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陕西省西安市雁塔区高新区第三初级中学（博雅班）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份陕西省西安市雁塔区高新区第三初级中学（博雅班）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含陕西省西安市雁塔区高新区第三初级中学博雅班2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、陕西省西安市雁塔区高新区第三初级中学博雅班2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
1. 下列式子是分式的是( )
A. B. C. D. 1＋x
【答案】C
【解析】
【详解】根据分母中含有字母的式子是分式进行判定，
因此正确选项是C．
2. 下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 如果，那么下列各式一定不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质，可得答案.
【详解】、两边都减，不等号的方向不变，正确，不符合选项；
、因为，所以，正确，不符合选项；
、因为，所以，错误，符合选项；
、因为，所以（），正确，不符合选项.
故选：
【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变.
4. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°
∵平分
∴∠ACB=2∠ACD=100°
∴∠B=180°-100°-50°=30°
故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式分解为几个多项式的乘积即可求解．
【详解】解：A选项右边为多项式，故A选项错误；
，故B答案正确；
C选项右边为多项式，故C选项错误；
，因式分解错误，故D选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
6. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的判定证得，得到，根据三角形的外角的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可求出．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故选：C
7. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，已EF=8，BE=3，CG=3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 12.5B. 19.5C. 32D. 45.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质得到S四边形ACGD=S梯形BEFG，根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】解：△ABC沿AB的方向平移AD的长度得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC，
∴EF=BC=8，S△DEF=S△ABC，
∴S△ABC-S△DBG=S△DEF-S△DBG，
∴S四边形ACGD=S梯形BEFG，
∵CG=3，
∴BG=BC-CG=8-3=5，
∴图中阴影部分的面积=S梯形BEFG= ×（5+8）×3=19.5，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平移的基本性质、梯形的面积公式，平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
8. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位线的性质得到EMAC′＝1，根据勾股定理得到AB＝2，即可得到结论．
【详解】取AB的中点M，连接CM，EM，∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大．
∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，∴AC′＝AC＝2．
∵E为BC′的中点，∴EMAC′＝1．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CMAB，∴CE＝CM+EM．
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 若多项式因式分解为，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出a即可．
【详解】解：,
∵多项式因式分解为，
∴a＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了多项式乘法和因式分解，熟知因式分解和整式乘法互为逆运算是解题的关键．
10. 如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
【答案】24
【解析】
【分析】根据角平分线和垂直平分线性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
【详解】∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
11. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：对不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵原不等式组无解，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是关键．
12. 若关于的分式方程有增根，则实数的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】先将分式方程化为整式方程，可得m=-2x+5，再由分式方程有增根，可得x=2，即可求解．
【详解】解：方程两边同乘以x-2，
可得m=x-1-3（x-2），
解得m=-2x+5，
∵分式方程有增根，
∴x-2=0，解得x=2，
∴m=-2×2+5
∴m=1．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根问题，熟练掌握当分式方程的最简公分母等于0时，产生增根是解题的关键．
13. 如图，点是正方形内的一点，，，，则______度．
【答案】135
【解析】
【分析】将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，构造两个直角三角形：Rt△PBE和Rt△PCE，利用勾股定理逆定理解答即可．
【详解】解：将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，
∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC，
∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠BEP=45°，
∵PB=2，
∴PE=2，
∵PC=3，CE=PA=1，
∴PC2=PE2+CE2，
∴∠PEC=90°，
∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．
故答案为：135．
【点睛】此题考查了旋转的性质及勾股定理的逆定理，将将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE是解题的关键．
三、解答题（本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. 因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，
（1）首先提公因式，然后利用完全平方公式即可分解；
（2）首先提公因式，然后利用平方差公式即可分解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
15. 计算
（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解分式方程以及解一元一次不等式组，
（1）通过去分母，把分式方程化为整式方程，进行求解，再进行检验，即可；
