符合题意；
立方根等于它本身的实数有0或1，还有−1，故选项C是假命题，不符合题意；
二元一次方程x+y=3的整数解有无数组解，故选项D是假命题，不符合题意；
故选：A．
逐一分析每个命题真假即可．
本题考查了真假命题的判断，熟练掌握教材基础知识点是解本题的关键，日常需注重基础知识点的积累和理解．
9.【答案】C
【解析】解：因为G点为△ABC三条中线的交点，
所以AG：DG=2：1，即S△AGC：S△DGC=2：1．
又点E为AC中点，即GE是△AGC的中线，
所以S△AEG=S△CEG．
所以S△CEG=S△DGC．
则S阴影=S△CBF．
又S△CBF=12S△ABC=12×12=6．
所以阴影部分的面积为：6．
故选：C．
利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，以及三角形的重心把每条中线分成1：2的两部分，可解决问题．
本题考查了三角形重心的性质，以及三角形的中线可把三角形的面积平分．正确的将阴影部分的面积进行转化是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
图2所示的算筹图我们可以表述为：2x+3y=233x+4y=37，
故选：B．
根据图1的方程组，可知图中第一组小棍数代表几个x，第二组的小棍数代表几个y，最后两组代表数字，然后即可写出图2表示的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
11.【答案】A
【解析】解：根据数轴知道−2∴a+1<0，b−1>0，a−b<0，
∴原式=|a+1|+|b−1|−|a−b|
=−(a+1)+b−1+a−b
=−a−1+b−1+a−b
=−2，
故选：A．
根据 a2=|a|化简，然后去绝对值化简即可．
本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，掌握 a2=|a|是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：圆的周长为2π，即AB=2π，
∴AB中点表示的数为：−1−π．
故选：C．
根据圆的周长就是线段AB长，再依据数轴上两点间距离公式求出中点表示的数即可．
本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握圆的周长计算是关键．
13.【答案】0
【解析】解：平方根是它本身的实数是：0．
故答案为：0．
根据平方根的性质进行解题即可．
本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．
14.【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】【分析】
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
【解答】
解：命题“对顶角相等”的题设为：对顶角，结论为：相等．
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
15.【答案】50°
【解析】解：∵∠DAB是△ABC的一个外角，
∴∠DAB=∠C+∠ABC，
∵∠C=30°，∠ABC=20°，
∴∠DAB=50°，
∵EF//AB，
∴∠DEF=∠DAB=50°．
故答案为：50°．
先根据三角形外角定理得∠DAB=∠C+∠ABC=50°，再根据平行线的性质可得∠DEF的度数．
此题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，准确识图，熟练掌握三角形的外角定理，平行线的性质是解决问题的关键．
16.【答案】−7
【解析】解：把x=ay=b代入方程得：2a−3b−5=0，
∴2a−3b=5，
∴原式=−2(2a−3b)+3=−2×5+3=−7，
故答案为：−7．
把x与y的值代入方程求出2a−3b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确方程的解能使方程左右两边相等．
17.【答案】49或441
【解析】【分析】
本题考查了平方根的性质.一个正数有两个平方根，它们互为相反数.先根据a+3与2a−15是同一个平方根或两个平方根分别求出a的值，再求出m的值即可．
【解答】
解：①当a+3=2a−15时，a+3=2a−15，
解得a=18，
此时m=(a+3)²=441；
②当a+3≠2a−15时，a+3+2a−15=0，
解得a=4，
此时m=(a+3)²=49．
故答案为49或441．
18.【答案】21°
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵∠BFE=66°，
∴∠AEF=180°−66°=114°，∠GEF=66°，
∵四边形A′EFB′由四边形AEFB翻折而成，
∴∠A′EF=′AEF=114°，∠A′=∠A=90°，
∴∠A′EG=∠A′EF−∠GEF=114°−66°=48°，
