2022-2023学年江苏省常州市溧阳市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省常州市溧阳市八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列四个图形中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    下列数据不是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.    已知的三边长分别为，，，的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

5.    如图，有一张三角形纸片，已知，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，在由单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

7.    如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连，则线段的长等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

8.    如图，在中，，，，点、分别是边、上的动点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.    的算术平方根是______．
10. 的立方根是______．
11. 等腰三角形的顶角为，则它的一个底角度数为______．
12. 若直角三角形两直角边长分别为和，则斜边长为______．
13. 如图，≌，，，，则______．

14. 如图，中，是高，、分别是、的中点．若，，则四边形的周长为______．

15. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是______．

16. 在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为________度．
17. 如图，在中，，，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则，，三者之间的数量关系是______．
18. 如图，等腰中，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：；为等腰三角形；平分；，其中正确的结论是______直接填序号

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    求下列各式中的：
    ；
    ．
20. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
21. 本小题分
    图，图都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
    在图中画出等腰三角形，且点在格点上．画出一个即可
    在图中画出以为边的菱形，且点，均在格点上．
     
22. 本小题分
    如图，在和中，，，．
    求证：≌；
    找出图中与、相等的角直接写出结论，不需证明．

23. 本小题分
    已知：如图，，，点在上．求证：
    平分；
    ．

24. 本小题分
    如图，、、、是直线上的四点，，，．
    求证：≌；
    将沿直线翻折得到．
    用直尺和圆规在图中作出保留作图痕迹，不要求写作法；
    连接，则直线与的位置关系是______ ．

25. 本小题分
    如图，、在直线的同侧，在的左边，，，，连接、、．
    
    是______三角形：
    如图，以为一边向外作等边，当边与重合时，直接写出与的数量关系______；
    如图，当等边的边，且时，求的长．
26. 本小题分
    已知：如图，点、分别在正方形的边、上，，．
    
    求的长；
    若点、分别在边、的延长线上如图，且上述条件不变，请你求出的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的平方根是，
故选C．
由平方根的概念即可选择．
本题考查平方根的概念，如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；．
故选：．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可．
此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
首先根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等可得：与是对应边，或与是对应边，计算发现，时，，故与不是对应边．
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握性质定理，要分情况讨论．
【解答】
解：与全等，
当，，
，
把代入中，
，
与不是对应边，
当时，
，
把代入中，
，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】根据全等三角形的判定定理进行判断．
解：、由全等三角形的判定定理证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
B、由全等三角形的判定定理证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
C、如图，，
，
，
所以其对应边应该是和，而已知给的是，
所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；
D、如图，，
，
，
，，
≌，
所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；
由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，
故选：．
本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设小正方形的边长为，
则，，
，．
因为，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是、、．
故选：．
设出正方形的边长，利用勾股定理，解出、、、各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．也考查了勾股定理．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
如图连接交于，作于，先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出、，在中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】
解：如图连接交于，作交于，






在中，
，，
，
，
，且点是的中点，
，
，
，
，，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，，
，
是直角三角形，
在中，，

故选D．  

8.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，连接交于，
过作于交于，
则此时值的最小，且的最小值，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
作点关于的对称点，连接交于，过作于交于，则此时值的最小，且的最小值，根据三角形的面积公式得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：
的算术平方根是．
故答案为：．
如果一个非负数的平方等于，那么是的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误，弄清概念是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，
所以
故答案为：．
根据立方根的定义求解即可．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为等腰三角形的顶角为，
所以这个等腰三角形的一个底角的度数为．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意：三角形的三个内角的和等于，等边对等角．
 

12.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，斜边．
故答案为：．
利用勾股定理直接计算即可．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：≌，，
，
，，
，
故答案为：．
根据全等三角形的性质求出，再根据勾股定理求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是高，
，
、分别是、的中点，
，，
，，
，，
四边形的周长为，
故答案为：．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再由，可得答案．
此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键．
如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
【解答】
解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
；
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，

此时，
所以的取值范围是．
故答案是：．  

16.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的性质，分情况讨论是本题的关键．
当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】
解：分两种情况：
如图，当时，

，
；
如图，当时，

，，
，
，
综上，则的度数为或；
故答案为：或．  

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：．
连接，由“”可证≌，可得，可得，由勾股定理可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
在和中，

≌，
，
正确；
，为的中点，

在和中，
，
≌，
，
，
，
正确；
，
、、、四点共圆，
，
，
，
平分
正确；
，
，
，
是等腰三角形．
正确．
故答案为：．
求出，，，证≌，即可判断，证≌，推出，即可判断；根据、、、四点共圆求出，即可判断，根据三角形外角性质求出，求出，即可判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力．
 

19.【答案】解：，
，
；

，
，
． 

【解析】根据平方根的定义进行求解即可；
根据立方根的定义进行求解，即可得出答案．
本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：

．



． 

【解析】首先计算乘方，然后计算减法，求出算式的值即可．
首先计算乘方、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

21.【答案】解：答案不唯一．

 

【解析】结合等腰三角形的性质，找出点的位置，再连线即可．
结合菱形的性质，找出点，的位置，再连线即可．
本题考查作图复杂作图，熟练掌握等腰三角形和菱形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
≌；

解：≌，
，
，
，
，
，
与、相等的角有，． 

【解析】根据等式的性质可得，然后利用判定≌；
利用三角形内角和定理可得，再由对顶角相等可得．
此题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

23.【答案】证明：如图，连接，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点都在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线．
，
平分；

点在的上，是线段的垂直平分线，
． 

【解析】根据线段的垂直平分线的判定和性质可得是线段的垂直平分线，然后利用等腰三角形三线合一即可解决问题；
根据是线段的垂直平分线，解决问题即可．
本题考查线段的垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
 

24.【答案】证明：，
，
即，
，
，
在与中，
，
≌；
如图所示，即为所求：

平行． 

【解析】直线与的位置关系是平行，
故答案为：平行．
根据等式的性质得出，利用平行线的性质得出，进而利用证明≌即可；
根据轴对称的性质画出图形，进而解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定，关键是根据证明三角形全等解答．
 

25.【答案】等腰   

【解析】解：过作于，如图：

，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
是的中点，
是线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形；
故答案为：等腰；


，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；


是等边三角形，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
解得负值已舍去，
，
，
在中，
，
的长为．
过作于，可得四边形是矩形，即知，而，故AB，得是线段的垂直平分线，故AC，是等腰三角形；
由，是等边三角形，可得，即得，故CD；
由是等边三角形，，可得，在中，得，故BD，在中，由勾股定理即得的长为．
本题考查三角形综合应用，涉及等边三角形的性质及应用，等腰三角形的判定，含角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握并能熟练应用等边三角形的性质．
 

26.【答案】解：如图，作于点，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，，
，
，
，
，
的长是．
如图，作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
的长是． 

【解析】作于点，由，得，而，所以，可证明≌，得，，则，再证明≌，由，得，，则，，由勾股定理得，即可求得；
作交的延长线于点，可证明≌，得，，则，再证明≌，得，则，，根据勾股定理得，即可求得．
此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明≌及≌是解题的关键．