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2023-2024学年北京十三中七年级（下）期中数学试卷 （含解析）
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这是一份2023-2024学年北京十三中七年级（下）期中数学试卷 （含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行
3．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3B．﹣2a＞﹣2bC．＜D．﹣＜﹣
4．如图，点E在射线BC上，下列条件中能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠3C．∠2＝∠4D．∠3＝∠4
5．下列实数，，，，中，无理数有（ ）
A．1B．2个C．3个D．4个
6．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．65°
7．如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（﹣1，﹣1），表示本仁殿的点的坐标为（2，﹣2），则表示乾清门的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（2，0）D．（0，2）
8．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为81，8个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为64，12个长方无纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．48B．36C．50D．49
二、填空题（每题2分，共16分）
9．已知，则x+y ．
10．方程4x2﹣25＝0的解为 ．
11．已知是关于x、y的二元一次方程x+ny＝﹣3的一组解，则n＝ ．
12．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是 ．
13．直角坐标系中，点P（x，y）在第二象限，且P到x轴，y轴距离分别为3，7，则P点坐标为 ．
14．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝50°，则∠2＝ °．
15．已知点P（2m﹣1，4﹣m）在过点A（2，3），且与x轴平行的直线上，则P点坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2024的坐标为 ．
三、解答题（共68分，其中17题8分，18题5分，19、24题每题6分，21题8分，20、22-23、25-26每题7分）
17．（8分）计算
（1）；
（2）．
18．（5分）解方程组：．
19．（6分）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
20．（7分）如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，F是AC上一点，过点F作FE∥AD交BC于点E，点G在AB上且满足∠1+∠2＝180°．
（1）求证：CA∥DG；
（2）若FE⊥BC于点E，∠3＝78°，求∠BDG的度数．
21．（8分）北京冬奥会期间，大批的志愿者秉承“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神参与服务工作．某高校组织400名学生参加志愿活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，一次运送完，请你设计出所有的租车方案．
22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣3，﹣2），C（0，﹣1）．
（1）在所给的图中，画出平面直角坐标系；再将△ABC向右平移4个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；并求△ABC的面积；
（2）已知点P在y轴上，且△ACP的面积为3，直接写出P点的坐标．
23．（7分）请你补全证明过程或推理依据：
已知：如图，四边形ABCD，点E、F分别在边CD两方的延长线上，连接FA，若∠2+∠3＝180°，∠B＝∠1．求证：∠4＝∠F．
证明：∵点E在CD的延长线上（已知），
∴∠2+∠ ＝180°（平角定义）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠3＝∠ （ ）．
又∵∠B＝∠1（已知），
∴∠B＝∠ （等量代换）．
∴AB∥FD（ ）．
∴∠4＝∠F（ ）．
24．（6分）对有序数对（m，n）定义“f运算”：，其中a、b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A（x，y）规定“F变换”：点A（x，y）在F变换下的对应点即为坐标f（x，y）对应的点A′．
（1）当a＝0，b＝0时，f（6，﹣8）＝ ；
（2）若点P（﹣2，2）在“F变换”下的对应点是（3b，﹣a），求a、b的值．
25．（7分）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD．上，∠F＝90°．若∠1＝2∠2，则∠1＝ °．
（2）如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系 ．（不用证明）
（3）在图②的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ＝60°．如图③，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线CD于点N．将含60°角的三角尺绕着点F转动，且使FG始终在∠PFQ的内部，请问∠AMF+∠CNF的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．
26．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣x+y，将点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对伴随点．例如，点M（1，﹣5）与点N（﹣5，1）为点P（3，﹣2）的一对伴随点．
（1）点A（4，1）的一对伴随点坐标为 ；
（2）将点C（3m﹣1，m+1）（m＞0）向左平移m个单位长度，得到点C′，若点C′的一对伴随点重合，求点C的坐标；
（3）已知点E（﹣3，n），F（﹣3，n+1），点D为线段EF上的动点，点G，H为点D的一对伴随点．当点D在线段EF上运动时，线段GH与x轴总有公共点，请直接写出n的取值范围 ．
