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2023-2024学年江苏省常州市溧阳市七年级（下）期中数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省常州市溧阳市七年级（下）期中数学模拟试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.全球可被人类利用的淡水总量仅占总水量的0.00003，因此珍惜水，保护水是我们每一位公民义不容辞的责任，其中数字0.00003用科学记数法表示为( )
A. 3×10−4B. 3×10−5C. 0.3×10−4D. 0.3×10−5
2.下列各式中，正确的是( )
A. (13)−2=9B. a2⋅a3=a6C. (−3a2)3=−9a6D. a5+a3=a8
3.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )
A. a(m+n)=am+anB. a2−b2−c2=(a−b)(a+b)−c2
C. 10x2−5x=5x(2x−1)D. x2−16+6x=(x+4)(x−4)+6x
4.计算(a−1)2的结果是( )
A. a2+1B. a2−1C. a2−2a+1D. 2a−2
5.用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是( )
A. 2cm、3cm、3cmB. 2cm、2cm、5cm
C. 1cm、5cm、3cmD. 2cm、5cm、8cm
6.如图，下列条件中，能判断AD//BE的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠3=∠4
C. ∠B=∠DCE
D. ∠B+∠BAD=180°
7.如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知AE=2 cm，DE=1 cm，SΔABC=8 cm2，则CE=
A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm
8.将一副直角三角尺在长方形纸片上按如图所示方式摆放，若∠1=30°，则∠2的度数是( )
A. 60°
B. 65°
C. 75°
D. 80°
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.计算：(−2)0= ______，a6÷a3= ______．
10.计算：(a2)3÷a2= ______，−2ab(a−b)= ______．
11.计算：(a2b)3= ______，a3⋅a⋅a2x=ax+8，则x= ______．
12.分解因式：4x2−12x3= ______，x2−10x+25= ______．
13.某种花粉颗粒的直径约为25μm(1μm=10−6m)，将这样的花粉颗粒紧密排成长为1cm的一列，大约需要______颗.
14.已知(a+b)2=26，(a−b)2=6，则ab= ______．
15.如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠BAD、∠ABC的角平分线分别交BC、AD于点E、F，则∠1与∠2的数量关系是______．
16.如图，在△MBC中，∠ABC、∠ACB的角平分线OB、OC交于点O，若∠O=m°，则∠A的度数是______°(用含m的代数式表示)．
三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)|−2|+(−1)2022×(π+3)0−(−12)−2；
(2)(2a−b)2−a(3a−2b)．
18.(本小题6分)
分解因式：
(1)2xy2−12xy+18x；
(2)a2(x−y)+4(y−x)．
19.(本小题8分)
解方程组：
(1)y=3x7x−2y=2；
(2)x+y=52x−y=1．
20.(本小题8分)
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．
(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；
(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH；
(3)若连接CD、AE，则这两条线段之间的位置关系是______；
(4)线段AC扫过的面积为______．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(−32x+13y2)(2x−23y)−13y2(x−23y)+3x2，其中x=2，y=−1．
22.(本小题8分)
按图填空，并注明理由．
已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠E.求证：AD//BE．
23.(本小题8分)
对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号(a,b)⊗(c,d)=ad−bc+2，例如：(1,3)⊗(2,4)=1×4−2×3+2=0．
(1)求(−2,1)⊗(3,5)的值；
(2)求(2a+1,a−2)⊗(3a+2,a−3)的值，其中a2+a+5=0．
24.(本小题8分)
如图1，两种长方形纸片的长分别为b和c，宽都为a，将它们拼成如图2所示的图形，其中四边形ABCD和四边形EFGH都为正方形，设空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2.
