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2022-2023学年江苏省常州市溧阳市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省常州市溧阳市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州市溧阳市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子中，与 2是同类二次根式的是( )
A. 12 B. 18 C. 27 D. 44
2. 下列各式a2，a+1a−1，4a，nm−7mn中分式有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列事件中是确定事件的是( )
A. 锐角三角形都相似 B. 等腰三角形都相似 C. 等边三角形都相似 D. 直角三角形都相似
4. 下列各式中，最简二次根式的是( )
A. 0.2 B. 21 C. 28 D. 12
5. 如图为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.5米，踏板DE长为1.8米，支撑点A到踏脚点D的距离为1米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了( )
A. 1.5米 B. 1.2米 C. 1米 D. 0.9米
6. 已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，若x1
A. k<4 B. k>−4 C. k<4且k≠−4 D. k>−4且k≠4
8. 定义一种新运算“&”如下：对于任意的实数a、b，若a≥b，则a&b= a−b；若a
②(−18)&9=−3；
③(2022&2023)+(2023&2022)=0；
④(a2+1)&(a2−3)的值是无理数．
其中一定成立的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
9. 若二次根式 x−3有意义，则实数x的取值范围是______ ．
10. 已知线段AB=2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么AP的值为______．
11. “从一个装有4个红球和3个绿球(除颜色外都相同)的黑色布袋中摸出一个球是白球.”这一事件是______ .(填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”)
12. 顺次连接正方形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，则S四边形EFGHS正方形ABCD= ______ ．
13. 已知等式1n(n+1)=1n−1n+1，对任意正整数n都成立.计算：11×2+12×3+13×4+14×5+…+1n(n+1)= ______ ．
14. 已知菱形的面积是5，它的两条对角线的长分别为x、y(x>0,y>0)，则y与x的函数表达式为______ ．
15. 若x= 5−3，则 x2+6x+5的值为______ ．
16. 如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(−2,−1)，B(−2,−3)，O(0,0)，△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1,−1)，B1(1,−5)，O1(5,1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为______．
17. 如图，直线l：y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形BCDE的边BC//x轴，另一边BE在直线l，且点B是AE的中点，点D在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k= ______ ．
18. 某设计公司为某品牌LOGO设计如图所示，该图是由一个含60°且边长为6cm的菱形绕其顶点顺时针分别旋转30°和60°得到，则该品牌LOGO图标的整体面积为______ cm2．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题16.0分)
化简：
(1)(−ab2c)⋅bc2a；
(2)(1−1a+1)(1a2−1)；
(3)(2 5− 3)(2 5+ 3)；
(4) 2× 12− 13× 8．
20. (本小题10.0分)
解下列分式方程：
(1)2x=32x−1；
(2)2xx−2=1−42−x；
(3)x2x2−4−x2−x=2；
(4)3x+3+2xx2−9=1x−3．
21. (本小题6.0分)
某校开设街舞、唱歌、吉他三项延时活动课程，随机抽取了部分学生对这三项活动课程的兴趣情况进行了调查(每人从中只能选一项)，并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题．
(1)本次抽样调查的样本容量是______ ；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢吉他的人数．
22. (本小题9.0分)
已知：如图，直线y=−43x+8分别与x，y轴相交于点A、B，点P为AB的中点．
(1)写出点A、B、P的坐标A：______ ，B：______ ，P：______ ；
(2)点C为折线A−O−B上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，使得分割得到的三角形与△AOB相似．
①在图上画出所有符合要求的线段PC(要求：利用格点画图)；
②直接写出相应的点C的坐标(可以不在格点上)．
23. (本小题5.0分)
一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系t=kv，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40,1)和B(m,0.5)．
(1)求k和m的值；
(2)若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？
24. (本小题6.0分)
某饰品店经营某种女孩子束发用的小装饰品.该商铺第一次批发购进该装饰品共花费3000元，很快全部售完.接着该商铺第二次批发购进该装饰品共花费9000元.已知第二次所购进该装饰品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次的进价比第一次的进价提高了20%．
(1)求第一次购进该装饰品的进价是多少元？
(2)若该装饰品的第一次售价为10元/个，由于第二次进价提高了，商家也相应地将第二次售价在第一次的售价基础上提高了20%，两次所购装饰品全部售完后，求该装饰品两次共盈利多少元？
25. (本小题7.0分)
如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC，垂足为点E．
(1)AOBE= ______ ；直线AO与直线BE所夹锐角的度数为______ °；
(2)将△OEC绕点C旋转到如图2所示，请探究(1)中结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)若正方形边长为2，在旋转过程中，当A、E、O三点共线时，请直接写出S△ABE的值．
26. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A(x,y)，我们把点B(1x,1y)称为点A的“倒数点”．