2023-2024学年北京十三中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限．
【解答】解：∵﹣2＜0，3＞0，
∴（﹣2，3）在第二象限，
故选：B．
2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行
【分析】利用两直线的位置关系、对顶角的性质、平行线的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：C．
3．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3B．﹣2a＞﹣2bC．＜D．﹣＜﹣
【分析】根据不等式基本性质逐一判断即可．
【解答】解：A、根据不等式性质1，不等式a＞b两边都减去3可得a﹣3＞b﹣3，原变形不成立，故此选项不符合题意；
B、根据不等式性质3，不等式a＞b两边都乘以﹣2可得﹣2a＜﹣2b，原变形不成立，故此选项不符合题意；
C、根据不等式性质2，不等式a＞b两边都除以4可得＞，原变形不成立，故此选项不符合题意；
D、根据不等式性质3，不等式a＞b两边都除以﹣2可得﹣＜﹣，原变形成立，故此选项符合题意；
故选：D．
4．如图，点E在射线BC上，下列条件中能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠3C．∠2＝∠4D．∠3＝∠4
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法进行判定即可
【解答】解：∠1＝∠2不能判断AD平行BC，故A不符合题意；
∠4＝∠2+∠3，故C和D不符合题意；
∠1＝∠3可得AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故B符合题意．
故选：B．
5．下列实数，，，，中，无理数有（ ）
A．1B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：，
根据无理数的定义，无理数有：，，，
故选：C．
6．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．65°
【分析】先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1+∠3＝90°，∠1＝30°，
∴∠3＝60°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠3＝60°．
故选：C．
7．如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（﹣1，﹣1），表示本仁殿的点的坐标为（2，﹣2），则表示乾清门的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（2，0）D．（0，2）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：乾清门的点的坐标是（0，2）．
故选：D．
8．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为81，8个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为64，12个长方无纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．48B．36C．50D．49
【分析】三个图中阴影部分都是正方形，根据前两个阴影面积列方程组求长方形的边长，再计算图③阴影面积．
【解答】解：图①中阴影面积是81，边长为9，图②阴影面积是64，边长为8，设矩形长为a，宽为b，根据题意得：，
解得：，
所以图③阴影面积为：（a﹣3b）2＝（10﹣3）2＝49，
故选：D．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．已知，则x+y ﹣2 ．
【分析】根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出x＝2，y＝﹣4，代入求值即可．
【解答】解：∵，
∴x﹣2＝0，2x+y＝0，
解得x＝2，y＝﹣4，
∴x+y＝2﹣4＝﹣2．
故答案为：﹣2．
10．方程4x2﹣25＝0的解为 x1＝，x2＝﹣ ．
【分析】利用直接开平方法解一元二次方程．
【解答】解：∵4x2﹣25＝0，
∴4x2＝25，
∴x2＝，
∴x＝±，
∴x1＝，x2＝﹣，
故答案为：x1＝，x2＝﹣．
11．已知是关于x、y的二元一次方程x+ny＝﹣3的一组解，则n＝ 2 ．
【分析】把代入方程x+ny＝﹣3得到关于n的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：把代入方程x+ny＝﹣3得：
1﹣2n＝﹣3，
解得：n＝2，
故答案为：2．
12．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是 4 ．
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9＝18，
则大正方形的边长为：，
∵＜＜，
∴4＜＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故答案为：4．
13．直角坐标系中，点P（x，y）在第二象限，且P到x轴，y轴距离分别为3，7，则P点坐标为 （﹣7，3） ．
【分析】由点P在第二象限，可得x＜0，y＞0，再由P到x轴，y轴距离分别为3，7，求出x＝﹣7，y＝3即可确定P点坐标．
【解答】解：∵点P（x，y）在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∵P到x轴，y轴距离分别为3，7，
∴x＝﹣7，y＝3，
∴P（﹣7，3），
故答案为（﹣7，3）．
14．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝50°，则∠2＝ 100 °．
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据翻折的性质以及平角等于180°求出∠1，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解答】解：∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，
∴∠3＝∠EFG＝50°，
根据翻折的性质，∠1＝180°﹣2∠3＝180°﹣2×50°＝80°，
