广东省茂名市博雅中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2．答题前考生必须将自己的姓名、准考证号、班别、座位号按要求填写在答题卡上．
3．使用黑色签字笔作答，不得超出答题卡指定答题区域．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．
【详解】解：分两种情况：
①当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数；
②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角度数是或．
故选：A．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，利用分类讨论的思想求解．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、即是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴一定成立，
故A不符合题意；
∵，
∴，
故B不符合题意；
∵，
∴，
故C不符合题意；
∵，
∴不一定成立，符合题意，
故D符合题意；
故选D．
4. 将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点在 （ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查点的平移变换．利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【详解】解：将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为，即，
点在第二象限，
故选：B．
5. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，先去分母，再移项，合并同类项，把系数化1即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
解得：，
故选C
6. 若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是点的坐标和解一元一次不等式组，根据坐标符号特点列出不等式和正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．
根据第二象限内点的坐标特点列出关于的不等式组，解之可得．
【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第二象限内，
，
解得：，
故选：C．
7. 如图，线段的垂直平分线交于点D，，则的度数为（ ）
A. 48°B. 96°C. 90°D. 84°
【答案】B
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8. 如图，一次函数的图象交y轴于点，则不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点的坐标找出值，令一次函数解析式中求出值，从而找出与轴的交点坐标，观察函数图象，找出在轴上方的函数图象，由此即可得出结论．
【详解】解：一次函数的图象交轴于点，
，
令中，则，解得：，
的图象交轴于点，．
观察函数图象，发现：
当时，一次函数图象在轴上方，
不等式的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出与轴的交点坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．
9. 如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】先设BD=x,则CD=20-x，根据△ABC是等边三角形，得出∠B=∠C=60°，再利用直角三角形性质求出BE和CF的长，即可得出BE+CF的值．
详解】解：设BD＝x，则CD＝20﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∵DE⊥AB，
∴∠BDE=30°，
∴BE＝BD＝，
同理可得，CF＝，
∴BE+CF＝.
故选：B.
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，能求出CF和BE的长是解此题的关键．
10. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 6B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案．
【详解】解：点关干原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
12. 已知，，则代数式
【答案】42
【解析】
【分析】先把分解因式，再整体代入求值即可．
【详解】解： ，，
∴，
故答案为：42．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，掌握利用因式分解求解代数式的值是解题的关键．
13. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转得到．若．则的度数是____度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，邻补角的性质，根据旋转的性质可得，进而由邻补角的性质可得的度数，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：根据旋转的性质可得，
∴，
故答案为：．
14. 不等式组的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次不等式组， 先求出每个不等式的解集，再求出不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解题为：．
故答案为：．
15. 一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为_____．
【答案】4或
【解析】
【详解】解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34；
②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42，
故答案是：4或．
16. 关于的不等式组的解集中任意一个的值均不在的范围内，则的取值范围是_____．
【答案】##．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可，能根据不等式组的解集和已知得出关于的不等式组是解此题的关键，注意理解解集中每一个值均不在的范围内的意义．
【详解】解：，
解不等式得：
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
∵关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围内，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 因式分解：．
【答案】
【解析】
分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
19. 如图四边形中，，求四边形的面积．
【答案】36
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．根据勾股定理可求得的长，再根据勾股定理逆定理可求得为直角三角形，，即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴直角三角形，
又∵，
∴根据勾股定理得： ，
又∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，，
∴．
即四边形的面积是36．
20. 如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的．
（1）将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，请在网格中画出；
（2）请仅用无刻度的直尺作出的平分线．（保留作图痕迹）
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析．
【解析】
【分析】（）根据平移的性质作图即可；
（）取格点，连接，由网格和勾股定理可得，可知四边形为菱形，故平分；
本题考查了平移作图，菱形的性质，勾股定理，掌握平移和菱形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
21. 如图，在和中，，，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：．

【答案】见解析
【解析】
分析】根据 ，可得 ， 根据 证明 即可；
【详解】
即
在和中
【点睛】本考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法 是解题的关键
22. 如图，于交的延长线于点．求证：平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理的判定，掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质是解题的关键．
根据题意可证，可得，根据角平分线的性质即可求证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分．
23. 某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表：
（1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？
（2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？
【答案】（1）甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元
（2）50个
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意列二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键；
（1）根据第一次和第二次的总费用，列方程组求解即可；
（2）根据总价不超过35000，甲品牌耳机数量不少于30个，列不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：设甲品牌耳机的进价是x元，乙品牌耳机的进价是y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元．
【小问2详解】
设第三次购进甲品牌耳机m个，则购进乙品牌耳机个，
根据题意，得，
解得，
∴m的最大值为50．
答：最多能购进50个甲品牌耳机．
24. 已知一次函数的图象经过点，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积；
（3）请直接写出当时的x的取值范围．
【答案】（1）
（2）8 （3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的综合应用．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线与轴的坐标，进而利用三角形的面积公式求解即可；
（3）根据一次函数的特点解不等式即可．
【小问1详解】
解：一次函数的图象经过点，两点，
，解得，
∴函数解析式为：；
【小问2详解】
∵，当时，，
∴直线与轴的交点为；
∵直线与轴的交点为，
∴一次函数与坐标轴围成的三角形面积为；
【小问3详解】
∵，
∴随的增大而增大，
∵直线与轴的交点为，
∴的取值范围为：．
25. 先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．
（1）已知点，，试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标；
（3）已知△ABC各顶点的坐标分别为，，，你能判断的形状吗？说明理由．
【答案】（1）A，B两点间的距离为13
（2）A的纵坐标为6或
（3）为等腰直角三角形
【解析】
【分析】本题考查两点间的距离公式及勾股定理，熟记以上知识是解题的关键．
（1）直接利用两点间的距离公式计算；
（2）由于横坐标相同，所以、两点间的距离等于纵坐标差的绝对值；
（3）先根据两点间的距离公式计算出、、，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．
【小问1详解】
，
即A，B两点间的距离为13．
【小问2详解】
∵点A，B所在直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，
∴A的纵坐标为或者．即点A的纵坐标为6或．
【小问3详解】
为等腰直角三角形．理由如下：
∵，
，
，
∴，且
∴为等腰直角三角形．第一次
第二次
甲品牌耳机（个）
20
30
乙品牌耳机（个）
40
50
总费用（元）
10800
14600