(1)直接写出a，b，c的等量关系式；
(2)用含a，c的代数式表示图中阴影部分的面积S2；
(3)若S1−S2=6a2，求b与c的数量关系．
25.(本小题8分)
已知，如图1(1)：射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，∠PFD的角平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM=α°，∠EMF=β°且(α−35)2+|β−α|=0．
(1)α= ______，β= ______；直线AB与CD的位置关系是______；
(2)如图2，若点G是射线MA上任意一点，且∠MGH=∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转(如图3)分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中∠FPN1∠Q的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：0.00003=3×10−5.故选B．
乘号前的数应为3，指数是负数，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】A
【解析】解：A、正确，(13)−2=1(13)2=119=9；
B、错误，a2⋅a3=a5；
C、错误，(−3a2)3=−27a6；
D、错误，a5与a3不是同类项，不能合并．
故选：A．
分别根据负整数指数幂的运算、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项等法则进行计算．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
解决此类题目的关键是熟记负整数指数幂的运算、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项等考点的运算．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查因式分解的概念，解题的关键是正确理解因式分解的概念，属于基础题．根据因式分解的定义即可判断．
【解答】
解：A.该变形为去括号，故A不是因式分解；
B.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
C.符合因式分解定义，故C是因式分解；
D.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解．
故选C．
4.【答案】C
【解析】解：原式=a2−2a+1，
故选：C．
原式利用完全平方公式展开即可．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、∵2+3>3，
∴长度为2cm、3cm、3cm的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架，本选项符合题意；
B、∵2+2<5，
∴长度为2cm、2cm、5cm的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架，本选项不符合题意；
C、∵1+3<5，
∴长度为1cm、5cm、3cm的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架，本选项不符合题意；
D、∵2+5<8，
∴长度为2cm、5cm、8cm的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架，本选项不符合题意；
故选：A．
根据三角形的三边关系判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由∠1=∠2，不能判定AD//BE，故A不符合题意；
由∠3=∠4，不能判定AD//BE，故B不符合题意；
由∠B=∠DCE，根据“同位角相等，两直线平行”可判定AB//CD，故C不符合题意；
由∠B+∠BAD=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AD//BE，故D符合题意；
故选：D．
根据平行线的判定定理求解判断即可得解．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】本题考查的是三角形的中线、高的概念、三角形的面积计算，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．
根据三角形的面积公式求出BC，根据中线的概念求出DC，计算即可．
解：∵S△ABC=8cm2，AE=2cm，
∴12BC×AE=8cm2，
∴BC=8cm．
∵AD是边BC上的中线，DE=1cm，
∴DC=12BC=4cm，
∴EC=DC−DE=3cm．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：延长EM交AB于F，
在长方形ABCD中，AB//CD，
∴∠AFE=∠2，
∵∠3=∠4=45°，∠1=30°，
∴∠AFE=∠1+∠3=30°+45°=75°，
∴∠2=75°．
故选：C．
延长EM交AB于F，由长方形及平行线的性质可得∠AFE=∠2，结合对顶角的性质及三角形外角的性质可求解∠AFE的度数，进而可求解．
此题主要考查平行线的性质，求解∠AFE的度数是解题的关键．
9.【答案】1 a3
【解析】解：(−2)0=1，
a6÷a3=a6−3=a3，
故答案为：1，a3．
根据零指数幂性质和同底数幂相除法则进行计算即可．
本题主要考查了实数和整式的有关运算，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质和同底数幂相除法则．
10.【答案】a4 −2a2b+2ab2
【解析】解：(a2)3÷a2=a4，−2ab(a−b)=−2a2b+2ab2．
故答案为：a4；−2a2b+2ab2．
根据整式的相关运算法则计算即可．
本题考查了单项式乘多项式及幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握单项式乘多项式运算法则是关键．
11.【答案】a6b3 4
【解析】解：(a2b)3=a6b3，
∵a3⋅a⋅a2x=ax+8，
∴a3+1+2x=ax+8，
∴3+1+2x=x+8，
解得x=4．
故答案为：a6b3；4．
首先根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，求出(a2b)3=a6b3；然后根据a3⋅a⋅a2x=ax+8，可得3+1+2x=x+8，据此求出x的值即可．