∴∠A′GE=90°−48°=42°，
∴∠DGD′=∠A′GE=42°，
∵△GHD′由△GHD翻折而成，
∴∠DGH=12∠DGD′=12×42°=21°．
故答案为：21°．
先根据矩形的性质得出AD//BC，再由平行线的性质得出∠AEF与∠GEF的度数，故可得出∠A′EG的度数，由直角三角形的性质得出∠A′GE的度数，根据对顶角相等得出∠DGD′的度数，根据翻折变换的性质即可得出结论．
本题考查的是轴对称的性质及翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2−2−12=−12；
(2)原式=3 2− 3+ 2=4 2− 3．
【解析】(1)利用算术平方根及立方根的定义计算即可；
(2)利用绝对值的性质计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由方程可得x−2=±3，
解得：x=5或x=−1；
(2)2x−y=3①3x+y=2②，
①+②得：5x=5，
解得：x=1，
将x=1代入①得：2−y=3，
解得：y=−1，
故原方程组的解为x=1y=−1．
【解析】(1)利用平方根的定义解方程即可；
(2)利用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查解二元一次方程组及平方根，熟练掌握解方程组的方法及相关定义是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，线段CD，EF即为所求．
(2)如图，线段BE，AF，AE，BF及点O即为所求．
(3)线段AB平移过程中扫过的面积为S平行四边形ABCD+S平行四边形CDFE=4×4+3×3=16+9=25．
由平移得，AB=EF且AB//EF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
由勾股定理得，AF= 32+42=5，EF= 32+42=5，AE= 72+12=5 2，
∴AF2+EF2=AE2，AF=EF，
∴∠AFE=90°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴四边形ABEF的面积为5×5=25．
【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)由线段的定义画图即可．
(3)由题意知，线段AB平移过程中扫过的面积为S平行四边形ABCD+S平行四边形CDFE，进而可得答案；由平移的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理可得四边形ABEF是正方形，根据正方形的面积公式计算即可，
本题考查作图−平移变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
22.【答案】DE 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 等量代换 FG 同位角相等，两直线平行 180° 两直线平行，同旁内角互补 垂直的定义
【解析】证明：∵∠4=∠B(已知)，
∴AB//DE(同位角相等，两直线平行)，
∴∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠3(等量代换)，
∴AD//FG(同位角相等，两直线平行)，
∴∠ADF+∠GFD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠ADF=90°(已知)，
∴∠GFD=90°，
∴GF⊥BC.(垂直的定义)．
故答案为：①DE；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④等量代换；⑤FG；⑥同位角相等，两直线平行；⑦180°；⑧两直线平行，同旁内角互补；⑨垂直的定义．
根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC=90°，∠HEC=90°，
∴∠FGC=∠HEC，
∴HE//FG；
(2)解：DE//BC，理由如下：
∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC=90°，∠HEA=90°，
∴∠C+∠CFG=90°，∠DEH+∠AED=90°，
∵∠DEH=∠CFG，
∴∠C=∠AED，
∴DE//BC．
【解析】(1)根据垂直的定义求出∠FGC=∠HEC，根据“同位角相等，两直线平行”得到HE//FG；
(2)由垂直定义及直角三角形的性质求出∠C+∠CFG=90°，∠DEH+∠AED=90°，根据“等角的余角相等”求出∠C=∠AED，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．
本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)S四边形ABCD=(7+13)×6÷2=60；
