2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区七年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区七年级（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（4，﹣4）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）a为任意实数，则下列四组数字都不可能是a2的末位数字的应是（ ）
A．3，4，9，0B．2，3，7，8C．4，5，6，7D．1，5，6，9
4．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠D+∠ACD＝180°
C．∠D＝∠DCED．∠1＝∠2
5．（3分）一个数的平方根和它的立方根相等，这个数是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．0和1
6．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．＝﹣2B．＝﹣2
C．＝±2D．＝±2
7．（3分）中国是世界上最早记载潜望镜工作原理的国家．如图是潜望镜工作原理的示意图，两个平面镜AB，CD平行斜放在直角拐角处，一束平行于地平线的光线EM自外射向平面镜AB的点E处，经反射后垂直射向下方平面镜CD点F处，再与反射光线成直角的方向反射出去．即EM∥NF，∠MEF＝∠EFN＝90°，若∠AEM＝49.73°，则∠EFC的大小为（ ）
A．49.73°B．40°16′12″C．39.47°D．40°28'12″
8．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
B．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等
C．立方根等于它本身的实数只有0或1
D．二元一次方程 x+y＝3的整数解只有3组
9．（3分）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．（3分）我国古代很早就对二元一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣2aD．2b
12．（3分）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点B的位置，则线段AB的中点表示的数是（ ）
A．﹣2πB．C．﹣1﹣πD．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）写一个平方根是它本身的实数 ．
14．（3分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
15．（3分）如图，直尺经过一副三角板DCB的直角顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，∠DEF的大小为 ．
16．（3分）已知二元一次方程2x﹣3y﹣5＝0的一组解为，则﹣4a+6b+3的值为 ．
17．（3分）已知：a+3与2a﹣15是m的平方根，则m＝ ．
18．（3分）折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD（∠A＝∠B＝∠C＝90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD'与A'B'重合，展开纸片后测量发现∠BFE＝66°，则∠DGH＝ ．
三、解答题（共7小题，共66分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（9分）（1）求下列式子中的x的值：（x﹣2）2＝9；
（2）解方程组：．
21．（8分）由边长为1的小正方形组成的7×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．点A，B为格点，如图．
（1）先将线段AB向右平移4个单位长度得线段CD，点A与点D对应，点B与点C对应；再向下平移3个单位长度得线段EF，点C与点E对应，点D与点F对应；
（2）先画线段BE，AF，再画线段AE，BF及它们的交点O；
（3）直接写出线段AB平移过程中扫过的面积和四边形ABEF的面积．
22．（9分）如图，已知∠1＝∠2，∠4＝∠B，∠ADF＝90°，求证：GF⊥BC．阅读下面的解答过程，在对应序号处完成填空．
证明：∵∠4＝∠B（已知），
∴AB∥ ①（ ②），
∴∠2＝∠3（ ③），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（ ④），
∴AD∥ ⑤（ ⑥），
∴∠ADF+∠GFD＝ ⑦（ ⑧），
又∵∠ADF＝90°（已知），
∴∠GFD＝90°，
∴GF⊥BC．（ ⑨）．
23．（10分）如图，点F在BC上，过F作FG⊥AC于G，点H是AB上一点，过点H作HE⊥AC于E．
（1）求证：HE∥FG；
（2）点D在AB上，若∠DEH＝∠CFG，则试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