此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确：(1)①(am)n=amn(m,n是正整数)；②(ab)n=anbn(n是正整数)；(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
12.【答案】4x2(1−3x) (x−5)2
【解析】解：4x2−12x3=4x2(1−3x)；x2−10x+25=(x−5)2；
故答案为：4x2(1−3x)；(x−5)2．
利用提公因式法及完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13.【答案】400
【解析】解：1×10−2÷(25×10−6)=104÷25=400(颗)，
∴大约需要400颗，
故答案为：400．
用1cm除以25μm即可得到答案．
本题主要考查了整数指数幂的计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵(a+b)2=26，(a−b)2=6，
∴a2+2ab+b2=26，a2−2ab+b2=6，
∴4ab=20，解得ab=5．
故答案为：5．
先依据完全平方公式展开，然后再相减可得解．
本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15.【答案】∠1+∠2=90°
【解析】解：∵四边形内角和为360°，∠B+∠D=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAD、∠ABC的角平分线分别交BC、AD于点E、F，
∴∠1+∠2=12∠BAD+12∠BCD=90°，
故答案为：∠1+∠2=90°．
首先根据四边形内角和为360°得到∠BAD+∠BCD=180°，然后根据角平分线的概念即可得出∠1与∠2的数量关系．
此题考查了四边形内角和，角平分线的概念等知识，解题的关键是根据四边形内角和得到∠BAD+∠BCD=180°．
16.【答案】(2m−180)
【解析】解：∵OB，OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∵∠O+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=180°−∠O=180°−m°，
∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=360°−2m°，
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=2m°−180°，
故答案为：(2m−180)．
先由角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，再利用三角形内角和定理求解即可．
本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2+1×1−4
=2+1−4
=−1；
(2)原式=4a2−4ab+b2−3a2+2ab
=a2−2ab+b2．
【解析】(1)先算计算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算有理数的运算；
(2)先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
本题考查了实数的运算和整式的运算，掌握有关的运算法则和运算顺序是解题关键．
18.【答案】解：(1)2xy2−12xy+18x
=2x(y2−6y+9)
=2x(y−3)2；
(2)a2(x−y)+4(y−x)
=a2(x−y)−4(x−y)
=(x−y)(a2−4)
=(x−y)(a+2)(a−2)．
【解析】(1)先提取公因式，再利用完全平方公式分解；
(2)先提取公因式，再利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)y=3x①7x−2y=2②，
把①代入②得：7x−6x=2，
解得：x=2，
把x=2代入①得：y=6，
故原方程组的解是：x=2y=6；
(2)x+y=5①2x−y=1②，
①+②得：3x=6，
解得：x=2，
把x=2代入①得：2+y=5，
解得：y=3，
故原方程组的解是：x=2y=3．
【解析】(1)利用代入消元法进行运算即可；
(2)利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
20.【答案】CD//AE 25
【解析】解：(1)如图，△EFD即为所求；
(2)如图，线段CH即为所求；
(3)CD//AE．
故答案为：CD//AE；
(4)线段AC扫过的面积=7×7−4×12×3×4=25，
故答案为：25．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点E，F即可；
(2)根据三角形的高的定义画出图形即可；
(3)利用平移变换的性质判断即可；
(4)利用割补法求解即可．
本题考查作图−平移变换，三角形的高，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
21.【答案】解：(−32x+13y2)(2x−23y)−13y2(x−23y)+3x2
=−3x2+xy+23xy2−29y3−13xy2+29y3+3x2
=xy+13xy2，
当x=2，y=−1时，原式=2×(−1)+13×2×(−1)2=−2+13×2×1=−2+23=−43．
【解析】先利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】证明：∵∠1=∠2(已知)，
∴_CE//_DB_(内错角相等，两直线平行)，
∴∠E=∠4_(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠E=∠3(已知)，
∴∠3=∠4_(等量代换)，
∴AD//BE(内错角相等，两直线平行)．
【解析】先根据题意得出∠4=∠E，再由条件得出∠3=∠4，据此可得出结论．
本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．
23.【答案】解：(1)∵(a,b)⊗(c,d)=ad−bc+2，
∴(−2,1)⊗(3,5)
=(−2)×5−1×3+2
=(−10)−3+2
=−11；
(2)∵(a,b)⊗(c,d)=ad−bc+2，
∴(2a+1,a−2)⊗(3a+2,a−3)
=(2a+1)(a−3)−(a−2)(3a+2)+2
