北京交通大学附属中学第二分校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，故A符合题意；
B、，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解．
【详解】直线向上平移2个单位长度
所得的直线的解析式为
故答案为：C
【点睛】本题考查了一次函数图像的平移，熟悉解析式的变化规律是解题的关键．
3. 如图，数轴上点表示的数为1，，且，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质求得的长，然后根据圆的性质即可求解，进而即可判断．
【详解】由已知得，
∵，且，
∴在中，，
∵以原点圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，
∴，
∴点所表示的数为；
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，关键是求出的值，然后根据圆的性质即可求解．
4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1，2，3D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、12＋12≠12，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、22＋32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、1＋2＝3，不能构成三角形，不符合题意；
D、52＋122＝132，能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5. 下列图象中，y是x的函数的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可选出答案．
【详解】解：A、C、D选项中对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义，
只有B选项对于x的每一个确定的值，y有唯一的值与之对应，符合函数的定义．
故选：B．
【点晴】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
6. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
【详解】解：，
，即，
故选：B．
7. 甲、乙二人约好同时出发，沿同一路线去自贡恐龙博物馆参加科普活动．下图是甲、乙二人走的图象，表示的是行走时间（单位：分），表示的是与学校的距离（单位：米），最后两人都到达了目的地；根据图中提供的信息，下面有四个推断：
①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；
②甲先到达目的地；
③甲停留10分钟之后提高了行走速度；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．
所有正确的推断的序号是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数和图象的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了20﹣10＝10分钟，说法正确；
②甲在35分时到达，乙在40分时到达，所以甲先到达的目的地，说法正确；
③甲在前10分钟，走了750米，前10分钟的速度为米/分钟,甲在停留10分钟之后走了分钟，走了米，所以20~35分钟的速度为米/分钟，所以甲在停留10分钟之后减慢了速度，故说法错误；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，掌握数形结合的思想是解题的关键．
8. 如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点为平面内一个动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q，在点的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形是平行四边形；
②存在无数个中点四边形是菱形；
③存在无数个中点四边形是矩形；
④存在无数个中点四边形是正方形．
其中，所有正确的有（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂直的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断．
【详解】①与不平行时，中点四边形是平行四边形，故存在无数个中点四边形是平行四边形，所以①正确；
②与相等且不平行时，中点四边形是菱形，故存在无数个中点四边形是菱形，所以②正确；
③与互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形是矩形，故存在无数个中点四边形是矩形，所以③正确；
④如图所示，当与相等且互相垂直时，中点四边形是正方形，故存在两个中点四边形是正方形，所以④错误．
故选A．
【点睛】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
9. 函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】解：依题意，得，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
10. 一元二次方程的根是__________．
【答案】，##，
【解析】
【分析】首先把移至方程左边，再把方程左边的多项式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解：，
移项得：，
∴，
∴或，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题运用的是因式分解法．结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
11. 平面直角坐标系中，点A，B，C，D的位置如图所示，当且时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数图象上的点为___________．
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的图象和性质即可进行判断
【详解】解：∵且，
∴一次函数的图象过一、三、四象限，
∴点D一定不在一次函数的图象上
故答案为：D
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12. 如果是方程的一个根，那么代数式的值为_________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程，得到，再代入代数式，即可求出答案．
【详解】解：把代入方程，
得到，
所以，
所以代数式；
故答案为：5．
13. 如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，首先证明，然后根据勾股定理得到关于线段、、的方程，解方程即可解决问题，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
【详解】解：四边形为矩形，
，，，
；
由题意得：，
，
设，则；
；
由勾股定理得：
，
即，
解得：，
．
故答案为：5．
14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且计算即可．
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
15. 如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据三角形中线定理求出，再根据直角三角形的性质求出，再进行计算即可．
【详解】解：∵点D、E分别是、的中点，
是的中线，
，
，
，
在中，，点E是的中点，，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列结论中所有正确的序号有__________．
①直线与轴所夹锐角等于；②；③关于的不等式的解集是；④．