(1)写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标______ ；
(2)点P是反比例函数y= 3x(x>0)图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；
(3)如图，矩形OCDE的顶点C为(4,0)，顶点E在y轴上，函数y=3x(x>0)的图象与DE交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，求△OBC的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、∵ 12=2 3，
∴ 12与 2不是同类二次根式，
故A不符合题意；
B、∵ 18=3 2，
∴ 18与 2是同类二次根式，
故B符合题意；
C、∵ 27=3 3，
∴ 27与 2不是同类二次根式，
故C不符合题意；
D、∵ 44=2 11，
∴ 44与 2不是同类二次根式，
故D不符合题意；
故选：B．
根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：a+1a−1，4a，nm−7mn分母中含有字母，是分式．
故选：C．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义．
3.【答案】C
【解析】解：A、锐角三角形都相似，是随机事件，不符合题意；
B、等腰三角形都相似，是随机事件，不符合题意；
C、等边三角形都相似，是必然事件，属于确定事件，符合题意；
D、直角三角形都相似，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
根据相似三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是相似三角形的判定、必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】B
【解析】解：A、 0.2= 15= 55，故A不符合题意；
B、 21是最简二次根式，故B不符合题意；
C、 28=2 7，故C不符合题意；
D、 12= 22，故D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵AB//EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴AD：DE=AB：EF，
∴1：1.8=0.5：EF，
∴EF=0.9(米)．
∴捣头点E上升了0.9米．
故选：D．
根据题意将其转化为如图所示的几何模型，易得△DAB∽△DEF，即可得出对应边成比例解答即可．
本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解答此题时只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比得出比例式是解决问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k>0)中k>0，
∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵x1
∴y1>y2．
故选：A．
先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：k2x−4−1=xx−2，
k−(2x−4)=2x，
k−2x+4=2x，
4x=k+4，
x=k+44，
∵方程的解为正数，
∴k+4>0，
∴k>−4，
∵x≠2，
∴k+44≠2，
∴k≠4，
∴k>−4且k≠4，
故选：D．
先求分式方程的解为x=k+44，再由题意可得k+4>0，k+44≠2，求出k的范围即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：当a≥b时，a−b≥0，所以a&b= a−b≥0，所以①正确；
(−18)&9=3−18−9=3−27=−3，所以②正确；
(2022&2023)+(2023&2022)=32022−2023+ 2023−2022=−1+1=0，所以③正确；
∵a2+1>a2−3，
∴(a2+1)&(a2−3)= a2+1−a2+3= 4=2，2是有理数，所以④错误．
故选：C．
利用题中的新运算的定义分别计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了实数的运算，熟练掌握定义新运算“&”的运算法则是解本题的关键．
9.【答案】x≥3
【解析】解：∵二次根式 x−3有意义，
∴x−3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
根据二次根式有意义的条件，可得：x−3≥0，据此求出实数x的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
10.【答案】 5−1
【解析】
【分析】
直接利用黄金分割的定义计算．
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= 5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
【解答】
解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴AP= 5−12AB= 5−12×2= 5−1．
故答案为 5−1．
11.【答案】不可能事件
【解析】解：从一个装有4个红球和3个绿球(除颜色外都相同)的黑色布袋中摸出一个球是白球．”这一事件是不可能事件．
故答案为：不可能事件．
根据随机事件的定义解答即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
12.【答案】12
【解析】解：连接AC、BD，
∵E、H分别为AB、AD的中点，
∴EH//BD，EH=12BD，
∵F、G分别为BC、CD的中点，
∴FG//BD，FG=12BD，
∴EH//FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠E=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
设正方形ABCD的面积为4a2，
∴AB=BC=2a，
∴BE=BF=a，
∴EF= 2a，
∴EF2=2a2，
∴S四边形EFGHS正方形ABCD=2a24a2=12．
故答案为：12．
连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH是正方形，设正方形ABCD的面积为4a2，得AB=BC=2a，BE=BF=a，根据等腰直角三角形的性质可得EF2=2a2，进而可以解决问题．
本题考查的是三角形中位线定理和正方形的判定，中点四边形，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】nn+1
【解析】解：原式=1−12+12−13+13−14+14−15+…+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1．
故答案为nn+1．
利用等式1n(n+1)=1n−1n+1把原式化为=1−12+12−13+13−14+14−15+…+1n−1n+1，然后合并后进行通分即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
14.【答案】y=10x
【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别为x和y，
∴它的面积为：12×x×y=5．
即y=10x
故答案为：y=10x．