(2)①由P(−8,5)得，四边形ABCD向下平移一个单位长度，向左平移一个单位长度得到四边形QFEP，
∴Q(−14,−1)，E(−1,5)，F(−1,−1)；
②S六边形PEGBCD=(7+8)×1÷2+1×5=12.5；
拓展延伸：设AD所在直线为y=kx+b，代入A、D两点，
得，−13k+b=0−7k+b=6，
解得：k=1，b=13，
∴y=x+13，
当x=m时，y=m+13，即P(m,m+13)，
，
作CH//AD，交x轴于点CH，
设CH所在直线为y=x+c，代入C点，
得，c=6，
∴y=x+6，
当y=m+13时，x=m+7，即E(m+7,m+13)，
∴G(m+7,0)，
S四边形AGEP=(EP+AG)×EG÷2=[m+7−m+m+7−(−13)]×(m+13)÷2=12m2+20m+3512．
【解析】(1)运用直角梯形的面积公式可得四边形ABCD的面积；
(2)①由P(−8,5)得，四边形ABCD向下平移一个单位长度，向左平移一个单位长度得到四边形QFEP，可得点Q，E，F的坐标；
②阴影部分(六边形PEGBCD)的面积可以拆分成一个上底为7，下底为8，高为1的直角梯形的面积和长为5，宽为1的长方形的面积；
拓展延伸：求出AD、CH所在直线的解析式，已知点P横坐标为m，可得P、E、G的坐标，根据直角梯形的面积公式可得四边形AGEP的面积．
本题考查了平移，关键是掌握直角梯形的面积公式、平移的性质．
25.【答案】(1)解：∵∠1+∠2+∠AOB=180°，∠1=∠2，
∴2∠1+∠AOB=180°，即2∠1=180°−∠AOB，
∵∠AOB=94°，
∴∠1=12(180°−94°)=43°；
(2)①解：∵∠1=55°，
∴∠2=∠1=55°，
∵OM⊥ON，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠4=∠3=90°−∠2=90°−55°=35°；
②证明：同理∠ABC=180°−2∠2，∠DCB=180°−2∠3，
∴∠ABC+∠DCB=360°−2(∠2+∠3)，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠ABC+∠DCB=360°−2×90°=180°，
∴AB//CD；
拓展运用：解：在图3中，同理：∠ABC=180°−2∠2，∠DCB=180°−2∠3，
∴∠ABC+∠DCB=360°−2(∠2+∠3)，
∵∠CEB=∠AED=n°，∠MON=m°，
∴∠ABC+∠DCB=180°−∠CEB=180°−n°，∠2+∠3=180°−∠MON=180°−m°，
∴80°−n°=360°−2(180°−m°)，
整理得：2m+n=180°；
在图4中，∵∠AED+∠EBD+∠EDB=180°，∠MON+∠4+∠ODC=180°，
∵∠EDB=∠ODC，
∴∠AED+∠EBD=∠MON+∠4，
∵∠EBD=∠1=∠2，∠MON=m°，∠AED=n°，
∴n°+∠2=m°+∠4，
∴∠4−∠2=n°−m°，
∵∠BCO+∠MON+∠2=180°，
∴∠BCO+m°+∠2=180°，
∵∠BCO=180°−∠3=180°−∠4，
∴180°−∠4+m°+∠2=180°，
∴∠4−∠2=m°，
∴n°−m°=m°，
整理得：n=2m．
综上所述：m，n满足的数量关系是2m+n=180°或n=2m．
【解析】(1)先求出2∠1=180°−∠AOB，再根据∠AOB=94°可得∠1的度数；
(2)①根据∠1=55°得∠2=55°，再根据∠2+∠3=90°，∠4=∠3可得∠4的度数；
②同理∠ABC=180°−2∠2，∠DCB=180°−2∠3，则∠ABC+∠DCB=360°−2(∠2+∠3)，再根据∠2+∠3=90°得∠ABC+∠DCB=180°，据此即可得出结论；
拓展运用：在图3中，同理∠ABC=180°−2∠2，∠DCB=180°−2∠3，则∠ABC+∠DCB=360°−2(∠2+∠3)，根据三角形内角和定理得∠ABC+∠DCB=180°−n°，∠2+∠3=180°−m°，即80°−n°=360°−2(180°−m°)，据此可得m，n满足的数量关系；
在图4中，根据三角形内角和定理得∠AED+∠EBD=∠MON+∠4，即∠4−∠2=n°−m°，再根据∠BCO+m°+∠2=180°，∠BCO=180°−∠4得180°−∠4+m°+∠2=180°，即∠4−∠2=m°，据此可得m，n满足的数量关系．
此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
1.在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点(4,−4)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.a为任意实数，则下列四组数字都不可能是a2的末位数字的应是( )
A. 3，4，9，0B. 2，3，7，8C. 4，5，6，7D. 1，5，6，9