【答案】①②④
【解析】
【分析】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．本题考查了一次函数与不等式（组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
【详解】解：由知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线与轴所夹锐角等于，故①的结论正确；
由图知：当时，函数图象对应的点在轴的上方，因此故②的结论正确；
由图知：当时，函数图象对应的点都在的图象下方，因此关于的不等式的解集是，故③的结论不正确；
由图知：，，因此，故④的结论正确；
答案为：①②④．
三、计算题：本大题共1小题，共4分．
17. 解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
四、解答题：本题共9小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的化简，乘除混合运算法则计算即可，本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
=．
19. 已知：为锐角三角形，．
求作：菱形．
作法：如图，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O；
③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接，；
四边形就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：
（2）完成下面的证明：
证明：∵平分，
∴__________．
∵，
∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∵，
∴四边形是菱形（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）图见解析
（2）OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形
【解析】
【分析】（1）根据所给几何语言画出对应的图形即可；
（2）先根据等腰三角形的性质得到CO=OB，再根据平行四边形和菱形的判定解答即可.
【小问1详解】
解：如图，菱形ABDC即为所求作；
【小问2详解】
证明：∵，平分，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∵，
∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
故答案为：OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形.
【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤，熟知平行四边形的判定和菱形的判定是解答的关键.
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一根为负数，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）证明一元二次方程是否有实数根，根据判别式来判断即可，证明，则方程总有两个实数根；
（2）用因式分解法求出方程的两根，，，则，，得出答案．
【详解】（1）
∴方程总有实数根；
（2）
若方程的一根为负数，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，，方程有两个不相等的实数根；
，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；还考查了解一元二次方程的方法，有因式分解法、直接开方法、公式法、配方法等．
21. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
22. 一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）画出一次函数的图象；
（3）结合图象解答下列问题：
①当时，的取值范围是___________；
②当时，的取值范围是___________；
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）由一次函数的图象与正比例函数的图象平行，可得，由一次函数的图象过点可得即可；
（2）图象如图所示：描点（0，2）与（2，-4）连线得图像如图；
（3）①先求直线与x轴的交点（，0），当时，直线位于x轴下方， 可得；
②先求x=0，；x=2，即可．
【详解】解：（1）∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行，
，
又∵一次函数的图象过点．
根据题意得：，
解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）图象如图所示：
取x=0，y=2，描点（0，2）与（2，-4），
连线得图像如图，
（3）①当时，=，直线与x轴的交点（，0），
当时，直线位于x轴下方，自变量的取值范围在交点的右侧，
∴；
故答案为；
②当时，取x=0，，取x=2，，
∴，
故答案．
【点睛】本题考查平行线性质，待定系数法求函数解析式，利用图像求范围，掌握平行线性质，待定系数法求函数解析式，利用图像求范围是解题关键．
23. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合已知条件，即可证明四边形是菱形；
（2）根据题意可得是等边三角形，勾股定理求得的长，进而求得的长，在中，根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
答：的长为．
24. 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．
（1）函数的自变量的取值范围是___________．
（2）下表是与的几组对应值：
写出表中的值；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①对于图象上两点，若，则_________(填“>”，“=”或“<”)；
②当时，若对于的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，则的取值范围是_________．
【答案】（1）全体实数
（2）0 （3）见详解
（4）①<；②且
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
（1）由图表可知可以是任意实数；
（2）把代入即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
（4）观察图象即可解决问题．
【小问1详解】
解：函数中自变量可以是任意实数；
故答案：任意实数；
【小问2详解】
当时，，
∴．
【小问3详解】
函数图象如图所示；
【小问4详解】
观察该函数图象：
①对于图象上两点，若，则；
②当时，若对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是且．
故答案为：①；②且．
25. 已知正方形，点，分别在射线，射线上，，与交于点．
（1）如图1，当点，分别在线段，上时，求证：，且；
（2）如图2，当点在线段延长线上时，将线段沿平移至，连接．
①依题意将图2补全；
②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形性质可得，，进而可证明，依据全等三角形性质即可证得结论；
（2）①按题目要求补全图形即可；
②连接，根据平移性质即可得出四边形是平行四边形，根据平行四边形性质得，，再由，可得，，进而可得出，，由勾股定理即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图1，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故，且；
【小问2详解】
解：①补全图如图2所示；
②理由如下：
如图3，连接，
线段沿平移至，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平移的性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理．
26. 在平面直角坐标系中，对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形和的“极大距离”，记为．已知：正方形，其中，，，．

（1）已知点，
①若，则（点，正方形 ；
②若（点，正方形，则 ．
（2）已知点，，若（线段，正方形，求的取值范围．
（3）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求（线段，正方形的最小值，并直接写出此时的取值范围．
【答案】（1）①；②或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）①根据图形和的“极大距离”的定义求解即可．
②分两种情形，利用勾股定理求解即可．
（2）分两种情形：如图2中，当在轴的右侧时，如图3中，当在轴的左侧时，分别求出落在特殊位置的的值即可解决问题．
（3）当（线段，正方形取最小值，推出（线段，正方形的最小值（点，正方形，推出（点，正方形，当（点，正方形时，或，求出两种特殊位置的值，可得结论．
【小问1详解】
解：①如图1中，时，，

（点，正方形．
故答案为：．
②（点，正方形，当点在轴的右侧时，，
解得或（舍弃），
当点在轴的左侧时，，
解得或（舍弃），
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
【小问2详解】
解：如图2中，当在轴的右侧时，

若时，，
解得，或（舍弃），
若时，，
解得，或（舍弃），
观察图象可知，满足条件的的值为．
如图3中，当在轴的左侧时，

若，则有，，
解得，或4（舍弃），
若时，，
解得，或7（舍弃），
观察图象可知，满足条件的的值为．
综上所述，满足条件的的值为或．
【小问3详解】
解：如图4中，

当（线段，正方形取最小值，
（线段，正方形的最小值（点，正方形，
（点，正方形，
当（点，正方形时，或，
代入，得，
将代入，得，
观察图形可知，满足条件的的值为：或．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，图形和的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．


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