2023-2024学年江苏省常州市溧阳市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市溧阳市七年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (−a)⋅(−a2)=a3
C. (a2)3=a5D. a⋅an⋅am=an+m(m、n是整数)
2.下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A. x2+4x−5=x(x+4)−5B. x2−9+8x=(x+3)(x−3)+8x
C. x2−4=(x+2)(x−2)D. (x+2)(x−2)=x2−4
3.下列各式中，计算正确的是( )
A. (2x3)2=2x6B. (x+1)(x−2)=x2−2
C. (x+2)2=x2+2x+4D. (−x−2)2=x2+4x+4
4.多项式m2−2m与多项式2m2−8m+8的公因式是( )
A. m−2B. m+2C. (m−2)(m+2)D. (m−2)2
5.若一个三角形的两边长分别是3cm，7cm，则第三边长可能是( )
A. 3cmB. 4cmC. 7cmD. 10cm
6.如图，根据下列条件可以判定AD//BC的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠3=∠4
C. ∠DAB+∠ADC=180°
D. ∠ABC+∠BAD=180°
7.若a−2b+3=0，则代数式8b−4a的值是( )
A. 8B. 10C. 12D. 24
8.如图①是长方形纸带，∠CFE=50°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③则图③中∠DEF的度数是( )
A. 20°B. 30°C. 50°D. 60°
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.计算：(−3)0−2−1= ______．
10.若42×2m=128，则m= ______．
11.填写一个代数式，使得等式成立：(x−3)(______)=x2+2x−15
12.如果m−n=2，mn=−3，那么(m+1)(n−1)= ______．
13.一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于______度．
14.人体内最细的血管是毛细血管，它的内径大约为0.000008米，这个数据用科学记数法记为______米.
15.一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了39cm2，则原来这个正方形的边长为______cm．
16.如图，在△ABC中，射线AE是外角∠DAC的角平分线，AE//BC，已知∠C=56°，则∠BAC= ______．
17.计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(22n+1)= ______.(结果用含n的代数式表示)
18.如图，在△ABC中E是BC的中点，点D是AC的中点，四边形CDFE的面积为7，则△ABC的面积=______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题16分)
计算：
(1)a⋅3a2；
(2)x5⋅(x3)2÷x8；
(3)(x+2y)(x−3y)；
(4)(−3x+2)(−3x−2)−(2−3x)2．
20.(本小题16分)
把下列代数式分解因式：
(1)3x2−6xy；
(2)a2−12ab+36b2；
(3)x−x3；
(4)a2b+16b3+8ab2．
21.(本小题8分)
用简便方法计算：
(1)17×3.14+61×3.14+22×3.14；
(2)19992−2000×1998．
22.(本小题4分)
已知：x+y=5，xy=−1.求：
①x2+y2；
②(x−y)2的值．
23.(本小题5分)
观察下列等式：
第1个等式：42−12−92=3，第2个等式52−22−92=6，第3个等式：62−32−92=9，第4个等式：72−42−92=12，按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______．
(2)写出你猜想的第n个等式：______.(用含n的等式表示)，并证明．
24.(本小题4分)
一副三角板(含30°、45°的各一块)按照如图所示放置(一边重合)，点C是两块三角板的公共顶点，求∠EGB的度数
25.(本小题5分)
规定两数a，b(a>0,b>0)之间的一种运算，记作(a,b)：如果ac=b，那么(a,b)=c.例如：因为23=8，所以(2,8)=3．
(1)依据上述规定填空：
①(2,16)= ______，
②(4,1)= ______，
③(−3,−127)= ______．
(2)某同学在研究这一运算时，发现一个特征：(an,bn)=(a,b)，他给出了如下证明：
设(an,bn)=x，则(an)x=bn，即(ax)n=bn.所以ax=b，即(a,b)=x，所以(an,bn)=(a,b)
请你利用上面特征求出算式(25,100)−(125,1000)值．
26.(本小题6分)
如图，△ABC中，∠B=108°，∠A>∠ACB，过点C作CD/​/AB，点E是AC边上的一点，过点E作ED/​/BC交CD于点D．