4.如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB//CD的是( )
A. ∠3=∠4B. ∠D+∠ACD=180°
C. ∠D=∠DCED. ∠1=∠2
5.一个数的平方根和它的立方根相等，这个数是( )
A. 1B. −1C. 0D. 0和1
6.下列结论正确的是( )
A. (−2)2=−2B. 3(−2)3=−2C. (±2)2=±2D. 323=±2
7.中国是世界上最早记载潜望镜工作原理的国家.如图是潜望镜工作原理的示意图，两个平面镜AB，CD平行斜放在直角拐角处，一束平行于地平线的光线EM自外射向平面镜AB的点E处，经反射后垂直射向下方平面镜CD点F处，再与反射光线成直角的方向反射出去.即EM//NF，∠MEF=∠EFN=90°，若∠AEM=49.73°，则∠EFC的大小为( )
A. 49.73°
B. 40°16′12″
C. 39.47°
D. 40°28′12″
8.下列命题中，是真命题的是( )
A. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
B. 如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等
C. 立方根等于它本身的实数只有0或1
D. 二元一次方程x+y=3的整数解只有3组
9.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
10.我国古代很早就对二元一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》.《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1.图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为3x+2y=114x+3y=26.类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为( )
A. 2x+3y=233x+4y=32B. 2x+3y=233x+4y=37
C. 3x+2y=234x+3y=37D. 11x+3y=233x+4y=32
11.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 (a+1)2+ (b−1)2− (a−b)2的结果是( )
A. −2B. 0C. −2aD. 2b
12.如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示−1的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点B的位置，则线段AB的中点表示的数是( )
A. −2πB. −π2+1C. −1−πD. −1−π2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.写一个平方根是它本身的实数______．
14.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______．
15.如图，直尺经过一副三角板DCB的直角顶点B，若∠C=30°，∠ABC=20°，∠DEF的大小为______．
16.已知二元一次方程2x−3y−5=0的一组解为x=ay=b，则−4a+6b+3的值为______．
17.已知：a+3与2a−15是m的平方根，则m=_____．
18.折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD(∠A=∠B=∠C=90°)，他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD′与A′B′重合，展开纸片后测量发现∠BFE=66°，则∠DGH= ______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1) 4+3−8− 14；
(2)3 2−| 3− 2|．
20.(本小题9分)
(1)求下列式子中的x的值：(x−2)2=9；
(2)解方程组：2x−y=33x+y=2．
21.(本小题8分)
由边长为1的小正方形组成的7×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线.点A，B为格点，如图．
(1)先将线段AB向右平移4个单位长度得线段CD，点A与点D对应，点B与点C对应；再向下平移3个单位长度得线段EF，点C与点E对应，点D与点F对应；
(2)先画线段BE，AF，再画线段AE，BF及它们的交点O；
(3)直接写出线段AB平移过程中扫过的面积和四边形ABEF的面积．
22.(本小题9分)
如图，已知∠1=∠2，∠4=∠B，∠ADF=90°，求证：GF⊥BC.阅读下面的解答过程，在对应序号处完成填空．
证明：∵∠4=∠B(已知)，
∴AB// ______①(______②)，