由菱形的两条对角线长分别为x和y，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次根式的化简和因式分解以及平方差公式的运用．
注意最简二次根式的条件是：
①被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．
上述两个条件同时具备的二次根式叫最简二次根式．
先将被开方数分解因式，再把x代入二次根式，运用平方差公式进行计算．
【解答】
解：∵x= 5−3，
∴ x2+6x+5= (x+1)(x+5)
= ( 5−2)( 5+2)
= 1
=1．
故答案为1.1
16.【答案】(−5,−1)
【解析】解：如图，P点坐标为(−5,−1)．
故答案为(−5,−1)．
分别延长B1B、O1O、A1A，它们相交于点P，然后写出P点坐标即可．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形的性质有 两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
17.【答案】−54
【解析】解：如图，延长DE交y轴于点F，
当x=0时，y=3，
∴直线l：y=−34x+3与y轴拍交于点B(0,3)，
当y=0时，x=4，
∴直线l：y=−34x+3与x轴拍交于点A(4,0)，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2=5，
∵点B是AE的中点，
∴AB=BE=5，
∵四边形BCDE是菱形，
∴BC=CD=DE=EB=5，
∵DE//x轴，
∴∠EFB=∠AOB=90°，∠EBF=∠ABO，
∴△BEF≌△BAO(AAS)，
∴EF=OA=4，BF=OB=3，
∴DF=DE+EF=9，OF=3+3=6，
∴点D(−9,6)，
∵点D(−9,6)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k=−9×6=−54，
故答案为：−54．
根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、点B坐标，由勾股定理求出AB，进而得出菱形的边长，由全等三角形的性质可求出点D的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值即可．
本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提，确定点D的坐标是求出正确答案的关键．
18.【答案】(72 3−54)
【解析】解：如图，连接OD，由题意可知OD过点E，
∵四边形OABE是边长为6，一个内角为60°的菱形，
∴S菱形OABE=6×(6× 32)=18 3，
∵四边形OCDH是边长为6，一个内角为60°的菱形，
∴∠DEM=180°−120°=60°，∠MDE=30°，OD=6× 32×2=6 3，
∴∠DME=90°，
在Rt△DME中，ME=12DE=12×(6 3−6)=3 3−3，
MD= 32DE= 32×(6 3−6)=9−3 3，
∴S△MDE=12×(3 3−3)×(9−3 3)
=18 3−27，
∴S阴影部分=2S菱形OABE+2S△MDE
=36 3+36 3−54
=(72 3−54)cm2，
故答案为：(72 3−54)．
利用菱形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，求出菱形面积以及直角三角形面积计算方法是正确解答的前提．
本题考查菱形的性质，直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系以及菱形的性质是正确解答的前提．
19.【答案】解：(1)原式=−abc2ab2c
=−cb；
(2)原式=(a+1a+1−1a+1)(1a2−a2a2)
=aa+1×1−a2a2
=1−aa；
(3)原式=(2 5)2−( 3)2
=20−3
=17；
(4)原式= 2×2 3− 33×2 2
=2 6−2 63
=43 6．
【解析】(1)根据分式的运算法则进行计算即可；
(2)根据分式的运算法则进行计算即可；
(3)根据平方差公式进行计算即可；
(4)根据二次根式的运算进行计算即可．
本题考查分式的运算性质和二次根式的运算性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
20.【答案】解：(1)原方程两边同乘x(2x−1)，去分母得：2(2x−1)=3x，
去括号得：4x−2=3x，
移项，合并同类项得：x=2，
检验：将x=2代入x(2x−1)中可得2×(2×2−1)=6≠0，
故原分式方程的解为：x=2；
(2)原方程两边同乘(x−2)，去分母得：2x=x−2+4，
移项，合并同类项得：x=2，
检验：将x=2代入(x−2)中可得2−2=0，
那么x=2是分式方程的增根，
故原分式方程的无解；
(3)原方程两边同乘(x2−4)，去分母得：x2+x(x+2)=2(x2−4)，
去括号得：x2+x2+2x=2x2−8，
移项，合并同类项得：2x=−8，
系数化为1得：x=−4，
检验：将x=−4代入(x2−4)中可得16−4=12≠0，
故原分式方程的解为：x=−4；
(4)原方程两边同乘(x2−9)，去分母得：3(x−3)+2x=x+3，
去括号得：3x−9+2x=x+3，
移项，合并同类项得：4x=12，
系数化为1得：x=3，
检验：将x=3代入(x2−9)中可得9−9=0，
那么x=3是分式方程的增根，
故原分式方程的无解．
【解析】根据解分式方程的步骤解方程后进行检验即可．
本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
21.【答案】100
【解析】解：(1)10÷20%=50(人)，50+30+6+14=100(人)，
故答案为：100；
(2)样本中选择“唱歌”的女生人数为：50−10−16=24(人)
补全条形统计图如图所示：
(3)1200×14+16100=360(人)，
答：该校有1200名学生中喜欢吉他的学生大约有360人．
(1)从两个统计图可知，样本中选择“街舞”的女生有10人，占调查人数的20%，根据频率=频数总数可求出调查人数，即样本容量；
(2)求出选择“唱歌”的女生人数即可补全条形统计图；
(3)求出样本中喜欢吉他的学生所占的百分比，估计总体中喜欢吉他的学生所占的百分比，由频率=频数总数进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
22.【答案】(6,0) (0,8) (3,4)
【解析】解：直线y=−43x+8，令x=0得，y=8，
∴B(0,8)，
令y=0得，0=−43x+8，解得x=6，
∴A(6,0)，
∵点P为AB的中点，
∴P(3,4)，
故答案为：(6,0)，(0,8)，(3,4)；
(2)①当∠BAO为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠ABO为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况，如图，
过P作PC⊥OA，垂足是C，
则△CAP∽△OAB．
点C坐标是(3,0)．
过P作PC3⊥OB，垂足是C3，
则△C3PB∽△OAB，点C3坐标是(0,4)．
过P作PC2⊥AB，垂足是P，
则△PC2B∽△OAB．
∴BPBO=BC2BA，
∴ 32+428=BC2 62+82，
∴BC2=254，
∴OBC2=8−254=74，
∴点C2坐标是(0,74).
②由①得，
当△CAP∽△OAB时，点C坐标是(3,0)；
当△CPB∽△OAB时，点C坐标是(0,4)；
当△PCB∽△OAB时，点C坐标是(0,74).
综上所述，点C坐标是(3,0)或(0,4)或(0,74).
