北京第一六一中学分校2023-2024学年八年级下学期中数学试题(原卷版+解析版)
展开一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1. 以下列长度的三条线段为边,能组成直角三角形的是( )
A. 1,1,1B. 2,3,4C. 1,,D. 1,2,3
2. 下列各式中是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3. 下列y关于x的函数中,是正比例函数的为( )
A. y=x2B. y=C. y=D. y=
4. 如图,在中,,,则的度数是( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
5. 如图,四边形是菱形,其中,两点的坐标为,,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
6. 如图,在桌面上放置一个正方体,正方体棱长为,点为一条棱的中点,蚂蚁在正方体表面爬行,从点爬到点的最短路程是( )
A. B. C. D.
7. 已知,是函数的图象上的两个点,则m与n的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
8. 如图,在物理课上,老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中,然后缓慢匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,则下图能反映弹簧测力计的读数y(单位:N)与铁块被提起的高度x(单位:cm)之间的函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题(共16分,每题2分)
9. 若二次根式在实数范围内有意义,则的取值范围是________.
10. 如图,在中,,,的平分线交,则________.
11. 如图,中,,,,,则________,________.
12. 已知一次函数的函数图象不经过第四象限,请写出一组符合题意的和的值:________,________.
13. 如图,直线与交于点,则不等式的解集为______.
14. 《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几?”
译文:“有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问绳索有多长?”.
设秋千的绳索长为x尺,根据题意可列方程为____________.
15. 若直角三角形两条直角边的边长之和为17,面积是30,则该直角三角形的斜边长为____________.
16. 中,,,平分,过点作于点,是的中点,连接,则________.
三、解答题(共68分,第17题10分,第18、19、21、26题各6分,第20题4分,第、22、24题各7分,第23、25题各8分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 计算:
(1);
(2).
18. 如图,在中,点E,F分别在,上,且,与交于点O.求证:.
19. 已知,分别是整数部分和小数部分.
(1)直接写出和的值;
(2)求值.
20. 已知:在中,.
求作:矩形.
作法:如下,
①分别以点A,C为圆心,大于的同样长为半径作弧,两弧分别交于点M,N;
②作直线,交边于点O;
③作射线,以点O为圆心,以长为半径作弧,与射线的另一个交点为D,连接;
所以四边形就是所求作的矩形.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:∵直线是的垂直平分线,
∴.
∵,
∴四边形是平行四边形( )(填推理的依据).
∵,
∴四边形是矩形( )(填推理的依据).
21. 如图,在四边形中,,,,.
(1)求的度数;
(2)求四边形的面积.
22. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE∥AD.
(1)求证:四边形ADCE是菱形;
(2)连接BE,若∠ABC=30°,AC=2,求BE的长.
23. 为了探究函数的图象与性质,甲同学根据学习一次函数的经验,借助函数的图象与性质进行了探究.下面是甲同学的探究过程:
第一步:的自变量的取值范围是全体实数;
第二步:与的几组对应值:
第三步:建立平面直角坐标系,画出函数图象;
第四步:借助函数图象研究该函数的性质.
(1)补全表格,并在平面直角坐标系中画出该函数的图象:
(2)观察的函数图象,可得以下结论:
①当________时,函数有最小值为________;
②当________时,随的增大而增大;
③若直线与的图象有且只有一个交点,则的取值范围是______.
24. 甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同,销售价格也相同.节日期间两家草莓采摘园均推出优惠促销方案:甲采摘园:游客进园需购买元的门票,采摘的草莓按照六折计费;
乙采摘园:游客进园不需购买门票,采摘的草莓达到一定重量后,超过部分按照优惠价格计算. 设游客在乙采摘园采摘的草莓重量为千克,所花的费用为元,与之间的函数关系如图所示.
(1)优惠前草莓的销售价格为 元千克;
(2)当时,求与的函数解析式;
(3)当游客采摘草莓重量为千克时,在哪家草莓园采摘更划算,并说明理由.
25. 在正方形ABCD中,F是线段BC上一动点(不与点B,C重合),连接AF,AC,分别过点F,C作AF,AC的垂线交于点Q.
(1)依题意补全图1,并证明;
(2)过点Q作,交AC于点N,连接FN.若正方形ABCD的边长为1,写出一个BF的值,使四边形FCQN为平行四边形,并证明.
26. 对于平面直角坐标系中的图形M和点P(点P在M内部或M上),给出如下定义:
如果图形M上存在点Q,使得,那么称点P为图形M和谐点.
已知点,,,.
(1)在点,,中,矩形的和谐点是_________________;
(2)如果直线上存在矩形的和谐点P,求出点P的横坐标t的取值范围;
(3)如果直线上存在矩形的和谐点E,F,使得线段上的所有点(含端点)都是矩形的和谐点,且,求出b的取值范围.
四、选做题(共10分,第27题3分,第28题7分)
27. 学习完二次根式后,杨老师给甲同学出了这样一道思考题:求的值.甲同学认真分析了式子的结构,做出如下解答:
设,两边平方得:,即,
,
,
,
.
请你参考上述方法,求的值.
28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形M、N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形 N上任意一点,如果 P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N 间的“近距离”,记作.在中,点,,,,如图 1.
(1)直接写出 d(点O , )= ;
(2)若点P在y轴正半轴上,d(点 P, )=4,求点P坐标;
(3)已知点,顺次连接点 E、F、H、G,将得到的四边形记为图形 W(包括边界).
①当时,在图 2 中画出图形 W,直接写出的值;
②若 ,直接写出 a 的取值范围.
考
生
须
知
1.本试题共4页,共两部分,四道大题,28道小题.其中第一大题至第三大题为必做题,满分100分,第四大题为选做题,满分10分,计入总分,但卷面总分不超过100分,考试时间100分钟.
2.试题答案一律填涂或书写在答题纸上,试卷上作答无效.
3.在答题纸上,选择题、作图题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答.
4.考试结束,请将答题材料一并交回.
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