∴∠2=∠3(______③)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠3(______④)，
∴AD// ______⑤(______⑥)，
∴∠ADF+∠GFD= ______⑦(______⑧)，
又∵∠ADF=90°(已知)，
∴∠GFD=90°，
∴GF⊥BC.(______⑨)．
23.(本小题10分)
如图，点F在BC上，过F作FG⊥AC于G，点H是AB上一点，过点H作HE⊥AC于E．
(1)求证：HE//FG；
(2)点D在AB上，若∠DEH=∠CFG，则试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
24.(本小题10分)
问题呈现：在平面直角坐标系中，A(−13,0)，C(0,6)，D(−7,6)，点B与原点O重合.连AD，CD.点P为线段AD上一动点(不与点A，D重合)，点P横坐标为m.四边形ABCD沿DA方向平移，使点D与点P重合，得对应四边形QFEP，EF交x轴于点G，如图．
(1)求四边形ABCD的面积；
数学思考：
(2)若P(−8,5).按要求完成以下问题：
①直接写出点Q，E，F的坐标；
②求阴影部分(六边形PEGBCD)的面积；
拓展延伸：四边形ABCD内有任一点M(x,y)，当四边形ABCD沿DA方向自D点向A点运动.直接写出四边形AGEP的面积(用m的式子表示)．
25.(本小题12分)
问题提出：射到平面镜上的光线(入射光线)和变向后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2．
(1)若∠AOB=94°，则直接写出∠1的大小．
数学探究：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
(2)完成如下问题：
①若∠1=55°，直接写出∠4的度数；
②求证：AB//CD；
拓展运用：有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，如图3，图4.若∠MON=m°，∠AED=n°，直接写出m，n满足的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：观察图形可知图案C通过平移后可以得到，
故选：C．
图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，据此分析．
本题考查了利用平移设计图案，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
2.【答案】D
【解析】解：在平面直角坐标系中，点(4,−4)所在的象限是第四象限，
故选：D．
根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵02=0，12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81，
∴一个数的平方的末位数字可以是0，1，4，5，6，9，
∴没有一个数的平方的末位数字能得到2，3，7，8，
∴a为任意实数，a2的末位数字不可能是2，3，7，8．
故选B．
分别计算0至9这十个数字的平方，观察其末位数字，从而得出结果．
由于a为任意实数，分析出计算0至9这十个数字的平方，是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、由∠3=∠4可判断DB//AC，故此选项错误；
B、由∠D+∠ACD=180°可判断DB//AC，故此选项错误；
C、由∠D=∠DCE可判断DB//AC，故此选项错误；
D、由∠1=∠2可判断AB//CD，故此选项正确，
故选：D．
【分析】根据平行线的判定分别进行分析即可．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
5.【答案】C
【解析】解：平方根和它的立方根相等的数是0．
故选C．
根据常见数的平方根与立方根进行解答即可．
本题主要考查了特殊数的平方根与立方根，是基础知识，需要熟练掌握．
6.【答案】B
【解析】解：A、 (−2)2=2，故A错误；
B、3(−2)3=−2，故B正确；
C、 (±2)2=2，故C错误；
D、323=2，故D错误．
故选：B．
依据立方根、平方根和算术平方根的定义回答即可．
本题主要考查的是立方根、平方根和算术平方根的定义和性质，掌握立方根、平方根和算术平方根的定义和性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠BEF=∠EFC，
∵∠MEF=∠EFN=90°，∠AEM=49.73°，
∴∠BEF=180°−90°−49.73°=40.27°，
∴∠EFC=40.27°=40°16′12“，
故选：B．
首先利用AB//CD，推导出∠BEF=∠EFC，然后推导出∠BEF=40.27°，再利用度、分、秒的关系换算即可．