又∵AD∥BC，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
15．已知点P（2m﹣1，4﹣m）在过点A（2，3），且与x轴平行的直线上，则P点坐标为 （1，3） ．
【分析】根据点P（2m﹣1，4﹣m）在过点A（2，3），且与x轴平行的直线上，可知点P的纵坐标4﹣m＝3，从而可以得到m的值，然后即可求得点P的横坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵点P（2m﹣1，4﹣m）在过点A（2，3），且与x轴平行的直线上，
∴4﹣m＝3，
解得m＝1，
∴2m﹣1＝1，
∴点P的坐标为（1，3），
故答案为：（1，3）．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2024的坐标为 （1014，0） ．
【分析】动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可．
【解答】解：根据题意可知，A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），A7（3，0），A8（4，0），……，
∴坐标变换的规律为每移动4次，它的纵坐标都能为1，横坐标向右移动力2个单位长度，也就是移动次数的一半，
∴2024÷4＝506，
∴点A2024的纵坐标为0，横坐标为2×506+2＝1014，
∴点A2024的坐标（1014，0），
故答案为：（1014，0）．
三、解答题（共68分，其中17题8分，18题5分，19、24题每题6分，21题8分，20、22-23、25-26每题7分）
17．（8分）计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先计算乘法和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝．
18．（5分）解方程组：．
【分析】先用加减消元法得出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．
【解答】解：，①×2+②得，7x＝14，解得x＝2；把x＝2代入①得，4+y＝3，解得y＝﹣1．
故原方程组的解为：．
19．（6分）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】首先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【解答】解：
去分母得：4（x﹣6）≥12﹣3（7﹣3x），
去括号得：4x﹣24≥12﹣21+9x，
移项合并得：x≤﹣3，
在数轴上表示：
．
20．（7分）如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，F是AC上一点，过点F作FE∥AD交BC于点E，点G在AB上且满足∠1+∠2＝180°．
（1）求证：CA∥DG；
（2）若FE⊥BC于点E，∠3＝78°，求∠BDG的度数．
【分析】（1）根据FE∥AD得∠1+∠CAD＝180°，再根据∠1+∠2＝180°得∠CAD＝∠2，由此可得出结论；
（2）先由（1）的结论得∠CAB＝∠3＝78°，∠BDG＝∠C，再根据角平分线的定义得∠CAD＝∠CAB＝39°，然后根据FE∥AD得∠CFE＝∠CAD＝39°，再根据FE⊥BC得∠C＝90°﹣∠CFE＝51°，由此可得出∠BDG的度数．
【解答】（1）证明：∵FE∥AD，
∴∠1+∠CAD＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠CAD＝∠2，
∴CA∥DG；
（2）解：由（1）可知CA∥DG，
∴∠CAB＝∠3＝78°，∠BDG＝∠C，
∵AD平分∠CAB，
∠CAD＝∠CAB＝×78°＝39°，
∵FE∥AD，
∴∠CFE＝∠CAD＝39°，
∵FE⊥BC于点E，
∴∠C＝90°﹣∠CFE＝90°﹣39°＝51°，
∴∠BDG＝∠C＝51°．
21．（8分）北京冬奥会期间，大批的志愿者秉承“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神参与服务工作．某高校组织400名学生参加志愿活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，一次运送完，请你设计出所有的租车方案．
【分析】（1）设每辆小客车能运送x名学生，每辆大客车能运送y名学生，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）根据题意列出二元一次方程，找出整数解即可．
【解答】解：（1）设每辆小客车能运送x名学生，每辆大客车能运送y名学生．
根据题意得：，
解得：．
答：每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生；
（2）根据题意得：20a+45b＝400．
∴．
∵a，b为正整数，
∴或．
答：租车方案为：小客车11辆，大客车4辆或小客车2辆，大客车8辆．
22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣3，﹣2），C（0，﹣1）．
（1）在所给的图中，画出平面直角坐标系；再将△ABC向右平移4个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；并求△ABC的面积；
（2）已知点P在y轴上，且△ACP的面积为3，直接写出P点的坐标．
【分析】（1）根据点的坐标，即可确定原点位置，从而画出坐标系；根据平移的性质可画出△A1B1C1；将AB作为底，可直接代入三角形的面积公式得出答案；
（2）根据△ACP的面积为3，可得PC的长度，从而得出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，即为所求坐标系；△A1B1C1即为所求；
△ABC的面积为；
（2）∵△ACP的面积为3，
∴，
∴CP＝2，
∴P（0，1）或（0，﹣3）．
23．（7分）请你补全证明过程或推理依据：
已知：如图，四边形ABCD，点E、F分别在边CD两方的延长线上，连接FA，若∠2+∠3＝180°，∠B＝∠1．求证：∠4＝∠F．
证明：∵点E在CD的延长线上（已知），
∴∠2+∠ 1 ＝180°（平角定义）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠3＝∠ 1 （ 同角的补角相等 ）．
又∵∠B＝∠1（已知），
∴∠B＝∠ 3 （等量代换）．
∴AB∥FD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠4＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】一般地，证明∠4＝∠F转化为证明AB∥FD．欲证AB∥CD，可证∠B＝∠3．由题知∠B＝∠1，转化为证明∠3＝∠1．欲证∠3＝∠1，可证AD∥BC．根据∠2+∠3＝180°，∠2+∠1＝180°，则可证AD∥BC．
