2022-2023学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如果有意义，那么满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  化简：(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在下列各式中，不是代数式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，过点作，垂足为若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是(    )
 

A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法判断

8.  如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，点，，，处的读数分别为，，，，则直尺宽的长为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

9.  如图，由单位长度为的个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得，则边上的高是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，四边形中，、是对角线，是等边三角形，，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算：______．

12.  如图，▱的对角线，相交于点，是等边三角形，，则▱的面积等于______ ．

13.  如果直角三角形的两条直角边的长为，，斜边的长是______ ．

14.  如图，一株荷叶高出水面，一阵风吹过来，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有远，则荷叶原来的高度是______．

15.  如图，在中，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于、点，过、点的直线交于点，连接若，则下列结论中正确的是______ ．
；；；四边形的周长为．

16.  如图，中，，，、为边上的两个动点不与、点重合，且，连接、，若，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
如图，边长为的等边中，于点．
求的长；
求的面积．

19.  本小题分

如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，求证：．

20.  本小题分
如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，求的周长．
 

21.  本小题分
如图是由单位长度为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点、两点在格点，点在网线上仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

在线段上取点，使；
过中的点画线段，使；
画点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形．

22.  本小题分
矩形的两邻边：：，、分别为边、上的点点在点左侧，以所在直线为折痕，使点对应点落在边上，点的对应点为，如图．
求证四边形为菱形；
若，，中的菱形边长最大时，直接写出这个最大的边长；
若，直接写出中的菱形边长的取值范围．

23.  本小题分
已知，在四边形中，，，连、，如图．

求的度数；
以为对角线，为边作平行四边形，如图，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
在的条件下，若，，直接写出的长．

24.  本小题分
问题呈现：对于任意正实数、，由于，所以有，于是，只有当时，才成立也就是说，若为定值，则当时，有最小值若，则只有当 ______ 时，有最小值______ ．
数学思考：现有面积为的矩形，直接写出其周长的最小值______ ．
拓展运用：如图，在平面直角坐标系中，已知，，点为第一象限内一动点，过分别向坐标轴作垂线，分别交、轴于、两点，矩形的面积始终为，当四边形的面积最小时，试判断四边形为何种特殊形状的平行四边形，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，解得．
故选：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，列不等式求解．
本题考查二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，错误，不符合题意；
B.，正确，符合题意；
C.，错误，不符合题意；
D.，错误，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质判断即可．
本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用二次根式的性质进行化简，即可得到答案．
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是代数式，不符合题意，选项错误；
B、，含有等号，不是代数式，符合题意，选项正确；
C、是代数式，不符合题意，选项错误；
D、是代数式，不符合题意，选项错误，
故选：．
根据代数式的概念：用运算符号、、、、乘方将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案．
本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，点、、分别为各边的中点，
、、是的中位线，

，，，
的周长．
故选：．
根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出的周长的周长．
本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，，
，，
，
，，，
，
解得，
故选：．
根据平行四边形的性质可得，结合三角形及平行四边形的面积公式计算可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：
四边形为平行四边形，
过点作于，于．

两把直尺的宽度相等，
．
又平行四边形的面积，
，
平行四边形为菱形．
故选：．
由条件可知，，再证明即可解决问题．
本题考查了菱形的判定，解题的关键是添加辅助线，证明．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
在中，，
，
．
故选：．
根据三角形内角和定理，得到，再根据度角所对的直角边等于斜边一半，得到，，利用勾股定理，求出和的长，即可得到直尺宽的长．
本题考查了三角形内角和定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设边上的高为，
由题意知，，
，即，
解得，
边上的高为．
故选：．
设边上的高为，由题意知，，则，即，计算求解即可．
本题考查了勾股定理与网格．解题的关键在于熟练掌握割补法求面积以及等面积法．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，以为边做等边，连接，

和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，，
，
，
故选：．
以为边做等边，连接，根据等边三角形的性质，易证≌，得到，再证明，利用勾股定理，求出，即可得到的长．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造等边三角形是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为．
根据算术平方根的性质进行化简，即．
此题考查了算术平方根的性质，能够能够算术平方根的性质进行化简，是一道基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形．
，，四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：
，
▱的面积是：．
故答案为：．
根据等边三角形性质求出，根据平行四边形性质推出，根据矩形的判定推出平行四边形是矩形；求出长，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式求出即可．
此题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题关键在于求出长．
 

13.【答案】 

【解析】解：斜边的长为：
故答案为：
根据勾股定理即可求出斜边的长度．
本题考查二次根式的运算，涉及勾股定理的应用．
 

14.【答案】 

【解析】解：设水面以下荷叶的高度为，则荷叶的高度为，如图所示：
在中，，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
荷叶的高度为，
故答案为：．
设水面以下荷叶的高度为，则荷叶的高度为，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由作法可知，是的垂直平分线，
点为中点，
，为斜边，
，
结论正确；
如图，连接，