本题考查了平行线的性质以及度分秒的换算，掌握平行线的性质以及1°=60′，1′=60″是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，故选项A是真命题，符合题意；
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等也可能是互为相反数，如32=(−3)2，故选项B是假命题，不符合题意；
立方根等于它本身的实数有0或1，还有−1，故选项C是假命题，不符合题意；
二元一次方程x+y=3的整数解有无数组解，故选项D是假命题，不符合题意；
故选：A．
逐一分析每个命题真假即可．
本题考查了真假命题的判断，熟练掌握教材基础知识点是解本题的关键，日常需注重基础知识点的积累和理解．
9.【答案】C
【解析】解：因为G点为△ABC三条中线的交点，
所以AG：DG=2：1，即S△AGC：S△DGC=2：1．
又点E为AC中点，即GE是△AGC的中线，
所以S△AEG=S△CEG．
所以S△CEG=S△DGC．
则S阴影=S△CBF．
又S△CBF=12S△ABC=12×12=6．
所以阴影部分的面积为：6．
故选：C．
利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，以及三角形的重心把每条中线分成1：2的两部分，可解决问题．
本题考查了三角形重心的性质，以及三角形的中线可把三角形的面积平分．正确的将阴影部分的面积进行转化是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
图2所示的算筹图我们可以表述为：2x+3y=233x+4y=37，
故选：B．
根据图1的方程组，可知图中第一组小棍数代表几个x，第二组的小棍数代表几个y，最后两组代表数字，然后即可写出图2表示的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
11.【答案】A
【解析】解：根据数轴知道−2
∴原式=|a+1|+|b−1|−|a−b|
=−(a+1)+b−1+a−b
=−a−1+b−1+a−b
=−2，
故选：A．
根据 a2=|a|化简，然后去绝对值化简即可．
本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，掌握 a2=|a|是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：圆的周长为2π，即AB=2π，
∴AB中点表示的数为：−1−π．
故选：C．
根据圆的周长就是线段AB长，再依据数轴上两点间距离公式求出中点表示的数即可．
本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握圆的周长计算是关键．
13.【答案】0
【解析】解：平方根是它本身的实数是：0．
故答案为：0．
根据平方根的性质进行解题即可．
本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．
14.【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】【分析】
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
【解答】
解：命题“对顶角相等”的题设为：对顶角，结论为：相等．
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
15.【答案】50°
【解析】解：∵∠DAB是△ABC的一个外角，
∴∠DAB=∠C+∠ABC，
∵∠C=30°，∠ABC=20°，
∴∠DAB=50°，
∵EF//AB，
∴∠DEF=∠DAB=50°．
故答案为：50°．
先根据三角形外角定理得∠DAB=∠C+∠ABC=50°，再根据平行线的性质可得∠DEF的度数．
此题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，准确识图，熟练掌握三角形的外角定理，平行线的性质是解决问题的关键．
16.【答案】−7
【解析】解：把x=ay=b代入方程得：2a−3b−5=0，
∴2a−3b=5，
∴原式=−2(2a−3b)+3=−2×5+3=−7，
故答案为：−7．
把x与y的值代入方程求出2a−3b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确方程的解能使方程左右两边相等．
17.【答案】49或441
【解析】【分析】
本题考查了平方根的性质.一个正数有两个平方根，它们互为相反数.先根据a+3与2a−15是同一个平方根或两个平方根分别求出a的值，再求出m的值即可．
【解答】
解：①当a+3=2a−15时，a+3=2a−15，
解得a=18，
此时m=(a+3)²=441；
②当a+3≠2a−15时，a+3+2a−15=0，
解得a=4，
此时m=(a+3)²=49．
故答案为49或441．
18.【答案】21°