(1)如图1，∠D= ______°；
(2)如图2，现将线段CD沿CA方向平移得到线段FG，连接GE．
①若∠DEG=∠G，求∠G的度数；
②若∠DEG=120°，则∠G= ______°；
(3)在整个平移过程中，当∠DEG=5∠G时，请直接写出此时∠G的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故该项不正确，不符合题意；
B、(−a)⋅(−a2)=a3，故该项正确，符合题意；
C、(a2)3=a6，故该项不正确，不符合题意；
D、a⋅an⋅am=am+n+1，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.x2+4x−5=x(x+4)−5，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.x2−9+8x=(x+3)(x−3)+8x，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.x2−4=(x+2)(x−2)，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.(x+2)(x−2)=x2−4，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、(2x3)2=4x6，故A不符合题意；
B、(x+1)(x−2)=x2−2x+x−2=x2−x−2，故B不符合题意；
C、(x+2)2=x2+4x+4，故C不符合题意；
D、(−x−2)2=[−(x+2)]2=x2+4x+4，故D符合题意；
故选：D．
根据完全平方公式，多项式乘多项式，幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵多项式m2−2m=m(m−2)，
多项式2m2−8m+8=2(m2−4m+4)=2(m−2)2，
∴多项式m2−2m与多项式2m2−8m+8的公因式是m−2，
故选：A．
根据提取公因式、完全平方公式分解因式，然后找出公因式即可．
本题考查了因式分解，公因式的定义，熟练掌握提取公因式、完全平方公式分解因式是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：设第三边长为x cm，
根据三角形的三边关系可得：7−3解得：4故选项中满足条件的只有7cm．
故选：C．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
6.【答案】D
【解析】解：A、∵∠1=∠2，∴AB/​/CD，不符合题意；
B、∵∠3=∠4，∴AB/​/CD，不符合题意；
C、∵∠DAB+∠ADC=180°，∴AB/​/CD，不符合题意；
D、∵∠ABC+∠BAD=180°，∴AD//BC，符合题意．
故选：D．
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是平行线的判定定理，熟知内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵a−2b+3=0，
∴4a−8b+12=0，
∴8b−4a=12．
故选：C．
根据等式的基本性质进行恒等变形即可．
本题考查了代数式求值，熟练掌握等式的基本性质是关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵AD/​/BC，∠CFE=50°，
∴∠AEF=∠CFE=50°，∠DEF=130°，
∴图②中的∠GEF=50°，∠DEG=180°−2×50°=80°，
∴图③中∠GEF=50°，∠DEF=80°−50°=30°．
故选：B．
根据两条直线平行，内错角相等，则∠AEF=∠CFE=50°，根据平角定义，则图②中的∠DEG=80°，进一步求得图③中∠GEF=50°，进而求得图③中的∠DEF的度数．
此题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
9.【答案】12
【解析】解：原式=1−12=12，
故答案为：12
根据负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义即可求出答案．
本题考查实数运算，解题的关键是正确理解负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
10.【答案】3
【解析】解：∵42×2m=128，
∴24×2m=27，
24+m=27，
∴4+m=7，
解得：m=3．
故答案为：3．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
11.【答案】x+5
【解析】解：∵x2+2x−15=(x−3)(x+5)．
∴(x−3)(x+5)=x2+2x−15．
故答案为：x+5．
把多项式x2+2x−15因式分解得x2+2x−15=(x−3)(x+5)即可解答．
本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则．
12.【答案】−6
【解析】解：当m−n=2，mn=−3时，
(m+1)(n−1)
=mn−m+n−1
=mn−(m−n)−1
=−3−2−1
=−6．
