2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期中数学试卷-（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在二次根式中，的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组中的三条线段，不能组成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列各式成立的是

A.  B.  C.  D.

4. 菱形的对角线，的长分别为和，则这个菱形的面积是

A.  B.  C.  D.

5. 下列四个命题，其逆命题成立的是

A. 两直线平行，内错角相等
B. 如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等
C. 若，则
D. 若，则

6. 如图，一根木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，木杆折断之前的高度是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，，，，点，，分别是，，的中点，连结，，则四边形的周长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图是某区域的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到延长交于点，连接下列结论：，四边形是正方形，若，则；其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在正方形中，、是对角线上的两个动点，是正方形四边上的任意一点，且，，设当，是等腰三角形时，下列关于点个数的说法中，点最多有

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算：的结果是______．
12. 如图，平行四边形中，，交于点，且，，则的周长是______．
13. 如图，在矩形中，，交于点，是等边三角形，且则矩形的面积是______．
     

14. 运用因式分解的方法可以求方程的解，如，则方程的解为或，用这种思想解高次方程，它的解是______．
15. 如图，圆柱的高为，底面周长为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点的最短路程是______．
    
     

16. 如图，在中，，若，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，、分别是、的中点，求证：．

19. 实数，使成立，求的值．
20. 如图，矩形的对角线相交于点，，，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．

21. 仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．
    如图，四边形为平行四边形，过点作一条直线平分平行四边形的面积；
    如图，已知，，点在边上，四边形是矩形，请你在图中画出的平分线；
    如图，四边形为菱形，为的中点，画出的中点．

22. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”例如，如图四边形中，，，则四边形是“等补四边形”．
    在以下四种图形中：平行四边形，菱形，矩形，正方形，一定是“等补四边形”的是______．
    如图，在菱形中，，，分别是，边上的动点不与点，，重合，且求证：四边形为等补四边形．

23. 问题背景如图，已知和为等腰直角三角形，，，求证：≌．
    尝试应用如图，已知，，，点是外一点，且，求证：．
    拓展创新如图，点是等边三角形外一点，若，，，直接写出的大小．

24. 如图，四边形正方形，，两点的坐标分别是，．
    直接写出点的坐标是______；
    如图，点为线段的中点，点在线段上，若，求点的坐标；
    如图，动点，分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点的对应点始终落在边上点不与点，重合，点落在点处，设，四边形的面积为，请求出与的关系式．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据被开方数为非负数可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

2.【答案】

【解析】解：、，故能组成直角三角形，不符合题意；
B、，故能组成直角三角形，不符合题意；
C、，故不能组成直角三角形，符合题意；
D、，故能组成直角三角形，不符合题意．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

3.【答案】

【解析】解：、原式，所以选项正确；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项错误；
D、与不能合并，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的除法法则对进行判断；利用二次根式的性质对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的加减法对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

4.【答案】

【解析】解：菱形的对角线，的长分别为和，
这个菱形的面积是，
故选：．
根据菱形的性质得出菱形的面积等于对角线积的一半，再求出答案即可．
本题考查了菱形的性质，注意：菱形的面积等于底乘以高，也等于对角线积的一半．
 

5.【答案】

【解析】解：、逆命题为内错角相等，两直线平行，成立，符合题意；
B、逆命题为如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等，不成立，不符合题意；
C、逆命题为若，则，不成立，不符合题意；
D、逆命题为若，则，不成立，不符合题意．
故选A．
利用平行线的性质、实数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
【解答】
一棵垂直于地面的大树在离地面 处折断，树的顶端落在离树杆底部 处，
折断的部分长为 ，
折断前高度为 ．
故选 D ．   

7.【答案】

【解析】解：点，，分别是，，的中点，
，，，，
四边形的周长，
故选：．
根据三角形中位线定理、线段中点的概念分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：由题意得：，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
解得：海里，
故选：．
证是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由，得，求解即可．
本题考查了的解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：设交于，如图：

四边形是正方形，
，
，
将绕点按顺时针方向旋转，得到，
，
，
，
，
，故正确；
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，故正确；
如图，过点作于，

，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
≌，
，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
，故正确；
正确的有：，
故选：．
设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断正确；过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得≌，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断正确．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：如图：