=2a2−5a−3−3a2+4a+4+2
=−a2−a+3，
∵a2+a+5=0，
∴a2+a=−5，
∴原式=−(a2+a)+3=−(−5)+3=5+3=8．
【解析】(1)根据(a,b)⊗(c,d)=ad−bc+2，可以求得所求式子的值；
(2)根据(a,b)⊗(c,d)=ad−bc+2，先将所求式子化简，然后再根据a2+a+5=0，可以得到a2+a=−5，再代入化简后的式子计算即可．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
24.【答案】解：(1)由图知b=2a+c；
(2)S2=b2−12ab×2−12a(a+c)×2−c2
=(2a+c)2−a(2a+c)−a(a+c)−c2
=4a2+4ac+c2−2a2−ac−a2−ac−c2
=a2+2ac；
(3)∵S1−S2=6a2，
∴12ab×2+12a(a+c)×2+c2−(a2+2ac)=6a2，
∴a(2a+c)+a2+ac+c2−a2−2ac=6a2，
∴c=2a，
又∵b=2a+c，
∴b=2c．
【解析】(1)根据大正方形的边长=正方形EFGH的边长+2×小长方形的宽可得答案；
(2)根据“阴影部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积−4个直角三角形的面积”列式求解可得；
(3)由S1−S2=6a2得12ab×2+12a(a+c)×2+c2−(a2+2ac)=6a2，化简得出c=2a，结合b=2a+c可得答案．
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形得出阴影部分和空白部分面积的计算方法及整式的混合运算法则．
25.【答案】35° 35° AB//CD
【解析】(1)证明：∵(α−35)2+|β−α|=0，
∴(α−35)2=0，|β−α|=0，
∴α=β=35，
∵FM是∠PFD的角平分线，
∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，
∴∠EMF=∠MFN，
∴AB//CD，
故答案为：35°；35°；AB//CD；
(2)解：∠FMN+∠GHF=180°，理由如下：
∵AB//CD，
∴∠PNF=∠PME，
∵∠MGH=∠PNF，
∴∠PME=∠MGH，
∴GH//PN，
∴∠GHM=∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠FMN+∠GHF=180°；
(3)解：∠FPN1∠FQM1的值不变，∠FPN1∠FQM1=2，
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，
∵AB//CD，
∴∠PEM1=∠PFN，
∵ER平分∠PEM1，FM是∠PFD的角平分线，
∴∠PER=12∠PEM1，∠PFQ=12∠PFN，
∴∠PER=∠PFQ，
∴ER//FQ，
∴∠FQM1=∠R，
设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，
则有：y=x+∠R 2y=2x+∠EPM1 ，
可得∠EPM1=2∠R，
∴∠EPM1=2∠FQM1，
即∠FPN1∠FQM1=2，
(1)根据(α−35)2+|β−α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB//CD；
(2)先根据内错角相等证GH//PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°；
(3)作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER//FQ，得∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得∠FPN1∠FQM1=2．
本题考查几何变换综合题、平行线的判定和性质、角平分线的定义、非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
1.全球可被人类利用的淡水总量仅占总水量的0.00003，因此珍惜水，保护水是我们每一位公民义不容辞的责任，其中数字0.00003用科学记数法表示为( )
A. 3×10−4B. 3×10−5C. 0.3×10−4D. 0.3×10−5
2.下列各式中，正确的是( )
A. (13)−2=9B. a2⋅a3=a6C. (−3a2)3=−9a6D. a5+a3=a8
3.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )
A. a(m+n)=am+anB. a2−b2−c2=(a−b)(a+b)−c2
C. 10x2−5x=5x(2x−1)D. x2−16+6x=(x+4)(x−4)+6x
4.计算(a−1)2的结果是( )
A. a2+1B. a2−1C. a2−2a+1D. 2a−2
5.用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是( )
A. 2cm、3cm、3cmB. 2cm、2cm、5cm
C. 1cm、5cm、3cmD. 2cm、5cm、8cm
6.如图，下列条件中，能判断AD//BE的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠3=∠4
C. ∠B=∠DCE
D. ∠B+∠BAD=180°
7.如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知AE=2 cm，DE=1 cm，SΔABC=8 cm2，则CE=
A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm
8.将一副直角三角尺在长方形纸片上按如图所示方式摆放，若∠1=30°，则∠2的度数是( )
A. 60°
B. 65°
C. 75°
D. 80°
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.计算：(−2)0= ______，a6÷a3= ______．
10.计算：(a2)3÷a2= ______，−2ab(a−b)= ______．
11.计算：(a2b)3= ______，a3⋅a⋅a2x=ax+8，则x= ______．
12.分解因式：4x2−12x3= ______，x2−10x+25= ______．
13.某种花粉颗粒的直径约为25μm(1μm=10−6m)，将这样的花粉颗粒紧密排成长为1cm的一列，大约需要______颗.