故答案为：−6．
利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13.【答案】1440
【解析】解：∵任何多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数为360°÷36°=10，
∴多边形的内角和为(10−2)⋅180°=1440°．
故答案为：1440．
任何多边形的外角和等于360°，可求得这个多边形的边数．再根据多边形的内角和等于(n−2)⋅180°即可求得内角和．
本题需仔细分析题意，利用多边形的外角和求出边数，从而解决问题．
14.【答案】8×10−6
【解析】解：0.000008米=8×10−6米．
故答案为：8×10−6．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15.【答案】5
【解析】解：设原来正方形的边长是xcm.根据题意得：
(x+3)2−x2=39，
∴(x+3+x)(x+3−x)=3(2x+3)=39，
解得x=5．
本题是一个列方程解应用题的题目，题目中的相等关系是，正方形的面积−原来正方形的面积=39cm2，可以设原来正方形的边长是xcm.根据相等关系就可列出方程，解方程就可以求出原来正方形的边长．
本题考查了平方差公式，找出题目中的相等关系是本题解决的关键，解方程时利用平方差公式对方程的左边进行变形，可以使求解更加简便．
16.【答案】68°
【解析】解：∴AE/​/BC．
∵AE是△ABC外角，
∴∠DAC=∠B+∠C．
∵射线AE是外角∠DAC的角平分线，
∴∠DAE=∠CAE=12∠DAC．
∵∠B=∠C=56°，
∴∠DAC=∠B+∠C=112°．
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=68°，
故答案为：68°．
根据两直线平行，得出∠B=∠C=56°，根据三角形的内角和定理解答即可．
本题考查了三角形内角和定理，掌握平行线的判定，角平分线定义和三角形外角的性质是解题的关键．
17.【答案】24n−1
【解析】解：原式=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)……(22n+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)……(22n+1)
=(28−1)(28+1)……(22n+1)
=(22n−1)(22n+1)
=24n−1．
故答案为：24n−1．
根据平方差公式，按照顺序进行计算，即可得到规律求出结果．
本题考查了列代数式，解题的关键是根据运算的规律性，用代数式表示出结果．
18.【答案】21
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断；对综合的分析问题解决问题的能力、运算求解能力均提出了一定的要求．证明S△ABF=4S△DEF(设为μ)，S△ABC=4S△CDE，列出有关面积λ、μ的方程组，解方程组即可解决问题．
【解答】
解，如图，连接DE．
∵E是BC的中点，点D是AC的中点，
∴DE/​/AB，
∴△ADE与△BDE的面积相等，
∴△ADF与△BEF的面积也相等，设为λ；
∴△DEF∽△ABF，
∴S△DEFS△ABF=(DEAB)2=14；
∴S△ABF=4S△DEF(设为μ)，
∴四边形ABDE的面积=2λ+5μ；
同理可证：S△ABC=4S△CDE，
∴S△CDE=13(2λ+5μ)；
∵S四边形CDFE=7，
∴μ+13(2λ+5μ)=7①；
∵BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD，而S△BDF=S△AEF，
∴S△ABF=S四边形DCEF=7，
即4μ=8②，
联立①②并解得：λ=4，μ=2，
∴△ABC的面积=4μ+2λ+7=21．
故答案为21．
19.【答案】解：(1)原式=3a3；
(2)原式=x5⋅x6÷x8
=x11÷x8
=x3；
(3)原式=x2−3xy+2xy−6y2
=x2−xy−6y2；
(4)原式=9x2−4−(4−12x+9x2)
=9x2−4−4+12x−9x2
=12x−8．
【解析】(1)根据单项式乘单项式法则计算；
(2)先算乘方，再从左到右依次计算；
(3)用多项式乘多项式法则计算；
(4)先展开，再去括号合并同类项．
本题考查整式的符合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
20.【答案】解：(1)原式=3x(x−2y)；
(2)原式=(a−6b)2；
(3)原式=x(1−x2)
=x(1+x)(1−x)；
(4)原式=b(a2+16b2+8ab)
=b(a+4b)2．
【解析】(1)提取公因式即可；
(2)用完全平方公式分解即可；
(3)先提取公因式，再用平方差公式；
(4)先提取公因式，再用完全平方公式分解．
本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的一般方法．
21.【答案】解：(1)17×3.14+61×3.14+22×3.14
=3.14×(17+61+22)
=3.14×100
=314；
(2)19992−2000×1998
=19992−(1999+1)(1999−1)
=19992−19992+1
=1．
【解析】(1)提取3.14后再运算即可；