（2）分别求出各个一元一次不等式的解，进而即可求出不等式组的解．
【小问1详解】
解：去分母得：，
去括号，移项，合并同类项，得：，
经检验：为方程的解；
【小问2详解】
，
由①得：，
由②得：，
方程组的解是：．
16. 先化简，再求值：，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．
【答案】2x﹣3，-5
【解析】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】原式=[+]÷
=（+）•x
=x﹣1+x﹣2
=2x﹣3
由于x为满足﹣3＜x＜2的整数，x≠0且x≠1且x≠﹣2，
所以x=﹣1，
原式=﹣2﹣3=﹣5
【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
17. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）画出绕点O逆时针旋转90度的；
（3）在轴上找到一点，使的值最小，则最小值为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可；
（2）分别作出三顶点绕点O逆时针旋转90度的点，再顺次连接即可；
（3）作出点A关于x轴对称点，连接 交x轴于点P，点P即为所求，再用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作．
【小问2详解】
如图，即为所求作．
【小问3详解】
如图，作出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求．
，
，
的最小值．
18. 已知，如图，是上一点，于，于，、分别是、上的点，且，．
（1）求证：是的平分线．
（2）若，且，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据证明，推出，依据角平分线的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知，是的平分线．求出，根据平行线的性质得到，求出，得到，即可得到．
【小问1详解】
证明：∵于，于，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，，
∴是的平分线．
【小问2详解】
由（1）知，是的平分线．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的判定定理，直角三角形30度角的性质，两直线平行内错角相等的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
19. 如图，直线与直线相交于点．
（1）求a，b的值；
（2）求△ADC的面积；
（3）根据图象，写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1），
（2）12 （3）
【解析】
【分析】（1）根据先求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求解；
（2）先求出A、C、D的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据图象即可求得．
【小问1详解】
解∶∵直线经过点，
∴，
∴点B的坐标为，
∵直线经过点，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴直线AD的解析式为，
令，则，
令，则，
∴A（0，4），D（4，0），
∴OA=OD=4，
直线与x轴交于点C，
令，则，
∴C（-2，0），
∴OC=2，
∴CD=6，
∴；
【小问3详解】
解：点B的坐标为，点D的坐标为，
∴根据图象可得：关于x的不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，关键是正确从函数图象中获得正确信息．
20. 某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件；
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案．
【答案】（1）购买的甲、乙两种奖品分别是5件、15件（2）该公司有两种不同的购买方案：方案一：购买甲种奖品7件，购买乙种奖品13件；方案二、购买甲种奖品8件，购买乙种奖品12件.
【解析】
【分析】（1）根据“两种奖品共20件”和“两种奖品共花费650元”列出方程组求解即可；
（2）根据题意，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）设甲、乙两种奖品分别购买x件、y件
依题意，得：，
解得：，
答：甲、乙两种奖品分别购买5件、15件.
（2）设甲种奖品购买m件，则乙种奖品购买（20-m）件
依题意得：
解得：，
∵m为整数，
∴m=7或8，
当m=7时，20-m=13；当m=8时，20-m=12，
答：该公司有两种不同的购买方案：方案一：购买甲种奖品7件，购买乙种奖品13件；方案二、购买甲种奖品8件，购买乙种奖品12件.
21. （1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点的对应点，连接，，直接写出点的坐标______，的坐标______及四边形的面积为______．
（2）如图2，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线是街道两边沿），现准备修建一座过街人行天桥．天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到的路程最短？在图3中作出此时天桥的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）．
【答案】（1）；8（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形性质；点的平移和三角形的面积,解答的关键得到四边形ACDB是平行四边形，
（1）根据点的平移规律即可得点C，D的坐标；由 即可计算出；
（2）沿竖直方向向下平移点A，使得平移的距离等于桥长，再根据两点之间线段最短，确定桥的位置即可；
【详解】解：（1）依题意，得，
∴；
（2）如图，将点A沿竖直向下的方向平移，平移距离等于桥长，到达点，连接，与街道交于点，过点建桥即符合要求；
22. 因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解：
（1）若是多项式的一个因式，求k的值；
（2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；
（3）在（2）的条件下，把多项式因式分解．
【答案】（1）；（2）m，n值分别为和0；（3）．
【解析】
【分析】（1）由已知条件可知，当时，，将的值代入即可求得
（2）由题意可知，和时，，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的值；
（3）将（2）中m和n的值代入，提取公因式，则由题意知和也是所给多项式的因式，从而问题得解．
【详解】解：（1）∵是多项式的一个因式
∴时，
∴
∴
∴
∴的值为；
（2）和是多项式的两个因式，
∴当和时，，
∴，
解得：
∴m，n的值分别为和0；
（3）∵，，
∴可化为：
∴
．
【点睛】本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．
23. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆
【解析】
【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得：
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得
y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），
y=－300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60-a≤2a，
∴a≥20．
∵y=－300a+36000．
∴k=－300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=30000元．
∴B型车的数量为：60-20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程．
24. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．
（1）求证：EF＝ED；
（2）若AB＝2，CD＝1，求FE的长．
【答案】（1）见解析；（2）EF＝.
