北京第一六一中学分校2023-2024学年八年级下学期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1，，D. 1，2，3
2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（ ）
A. y＝x2B. y＝C. y＝D. y＝
4. 如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
5. 如图，四边形是菱形，其中，两点的坐标为，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在桌面上放置一个正方体，正方体棱长为，点为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，是函数的图象上的两个点，则m与n的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
8. 如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
10. 如图，在中，，，的平分线交，则________．
11. 如图，中，，，，，则________，________．
12. 已知一次函数的函数图象不经过第四象限，请写出一组符合题意的和的值：________，________．
13. 如图，直线与交于点，则不等式的解集为______．
14. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为____________．
15. 若直角三角形两条直角边的边长之和为17，面积是30，则该直角三角形的斜边长为____________．
16. 中，，，平分，过点作于点，是的中点，连接，则________．
三、解答题（共68分，第17题10分，第18、19、21、26题各6分，第20题4分，第、22、24题各7分，第23、25题各8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，与交于点O．求证：．
19. 已知，分别是整数部分和小数部分．
（1）直接写出和的值；
（2）求值．
20. 已知：在中，．
求作：矩形．
作法：如下，
①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
②作直线，交边于点O；
③作射线，以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线的另一个交点为D，连接；
所以四边形就是所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∵，
∴四边形是矩形（ ）（填推理的依据）．
21. 如图，在四边形中，，，，．

（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
22. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长．
23. 为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程：
第一步：的自变量的取值范围是全体实数；
第二步：与的几组对应值：
第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象；
第四步：借助函数图象研究该函数的性质．
（1）补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
（2）观察的函数图象，可得以下结论：
①当________时，函数有最小值为________；
②当________时，随的增大而增大；
③若直线与的图象有且只有一个交点，则的取值范围是______．
24. 甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同.节日期间两家草莓采摘园均推出优惠促销方案：甲采摘园：游客进园需购买元的门票，采摘的草莓按照六折计费；
乙采摘园：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算. 设游客在乙采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示.

（1）优惠前草莓的销售价格为 元千克；
（2）当时，求与的函数解析式；
（3）当游客采摘草莓重量为千克时，在哪家草莓园采摘更划算，并说明理由.
25. 在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AF，AC，分别过点F，C作AF，AC的垂线交于点Q．
（1）依题意补全图1，并证明；
（2）过点Q作，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．
26. 对于平面直角坐标系中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出如下定义：
如果图形M上存在点Q，使得，那么称点P为图形M和谐点．
已知点，，，．
（1）在点，，中，矩形的和谐点是_________________；
（2）如果直线上存在矩形的和谐点P，求出点P的横坐标t的取值范围；
（3）如果直线上存在矩形的和谐点E，F，使得线段上的所有点（含端点）都是矩形的和谐点，且，求出b的取值范围．
四、选做题（共10分，第27题3分，第28题7分）
27. 学习完二次根式后，杨老师给甲同学出了这样一道思考题：求的值．甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答：
设，两边平方得：，即，
，
，
，
．
请你参考上述方法，求的值．
28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形 N上任意一点，如果 P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N 间的“近距离”，记作．在中，点，，，，如图 1．
（1）直接写出 d(点O , )= ；
（2）若点P在y轴正半轴上，d（点 P， ）=4，求点P坐标；
（3）已知点，顺次连接点 E、F、H、G，将得到的四边形记为图形 W（包括边界）．
①当时，在图 2 中画出图形 W，直接写出的值；
②若 ，直接写出 a 的取值范围．
考
生
须
知
1．本试题共4页，共两部分，四道大题，28道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分，第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分，考试时间100分钟．
2．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，试卷上作答无效．
3．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，请将答题材料一并交回．
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