(1)直线y=43x+8，分别令x=0，y=0求出y、x的值，可得点A、B的坐标，由中点坐标公式可得点P的坐标；
(2)①按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BAO为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠ABO为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况；
②分△CAP∽△OAB，△CPB∽△OAB，△PCB∽△OAB三种情况进行讨论．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，中点坐标公式，相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
23.【答案】解：(1)由题意得，函数经过点(40,1)，
把(40,1)代入t=kv，得k=40，
∴解析式为t=40v，
将(m,0.5)代入t=40v，
得m=80；
(2)把v=60代入t=40v，得t=23，
∴汽车通过该路段最少需要23小时．
【解析】(1)将点A(40,1)代入t=kv，求得k，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值；
(2)求出v=60时的t值，汽车所用时间应大于等于这个值．
本题考查一次函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
24.【答案】解：(1)设第一次装饰品是x元，根据题意得
2×3000x+300=90001.2x，
解得，x=5，
经检查，x=5是原方程的解．
答：第一次购进该装饰品的进价为5元；
(2)第一次购进：3000÷5=600(个)，第二次购进：9000÷(5×120%)=1500(个)，
获利；600×(10−5)+1500×(10×120%−6)=12000(元)，
答：该装饰品两次共盈利12000元．
【解析】(1)设第一次所购该装饰品是多少元，由题意可列方程求解．
(2)求出两次的购进数，根据利润=售价−进价，可求出结果．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25.【答案】 2 45
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，∠B=90°，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴△OEC是等腰直角三角形，
∴OE=EC，
由勾股定理得OE2+EC2=OC2，
∴2EC2=OC2，
∴ 2EC=OC，
即OCEC= 2，
∵点O是对角线AC的中点，
∴AO=OC，
∵∠B=∠OEC=90°，
∴OE//AB，
又点O是对角线AC的中点，
∴点E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴AOBE= 2；
∵∠ACB=45°，
∴直线AO与直线BE所夹锐角的度数为45°，
故答案为： 2，45；
(2)成立，理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，
∴2BC2=AC2，
∴ 2BC=AC，
即ACBC= 2，
由(1)知OCEC= 2，
∴ACBC=OCEC，
由旋转的性质得∠ACO=∠BCE，
∴△ACO∽△BCE，
∴AOBE=ACBC= 2，∠CAO=∠CBE，
如图2，设BE与AC交于点P，
在△APF中，∠CAO+∠APF+∠AFP=180°，
在△BPC中，∠CBE+∠BPC+∠ACB=180°，
∵∠CAO=∠CBE，∠APF=∠BPC，
∴∠AFP=∠ACB=45°，
即直线AO与直线BE所夹锐角的度数为45°；
(3)如图3，当A、E、O三点共线时，过点B作BH⊥AO于点H，
∵正方形边长为2，
∴AB=2，
由旋转的性质得∠CEO=90°，∠O=45°，OE=12BC=12×2=1，
∴∠AEC=90°，
由(2)知△ACO∽△BCE，
∴∠BEC=∠O=45°，AO= 2BE，
∴∠AEB=45°，
∵BH⊥AO，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴BH=HE，
设BH=HE=a，
由勾股定理得BE= BH2+HE2= a2+a2= 2a，
∴AO= 2× 2a=2a，
∴AE=AO−OE=2a−1，
∴AH=AE−HE=2a−1−a=a−1，
在Rt△ABH中，由勾股定理得AH2+BH2=AB2，
∴(a−1)2+a2=22，
解得a1=1+ 72，a2=1− 72(舍去)，
∴AE=2a−1=2×1+ 72−1= 7，BH=1+ 72，
∴S△ABE=12AE⋅BH=12× 7×1+ 72=7+ 74；
如图4，当A、O、E三点共线时，过点B作BN⊥AO于点N，
∵正方形边长为2，
∴AB=2，
由旋转的性质得∠CEO=90°，∠COE=45°，OE=12BC=12×2=1，
∴∠AOC=135°，
由(2)知△ACO∽△BCE，
∴∠BEC=∠AOC=135°，AO= 2BE，
∴∠AEB=∠BEC−∠CEO=135°−90°=45°，
∵BN⊥AO，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴BN=NE，
设BN=NE=x，
由勾股定理得BE= BN2+NE2= x2+x2= 2x，
∴AO= 2× 2x=2x，
∴AE=AO+OE=2x+1，
∴AN=AO+OE−NE=2x+1−x=x+1，
在Rt△ABN中，由勾股定理得AN2+BN2=AB2，
∴(x+1)2+x2=22，
解得x1=−1+ 72，x2=−1− 72(舍去)，
∴AE=2x+1=2×−1+ 72+1= 7，BH=−1+ 72，
∴S△ABE=12AE⋅BN=12× 7×−1+ 72=7− 74；
综上，△ABE的面积为7+ 74或7− 74．
(1)先根据正方形的性质得出∠ACB=45°，推出△OEC是等腰直角三角形，得出OCEC= 2，再证AO=OC，BE=EC，即可得出结论；
(2)根据正方形的性质得出∠ACB=45°，ACBC= 2，结合(1)中OCEC= 2，得到ACBC=OCEC，再根据旋转角相等即可得出△ACO∽△BCE，从而得出AO与BE的比值，设BE与AC交于点P，根据三角形内角和定理可得出∠AFP=∠ACB=45°；
(3)分两种情况讨论，如图3，当A、E、O三点共线时，过点B作BH⊥AO于点H，先证△BHE是等腰直角三角形，设BH=HE=a，用含a的式子表示AH，在Rt△AHB中利用勾股定理求出a的值，再根据三角形的面积公式计算即可；如图4，当A、O、E三点共线时，过点B作BN⊥AO于点N，证法同上．
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积的求法，综合性较强，需认真思考．
26.【答案】(1,1)
【解析】解：(1)根据倒数点规定，在一象限内，只有1的倒数是它本身，所以第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标(1,1)．
故答案为：(1,1)．
(2)∵P(x,y)是反比例函数y= 3x(x>0)图象上的一点，
∴点P的“倒数点”Q满足的坐标是(1x,1y)，
∴xy= 33，
∴y= 33x或y= 33x．
(3)设点A的坐标为(m,3m)，
∵点B是点A的倒数点，
∴B(1m,m3)，
∴点B的纵横坐标满足1m⋅m3=13，
∴B点在y=13x的图象上，点B不可能在坐标轴上，只能在线段ED或CD上，
①点B在ED上时，点A与B纵坐标相同，m3=3m，
∴m=±3(舍去−3)，
点B的纵坐标为1，此时S△OBC=12×4×1=2，
②点B在CD上时，点B的横坐标为4，点B的纵坐标为112．