14.已知(a+b)2=26，(a−b)2=6，则ab= ______．
15.如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠BAD、∠ABC的角平分线分别交BC、AD于点E、F，则∠1与∠2的数量关系是______．
16.如图，在△MBC中，∠ABC、∠ACB的角平分线OB、OC交于点O，若∠O=m°，则∠A的度数是______°(用含m的代数式表示)．
三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)|−2|+(−1)2022×(π+3)0−(−12)−2；
(2)(2a−b)2−a(3a−2b)．
18.(本小题6分)
分解因式：
(1)2xy2−12xy+18x；
(2)a2(x−y)+4(y−x)．
19.(本小题8分)
解方程组：
(1)y=3x7x−2y=2；
(2)x+y=52x−y=1．
20.(本小题8分)
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．
(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；
(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH；
(3)若连接CD、AE，则这两条线段之间的位置关系是______；
(4)线段AC扫过的面积为______．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(−32x+13y2)(2x−23y)−13y2(x−23y)+3x2，其中x=2，y=−1．
22.(本小题8分)
按图填空，并注明理由．
已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠E.求证：AD//BE．
23.(本小题8分)
对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号(a,b)⊗(c,d)=ad−bc+2，例如：(1,3)⊗(2,4)=1×4−2×3+2=0．
(1)求(−2,1)⊗(3,5)的值；
(2)求(2a+1,a−2)⊗(3a+2,a−3)的值，其中a2+a+5=0．
24.(本小题8分)
如图1，两种长方形纸片的长分别为b和c，宽都为a，将它们拼成如图2所示的图形，其中四边形ABCD和四边形EFGH都为正方形，设空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2.
(1)直接写出a，b，c的等量关系式；
(2)用含a，c的代数式表示图中阴影部分的面积S2；
(3)若S1−S2=6a2，求b与c的数量关系．
25.(本小题8分)
已知，如图1(1)：射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，∠PFD的角平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM=α°，∠EMF=β°且(α−35)2+|β−α|=0．
(1)α= ______，β= ______；直线AB与CD的位置关系是______；
(2)如图2，若点G是射线MA上任意一点，且∠MGH=∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转(如图3)分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中∠FPN1∠Q的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：0.00003=3×10−5.故选B．
乘号前的数应为3，指数是负数，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】A
【解析】解：A、正确，(13)−2=1(13)2=119=9；
B、错误，a2⋅a3=a5；
C、错误，(−3a2)3=−27a6；
D、错误，a5与a3不是同类项，不能合并．
故选：A．
分别根据负整数指数幂的运算、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项等法则进行计算．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
解决此类题目的关键是熟记负整数指数幂的运算、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项等考点的运算．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查因式分解的概念，解题的关键是正确理解因式分解的概念，属于基础题．根据因式分解的定义即可判断．
【解答】
解：A.该变形为去括号，故A不是因式分解；
B.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
C.符合因式分解定义，故C是因式分解；
D.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解．
故选C．
4.【答案】C
【解析】解：原式=a2−2a+1，
故选：C．
原式利用完全平方公式展开即可．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、∵2+3>3，
∴长度为2cm、3cm、3cm的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架，本选项符合题意；
B、∵2+2<5，
∴长度为2cm、2cm、5cm的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架，本选项不符合题意；
C、∵1+3<5，
∴长度为1cm、5cm、3cm的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架，本选项不符合题意；
D、∵2+5<8，
∴长度为2cm、5cm、8cm的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架，本选项不符合题意；
故选：A．
根据三角形的三边关系判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由∠1=∠2，不能判定AD//BE，故A不符合题意；
由∠3=∠4，不能判定AD//BE，故B不符合题意；
由∠B=∠DCE，根据“同位角相等，两直线平行”可判定AB//CD，故C不符合题意；