【解答】证明：∵点E在CD的延长线上（已知），
∴∠2+∠1＝180°（平角定义）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠3＝∠1（同角的补角相等）．
又∵∠B＝∠1（已知），
∴∠B＝∠3（等量代换）．
∴AB∥FD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠4＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：∠1；∠1；同角的补角相等；∠3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
24．（6分）对有序数对（m，n）定义“f运算”：，其中a、b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A（x，y）规定“F变换”：点A（x，y）在F变换下的对应点即为坐标f（x，y）对应的点A′．
（1）当a＝0，b＝0时，f（6，﹣8）＝ （3，﹣4） ；
（2）若点P（﹣2，2）在“F变换”下的对应点是（3b，﹣a），求a、b的值．
【分析】（1）根据“f运算”的定义计算即可；
（2）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题．
【解答】解：（1），
故答案为：（3，﹣4）．
（2）依题意得：
，
∴．
25．（7分）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD．上，∠F＝90°．若∠1＝2∠2，则∠1＝ 40 °．
（2）如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系 ∠AEF+∠FGC＝90° ．（不用证明）
（3）在图②的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ＝60°．如图③，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线CD于点N．将含60°角的三角尺绕着点F转动，且使FG始终在∠PFQ的内部，请问∠AMF+∠CNF的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等证出∠2＝∠EGD，即∠1＝2∠EGD，又因为∠FGE＝60°，得到∠1+∠EGD＝120°，再等量代换，得出∠EGD＝40°，即可解答；
（2）方法一：根据两直线平行，同旁内角互补以及直角三角形两锐角互余即可解答；方法二：过点F作FM∥AB，根据两直线平行，内错角相等即可解答，也是平行线+折线（一个折点）模型问题；
（3）由（2）方法二证明∠AMF+∠FNC＝∠MFN，设∠3＝∠4＝α，再根据共顶点的60°，90°角，用含α的式子表示出∠PFN＝60°﹣α，∠2＝15°+α，再根据∠MFN＝∠PFN+∠2即可解答．
【解答】解：（1）如图①∵AB∥CD，
∴∠2＝∠EGD（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝2∠2，
∴∠1＝2∠EGD，
∵∠FGE＝60°，
∴∠1+∠EGD＝180°﹣60°＝120°，
∴2∠EGD+∠EGD＝120°，即∠EGD＝40°，
∴∠1＝2∠EGD＝80°．
故答案为：80；
（2）方法一：如图②∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵在Rt△EFG中，∠FEG+∠FGE＝90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠AEF+∠FGC＝180°﹣90°＝90°．
方法二：
过点F作FM∥AB，
∴∠AEF＝∠1，
∵AB∥CD，
∴FM∥CD，
∴∠FGC＝∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°．
故答案为：∠AEF+∠FGC＝90°；
（3）不变，∠AMF+∠CNF＝75°，
理由如下：
∵FN、FM分别平分∠QFG、∠EFP，
∴∠QFG＝2∠3＝2∠4，∠EFP＝2∠1＝2∠2，
设∠3＝∠4＝α，
∵∠QFP＝60°，
∴∠PFN＝60°﹣α，∠PFG＝60°﹣2α，
∵∠EFG＝90°，
∴∠EFP＝2∠1＝∠EFG﹣∠PFG＝90°﹣（60°﹣2α）＝30°+2α，
∴∠1＝∠2＝15°+α，
∴∠MFN＝∠PFN+∠2＝（60°﹣α）+（15°+α）＝75°，
由②方法可得∠AMF+∠FNC＝∠MFN＝75°，
即∠AMF+∠CNF＝75°．
26．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣x+y，将点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对伴随点．例如，点M（1，﹣5）与点N（﹣5，1）为点P（3，﹣2）的一对伴随点．
（1）点A（4，1）的一对伴随点坐标为 （5，﹣3），（﹣3，5） ；
（2）将点C（3m﹣1，m+1）（m＞0）向左平移m个单位长度，得到点C′，若点C′的一对伴随点重合，求点C的坐标；
（3）已知点E（﹣3，n），F（﹣3，n+1），点D为线段EF上的动点，点G，H为点D的一对伴随点．当点D在线段EF上运动时，线段GH与x轴总有公共点，请直接写出n的取值范围 ﹣3≤n≤2 ．
【分析】（1）根据“伴随点”的定义求解即可；
（2）根据“伴随点”的定义列方程求解即可；
（3）设出点D的坐标，根据新定义，建立不等式组，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得，a＝x+y＝4+1＝5，
b＝﹣x+y＝﹣4+1＝﹣3，
∴点A的一对伴随点坐标为：（5，﹣3），（﹣3，5）；
（2）由题意得，C′（2m﹣1，m+1），
此时，a＝2m﹣1+m+1＝3m，
b＝﹣2m+1+m+1＝﹣m+2，
则C′点的伴随点为（﹣m+2，3m）和（3m，﹣m+2），
∴这两个伴随点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等），
∴﹣m+2＝3m，解得，，
∴，
∴C点坐标为；
（3）∵D为线段EF上的动点，
设D点坐标为（﹣3，t）（n≤t≤n+1），
∴D点的伴随点为：a＝﹣3+t，b＝3+t，即（﹣3+t，3+t），（3+t，﹣3+t），
∴G（﹣3+t，3+t），H（3+t，﹣3+t），
∵线段GH与x轴总有公共点，t+3＞t﹣3，