此时S△OBC=12×4×112=16．
(1)根据倒数点规定，在一象限内，只有1的倒数是它本身，所以第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标(1,1)；
(2)点P的“倒数点”Q满足的坐标是(1x,1y)，1x×1y= 33可得y= 33x或y= 33x；
(3)根据倒数点规定，可知B(1m,m3)，积为定值在反比例函数上，排除点B在OE、OC上的可能，分别讨论在ED、CD上的面积即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握纵横坐标之积是定值是解决本题的关键．
2022-2023学年江苏省常州市溧阳市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子中，与 2是同类二次根式的是( )
A. 12 B. 18 C. 27 D. 44
2. 下列各式a2，a+1a−1，4a，nm−7mn中分式有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列事件中是确定事件的是( )
A. 锐角三角形都相似 B. 等腰三角形都相似 C. 等边三角形都相似 D. 直角三角形都相似
4. 下列各式中，最简二次根式的是( )
A. 0.2 B. 21 C. 28 D. 12
5. 如图为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.5米，踏板DE长为1.8米，支撑点A到踏脚点D的距离为1米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了( )
A. 1.5米 B. 1.2米 C. 1米 D. 0.9米
6. 已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，若x1
A. k<4 B. k>−4 C. k<4且k≠−4 D. k>−4且k≠4
8. 定义一种新运算“&”如下：对于任意的实数a、b，若a≥b，则a&b= a−b；若a
②(−18)&9=−3；
③(2022&2023)+(2023&2022)=0；
④(a2+1)&(a2−3)的值是无理数．
其中一定成立的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
9. 若二次根式 x−3有意义，则实数x的取值范围是______ ．
10. 已知线段AB=2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么AP的值为______．
11. “从一个装有4个红球和3个绿球(除颜色外都相同)的黑色布袋中摸出一个球是白球.”这一事件是______ .(填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”)
12. 顺次连接正方形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，则S四边形EFGHS正方形ABCD= ______ ．
13. 已知等式1n(n+1)=1n−1n+1，对任意正整数n都成立.计算：11×2+12×3+13×4+14×5+…+1n(n+1)= ______ ．
14. 已知菱形的面积是5，它的两条对角线的长分别为x、y(x>0,y>0)，则y与x的函数表达式为______ ．
15. 若x= 5−3，则 x2+6x+5的值为______ ．
16. 如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(−2,−1)，B(−2,−3)，O(0,0)，△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1,−1)，B1(1,−5)，O1(5,1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为______．
17. 如图，直线l：y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形BCDE的边BC//x轴，另一边BE在直线l，且点B是AE的中点，点D在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k= ______ ．
18. 某设计公司为某品牌LOGO设计如图所示，该图是由一个含60°且边长为6cm的菱形绕其顶点顺时针分别旋转30°和60°得到，则该品牌LOGO图标的整体面积为______ cm2．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题16.0分)
化简：
(1)(−ab2c)⋅bc2a；
(2)(1−1a+1)(1a2−1)；
(3)(2 5− 3)(2 5+ 3)；
(4) 2× 12− 13× 8．
20. (本小题10.0分)
解下列分式方程：
(1)2x=32x−1；
(2)2xx−2=1−42−x；
(3)x2x2−4−x2−x=2；
(4)3x+3+2xx2−9=1x−3．
21. (本小题6.0分)
某校开设街舞、唱歌、吉他三项延时活动课程，随机抽取了部分学生对这三项活动课程的兴趣情况进行了调查(每人从中只能选一项)，并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题．
(1)本次抽样调查的样本容量是______ ；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢吉他的人数．
22. (本小题9.0分)
已知：如图，直线y=−43x+8分别与x，y轴相交于点A、B，点P为AB的中点．
(1)写出点A、B、P的坐标A：______ ，B：______ ，P：______ ；
(2)点C为折线A−O−B上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，使得分割得到的三角形与△AOB相似．
①在图上画出所有符合要求的线段PC(要求：利用格点画图)；
②直接写出相应的点C的坐标(可以不在格点上)．
23. (本小题5.0分)
一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系t=kv，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40,1)和B(m,0.5)．
(1)求k和m的值；
(2)若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？
24. (本小题6.0分)
某饰品店经营某种女孩子束发用的小装饰品.该商铺第一次批发购进该装饰品共花费3000元，很快全部售完.接着该商铺第二次批发购进该装饰品共花费9000元.已知第二次所购进该装饰品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次的进价比第一次的进价提高了20%．
(1)求第一次购进该装饰品的进价是多少元？
(2)若该装饰品的第一次售价为10元/个，由于第二次进价提高了，商家也相应地将第二次售价在第一次的售价基础上提高了20%，两次所购装饰品全部售完后，求该装饰品两次共盈利多少元？
25. (本小题7.0分)
如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC，垂足为点E．
(1)AOBE= ______ ；直线AO与直线BE所夹锐角的度数为______ °；
(2)将△OEC绕点C旋转到如图2所示，请探究(1)中结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)若正方形边长为2，在旋转过程中，当A、E、O三点共线时，请直接写出S△ABE的值．
26. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A(x,y)，我们把点B(1x,1y)称为点A的“倒数点”．
(1)写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标______ ；
(2)点P是反比例函数y= 3x(x>0)图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；
(3)如图，矩形OCDE的顶点C为(4,0)，顶点E在y轴上，函数y=3x(x>0)的图象与DE交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，求△OBC的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、∵ 12=2 3，
∴ 12与 2不是同类二次根式，
故A不符合题意；
B、∵ 18=3 2，
∴ 18与 2是同类二次根式，
故B符合题意；
C、∵ 27=3 3，
∴ 27与 2不是同类二次根式，
故C不符合题意；
D、∵ 44=2 11，
∴ 44与 2不是同类二次根式，
故D不符合题意；
故选：B．
根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：a+1a−1，4a，nm−7mn分母中含有字母，是分式．
故选：C．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义．
3.【答案】C
【解析】解：A、锐角三角形都相似，是随机事件，不符合题意；
B、等腰三角形都相似，是随机事件，不符合题意；
C、等边三角形都相似，是必然事件，属于确定事件，符合题意；
D、直角三角形都相似，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
根据相似三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是相似三角形的判定、必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】B
【解析】解：A、 0.2= 15= 55，故A不符合题意；
B、 21是最简二次根式，故B不符合题意；
C、 28=2 7，故C不符合题意；
D、 12= 22，故D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵AB//EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴AD：DE=AB：EF，
∴1：1.8=0.5：EF，
∴EF=0.9(米)．
∴捣头点E上升了0.9米．
故选：D．
根据题意将其转化为如图所示的几何模型，易得△DAB∽△DEF，即可得出对应边成比例解答即可．
本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解答此题时只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比得出比例式是解决问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k>0)中k>0，
∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵x1
∴y1>y2．
故选：A．
先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：k2x−4−1=xx−2，
k−(2x−4)=2x，
k−2x+4=2x，
4x=k+4，
x=k+44，
∵方程的解为正数，
∴k+4>0，
∴k>−4，
∵x≠2，
∴k+44≠2，
∴k≠4，
∴k>−4且k≠4，
故选：D．
先求分式方程的解为x=k+44，再由题意可得k+4>0，k+44≠2，求出k的范围即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：当a≥b时，a−b≥0，所以a&b= a−b≥0，所以①正确；
(−18)&9=3−18−9=3−27=−3，所以②正确；
(2022&2023)+(2023&2022)=32022−2023+ 2023−2022=−1+1=0，所以③正确；
∵a2+1>a2−3，
∴(a2+1)&(a2−3)= a2+1−a2+3= 4=2，2是有理数，所以④错误．
故选：C．
利用题中的新运算的定义分别计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了实数的运算，熟练掌握定义新运算“&”的运算法则是解本题的关键．
9.【答案】x≥3
【解析】解：∵二次根式 x−3有意义，
∴x−3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
根据二次根式有意义的条件，可得：x−3≥0，据此求出实数x的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
10.【答案】 5−1
【解析】
【分析】
直接利用黄金分割的定义计算．
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= 5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
【解答】
解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴AP= 5−12AB= 5−12×2= 5−1．
故答案为 5−1．
11.【答案】不可能事件
【解析】解：从一个装有4个红球和3个绿球(除颜色外都相同)的黑色布袋中摸出一个球是白球．”这一事件是不可能事件．
故答案为：不可能事件．
根据随机事件的定义解答即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
12.【答案】12
【解析】解：连接AC、BD，
∵E、H分别为AB、AD的中点，
∴EH//BD，EH=12BD，
∵F、G分别为BC、CD的中点，
∴FG//BD，FG=12BD，
∴EH//FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠E=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
设正方形ABCD的面积为4a2，
∴AB=BC=2a，
∴BE=BF=a，
∴EF= 2a，
∴EF2=2a2，
∴S四边形EFGHS正方形ABCD=2a24a2=12．
故答案为：12．
连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH是正方形，设正方形ABCD的面积为4a2，得AB=BC=2a，BE=BF=a，根据等腰直角三角形的性质可得EF2=2a2，进而可以解决问题．
本题考查的是三角形中位线定理和正方形的判定，中点四边形，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】nn+1
【解析】解：原式=1−12+12−13+13−14+14−15+…+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1．
故答案为nn+1．
利用等式1n(n+1)=1n−1n+1把原式化为=1−12+12−13+13−14+14−15+…+1n−1n+1，然后合并后进行通分即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
14.【答案】y=10x
【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别为x和y，