24．（10分）问题呈现：在平面直角坐标系中，A（﹣13，0），C（0，6），D（﹣7，6），点B与原点O重合．连AD，CD．点P为线段AD上一动点（不与点A，D重合），点P横坐标为m．四边形ABCD沿DA方向平移，使点D与点P重合，得对应四边形QFEP，EF交x轴于点G，如图．
（1）求四边形ABCD的面积；
数学思考：
（2）若P（﹣8，5）．按要求完成以下问题：
①直接写出点Q，E，F的坐标；
②求阴影部分（六边形PEGBCD）的面积；
拓展延伸：四边形ABCD内有任一点M（x，y），当四边形ABCD沿DA方向自D点向A点运动．直接写出四边形AGEP的面积（用m的式子表示）．
25．（12分）问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．
（1）若∠AOB＝94°，则直接写出∠1的大小．
数学探究：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
（2）完成如下问题：
①若∠1＝55°，直接写出∠4的度数；
②求证：AB∥CD；
拓展运用：有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，如图3，图4．若∠MON＝m°，∠AED＝n°，直接写出m，n满足的数量关系．
2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。
1．（3分）在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，据此分析．
【解答】解：观察图形可知图案C通过平移后可以得到，
故选：C．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（4，﹣4）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（4，﹣4）所在的象限是第四象限，
故选：D．
3．（3分）a为任意实数，则下列四组数字都不可能是a2的末位数字的应是（ ）
A．3，4，9，0B．2，3，7，8C．4，5，6，7D．1，5，6，9
【分析】分别计算0至9这十个数字的平方，观察其末位数字，从而得出结果．
【解答】解：∵02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，
∴一个数的平方的末位数字可以是0，1，4，5，6，9，
∴没有一个数的平方的末位数字能得到2，3，7，8，
∴a为任意实数，a2的末位数字不可能是2，3，7，8．
故选：B．
4．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠D+∠ACD＝180°
C．∠D＝∠DCED．∠1＝∠2
【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、∠3＝∠4可判断DB∥AC，故此选项错误；
B、∠D+∠ACD＝180°可判断DB∥AC，故此选项错误；
C、∠D＝∠DCE可判断DB∥AC，故此选项错误；
D、∠1＝∠2可判断AB∥CD，故此选项正确；
故选：D．
5．（3分）一个数的平方根和它的立方根相等，这个数是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．0和1
【分析】根据常见数的平方根与立方根进行解答即可．
【解答】解：平方根和它的立方根相等的数是0．
故选：C．
6．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．＝﹣2B．＝﹣2
C．＝±2D．＝±2
【分析】依据立方根、平方根和算术平方根的定义回答即可．
【解答】解：A、＝2，故A错误；
B、＝﹣2，故B正确；
C、＝2，故C错误；
D、＝2，故D错误．
故选：B．
7．（3分）中国是世界上最早记载潜望镜工作原理的国家．如图是潜望镜工作原理的示意图，两个平面镜AB，CD平行斜放在直角拐角处，一束平行于地平线的光线EM自外射向平面镜AB的点E处，经反射后垂直射向下方平面镜CD点F处，再与反射光线成直角的方向反射出去．即EM∥NF，∠MEF＝∠EFN＝90°，若∠AEM＝49.73°，则∠EFC的大小为（ ）
A．49.73°B．40°16′12″C．39.47°D．40°28'12″
【分析】首先利用AB∥CD，推导出∠BEF＝∠EFC，然后推导出∠BEF＝40.27°，再利用度、分、秒的关系换算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠EFC，
∵∠MEF＝∠EFN＝90°，∠AEM＝49.73°，
∴∠BEF＝180°﹣90°﹣49.73°＝40.27°，
∴∠EFC＝40.27°＝40°16'12“，
故选：B．
8．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
B．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等
C．立方根等于它本身的实数只有0或1
D．二元一次方程 x+y＝3的整数解只有3组
【分析】逐一分析每个命题真假即可．
【解答】解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，故选项A是真命题，符合题意；
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等也可能是互为相反数，如32＝（﹣3）2，故选项B是假命题，不符合题意；