∴，解得：﹣3≤t≤3，
由n≤t≤n+1，
可得，，解得，﹣3≤n≤2，
∴n的取值范围为：﹣3≤n≤2．
1．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行
3．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3B．﹣2a＞﹣2bC．＜D．﹣＜﹣
4．如图，点E在射线BC上，下列条件中能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠3C．∠2＝∠4D．∠3＝∠4
5．下列实数，，，，中，无理数有（ ）
A．1B．2个C．3个D．4个
6．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．65°
7．如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（﹣1，﹣1），表示本仁殿的点的坐标为（2，﹣2），则表示乾清门的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（2，0）D．（0，2）
8．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为81，8个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为64，12个长方无纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．48B．36C．50D．49
二、填空题（每题2分，共16分）
9．已知，则x+y ．
10．方程4x2﹣25＝0的解为 ．
11．已知是关于x、y的二元一次方程x+ny＝﹣3的一组解，则n＝ ．
12．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是 ．
13．直角坐标系中，点P（x，y）在第二象限，且P到x轴，y轴距离分别为3，7，则P点坐标为 ．
14．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝50°，则∠2＝ °．
15．已知点P（2m﹣1，4﹣m）在过点A（2，3），且与x轴平行的直线上，则P点坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2024的坐标为 ．
三、解答题（共68分，其中17题8分，18题5分，19、24题每题6分，21题8分，20、22-23、25-26每题7分）
17．（8分）计算
（1）；
（2）．
18．（5分）解方程组：．
19．（6分）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
20．（7分）如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，F是AC上一点，过点F作FE∥AD交BC于点E，点G在AB上且满足∠1+∠2＝180°．
（1）求证：CA∥DG；
（2）若FE⊥BC于点E，∠3＝78°，求∠BDG的度数．
21．（8分）北京冬奥会期间，大批的志愿者秉承“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神参与服务工作．某高校组织400名学生参加志愿活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，一次运送完，请你设计出所有的租车方案．
22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣3，﹣2），C（0，﹣1）．
（1）在所给的图中，画出平面直角坐标系；再将△ABC向右平移4个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；并求△ABC的面积；
（2）已知点P在y轴上，且△ACP的面积为3，直接写出P点的坐标．
23．（7分）请你补全证明过程或推理依据：
已知：如图，四边形ABCD，点E、F分别在边CD两方的延长线上，连接FA，若∠2+∠3＝180°，∠B＝∠1．求证：∠4＝∠F．
证明：∵点E在CD的延长线上（已知），
∴∠2+∠ ＝180°（平角定义）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠3＝∠ （ ）．
又∵∠B＝∠1（已知），
∴∠B＝∠ （等量代换）．
∴AB∥FD（ ）．
∴∠4＝∠F（ ）．
24．（6分）对有序数对（m，n）定义“f运算”：，其中a、b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A（x，y）规定“F变换”：点A（x，y）在F变换下的对应点即为坐标f（x，y）对应的点A′．
（1）当a＝0，b＝0时，f（6，﹣8）＝ ；
（2）若点P（﹣2，2）在“F变换”下的对应点是（3b，﹣a），求a、b的值．
25．（7分）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD．上，∠F＝90°．若∠1＝2∠2，则∠1＝ °．
（2）如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系 ．（不用证明）
（3）在图②的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ＝60°．如图③，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线CD于点N．将含60°角的三角尺绕着点F转动，且使FG始终在∠PFQ的内部，请问∠AMF+∠CNF的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．
26．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣x+y，将点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对伴随点．例如，点M（1，﹣5）与点N（﹣5，1）为点P（3，﹣2）的一对伴随点．
（1）点A（4，1）的一对伴随点坐标为 ；
（2）将点C（3m﹣1，m+1）（m＞0）向左平移m个单位长度，得到点C′，若点C′的一对伴随点重合，求点C的坐标；
（3）已知点E（﹣3，n），F（﹣3，n+1），点D为线段EF上的动点，点G，H为点D的一对伴随点．当点D在线段EF上运动时，线段GH与x轴总有公共点，请直接写出n的取值范围 ．
2023-2024学年北京十三中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限．