∴它的面积为：12×x×y=5．
即y=10x
故答案为：y=10x．
由菱形的两条对角线长分别为x和y，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次根式的化简和因式分解以及平方差公式的运用．
注意最简二次根式的条件是：
①被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．
上述两个条件同时具备的二次根式叫最简二次根式．
先将被开方数分解因式，再把x代入二次根式，运用平方差公式进行计算．
【解答】
解：∵x= 5−3，
∴ x2+6x+5= (x+1)(x+5)
= ( 5−2)( 5+2)
= 1
=1．
故答案为1.1
16.【答案】(−5,−1)
【解析】解：如图，P点坐标为(−5,−1)．
故答案为(−5,−1)．
分别延长B1B、O1O、A1A，它们相交于点P，然后写出P点坐标即可．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形的性质有 两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
17.【答案】−54
【解析】解：如图，延长DE交y轴于点F，
当x=0时，y=3，
∴直线l：y=−34x+3与y轴拍交于点B(0,3)，
当y=0时，x=4，
∴直线l：y=−34x+3与x轴拍交于点A(4,0)，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2=5，
∵点B是AE的中点，
∴AB=BE=5，
∵四边形BCDE是菱形，
∴BC=CD=DE=EB=5，
∵DE//x轴，
∴∠EFB=∠AOB=90°，∠EBF=∠ABO，
∴△BEF≌△BAO(AAS)，
∴EF=OA=4，BF=OB=3，
∴DF=DE+EF=9，OF=3+3=6，
∴点D(−9,6)，
∵点D(−9,6)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k=−9×6=−54，
故答案为：−54．
根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、点B坐标，由勾股定理求出AB，进而得出菱形的边长，由全等三角形的性质可求出点D的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值即可．
本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提，确定点D的坐标是求出正确答案的关键．
18.【答案】(72 3−54)
【解析】解：如图，连接OD，由题意可知OD过点E，
∵四边形OABE是边长为6，一个内角为60°的菱形，
∴S菱形OABE=6×(6× 32)=18 3，
∵四边形OCDH是边长为6，一个内角为60°的菱形，
∴∠DEM=180°−120°=60°，∠MDE=30°，OD=6× 32×2=6 3，
∴∠DME=90°，
在Rt△DME中，ME=12DE=12×(6 3−6)=3 3−3，
MD= 32DE= 32×(6 3−6)=9−3 3，
∴S△MDE=12×(3 3−3)×(9−3 3)
=18 3−27，
∴S阴影部分=2S菱形OABE+2S△MDE
=36 3+36 3−54
=(72 3−54)cm2，
故答案为：(72 3−54)．
利用菱形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，求出菱形面积以及直角三角形面积计算方法是正确解答的前提．
本题考查菱形的性质，直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系以及菱形的性质是正确解答的前提．
19.【答案】解：(1)原式=−abc2ab2c
=−cb；
(2)原式=(a+1a+1−1a+1)(1a2−a2a2)
=aa+1×1−a2a2
=1−aa；
(3)原式=(2 5)2−( 3)2
=20−3
=17；
(4)原式= 2×2 3− 33×2 2
=2 6−2 63
=43 6．
【解析】(1)根据分式的运算法则进行计算即可；
(2)根据分式的运算法则进行计算即可；
(3)根据平方差公式进行计算即可；
(4)根据二次根式的运算进行计算即可．
本题考查分式的运算性质和二次根式的运算性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
20.【答案】解：(1)原方程两边同乘x(2x−1)，去分母得：2(2x−1)=3x，
去括号得：4x−2=3x，
移项，合并同类项得：x=2，
检验：将x=2代入x(2x−1)中可得2×(2×2−1)=6≠0，
故原分式方程的解为：x=2；
(2)原方程两边同乘(x−2)，去分母得：2x=x−2+4，
移项，合并同类项得：x=2，
检验：将x=2代入(x−2)中可得2−2=0，
那么x=2是分式方程的增根，
故原分式方程的无解；
(3)原方程两边同乘(x2−4)，去分母得：x2+x(x+2)=2(x2−4)，
去括号得：x2+x2+2x=2x2−8，
移项，合并同类项得：2x=−8，
系数化为1得：x=−4，
检验：将x=−4代入(x2−4)中可得16−4=12≠0，
故原分式方程的解为：x=−4；
(4)原方程两边同乘(x2−9)，去分母得：3(x−3)+2x=x+3，
去括号得：3x−9+2x=x+3，
移项，合并同类项得：4x=12，
系数化为1得：x=3，
检验：将x=3代入(x2−9)中可得9−9=0，
那么x=3是分式方程的增根，
故原分式方程的无解．
【解析】根据解分式方程的步骤解方程后进行检验即可．
本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
21.【答案】100
【解析】解：(1)10÷20%=50(人)，50+30+6+14=100(人)，
故答案为：100；
(2)样本中选择“唱歌”的女生人数为：50−10−16=24(人)
补全条形统计图如图所示：
(3)1200×14+16100=360(人)，
答：该校有1200名学生中喜欢吉他的学生大约有360人．
(1)从两个统计图可知，样本中选择“街舞”的女生有10人，占调查人数的20%，根据频率=频数总数可求出调查人数，即样本容量；
(2)求出选择“唱歌”的女生人数即可补全条形统计图；
(3)求出样本中喜欢吉他的学生所占的百分比，估计总体中喜欢吉他的学生所占的百分比，由频率=频数总数进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
22.【答案】(6,0) (0,8) (3,4)
【解析】解：直线y=−43x+8，令x=0得，y=8，
∴B(0,8)，
令y=0得，0=−43x+8，解得x=6，
∴A(6,0)，
∵点P为AB的中点，
∴P(3,4)，
故答案为：(6,0)，(0,8)，(3,4)；
(2)①当∠BAO为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠ABO为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况，如图，
过P作PC⊥OA，垂足是C，
则△CAP∽△OAB．
点C坐标是(3,0)．
过P作PC3⊥OB，垂足是C3，
则△C3PB∽△OAB，点C3坐标是(0,4)．
过P作PC2⊥AB，垂足是P，
则△PC2B∽△OAB．
∴BPBO=BC2BA，
∴ 32+428=BC2 62+82，
∴BC2=254，
∴OBC2=8−254=74，
∴点C2坐标是(0,74).
②由①得，
当△CAP∽△OAB时，点C坐标是(3,0)；
当△CPB∽△OAB时，点C坐标是(0,4)；
当△PCB∽△OAB时，点C坐标是(0,74).
综上所述，点C坐标是(3,0)或(0,4)或(0,74).