(2)利用平方差公式简便运算即可．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是关键．
22.【答案】解：①x2+y2=(x+y)2−2xy，
=52+2×1，
=25+2，
=27；
②(x−y)2=(x+y)2−4xy，
=52+4×1，
=25+4，
=29．
【解析】根据完全平方公式分别利用已知条件表示出所求代数式，然后代入数据计算即可．
本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟记公式结构及其变形是解题的关键．
23.【答案】82−52−92=15 (n+3)2−n2−92=3n，
【解析】解：(1)∵第1个等式：42−12−92=3，第2个等式52−22−92=6，第3个等式：62−32−92=9，第4个等式：72−42−92=12，
∴第5个等式：82−52−92=15，
故答案为82−52−92=15，
(2)第n个等式：(n+3)2−n2−92=3n，
证明：左边=n2+6n+9−n2−92=6n2=3n=右边，
∴(n+3)2−n2−92=3n，
故答案为：(n+3)2−n2−92=3n．
(1)通过观察容易写出第5个式子；
(2)通过观察发现分子第一项比第二项大3，因此容易写出第n个式子．
本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
24.【答案】解：由题意得：∠DCE=60°，∠ACB=90°，∠B=45°，
∴∠BCE=∠ACB−∠DCE=30°，
∵∠EGB是△BCG的外角，
∴∠EGB=∠B+∠BCE=75°．
【解析】由题意可得∠DCE=60°，∠ACB=90°，∠B=45°，从而可求得∠BCE的度数，利用三角形的外角性质即可求∠EGB的度数．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
25.【答案】4 0 −3
【解析】解：(1)①∵24=16，
∴(2,16)=4；
②∵40=1，
∴(4,1)=0；
③∵(−3)−3=−127，
∴(−3,−127)=−3；
故答案为：4，0，−3．
(2)∵(25,100)=(52,102)=(5,10)，(125,1000)=(53,103)=(5,10)，
∴(25,100)−(125,1000)=0．
(1)根据这种运算的定义作答即可；
(2)根据特征作答即可．
本题考查同底数幂的乘法、幂和乘方与积的乘方等，掌握其运算法则是解题的关键．
26.【答案】108 12
【解析】解：(1)∵CD/​/AB，
∴∠DCE=∠A，
∵ED/​/BC，
∴∠DEC=∠ACB，
∴∠A+∠ACB=∠DCE+∠DEC，
∵∠B=108°，∠A+∠ACB+∠B=108°，
∴∠A+∠ACB=72°，
∴∠DCE+∠DEC=72°，
∵∠D+∠DCE+∠DEC=180°，
∴∠D=108°，
故答案为：108；
(2)①如图2(1)，设ED、GF交于点H，
根据平移的性质得，CD/​/FG，
∴∠GHD=∠D=108°，
∵∠GHD=∠G+∠DEG，∠DEG=∠G，
∴∠G=12∠GHD=54°；
②如图2(2)，延长GF交BC于点M，
∵∠DEG=120°，∠GEA+∠DEG+∠DEC=180°，
∴∠GEA+∠DEC=60°，
∵ED/​/BC，
∴∠DEC=∠ACB，
∵CD//AB，
∴∠A=∠CFM，
∵∠G+∠GEA=∠CFM，
∴∠A=∠G+∠GEA，
∵∠A+∠ACB=72°，
∴∠G+∠GEA+∠ACB=72°，
∴∠G+∠GEA+∠DEC=72°，
∴∠G=12°，
故答案为：12；
(3)如图3(1)，设ED、GF交于点H，
∵CD//FG，
∴∠GHD=∠D=108°，
∵∠GHD=∠G+∠DEG，∠DEG=5∠G，
∴∠G=16∠GHD=18°；
如图3(2)，延长GF交BC于点M，
∵ED/​/BC，
∴∠DEC=∠ACB，
∵CD//AB，
∴∠A=∠CFM，
∵∠G+∠GEA=∠CFM，
∴∠A=∠G+∠GEA，
∵∠A+∠ACB=72°，
∴∠G+∠GEA+∠ACB=72°，
∴∠G+∠GEA+∠DEC=72°，
∵∠GEA+∠DEG+∠DEC=180°，∠DEG=5∠G，
∴∠GEA+5∠G+∠DEC=180°，
∴4∠G=108°，
∴∠G=27°，
综上，∠G的度数为18°或27°．
(1)根据平行线的性质得出∠DCE=∠A，∠DEC=∠ACB，则∠A+∠ACB=∠DCE+∠DEC，再根据三角形内角和定理求解即可；
(2)①根据平移的性质得到CD/​/FG，再根据平行线的性质及三角形外角性质求解即可；
②延长GF交BC于点M，根据平角定义求出∠GEA+∠DEC=60°，结合平行线的性质、三角形内角和定理求出∠G+∠GEA+∠DEC=72°，根据等式的性质求解即可；
(3)分两种情况，根据平行线的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理求解即可．
此题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、平行线的性质、平移的性质等知识，熟练运用三角形内角和定理、三角形外角性质、平行线的性质、平移的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．