【解答】解：∵﹣2＜0，3＞0，
∴（﹣2，3）在第二象限，
故选：B．
2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行
【分析】利用两直线的位置关系、对顶角的性质、平行线的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：C．
3．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3B．﹣2a＞﹣2bC．＜D．﹣＜﹣
【分析】根据不等式基本性质逐一判断即可．
【解答】解：A、根据不等式性质1，不等式a＞b两边都减去3可得a﹣3＞b﹣3，原变形不成立，故此选项不符合题意；
B、根据不等式性质3，不等式a＞b两边都乘以﹣2可得﹣2a＜﹣2b，原变形不成立，故此选项不符合题意；
C、根据不等式性质2，不等式a＞b两边都除以4可得＞，原变形不成立，故此选项不符合题意；
D、根据不等式性质3，不等式a＞b两边都除以﹣2可得﹣＜﹣，原变形成立，故此选项符合题意；
故选：D．
4．如图，点E在射线BC上，下列条件中能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠3C．∠2＝∠4D．∠3＝∠4
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法进行判定即可
【解答】解：∠1＝∠2不能判断AD平行BC，故A不符合题意；
∠4＝∠2+∠3，故C和D不符合题意；
∠1＝∠3可得AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故B符合题意．
故选：B．
5．下列实数，，，，中，无理数有（ ）
A．1B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：，
根据无理数的定义，无理数有：，，，
故选：C．
6．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．65°
【分析】先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1+∠3＝90°，∠1＝30°，
∴∠3＝60°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠3＝60°．
故选：C．
7．如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（﹣1，﹣1），表示本仁殿的点的坐标为（2，﹣2），则表示乾清门的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（2，0）D．（0，2）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：乾清门的点的坐标是（0，2）．
故选：D．
8．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为81，8个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为64，12个长方无纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．48B．36C．50D．49
【分析】三个图中阴影部分都是正方形，根据前两个阴影面积列方程组求长方形的边长，再计算图③阴影面积．
【解答】解：图①中阴影面积是81，边长为9，图②阴影面积是64，边长为8，设矩形长为a，宽为b，根据题意得：，
解得：，
所以图③阴影面积为：（a﹣3b）2＝（10﹣3）2＝49，
故选：D．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．已知，则x+y ﹣2 ．
【分析】根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出x＝2，y＝﹣4，代入求值即可．
【解答】解：∵，
∴x﹣2＝0，2x+y＝0，
解得x＝2，y＝﹣4，
∴x+y＝2﹣4＝﹣2．
故答案为：﹣2．
10．方程4x2﹣25＝0的解为 x1＝，x2＝﹣ ．
【分析】利用直接开平方法解一元二次方程．
【解答】解：∵4x2﹣25＝0，
∴4x2＝25，
∴x2＝，
∴x＝±，
∴x1＝，x2＝﹣，
故答案为：x1＝，x2＝﹣．
11．已知是关于x、y的二元一次方程x+ny＝﹣3的一组解，则n＝ 2 ．
【分析】把代入方程x+ny＝﹣3得到关于n的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：把代入方程x+ny＝﹣3得：
1﹣2n＝﹣3，
解得：n＝2，
故答案为：2．
12．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是 4 ．
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9＝18，
则大正方形的边长为：，
∵＜＜，
∴4＜＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故答案为：4．
13．直角坐标系中，点P（x，y）在第二象限，且P到x轴，y轴距离分别为3，7，则P点坐标为 （﹣7，3） ．
【分析】由点P在第二象限，可得x＜0，y＞0，再由P到x轴，y轴距离分别为3，7，求出x＝﹣7，y＝3即可确定P点坐标．
【解答】解：∵点P（x，y）在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∵P到x轴，y轴距离分别为3，7，
∴x＝﹣7，y＝3，
∴P（﹣7，3），
故答案为（﹣7，3）．
14．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝50°，则∠2＝ 100 °．
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据翻折的性质以及平角等于180°求出∠1，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解答】解：∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，
∴∠3＝∠EFG＝50°，
根据翻折的性质，∠1＝180°﹣2∠3＝180°﹣2×50°＝80°，
又∵AD∥BC，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
15．已知点P（2m﹣1，4﹣m）在过点A（2，3），且与x轴平行的直线上，则P点坐标为 （1，3） ．