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；
（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．
【详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠BAE+∠DAC＝45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，
∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，
∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴DE＝EF
（2）∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝4，
∵CD＝1，
∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，
∵∠ABF＝∠ABC＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴BF2+BE2＝EF2，
∴1+（3﹣EF）2＝EF2，
∴EF＝
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．
25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
①；②；③；④．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________（不用写出变形过程）；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）①③④ （2）
（3）时，该式的值为整数
【解析】
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可；
（2）根据题干提供的信息进行化简即可；
（3）先将分式变形为，根据x取整数，当或时，的值为整数，求出或或1或．根据当或1或时原分式无意义，得出．
【小问1详解】
解：①，是“和谐分式”；
②，不是“和谐分式”；
③，是“和谐分式”；
④，是“和谐分式”．
故答案为：①③④．
【小问2详解】
解：．
故答案为：．
【小问3详解】
解：
，
∵x取整数，
∴当或时，的值为整数，
此时或或1或．
又∵当或1或时原分式无意义，
∴．
∴时，该式的值为整数．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，准确计算．
26. 根据材料回答下列小题
（1）【操作发现】如图1，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形．
（2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，求证：以，的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，．求的面积．
（4）【拓展应用】如图4是三个村子位置的平面图，经测量，，，区管委会想在内建污水处理厂，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值（污水处理厂与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．
【答案】（1）等边 （2）证明见解析
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）【操作发现】：如图1中，只要证明是等边三角形即可；
（2）【类比探究】：如图2中，以为边长作等边，使P、D分别在的两侧，连接．利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解决问题；
（3）【解决问题】：如图3中，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，只要证明，利用勾股定理即可解决问题；
（4）【拓展应用】：如图4中，将绕点M顺时针旋转，得到，连接，则，，过点E作，交延长线于点F，求出当点N、O、D、E四点共线时，有最小值，最小值为的长；
【小问1详解】
解：等边三角形，理由：
∵绕点A顺时针旋转，得到，
∴，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
证明：如图，以为边长作等边，使 P，D分别在，的两侧，连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∴ ，
在中，∵，
又∵，
∴，
∴以的长为三边必能组成三角形．
【小问3详解】
如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴ ，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴（舍负），
∴，
∴；
【小问4详解】
如图，将绕点M顺时针旋转，得到，连接，
∵将绕点M顺时针旋转，得到，
∴
∴是等边三角形，
∴，
过点E作，交延长线于点F，
当点N、O、D、E四点共线时，有最小值，最小值为的长，
最小值为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
1. 下列式子是分式的是( )
A. B. C. D. 1＋x
【答案】C
【解析】
【详解】根据分母中含有字母的式子是分式进行判定，
因此正确选项是C．
2. 下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 如果，那么下列各式一定不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质，可得答案.
【详解】、两边都减，不等号的方向不变，正确，不符合选项；
、因为，所以，正确，不符合选项；
、因为，所以，错误，符合选项；
、因为，所以（），正确，不符合选项.
故选：
【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变.
4. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°
∵平分
∴∠ACB=2∠ACD=100°
∴∠B=180°-100°-50°=30°
故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式分解为几个多项式的乘积即可求解．
【详解】解：A选项右边为多项式，故A选项错误；
，故B答案正确；
C选项右边为多项式，故C选项错误；
，因式分解错误，故D选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
6. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的判定证得，得到，根据三角形的外角的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可求出．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故选：C
7. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，已EF=8，BE=3，CG=3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 12.5B. 19.5C. 32D. 45.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质得到S四边形ACGD=S梯形BEFG，根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】解：△ABC沿AB的方向平移AD的长度得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC，
∴EF=BC=8，S△DEF=S△ABC，
∴S△ABC-S△DBG=S△DEF-S△DBG，
∴S四边形ACGD=S梯形BEFG，
∵CG=3，
∴BG=BC-CG=8-3=5，
∴图中阴影部分的面积=S梯形BEFG= ×（5+8）×3=19.5，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平移的基本性质、梯形的面积公式，平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
8. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位线的性质得到EMAC′＝1，根据勾股定理得到AB＝2，即可得到结论．
【详解】取AB的中点M，连接CM，EM，∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大．
∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，∴AC′＝AC＝2．