由∠B+∠BAD=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AD//BE，故D符合题意；
故选：D．
根据平行线的判定定理求解判断即可得解．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】本题考查的是三角形的中线、高的概念、三角形的面积计算，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．
根据三角形的面积公式求出BC，根据中线的概念求出DC，计算即可．
解：∵S△ABC=8cm2，AE=2cm，
∴12BC×AE=8cm2，
∴BC=8cm．
∵AD是边BC上的中线，DE=1cm，
∴DC=12BC=4cm，
∴EC=DC−DE=3cm．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：延长EM交AB于F，
在长方形ABCD中，AB//CD，
∴∠AFE=∠2，
∵∠3=∠4=45°，∠1=30°，
∴∠AFE=∠1+∠3=30°+45°=75°，
∴∠2=75°．
故选：C．
延长EM交AB于F，由长方形及平行线的性质可得∠AFE=∠2，结合对顶角的性质及三角形外角的性质可求解∠AFE的度数，进而可求解．
此题主要考查平行线的性质，求解∠AFE的度数是解题的关键．
9.【答案】1 a3
【解析】解：(−2)0=1，
a6÷a3=a6−3=a3，
故答案为：1，a3．
根据零指数幂性质和同底数幂相除法则进行计算即可．
本题主要考查了实数和整式的有关运算，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质和同底数幂相除法则．
10.【答案】a4 −2a2b+2ab2
【解析】解：(a2)3÷a2=a4，−2ab(a−b)=−2a2b+2ab2．
故答案为：a4；−2a2b+2ab2．
根据整式的相关运算法则计算即可．
本题考查了单项式乘多项式及幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握单项式乘多项式运算法则是关键．
11.【答案】a6b3 4
【解析】解：(a2b)3=a6b3，
∵a3⋅a⋅a2x=ax+8，
∴a3+1+2x=ax+8，
∴3+1+2x=x+8，
解得x=4．
故答案为：a6b3；4．
首先根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，求出(a2b)3=a6b3；然后根据a3⋅a⋅a2x=ax+8，可得3+1+2x=x+8，据此求出x的值即可．
此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确：(1)①(am)n=amn(m,n是正整数)；②(ab)n=anbn(n是正整数)；(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
12.【答案】4x2(1−3x) (x−5)2
【解析】解：4x2−12x3=4x2(1−3x)；x2−10x+25=(x−5)2；
故答案为：4x2(1−3x)；(x−5)2．
利用提公因式法及完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13.【答案】400
【解析】解：1×10−2÷(25×10−6)=104÷25=400(颗)，
∴大约需要400颗，
故答案为：400．
用1cm除以25μm即可得到答案．
本题主要考查了整数指数幂的计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵(a+b)2=26，(a−b)2=6，
∴a2+2ab+b2=26，a2−2ab+b2=6，
∴4ab=20，解得ab=5．
故答案为：5．
先依据完全平方公式展开，然后再相减可得解．
本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15.【答案】∠1+∠2=90°
【解析】解：∵四边形内角和为360°，∠B+∠D=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAD、∠ABC的角平分线分别交BC、AD于点E、F，
∴∠1+∠2=12∠BAD+12∠BCD=90°，
故答案为：∠1+∠2=90°．
首先根据四边形内角和为360°得到∠BAD+∠BCD=180°，然后根据角平分线的概念即可得出∠1与∠2的数量关系．
此题考查了四边形内角和，角平分线的概念等知识，解题的关键是根据四边形内角和得到∠BAD+∠BCD=180°．
16.【答案】(2m−180)
【解析】解：∵OB，OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∵∠O+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=180°−∠O=180°−m°，
∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=360°−2m°，
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=2m°−180°，
故答案为：(2m−180)．
先由角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，再利用三角形内角和定理求解即可．
本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2+1×1−4
=2+1−4
=−1；
(2)原式=4a2−4ab+b2−3a2+2ab
=a2−2ab+b2．
【解析】(1)先算计算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算有理数的运算；
(2)先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
本题考查了实数的运算和整式的运算，掌握有关的运算法则和运算顺序是解题关键．
18.【答案】解：(1)2xy2−12xy+18x
=2x(y2−6y+9)
=2x(y−3)2；
(2)a2(x−y)+4(y−x)
=a2(x−y)−4(x−y)
=(x−y)(a2−4)
=(x−y)(a+2)(a−2)．
【解析】(1)先提取公因式，再利用完全平方公式分解；
(2)先提取公因式，再利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)y=3x①7x−2y=2②，
把①代入②得：7x−6x=2，