【分析】根据点P（2m﹣1，4﹣m）在过点A（2，3），且与x轴平行的直线上，可知点P的纵坐标4﹣m＝3，从而可以得到m的值，然后即可求得点P的横坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵点P（2m﹣1，4﹣m）在过点A（2，3），且与x轴平行的直线上，
∴4﹣m＝3，
解得m＝1，
∴2m﹣1＝1，
∴点P的坐标为（1，3），
故答案为：（1，3）．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2024的坐标为 （1014，0） ．
【分析】动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可．
【解答】解：根据题意可知，A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），A7（3，0），A8（4，0），……，
∴坐标变换的规律为每移动4次，它的纵坐标都能为1，横坐标向右移动力2个单位长度，也就是移动次数的一半，
∴2024÷4＝506，
∴点A2024的纵坐标为0，横坐标为2×506+2＝1014，
∴点A2024的坐标（1014，0），
故答案为：（1014，0）．
三、解答题（共68分，其中17题8分，18题5分，19、24题每题6分，21题8分，20、22-23、25-26每题7分）
17．（8分）计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先计算乘法和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝．
18．（5分）解方程组：．
【分析】先用加减消元法得出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．
【解答】解：，①×2+②得，7x＝14，解得x＝2；把x＝2代入①得，4+y＝3，解得y＝﹣1．
故原方程组的解为：．
19．（6分）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】首先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【解答】解：
去分母得：4（x﹣6）≥12﹣3（7﹣3x），
去括号得：4x﹣24≥12﹣21+9x，
移项合并得：x≤﹣3，
在数轴上表示：
．
20．（7分）如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，F是AC上一点，过点F作FE∥AD交BC于点E，点G在AB上且满足∠1+∠2＝180°．
（1）求证：CA∥DG；
（2）若FE⊥BC于点E，∠3＝78°，求∠BDG的度数．
【分析】（1）根据FE∥AD得∠1+∠CAD＝180°，再根据∠1+∠2＝180°得∠CAD＝∠2，由此可得出结论；
（2）先由（1）的结论得∠CAB＝∠3＝78°，∠BDG＝∠C，再根据角平分线的定义得∠CAD＝∠CAB＝39°，然后根据FE∥AD得∠CFE＝∠CAD＝39°，再根据FE⊥BC得∠C＝90°﹣∠CFE＝51°，由此可得出∠BDG的度数．
【解答】（1）证明：∵FE∥AD，
∴∠1+∠CAD＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠CAD＝∠2，
∴CA∥DG；
（2）解：由（1）可知CA∥DG，
∴∠CAB＝∠3＝78°，∠BDG＝∠C，
∵AD平分∠CAB，
∠CAD＝∠CAB＝×78°＝39°，
∵FE∥AD，
∴∠CFE＝∠CAD＝39°，
∵FE⊥BC于点E，
∴∠C＝90°﹣∠CFE＝90°﹣39°＝51°，
∴∠BDG＝∠C＝51°．
21．（8分）北京冬奥会期间，大批的志愿者秉承“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神参与服务工作．某高校组织400名学生参加志愿活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，一次运送完，请你设计出所有的租车方案．
【分析】（1）设每辆小客车能运送x名学生，每辆大客车能运送y名学生，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）根据题意列出二元一次方程，找出整数解即可．
【解答】解：（1）设每辆小客车能运送x名学生，每辆大客车能运送y名学生．
根据题意得：，
解得：．
答：每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生；
（2）根据题意得：20a+45b＝400．
∴．
∵a，b为正整数，
∴或．
答：租车方案为：小客车11辆，大客车4辆或小客车2辆，大客车8辆．
22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣3，﹣2），C（0，﹣1）．
（1）在所给的图中，画出平面直角坐标系；再将△ABC向右平移4个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；并求△ABC的面积；
（2）已知点P在y轴上，且△ACP的面积为3，直接写出P点的坐标．
【分析】（1）根据点的坐标，即可确定原点位置，从而画出坐标系；根据平移的性质可画出△A1B1C1；将AB作为底，可直接代入三角形的面积公式得出答案；
（2）根据△ACP的面积为3，可得PC的长度，从而得出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，即为所求坐标系；△A1B1C1即为所求；
△ABC的面积为；
（2）∵△ACP的面积为3，
∴，
∴CP＝2，
∴P（0，1）或（0，﹣3）．
23．（7分）请你补全证明过程或推理依据：
已知：如图，四边形ABCD，点E、F分别在边CD两方的延长线上，连接FA，若∠2+∠3＝180°，∠B＝∠1．求证：∠4＝∠F．
证明：∵点E在CD的延长线上（已知），
∴∠2+∠ 1 ＝180°（平角定义）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠3＝∠ 1 （ 同角的补角相等 ）．
又∵∠B＝∠1（已知），
∴∠B＝∠ 3 （等量代换）．
∴AB∥FD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠4＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】一般地，证明∠4＝∠F转化为证明AB∥FD．欲证AB∥CD，可证∠B＝∠3．由题知∠B＝∠1，转化为证明∠3＝∠1．欲证∠3＝∠1，可证AD∥BC．根据∠2+∠3＝180°，∠2+∠1＝180°，则可证AD∥BC．