∵E为BC′的中点，∴EMAC′＝1．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CMAB，∴CE＝CM+EM．
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 若多项式因式分解为，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出a即可．
【详解】解：,
∵多项式因式分解为，
∴a＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了多项式乘法和因式分解，熟知因式分解和整式乘法互为逆运算是解题的关键．
10. 如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
【答案】24
【解析】
【分析】根据角平分线和垂直平分线性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
【详解】∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
11. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：对不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵原不等式组无解，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是关键．
12. 若关于的分式方程有增根，则实数的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】先将分式方程化为整式方程，可得m=-2x+5，再由分式方程有增根，可得x=2，即可求解．
【详解】解：方程两边同乘以x-2，
可得m=x-1-3（x-2），
解得m=-2x+5，
∵分式方程有增根，
∴x-2=0，解得x=2，
∴m=-2×2+5
∴m=1．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根问题，熟练掌握当分式方程的最简公分母等于0时，产生增根是解题的关键．
13. 如图，点是正方形内的一点，，，，则______度．
【答案】135
【解析】
【分析】将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，构造两个直角三角形：Rt△PBE和Rt△PCE，利用勾股定理逆定理解答即可．
【详解】解：将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，
∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC，
∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠BEP=45°，
∵PB=2，
∴PE=2，
∵PC=3，CE=PA=1，
∴PC2=PE2+CE2，
∴∠PEC=90°，
∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．
故答案为：135．
【点睛】此题考查了旋转的性质及勾股定理的逆定理，将将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE是解题的关键．
三、解答题（本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. 因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，
（1）首先提公因式，然后利用完全平方公式即可分解；
（2）首先提公因式，然后利用平方差公式即可分解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
15. 计算
（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解分式方程以及解一元一次不等式组，
（1）通过去分母，把分式方程化为整式方程，进行求解，再进行检验，即可；
（2）分别求出各个一元一次不等式的解，进而即可求出不等式组的解．
【小问1详解】
解：去分母得：，
去括号，移项，合并同类项，得：，
经检验：为方程的解；
【小问2详解】
，
由①得：，
由②得：，
方程组的解是：．
16. 先化简，再求值：，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．
【答案】2x﹣3，-5
【解析】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】原式=[+]÷
=（+）•x
=x﹣1+x﹣2
=2x﹣3
由于x为满足﹣3＜x＜2的整数，x≠0且x≠1且x≠﹣2，
所以x=﹣1，
原式=﹣2﹣3=﹣5
【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
17. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）画出绕点O逆时针旋转90度的；
（3）在轴上找到一点，使的值最小，则最小值为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可；
（2）分别作出三顶点绕点O逆时针旋转90度的点，再顺次连接即可；
（3）作出点A关于x轴对称点，连接 交x轴于点P，点P即为所求，再用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作．
【小问2详解】
如图，即为所求作．
【小问3详解】
如图，作出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求．
，
，
的最小值．
18. 已知，如图，是上一点，于，于，、分别是、上的点，且，．
（1）求证：是的平分线．
（2）若，且，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据证明，推出，依据角平分线的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知，是的平分线．求出，根据平行线的性质得到，求出，得到，即可得到．
【小问1详解】
证明：∵于，于，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，，
∴是的平分线．
【小问2详解】
由（1）知，是的平分线．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的判定定理，直角三角形30度角的性质，两直线平行内错角相等的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
19. 如图，直线与直线相交于点．
（1）求a，b的值；
（2）求△ADC的面积；
（3）根据图象，写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1），
（2）12 （3）
【解析】
【分析】（1）根据先求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求解；
（2）先求出A、C、D的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据图象即可求得．
【小问1详解】
解∶∵直线经过点，
∴，
∴点B的坐标为，
∵直线经过点，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴直线AD的解析式为，
令，则，
令，则，
∴A（0，4），D（4，0），
∴OA=OD=4，
直线与x轴交于点C，
令，则，
∴C（-2，0），
∴OC=2，
∴CD=6，
∴；
【小问3详解】
解：点B的坐标为，点D的坐标为，
∴根据图象可得：关于x的不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，关键是正确从函数图象中获得正确信息．
20. 某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件；
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案．
【答案】（1）购买的甲、乙两种奖品分别是5件、15件（2）该公司有两种不同的购买方案：方案一：购买甲种奖品7件，购买乙种奖品13件；方案二、购买甲种奖品8件，购买乙种奖品12件.
【解析】
【分析】（1）根据“两种奖品共20件”和“两种奖品共花费650元”列出方程组求解即可；
（2）根据题意，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）设甲、乙两种奖品分别购买x件、y件
依题意，得：，
解得：，
答：甲、乙两种奖品分别购买5件、15件.
（2）设甲种奖品购买m件，则乙种奖品购买（20-m）件
依题意得：
解得：，
∵m为整数，
∴m=7或8，
当m=7时，20-m=13；当m=8时，20-m=12，
答：该公司有两种不同的购买方案：方案一：购买甲种奖品7件，购买乙种奖品13件；方案二、购买甲种奖品8件，购买乙种奖品12件.