(1)直线y=43x+8，分别令x=0，y=0求出y、x的值，可得点A、B的坐标，由中点坐标公式可得点P的坐标；
(2)①按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BAO为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠ABO为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况；
②分△CAP∽△OAB，△CPB∽△OAB，△PCB∽△OAB三种情况进行讨论．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，中点坐标公式，相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
23.【答案】解：(1)由题意得，函数经过点(40,1)，
把(40,1)代入t=kv，得k=40，
∴解析式为t=40v，
将(m,0.5)代入t=40v，
得m=80；
(2)把v=60代入t=40v，得t=23，
∴汽车通过该路段最少需要23小时．
【解析】(1)将点A(40,1)代入t=kv，求得k，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值；
(2)求出v=60时的t值，汽车所用时间应大于等于这个值．
本题考查一次函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
24.【答案】解：(1)设第一次装饰品是x元，根据题意得
2×3000x+300=90001.2x，
解得，x=5，
经检查，x=5是原方程的解．
答：第一次购进该装饰品的进价为5元；
(2)第一次购进：3000÷5=600(个)，第二次购进：9000÷(5×120%)=1500(个)，
获利；600×(10−5)+1500×(10×120%−6)=12000(元)，
答：该装饰品两次共盈利12000元．
【解析】(1)设第一次所购该装饰品是多少元，由题意可列方程求解．
(2)求出两次的购进数，根据利润=售价−进价，可求出结果．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25.【答案】 2 45
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，∠B=90°，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴△OEC是等腰直角三角形，
∴OE=EC，
由勾股定理得OE2+EC2=OC2，
∴2EC2=OC2，
∴ 2EC=OC，
即OCEC= 2，
∵点O是对角线AC的中点，
∴AO=OC，
∵∠B=∠OEC=90°，
∴OE//AB，
又点O是对角线AC的中点，
∴点E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴AOBE= 2；
∵∠ACB=45°，
∴直线AO与直线BE所夹锐角的度数为45°，
故答案为： 2，45；
(2)成立，理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，
∴2BC2=AC2，
∴ 2BC=AC，
即ACBC= 2，
由(1)知OCEC= 2，
∴ACBC=OCEC，
由旋转的性质得∠ACO=∠BCE，
∴△ACO∽△BCE，
∴AOBE=ACBC= 2，∠CAO=∠CBE，
如图2，设BE与AC交于点P，
在△APF中，∠CAO+∠APF+∠AFP=180°，
在△BPC中，∠CBE+∠BPC+∠ACB=180°，
∵∠CAO=∠CBE，∠APF=∠BPC，
∴∠AFP=∠ACB=45°，
即直线AO与直线BE所夹锐角的度数为45°；
(3)如图3，当A、E、O三点共线时，过点B作BH⊥AO于点H，
∵正方形边长为2，
∴AB=2，
由旋转的性质得∠CEO=90°，∠O=45°，OE=12BC=12×2=1，
∴∠AEC=90°，
由(2)知△ACO∽△BCE，
∴∠BEC=∠O=45°，AO= 2BE，
∴∠AEB=45°，
∵BH⊥AO，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴BH=HE，
设BH=HE=a，
由勾股定理得BE= BH2+HE2= a2+a2= 2a，
∴AO= 2× 2a=2a，
∴AE=AO−OE=2a−1，
∴AH=AE−HE=2a−1−a=a−1，
在Rt△ABH中，由勾股定理得AH2+BH2=AB2，
∴(a−1)2+a2=22，
解得a1=1+ 72，a2=1− 72(舍去)，
∴AE=2a−1=2×1+ 72−1= 7，BH=1+ 72，
∴S△ABE=12AE⋅BH=12× 7×1+ 72=7+ 74；
如图4，当A、O、E三点共线时，过点B作BN⊥AO于点N，
∵正方形边长为2，
∴AB=2，
由旋转的性质得∠CEO=90°，∠COE=45°，OE=12BC=12×2=1，
∴∠AOC=135°，
由(2)知△ACO∽△BCE，
∴∠BEC=∠AOC=135°，AO= 2BE，
∴∠AEB=∠BEC−∠CEO=135°−90°=45°，
∵BN⊥AO，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴BN=NE，
设BN=NE=x，
由勾股定理得BE= BN2+NE2= x2+x2= 2x，
∴AO= 2× 2x=2x，
∴AE=AO+OE=2x+1，
∴AN=AO+OE−NE=2x+1−x=x+1，
在Rt△ABN中，由勾股定理得AN2+BN2=AB2，
∴(x+1)2+x2=22，
解得x1=−1+ 72，x2=−1− 72(舍去)，
∴AE=2x+1=2×−1+ 72+1= 7，BH=−1+ 72，
∴S△ABE=12AE⋅BN=12× 7×−1+ 72=7− 74；
综上，△ABE的面积为7+ 74或7− 74．
(1)先根据正方形的性质得出∠ACB=45°，推出△OEC是等腰直角三角形，得出OCEC= 2，再证AO=OC，BE=EC，即可得出结论；
(2)根据正方形的性质得出∠ACB=45°，ACBC= 2，结合(1)中OCEC= 2，得到ACBC=OCEC，再根据旋转角相等即可得出△ACO∽△BCE，从而得出AO与BE的比值，设BE与AC交于点P，根据三角形内角和定理可得出∠AFP=∠ACB=45°；
(3)分两种情况讨论，如图3，当A、E、O三点共线时，过点B作BH⊥AO于点H，先证△BHE是等腰直角三角形，设BH=HE=a，用含a的式子表示AH，在Rt△AHB中利用勾股定理求出a的值，再根据三角形的面积公式计算即可；如图4，当A、O、E三点共线时，过点B作BN⊥AO于点N，证法同上．
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积的求法，综合性较强，需认真思考．
26.【答案】(1,1)
【解析】解：(1)根据倒数点规定，在一象限内，只有1的倒数是它本身，所以第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标(1,1)．
故答案为：(1,1)．
(2)∵P(x,y)是反比例函数y= 3x(x>0)图象上的一点，
∴点P的“倒数点”Q满足的坐标是(1x,1y)，
∴xy= 33，
∴y= 33x或y= 33x．
(3)设点A的坐标为(m,3m)，
∵点B是点A的倒数点，
∴B(1m,m3)，
∴点B的纵横坐标满足1m⋅m3=13，
∴B点在y=13x的图象上，点B不可能在坐标轴上，只能在线段ED或CD上，
①点B在ED上时，点A与B纵坐标相同，m3=3m，
∴m=±3(舍去−3)，
点B的纵坐标为1，此时S△OBC=12×4×1=2，
②点B在CD上时，点B的横坐标为4，点B的纵坐标为112．
此时S△OBC=12×4×112=16．
(1)根据倒数点规定，在一象限内，只有1的倒数是它本身，所以第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标(1,1)；
(2)点P的“倒数点”Q满足的坐标是(1x,1y)，1x×1y= 33可得y= 33x或y= 33x；
(3)根据倒数点规定，可知B(1m,m3)，积为定值在反比例函数上，排除点B在OE、OC上的可能，分别讨论在ED、CD上的面积即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握纵横坐标之积是定值是解决本题的关键．
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