由图可知，是等腰三角形时，点最多有个，
故选：．
分别以、为圆心，的长为半径画圆，作线段的垂直平分线，观察圆和垂直平分线与正方形边的交点个数即可，
本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确画出图形．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．
利用算术平方根定义判断即可．
【解答】
解： ，
故答案为 ．   

12.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，且，，
，，
的周长为：．
故答案为：．
由四边形是平行四边形，且，，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得与的长，继而可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
 

13.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
矩形的面积．
故答案为：．
由等边三角形的性质得，，则，，由含角的直角三角形的性质得，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】或或．

【解析】解：原方程化为：，
．
原方程的解为：或或．
故答案为：或或．
先因式分解，再解方程．
本题考查解高次方程，将方程因式分解是求解本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：如图所示：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，
则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，
，，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可．
本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程．
 

16.【答案】

【解析】解：作于点，作于点，如图所示，
，，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
即，
故答案为：．
先作于点，作于点，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到的值，平分，从而可以得到，再根据等面积法即可求得的长．
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是求出是的平分线．
 

17.【答案】解：原式

；

原式
．

【解析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案；
直接利用二次根式的性质化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】证明：连接、，如图所示：
四边形是平行四边形
，
、分别是、的中点
，

四边形是平行四边形
．

【解析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，，利用中点的意义得出，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定是平行四边形，从而得出．
本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 

19.【答案】解：，
，，
即，，
，
即的值是．

【解析】根据算术平方根、偶次幂的非负性，求出、的值，再代入计算即可．
本题考查算术平方根、偶次幂的非负性，求出、的值是正确解答的关键．
 

20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形；
解：，，
在菱形中，，
、均为等边三角形，
，
如图，作交延长线于点，

，
，
，，
，
．

【解析】根据菱形的判定证明即可；
作交延长线于点，根据菱形的性质和三角函数解答即可．
此题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

21.【答案】解：如图，直线即为所求；

如图，射线即为所求；

如图，点即为所求；
 

【解析】连接，交于点，过点，作直线，交于，同直线平分▱的面积；
连接，交于点，作射线，则平分；
连接交于，延长，交于点，交于，则是的中点．
本题是仅用无刻度直尺完成的作图题，考查了平行四边形，矩形，菱形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，牢记过平行四边形的对角线交点的直线平分三角形的面积是解本题的关键．
 

22.【答案】

【解析】解：根据“等补四边形”的定义可知，正方形是等补四边形，
故答案为：；

证明：如图，连接，

在菱形中，，，
，
是等边三角形，，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
即，
，
，
在四边形中，
，，
根据“等补四边形”的定义，
四边形为等补四边形．
根据等补四边形的定义判断即可；
连接，根据证≌，得出，即可证四边形为等补四边形．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质，正确理解等补四边形的定义是解题的关键．
 

23.【答案】问题背景
证明：和为等腰直角三角形，
，
，
即，
在和中，
，
≌；
尝试应用
证明：，，，
是等腰直角三角形，
，
过点作，交延长线于，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
同问题背景得：≌，
，
，
，
；
拓展创新
解：以为边向右侧作等边，连接，过点作于，如图所示：
、都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
解得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．

【解析】问题背景先证，再由即可证得≌；
尝试应用过点作，交延长线于，得是等腰直角三角形，同问题背景得≌，得，则，即可得出结论；
拓展创新以为边向右侧作等边，连接，过点作于，由证≌，得，再由，得，解得，然后由勾股定理得，则是等腰直角三角形，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
 

24.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，，，
，轴，
，
故答案为：；
如下图，过点作于点，连接，

四边形是正方形，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点为线段的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，
，
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，
，
点在轴的正半轴上，
；
如下图，分别连接、、，

是折痕，
垂直平分，
，，
设，，且，，
则，，
，点的对应点始终落在边上不与点，重合，
，
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，
在和中，，
，
，
，
解得，
即，
，
，
即和的关系式为：．
根据正方形的性质和点的坐标得出点坐标即可；
过点作于点，连接，证≌，得，证≌，得，根据勾股定理求出即可确定点坐标；
设，，且，，分别用含有的代数式表示出和，再根据三角形面积公式得出和的关系式即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．