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵∠BFE=66°，
∴∠AEF=180°−66°=114°，∠GEF=66°，
∵四边形A′EFB′由四边形AEFB翻折而成，
∴∠A′EF=′AEF=114°，∠A′=∠A=90°，
∴∠A′EG=∠A′EF−∠GEF=114°−66°=48°，
∴∠A′GE=90°−48°=42°，
∴∠DGD′=∠A′GE=42°，
∵△GHD′由△GHD翻折而成，
∴∠DGH=12∠DGD′=12×42°=21°．
故答案为：21°．
先根据矩形的性质得出AD//BC，再由平行线的性质得出∠AEF与∠GEF的度数，故可得出∠A′EG的度数，由直角三角形的性质得出∠A′GE的度数，根据对顶角相等得出∠DGD′的度数，根据翻折变换的性质即可得出结论．
本题考查的是轴对称的性质及翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2−2−12=−12；
(2)原式=3 2− 3+ 2=4 2− 3．
【解析】(1)利用算术平方根及立方根的定义计算即可；
(2)利用绝对值的性质计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由方程可得x−2=±3，
解得：x=5或x=−1；
(2)2x−y=3①3x+y=2②，
①+②得：5x=5，
解得：x=1，
将x=1代入①得：2−y=3，
解得：y=−1，
故原方程组的解为x=1y=−1．
【解析】(1)利用平方根的定义解方程即可；
(2)利用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查解二元一次方程组及平方根，熟练掌握解方程组的方法及相关定义是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，线段CD，EF即为所求．
(2)如图，线段BE，AF，AE，BF及点O即为所求．
(3)线段AB平移过程中扫过的面积为S平行四边形ABCD+S平行四边形CDFE=4×4+3×3=16+9=25．
由平移得，AB=EF且AB//EF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
由勾股定理得，AF= 32+42=5，EF= 32+42=5，AE= 72+12=5 2，
∴AF2+EF2=AE2，AF=EF，
∴∠AFE=90°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴四边形ABEF的面积为5×5=25．
【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)由线段的定义画图即可．
(3)由题意知，线段AB平移过程中扫过的面积为S平行四边形ABCD+S平行四边形CDFE，进而可得答案；由平移的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理可得四边形ABEF是正方形，根据正方形的面积公式计算即可，
本题考查作图−平移变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
22.【答案】DE 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 等量代换 FG 同位角相等，两直线平行 180° 两直线平行，同旁内角互补 垂直的定义
【解析】证明：∵∠4=∠B(已知)，
∴AB//DE(同位角相等，两直线平行)，
∴∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠3(等量代换)，
∴AD//FG(同位角相等，两直线平行)，
∴∠ADF+∠GFD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠ADF=90°(已知)，
∴∠GFD=90°，
∴GF⊥BC.(垂直的定义)．
故答案为：①DE；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④等量代换；⑤FG；⑥同位角相等，两直线平行；⑦180°；⑧两直线平行，同旁内角互补；⑨垂直的定义．
根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC=90°，∠HEC=90°，
∴∠FGC=∠HEC，
∴HE//FG；
(2)解：DE//BC，理由如下：
∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC=90°，∠HEA=90°，
∴∠C+∠CFG=90°，∠DEH+∠AED=90°，
∵∠DEH=∠CFG，
∴∠C=∠AED，
∴DE//BC．
【解析】(1)根据垂直的定义求出∠FGC=∠HEC，根据“同位角相等，两直线平行”得到HE//FG；