【解答】证明：∵点E在CD的延长线上（已知），
∴∠2+∠1＝180°（平角定义）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠3＝∠1（同角的补角相等）．
又∵∠B＝∠1（已知），
∴∠B＝∠3（等量代换）．
∴AB∥FD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠4＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：∠1；∠1；同角的补角相等；∠3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
24．（6分）对有序数对（m，n）定义“f运算”：，其中a、b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A（x，y）规定“F变换”：点A（x，y）在F变换下的对应点即为坐标f（x，y）对应的点A′．
（1）当a＝0，b＝0时，f（6，﹣8）＝ （3，﹣4） ；
（2）若点P（﹣2，2）在“F变换”下的对应点是（3b，﹣a），求a、b的值．
【分析】（1）根据“f运算”的定义计算即可；
（2）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题．
【解答】解：（1），
故答案为：（3，﹣4）．
（2）依题意得：
，
∴．
25．（7分）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD．上，∠F＝90°．若∠1＝2∠2，则∠1＝ 40 °．
（2）如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系 ∠AEF+∠FGC＝90° ．（不用证明）
（3）在图②的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ＝60°．如图③，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线CD于点N．将含60°角的三角尺绕着点F转动，且使FG始终在∠PFQ的内部，请问∠AMF+∠CNF的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等证出∠2＝∠EGD，即∠1＝2∠EGD，又因为∠FGE＝60°，得到∠1+∠EGD＝120°，再等量代换，得出∠EGD＝40°，即可解答；
（2）方法一：根据两直线平行，同旁内角互补以及直角三角形两锐角互余即可解答；方法二：过点F作FM∥AB，根据两直线平行，内错角相等即可解答，也是平行线+折线（一个折点）模型问题；
（3）由（2）方法二证明∠AMF+∠FNC＝∠MFN，设∠3＝∠4＝α，再根据共顶点的60°，90°角，用含α的式子表示出∠PFN＝60°﹣α，∠2＝15°+α，再根据∠MFN＝∠PFN+∠2即可解答．
【解答】解：（1）如图①∵AB∥CD，
∴∠2＝∠EGD（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝2∠2，
∴∠1＝2∠EGD，
∵∠FGE＝60°，
∴∠1+∠EGD＝180°﹣60°＝120°，
∴2∠EGD+∠EGD＝120°，即∠EGD＝40°，
∴∠1＝2∠EGD＝80°．
故答案为：80；
（2）方法一：如图②∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵在Rt△EFG中，∠FEG+∠FGE＝90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠AEF+∠FGC＝180°﹣90°＝90°．
方法二：
过点F作FM∥AB，
∴∠AEF＝∠1，
∵AB∥CD，
∴FM∥CD，
∴∠FGC＝∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°．
故答案为：∠AEF+∠FGC＝90°；
（3）不变，∠AMF+∠CNF＝75°，
理由如下：
∵FN、FM分别平分∠QFG、∠EFP，
∴∠QFG＝2∠3＝2∠4，∠EFP＝2∠1＝2∠2，
设∠3＝∠4＝α，
∵∠QFP＝60°，
∴∠PFN＝60°﹣α，∠PFG＝60°﹣2α，
∵∠EFG＝90°，
∴∠EFP＝2∠1＝∠EFG﹣∠PFG＝90°﹣（60°﹣2α）＝30°+2α，
∴∠1＝∠2＝15°+α，
∴∠MFN＝∠PFN+∠2＝（60°﹣α）+（15°+α）＝75°，
由②方法可得∠AMF+∠FNC＝∠MFN＝75°，
即∠AMF+∠CNF＝75°．
26．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣x+y，将点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对伴随点．例如，点M（1，﹣5）与点N（﹣5，1）为点P（3，﹣2）的一对伴随点．
（1）点A（4，1）的一对伴随点坐标为 （5，﹣3），（﹣3，5） ；
（2）将点C（3m﹣1，m+1）（m＞0）向左平移m个单位长度，得到点C′，若点C′的一对伴随点重合，求点C的坐标；
（3）已知点E（﹣3，n），F（﹣3，n+1），点D为线段EF上的动点，点G，H为点D的一对伴随点．当点D在线段EF上运动时，线段GH与x轴总有公共点，请直接写出n的取值范围 ﹣3≤n≤2 ．
【分析】（1）根据“伴随点”的定义求解即可；
（2）根据“伴随点”的定义列方程求解即可；
（3）设出点D的坐标，根据新定义，建立不等式组，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得，a＝x+y＝4+1＝5，
b＝﹣x+y＝﹣4+1＝﹣3，
∴点A的一对伴随点坐标为：（5，﹣3），（﹣3，5）；
（2）由题意得，C′（2m﹣1，m+1），
此时，a＝2m﹣1+m+1＝3m，
b＝﹣2m+1+m+1＝﹣m+2，
则C′点的伴随点为（﹣m+2，3m）和（3m，﹣m+2），
∴这两个伴随点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等），
∴﹣m+2＝3m，解得，，
∴，
∴C点坐标为；
（3）∵D为线段EF上的动点，
设D点坐标为（﹣3，t）（n≤t≤n+1），
∴D点的伴随点为：a＝﹣3+t，b＝3+t，即（﹣3+t，3+t），（3+t，﹣3+t），
∴G（﹣3+t，3+t），H（3+t，﹣3+t），
∵线段GH与x轴总有公共点，t+3＞t﹣3，
∴，解得：﹣3≤t≤3，
由n≤t≤n+1，
可得，，解得，﹣3≤n≤2，
∴n的取值范围为：﹣3≤n≤2．
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