21. （1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点的对应点，连接，，直接写出点的坐标______，的坐标______及四边形的面积为______．
（2）如图2，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线是街道两边沿），现准备修建一座过街人行天桥．天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到的路程最短？在图3中作出此时天桥的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）．
【答案】（1）；8（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形性质；点的平移和三角形的面积,解答的关键得到四边形ACDB是平行四边形，
（1）根据点的平移规律即可得点C，D的坐标；由 即可计算出；
（2）沿竖直方向向下平移点A，使得平移的距离等于桥长，再根据两点之间线段最短，确定桥的位置即可；
【详解】解：（1）依题意，得，
∴；
（2）如图，将点A沿竖直向下的方向平移，平移距离等于桥长，到达点，连接，与街道交于点，过点建桥即符合要求；
22. 因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解：
（1）若是多项式的一个因式，求k的值；
（2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；
（3）在（2）的条件下，把多项式因式分解．
【答案】（1）；（2）m，n值分别为和0；（3）．
【解析】
【分析】（1）由已知条件可知，当时，，将的值代入即可求得
（2）由题意可知，和时，，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的值；
（3）将（2）中m和n的值代入，提取公因式，则由题意知和也是所给多项式的因式，从而问题得解．
【详解】解：（1）∵是多项式的一个因式
∴时，
∴
∴
∴
∴的值为；
（2）和是多项式的两个因式，
∴当和时，，
∴，
解得：
∴m，n的值分别为和0；
（3）∵，，
∴可化为：
∴
．
【点睛】本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．
23. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆
【解析】
【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得：
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得
y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），
y=－300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60-a≤2a，
∴a≥20．
∵y=－300a+36000．
∴k=－300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=30000元．
∴B型车的数量为：60-20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程．
24. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．
（1）求证：EF＝ED；
（2）若AB＝2，CD＝1，求FE的长．
【答案】（1）见解析；（2）EF＝.
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；
（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．
【详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠BAE+∠DAC＝45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，
∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，
∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴DE＝EF
（2）∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝4，
∵CD＝1，
∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，
∵∠ABF＝∠ABC＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴BF2+BE2＝EF2，
∴1+（3﹣EF）2＝EF2，
∴EF＝
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．
25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
①；②；③；④．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________（不用写出变形过程）；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）①③④ （2）
（3）时，该式的值为整数
【解析】
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可；
（2）根据题干提供的信息进行化简即可；
（3）先将分式变形为，根据x取整数，当或时，的值为整数，求出或或1或．根据当或1或时原分式无意义，得出．
【小问1详解】
解：①，是“和谐分式”；
②，不是“和谐分式”；
③，是“和谐分式”；
④，是“和谐分式”．
故答案为：①③④．
【小问2详解】
解：．
故答案为：．
【小问3详解】
解：
，
∵x取整数，
∴当或时，的值为整数，
此时或或1或．
又∵当或1或时原分式无意义，
∴．
∴时，该式的值为整数．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，准确计算．
26. 根据材料回答下列小题
（1）【操作发现】如图1，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形．
（2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，求证：以，的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，．求的面积．
（4）【拓展应用】如图4是三个村子位置的平面图，经测量，，，区管委会想在内建污水处理厂，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值（污水处理厂与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．
【答案】（1）等边 （2）证明见解析
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）【操作发现】：如图1中，只要证明是等边三角形即可；
（2）【类比探究】：如图2中，以为边长作等边，使P、D分别在的两侧，连接．利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解决问题；
（3）【解决问题】：如图3中，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，只要证明，利用勾股定理即可解决问题；
（4）【拓展应用】：如图4中，将绕点M顺时针旋转，得到，连接，则，，过点E作，交延长线于点F，求出当点N、O、D、E四点共线时，有最小值，最小值为的长；
【小问1详解】
解：等边三角形，理由：
∵绕点A顺时针旋转，得到，
∴，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
证明：如图，以为边长作等边，使 P，D分别在，的两侧，连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∴ ，
在中，∵，
又∵，
∴，
∴以的长为三边必能组成三角形．
【小问3详解】
如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴ ，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴（舍负），
∴，
∴；
【小问4详解】
如图，将绕点M顺时针旋转，得到，连接，
∵将绕点M顺时针旋转，得到，
∴
∴是等边三角形，
∴，
过点E作，交延长线于点F，
当点N、O、D、E四点共线时，有最小值，最小值为的长，
最小值为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
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