立方根等于它本身的实数有0或1，还有﹣1，故选项C是假命题，不符合题意；
二元一次方程 x+y＝3的整数解有无数组解，故选项D是假命题，不符合题意；
故选：A．
9．（3分）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，以及三角形的重心把每条中线分成1：2的两部分，可解决问题．
【解答】解：因为G点为△ABC三条中线的交点，
所以AG：DG＝2：1，即S△AGC：S△DGC＝2：1．
又点E为AC中点，即GE是△AGC的中线，
所以S△AEG＝S△CEG．
所以S△CEG＝S△DGC．
则S阴影＝S△CBF．
又．
所以阴影部分的面积为：6．
故选：C．
10．（3分）我国古代很早就对二元一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据图1的方程组，可知图中第一组小棍数代表几个x，第二组的小棍数代表几个y，最后两组代表数字，然后即可写出图2表示的方程组．
【解答】解：由题意可得，
图2所示的算筹图我们可以表述为：，
故选：B．
11．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣2aD．2b
【分析】根据＝|a|化简，然后去绝对值化简即可．
【解答】解：根据数轴知道﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+b﹣1+a﹣b
＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
＝﹣2，
故选：A．
12．（3分）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点B的位置，则线段AB的中点表示的数是（ ）
A．﹣2πB．C．﹣1﹣πD．
【分析】根据圆的周长就是线段AB长，再依据数轴上两点间距离公式求出中点表示的数即可．
【解答】解：圆的周长为2π，即AB＝2π，
∴AB中点表示的数为：﹣1﹣π．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）写一个平方根是它本身的实数 0 ．
【分析】根据平方根的性质进行解题即可．
【解答】解：平方根是它本身的实数是：0．
故答案为：0．
14．（3分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
15．（3分）如图，直尺经过一副三角板DCB的直角顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，∠DEF的大小为 50° ．
【分析】先根据三角形外角定理得∠DAB＝∠C+∠ABC＝50°，再根据平行线的性质可得∠DEF的度数．
【解答】解：∵∠DAB是△ABC的一个外角，
∴∠DAB＝∠C+∠ABC，
∵∠C＝30°，∠ABC＝20°，
∴∠DAB＝50°，
∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠DAB＝50°．
故答案为：50°．
16．（3分）已知二元一次方程2x﹣3y﹣5＝0的一组解为，则﹣4a+6b+3的值为 ﹣7 ．
【分析】把x与y的值代入方程求出2a﹣3b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：把代入方程得：2a﹣3b﹣5＝0，
∴2a﹣3b＝5，
∴原式＝﹣2（2a﹣3b）+3＝﹣2×5+3＝﹣7，
故答案为：﹣7．
17．（3分）已知：a+3与2a﹣15是m的平方根，则m＝ 49或441 ．
【分析】先根据当a+3与2a﹣15是同一个平方根或两个平方根求出a的值，再求出m的值即可．
【解答】解：①当a+3与2a﹣15是同一个平方根时，a+3＝2a﹣15，
解得a＝18，
此时，m＝441；
②当a+3与2a﹣15是两个平方根时，a+3+2a﹣15＝0，
解得a＝4，
此时m＝49．
故答案为：49或441．
18．（3分）折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD（∠A＝∠B＝∠C＝90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD'与A'B'重合，展开纸片后测量发现∠BFE＝66°，则∠DGH＝ 21° ．
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，再由平行线的性质得出∠AEF与∠GEF的度数，故可得出∠A′EG的度数，由直角三角形的性质得出∠A′GE的度数，根据对顶角相等得出∠DGD′的度数，根据翻折变换的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵∠BFE＝66°，
∴∠AEF＝180°﹣66°＝114°，∠GEF＝66°，
∵四边形A′EFB′由四边形AEFB翻折而成，
∴∠A′EF＝′AEF＝114°，∠A′＝∠A＝90°，
∴∠A′EG＝∠A′EF﹣∠GEF＝114°﹣66°＝48°，
∴∠A′GE＝90°﹣48°＝42°，
∴∠DGD′＝∠A′GE＝42°，
∵△GHD′由△GHD翻折而成，
∴∠DGH＝∠DGD′＝×42°＝21°．
故答案为：21°．
三、解答题（共7小题，共66分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义计算即可；