解得：x=2，
把x=2代入①得：y=6，
故原方程组的解是：x=2y=6；
(2)x+y=5①2x−y=1②，
①+②得：3x=6，
解得：x=2，
把x=2代入①得：2+y=5，
解得：y=3，
故原方程组的解是：x=2y=3．
【解析】(1)利用代入消元法进行运算即可；
(2)利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
20.【答案】CD//AE 25
【解析】解：(1)如图，△EFD即为所求；
(2)如图，线段CH即为所求；
(3)CD//AE．
故答案为：CD//AE；
(4)线段AC扫过的面积=7×7−4×12×3×4=25，
故答案为：25．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点E，F即可；
(2)根据三角形的高的定义画出图形即可；
(3)利用平移变换的性质判断即可；
(4)利用割补法求解即可．
本题考查作图−平移变换，三角形的高，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
21.【答案】解：(−32x+13y2)(2x−23y)−13y2(x−23y)+3x2
=−3x2+xy+23xy2−29y3−13xy2+29y3+3x2
=xy+13xy2，
当x=2，y=−1时，原式=2×(−1)+13×2×(−1)2=−2+13×2×1=−2+23=−43．
【解析】先利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】证明：∵∠1=∠2(已知)，
∴_CE//_DB_(内错角相等，两直线平行)，
∴∠E=∠4_(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠E=∠3(已知)，
∴∠3=∠4_(等量代换)，
∴AD//BE(内错角相等，两直线平行)．
【解析】先根据题意得出∠4=∠E，再由条件得出∠3=∠4，据此可得出结论．
本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．
23.【答案】解：(1)∵(a,b)⊗(c,d)=ad−bc+2，
∴(−2,1)⊗(3,5)
=(−2)×5−1×3+2
=(−10)−3+2
=−11；
(2)∵(a,b)⊗(c,d)=ad−bc+2，
∴(2a+1,a−2)⊗(3a+2,a−3)
=(2a+1)(a−3)−(a−2)(3a+2)+2
=2a2−5a−3−3a2+4a+4+2
=−a2−a+3，
∵a2+a+5=0，
∴a2+a=−5，
∴原式=−(a2+a)+3=−(−5)+3=5+3=8．
【解析】(1)根据(a,b)⊗(c,d)=ad−bc+2，可以求得所求式子的值；
(2)根据(a,b)⊗(c,d)=ad−bc+2，先将所求式子化简，然后再根据a2+a+5=0，可以得到a2+a=−5，再代入化简后的式子计算即可．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
24.【答案】解：(1)由图知b=2a+c；
(2)S2=b2−12ab×2−12a(a+c)×2−c2
=(2a+c)2−a(2a+c)−a(a+c)−c2
=4a2+4ac+c2−2a2−ac−a2−ac−c2
=a2+2ac；
(3)∵S1−S2=6a2，
∴12ab×2+12a(a+c)×2+c2−(a2+2ac)=6a2，
∴a(2a+c)+a2+ac+c2−a2−2ac=6a2，
∴c=2a，
又∵b=2a+c，
∴b=2c．
【解析】(1)根据大正方形的边长=正方形EFGH的边长+2×小长方形的宽可得答案；
(2)根据“阴影部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积−4个直角三角形的面积”列式求解可得；
(3)由S1−S2=6a2得12ab×2+12a(a+c)×2+c2−(a2+2ac)=6a2，化简得出c=2a，结合b=2a+c可得答案．
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形得出阴影部分和空白部分面积的计算方法及整式的混合运算法则．
25.【答案】35° 35° AB//CD
【解析】(1)证明：∵(α−35)2+|β−α|=0，
∴(α−35)2=0，|β−α|=0，
∴α=β=35，
∵FM是∠PFD的角平分线，
∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，
∴∠EMF=∠MFN，
∴AB//CD，
故答案为：35°；35°；AB//CD；
(2)解：∠FMN+∠GHF=180°，理由如下：
∵AB//CD，
∴∠PNF=∠PME，
∵∠MGH=∠PNF，
∴∠PME=∠MGH，
∴GH//PN，
∴∠GHM=∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠FMN+∠GHF=180°；
(3)解：∠FPN1∠FQM1的值不变，∠FPN1∠FQM1=2，
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，
∵AB//CD，
∴∠PEM1=∠PFN，
∵ER平分∠PEM1，FM是∠PFD的角平分线，
∴∠PER=12∠PEM1，∠PFQ=12∠PFN，
∴∠PER=∠PFQ，
∴ER//FQ，
∴∠FQM1=∠R，
设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，
则有：y=x+∠R 2y=2x+∠EPM1 ，
可得∠EPM1=2∠R，
∴∠EPM1=2∠FQM1，
即∠FPN1∠FQM1=2，
(1)根据(α−35)2+|β−α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB//CD；
(2)先根据内错角相等证GH//PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°；
(3)作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER//FQ，得∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得∠FPN1∠FQM1=2．
本题考查几何变换综合题、平行线的判定和性质、角平分线的定义、非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
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