北京市东直门中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：100分钟 总分100分
一、选择题
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，4，6C. 5，12，13D. 4，6，7
3. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5. 在中，，为斜边的中点．若，，则的长为（ ）

A. 10B. 6C. 5D. 4
6. 将直线向上平移2个单位长度，所得直线的关系式为（ ）
A. B. C. D.
7. 菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积是（ ）
A. 10B. 40C. 48D. 24
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题
9. 函数中自变量x的取值范围是______．
10. 最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为______．
11. 已知、是一次函数的图象上的两点，则______．（填“”或“”或“”）
12. 如图，在矩形中，过对角线中点的两条直线交、于E、F，交、于点H、G，若矩形的边长为4和2，则图中阴影部分的面积为________．

13. 如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛，已知点E、F分别是边中点，量得米，则的长是______米．

14. 如图，直线与直线的交点为A，则关于，的方程组的解是______．

15. 如图，矩形中，，，点在上，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为______．

16. 如图，在中，，点E为线段上一动点，有下列四个结论：
①在E点运动过程中，的面积始终是面积的一半；
②在线段上有且只有一点E，使得；
③若点E恰好是的角平分线与 的角平分线的交点，则点E是的中点；
④若，则在上有且只有一点E，使得 是直角三角形其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题
17. 计算：
18. 已知一次函数．
（1）点在函数的图象上，求m的值．
（2）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．求点A、B的坐标．
（3）已知，求三角形面积．
19. 如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点．若，求的度数．
20. 尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线．
已知：如图，直线及直线外一点．

求作：直线，使得，且直线经过点．；
作法：①在直线上取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；
②分别以点，点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）；
③经过，两点作直线．直线就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵ = = ，
∴四边形 是（填“矩形”“菱形”或“正方形”）
（ ）（填推理的依据）．
∴（ ）（填推理的依据）．
21. 白河堡是北京海拔最高的水库，位于延庆区香营乡北部，得名于明代要塞靖安堡，因靖安堡扼守白河峡谷，俗名白河堡．水文站记录了白河堡水库某次蓄水过程中，水位在4小时内持续上涨的情况，水位高度（单位：）与时间（单位：）之间满足一次函数关系，其中．下表是与的四组对应值．
回答下列问题：
（1）求水位上涨过程中，与之间函数表达式；
（2）若水位按照这种规律再上涨2小时，请利用（1）中的函数计算此时水位的高度是多少米？
22. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
23. 每年的月日是世界环境日，它反映了世界各国人民对环境问题的认识和态度，也表达了人类对美好环境的向往和追求．为了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，某校分别从七、八年级随机抽取了名学生的环保知识测试成绩(百分制，单位：分)，并对数据(测试成绩)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．七年级名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下：

(数据分成组：，，，，，)
．七年级名学生环保知识测试成绩在这一组的是(单位：分)

．七、八两年级名学生环保知识测试成绩平均数、中位数和众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）写出表中的值．
（3）七年级小颖同学的测试成绩是分．她认为：“分高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩”．你认为她的说法正确吗？请说明理由．
（4）若八年级名学生都参加了此次环保知识测试，估计八年级学生环保知识测试的总成绩．
24. 有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．小青根据学习函数的经验，对该函数的图象与性质进行了探究，下面是小青的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 ．
（2）下表是y与x的几组对应值：
写出表中m的值 ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质．
25. 在正方形中，点在射线上，点在的延长线上，为的角平分线，点为射线上一点，且．

（1）如图，当点在线段上时，补全图形，求证：；
（2）在（1）的条件下，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（3）若，，直接写出线段的长．
26. 在平面直角坐标系中，不同的两点，，给出如下定义：
若，则称点A，B互为“等距点”．
例如，点，互为“等距点”．
（1），，，四个点中，能与坐标原点互为“等距点”的是______．
（2）已知，
①若点B是点A的等距点，且满足的面积为1，求点B的坐标．
②若以点为中心，边长为2正方形上存在一点P与点A互为等距点，请直接写t的取值范围．
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
0
1
2
4
3
4
5
年级
平均数
中位数
众数
七年级
八年级
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
2
1
0
0
1
m
…