(2)由垂直定义及直角三角形的性质求出∠C+∠CFG=90°，∠DEH+∠AED=90°，根据“等角的余角相等”求出∠C=∠AED，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．
本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)S四边形ABCD=(7+13)×6÷2=60；
(2)①由P(−8,5)得，四边形ABCD向下平移一个单位长度，向左平移一个单位长度得到四边形QFEP，
∴Q(−14,−1)，E(−1,5)，F(−1,−1)；
②S六边形PEGBCD=(7+8)×1÷2+1×5=12.5；
拓展延伸：设AD所在直线为y=kx+b，代入A、D两点，
得，−13k+b=0−7k+b=6，
解得：k=1，b=13，
∴y=x+13，
当x=m时，y=m+13，即P(m,m+13)，
，
作CH//AD，交x轴于点CH，
设CH所在直线为y=x+c，代入C点，
得，c=6，
∴y=x+6，
当y=m+13时，x=m+7，即E(m+7,m+13)，
∴G(m+7,0)，
S四边形AGEP=(EP+AG)×EG÷2=[m+7−m+m+7−(−13)]×(m+13)÷2=12m2+20m+3512．
【解析】(1)运用直角梯形的面积公式可得四边形ABCD的面积；
(2)①由P(−8,5)得，四边形ABCD向下平移一个单位长度，向左平移一个单位长度得到四边形QFEP，可得点Q，E，F的坐标；
②阴影部分(六边形PEGBCD)的面积可以拆分成一个上底为7，下底为8，高为1的直角梯形的面积和长为5，宽为1的长方形的面积；
拓展延伸：求出AD、CH所在直线的解析式，已知点P横坐标为m，可得P、E、G的坐标，根据直角梯形的面积公式可得四边形AGEP的面积．
本题考查了平移，关键是掌握直角梯形的面积公式、平移的性质．
25.【答案】(1)解：∵∠1+∠2+∠AOB=180°，∠1=∠2，
∴2∠1+∠AOB=180°，即2∠1=180°−∠AOB，
∵∠AOB=94°，
∴∠1=12(180°−94°)=43°；
(2)①解：∵∠1=55°，
∴∠2=∠1=55°，
∵OM⊥ON，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠4=∠3=90°−∠2=90°−55°=35°；
②证明：同理∠ABC=180°−2∠2，∠DCB=180°−2∠3，
∴∠ABC+∠DCB=360°−2(∠2+∠3)，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠ABC+∠DCB=360°−2×90°=180°，
∴AB//CD；
拓展运用：解：在图3中，同理：∠ABC=180°−2∠2，∠DCB=180°−2∠3，
∴∠ABC+∠DCB=360°−2(∠2+∠3)，
∵∠CEB=∠AED=n°，∠MON=m°，
∴∠ABC+∠DCB=180°−∠CEB=180°−n°，∠2+∠3=180°−∠MON=180°−m°，
∴80°−n°=360°−2(180°−m°)，
整理得：2m+n=180°；
在图4中，∵∠AED+∠EBD+∠EDB=180°，∠MON+∠4+∠ODC=180°，
∵∠EDB=∠ODC，
∴∠AED+∠EBD=∠MON+∠4，
∵∠EBD=∠1=∠2，∠MON=m°，∠AED=n°，
∴n°+∠2=m°+∠4，
∴∠4−∠2=n°−m°，
∵∠BCO+∠MON+∠2=180°，
∴∠BCO+m°+∠2=180°，
∵∠BCO=180°−∠3=180°−∠4，
∴180°−∠4+m°+∠2=180°，
∴∠4−∠2=m°，
∴n°−m°=m°，
整理得：n=2m．
综上所述：m，n满足的数量关系是2m+n=180°或n=2m．
【解析】(1)先求出2∠1=180°−∠AOB，再根据∠AOB=94°可得∠1的度数；
(2)①根据∠1=55°得∠2=55°，再根据∠2+∠3=90°，∠4=∠3可得∠4的度数；
②同理∠ABC=180°−2∠2，∠DCB=180°−2∠3，则∠ABC+∠DCB=360°−2(∠2+∠3)，再根据∠2+∠3=90°得∠ABC+∠DCB=180°，据此即可得出结论；
拓展运用：在图3中，同理∠ABC=180°−2∠2，∠DCB=180°−2∠3，则∠ABC+∠DCB=360°−2(∠2+∠3)，根据三角形内角和定理得∠ABC+∠DCB=180°−n°，∠2+∠3=180°−m°，即80°−n°=360°−2(180°−m°)，据此可得m，n满足的数量关系；
在图4中，根据三角形内角和定理得∠AED+∠EBD=∠MON+∠4，即∠4−∠2=n°−m°，再根据∠BCO+m°+∠2=180°，∠BCO=180°−∠4得180°−∠4+m°+∠2=180°，即∠4−∠2=m°，据此可得m，n满足的数量关系．
此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
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