（2）利用绝对值的性质计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣＝﹣；
（2）原式＝3﹣+＝4﹣．
20．（9分）（1）求下列式子中的x的值：（x﹣2）2＝9；
（2）解方程组：．
【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1）由方程可得x﹣2＝±3，
解得：x＝5或x＝﹣1；
（2），
①+②得：5x＝5，
解得：x＝1，
将x＝1代入①得：2﹣y＝3，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解为．
21．（8分）由边长为1的小正方形组成的7×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．点A，B为格点，如图．
（1）先将线段AB向右平移4个单位长度得线段CD，点A与点D对应，点B与点C对应；再向下平移3个单位长度得线段EF，点C与点E对应，点D与点F对应；
（2）先画线段BE，AF，再画线段AE，BF及它们的交点O；
（3）直接写出线段AB平移过程中扫过的面积和四边形ABEF的面积．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）由线段的定义画图即可．
（3）由题意知，线段AB平移过程中扫过的面积为S平行四边形ABCD+S平行四边形CDFE，进而可得答案；由平移的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理可得四边形ABEF是正方形，根据正方形的面积公式计算即可，
【解答】解：（1）如图，线段CD，EF即为所求．
（2）如图，线段BE，AF，AE，BF及点O即为所求．
（3）线段AB平移过程中扫过的面积为S平行四边形ABCD+S平行四边形CDFE＝4×4+3×3＝16+9＝25．
由平移得，AB＝EF且AB∥EF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
由勾股定理得，AF＝＝5，EF＝＝5，AE＝＝，
∴AF2+EF2＝AE2，AF＝EF，
∴∠AFE＝90°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴四边形ABEF的面积为5×5＝25．
22．（9分）如图，已知∠1＝∠2，∠4＝∠B，∠ADF＝90°，求证：GF⊥BC．阅读下面的解答过程，在对应序号处完成填空．
证明：∵∠4＝∠B（已知），
∴AB∥ DE ①（ 同位角相等，两直线平行 ②），
∴∠2＝∠3（ 两直线平行，内错角相等 ③），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（ 等量代换 ④），
∴AD∥ FG ⑤（ 同位角相等，两直线平行 ⑥），
∴∠ADF+∠GFD＝ 180° ⑦（ 两直线平行，同旁内角互补 ⑧），
又∵∠ADF＝90°（已知），
∴∠GFD＝90°，
∴GF⊥BC．（ 垂直的定义 ⑨）．
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】证明：∵∠4＝∠B（已知），
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AD∥FG（同位角相等，两直线平行），
∴∠ADF+∠GFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠ADF＝90°（已知），
∴∠GFD＝90°，
∴GF⊥BC．（垂直的定义）．
故答案为：①DE；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④等量代换；⑤FG；⑥同位角相等，两直线平行；⑦180°；⑧两直线平行，同旁内角互补；⑨垂直的定义．
23．（10分）如图，点F在BC上，过F作FG⊥AC于G，点H是AB上一点，过点H作HE⊥AC于E．
（1）求证：HE∥FG；
（2）点D在AB上，若∠DEH＝∠CFG，则试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据垂直的定义求出∠FGC＝∠HEC，根据“同位角相等，两直线平行”得到HE∥FG；
（2）由垂直定义及直角三角形的性质求出∠C+∠CFG＝90°，∠DEH+∠AED＝90°，根据“等角的余角相等”求出∠C＝∠AED，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．
【解答】（1）证明：∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC＝90°，∠HEC＝90°，
∴∠FGC＝∠HEC，
∴HE∥FG；
（2）解：DE∥BC，理由如下：
∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC＝90°，∠HEA＝90°，
∴∠C+∠CFG＝90°，∠DEH+∠AED＝90°，
∵∠DEH＝∠CFG，
∴∠C＝∠AED，
∴DE∥BC．
24．（10分）问题呈现：在平面直角坐标系中，A（﹣13，0），C（0，6），D（﹣7，6），点B与原点O重合．连AD，CD．点P为线段AD上一动点（不与点A，D重合），点P横坐标为m．四边形ABCD沿DA方向平移，使点D与点P重合，得对应四边形QFEP，EF交x轴于点G，如图．