垂直平分，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
结论错误；
在中，，
结论正确；
四边形的周长，
结论正确，
结论中正确的是，
故答案为：．
由作法可知，是的垂直平分线，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可判断结论；连接，根据垂直平分线的性质，得到，再利用勾股定理，求出和的长，即可判断结论；利用勾股定理，即可判断结论；将四边形边长相加得到周长，即可判断结论．
本题考查了垂直平分线的作法和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，熟练掌握勾股定理是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意知，
，
如图，分别过、作、的垂线交于，则四边形是矩形，连接，，
，，，
，
，，，
≌，
，
，
当、、三点共线时，最小，最小为，
，
的最小值为，
故答案为：．
由题意知，，如图，分别过、作、的垂线交于，则四边形是矩形，证明≌，则，，则当、、三点共线时，最小，最小为，根据求解即可．
本题考查了所对的直角边等于斜边的一半，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确最小的情况．
 

17.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】根据二次根式的混合计算法则求解即可；
先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：是边长为的等边三角形，
，
，
，
由勾股定理得：；
的面积． 

【解析】根据等边三角形的性质，得到，再根据勾股定理，即可求出的长；
利用三角形面积公式进行计算即可得到答案．
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．
 

19.【答案】证明：连接，如图所示：

与都是等腰直角三角形，
，，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌．
，．
，
，
即．
，
． 

【解析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键连结，由等腰直角三角形的性质得出，，，，，得出由证明≌，得出，，证出，在中，由勾股定理即可得出结论．
 

20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
的周长． 

【解析】此题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等及对角线互相平分的性质，难度一般．
根据平行四边形的对角线互相平分可得出，再由平行四边形的对边相等可得，继而代入可求出的周长．
 

21.【答案】解：如图：取格点、，连接并延长交格线于点，连接交于点，点即为所求作的点，
证明：由作法可知：且，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
点是的中点，
；
如图：取格点，连接并延长交格线于点，线段即为所求作的线段，
证明：由作法可知：四边形是矩形，
；
如图：点、即为所求作的点，
由四边形是平行四边形，
同理，可作得点，
故点、即为所求作的点． 

【解析】取格点、，连接并交格线与点，连接交于点，点即为所求作的点；
取格点，连接并延长交格线于点，线段即为所求作的线段；
由及作法，即可作得．
本题考查了作图特殊四边形，平行四边形及矩形的判定与性质，理解题意，作出图形是解决本题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可得，，，
，
，
，
四边形为菱形；
解：四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得，
要使菱形的边长最大，即要使最大，则此时要最大，
当与点重合时，最大，即菱形的边长最大，
设，则，
，
解得，
中的菱形边长最大为；

解：四边形是矩形，
，
，：：，
，
，
当时，有最小值，即此时与点重合；

同理，如图所示，当与点重合时，最大，即菱形的边长最大，
设，则，
，
，
解得，即有最大值；
综上所述，菱形边长的取值范围为．
 

【解析】先由矩形的性质得到，则，再由折叠的性质得到，，，推出，进一步得到，即可证明四边形为菱形；
在中，由勾股定理得，要使菱形的边长最大，即要使最大，则此时要最大，则当与点重合时，最大，即菱形的边长最大，设，则，即可得到方程，解得，据此即可得到答案；
先由矩形的性质结合已知条件求出，再由推出当时，有最小值，即此时与点重合；如图所示，当与点重合时，最大，即菱形的边长最大，利用勾股定理求出这两种情况下菱形的边长即可得到答案．
本题主要考查了矩形与折叠问题，菱形的判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，延长至，使，连接，

，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
，
理由：延长至，使，连接，连接交于，

平行四边形，
，，
，
，
，
由知，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，即，
，
，，，
，
，
，
，
．
延长至，使，连接，延长交于，

由知：，是等腰直角三角形，
由：，，

，
由知：是等腰直角三角形，
，，
，
在中，设，则，
由勾股定理，得，
解得：，
，
在中，由勾股定理，得． 

【解析】延长至，使，连接，证明≌，得，，再证明、、三点共线，从而得是等腰直角三角形，即可得到，即可由求解；
延长至，使，连接，连接交于，由平行四边形，得，，所以，由，得，再证明≌得，，从而可证明，又因为，即可得出结论．
延长至，使，连接，延长交于，由知：是等腰直角三角形，由：，，从而可证明，利用待腰三角形“三线合一”得，在中，设，则，由勾股定理，得，解得：，则，在中，由勾股定理，求解即可．
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，勾股定理．解题关键是构造≌和熟练掌握相关性质定理．
 

24.【答案】     

【解析】解：问题呈现：，
，
当时，即时，有最小值，最小值为，
，
，
即只有当时，有最小值，
故答案为：，；
数学思考：矩形的面积为，
设矩形的长为，则矩形的宽为，
矩形周长为，
，
当时，有最小值，最小值为，
的最小值为，
即矩形周长的最小值为，
故答案为：；
拓展运用：
设，
四边形为矩形，且面积始终为，
，
，
，，
，，
，，
，，
当，即时，有最小值为，
点为第一象限内一动点，
当时，四边形的面积最小，最小值为，
此时，，
，，，
四边形是菱形．
问题呈现：仿照题干进行求解即可得到答案；
数学思考：设矩形的长为，则矩形的宽为，仿照题干，求出的最小值，即可得到答案；
拓展运用：设，根据矩形的面积，推出，再根据，得到，进而求出当四边形的面积最小时，，然后根据对角线互相垂直且平分，即可判断四边形的形状．
本题考查四边形的综合应用，掌握完全平方公式，最小值问题，菱形的判定等知识是解题关键．