（1）求四边形ABCD的面积；
数学思考：
（2）若P（﹣8，5）．按要求完成以下问题：
①直接写出点Q，E，F的坐标；
②求阴影部分（六边形PEGBCD）的面积；
拓展延伸：四边形ABCD内有任一点M（x，y），当四边形ABCD沿DA方向自D点向A点运动．直接写出四边形AGEP的面积（用m的式子表示）．
【分析】（1）运用直角梯形的面积公式可得四边形ABCD的面积；
（2）①由P（﹣8，5）得，四边形ABCD向下平移一个单位长度，向左平移一个单位长度得到四边形QFEP，可得点Q，E，F的坐标；
②阴影部分（六边形PEGBCD）的面积可以拆分成一个上底为7，下底为8，高为1的直角梯形的面积和长为5，宽为1的长方形的面积；
拓展延伸：求出AD、CH所在直线的解析式，已知点P横坐标为m，可得P、E、G的坐标，根据直角梯形的面积公式可得四边形AGEP的面积．
【解答】解：（1）S四边形ABCD＝（7+13）×6÷2＝60；
（2）①由P（﹣8，5）得，四边形ABCD向下平移一个单位长度，向左平移一个单位长度得到四边形QFEP，
∴Q（﹣14，﹣1），E（﹣1，5），F（﹣1，﹣1）；
②S六边形PEGBCD＝（7+8）×1÷2+1×5＝12.5；
拓展延伸：设AD所在直线为y＝kx+b，代入A、D两点，
得，，
解得：k＝1，b＝13，
∴y＝x+13，
当x＝m时，y＝m+13，即P（m，m+13），
，
作CH∥AD，交x轴于点CH，
设CH所在直线为y＝x+c，代入C点，
得，c＝6，
∴y＝x+6，
当y＝m+13时，x＝m+7，即E（m+7，m+13），
∴G（m+7，0），
S四边形AGEP＝（EP+AG）×EG÷2＝[m+7﹣m+m+7﹣（﹣13）]×（m+13）÷2＝m2+20m+．
25．（12分）问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．
（1）若∠AOB＝94°，则直接写出∠1的大小．
数学探究：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
（2）完成如下问题：
①若∠1＝55°，直接写出∠4的度数；
②求证：AB∥CD；
拓展运用：有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，如图3，图4．若∠MON＝m°，∠AED＝n°，直接写出m，n满足的数量关系．
【分析】（1）先求出2∠1＝180°﹣∠AOB，再根据∠AOB＝94°可得∠1的度数；
（2）①根据∠1＝55°得∠2＝55°，再根据∠2+∠3＝90°，∠4＝∠3可得∠4的度数；
②同理∠ABC＝180°﹣2∠2，∠DCB＝180°﹣2∠3，则∠ABC+∠DCB＝360°﹣2（∠2+∠3），再根据∠2+∠3＝90°得∠ABC+∠DCB＝180°，据此即可得出结论；
拓展运用：在图3中，同理∠ABC＝180°﹣2∠2，∠DCB＝180°﹣2∠3，则∠ABC+∠DCB＝360°﹣2（∠2+∠3），根据三角形内角和定理得∠ABC+∠DCB＝180°﹣n°，∠2+∠3＝180°﹣m°，即80°﹣n°＝360°﹣2（180°﹣m°），据此可得m，n满足的数量关系；
在图4中，根据三角形内角和定理得∠AED+∠EBD＝∠MON+∠4，即∠4﹣∠2＝n°﹣m°，再根据∠BCO+m°+∠2＝180°，∠BCO＝180°﹣∠4得180°﹣∠4+m°+∠2＝180°，即∠4﹣∠2＝m°，据此可得m，n满足的数量关系．
【解答】（1）解：∵∠1+∠2+∠AOB＝180°，∠1＝∠2，
∴2∠1+∠AOB＝180°，即2∠1＝180°﹣∠AOB，
∵∠AOB＝94°，
∴∠1＝（180°﹣94°）＝43°；
（2）①解：∵∠1＝55°，
∴∠2＝∠1＝55°，
∵OM⊥ON，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠4＝∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣55°＝35°；
②证明：同理∠ABC＝180°﹣2∠2，∠DCB＝180°﹣2∠3，
∴∠ABC+∠DCB＝360°﹣2（∠2+∠3），
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠ABC+∠DCB＝360°﹣2×90°＝180°，
∴AB∥CD；
拓展运用：解：在图3中，同理：∠ABC＝180°﹣2∠2，∠DCB＝180°﹣2∠3，
∴∠ABC+∠DCB＝360°﹣2（∠2+∠3），
∵∠CEB＝∠AED＝n°，∠MON＝m°，
∴∠ABC+∠DCB＝180°﹣∠CEB＝180°﹣n°，∠2+∠3＝180°﹣∠MON＝180°﹣m°，
∴80°﹣n°＝360°﹣2（180°﹣m°），
整理得：2m+n＝180°；
在图4中，∵∠AED+∠EBD+∠EDB＝180°，∠MON+∠4+∠ODC＝180°，
∵∠EDB＝∠ODC，
∴∠AED+∠EBD＝∠MON+∠4，
∵∠EBD＝∠1＝∠2，∠MON＝m°，∠AED＝n°，
∴n°+∠2＝m°+∠4，
∴∠4﹣∠2＝n°﹣m°，
∵∠BCO+∠MON+∠2＝180°，
∴∠BCO+m°+∠2＝180°，
∵∠BCO＝180°﹣∠3＝180°﹣∠4，
∴180°﹣∠4+m°+∠2＝180°，
∴∠4﹣∠2＝m°，
∴n°﹣m°＝m°，
整理得：n＝2m．
综上所述：m，n满足的数量关系是2m+n＝180°或n＝2m．